Contoh : • Hitung : • Tentukan akar persamaan dari : • Cari suatu persamaan
fungsi polynomial dari sejumlah data (> 50 titik). Latar Belakang Metode Numerik
.
KONSEP DASAR
Latar belakang Metode Numerik Ilustrasi masalah numerik Angka signifikan Akurasi dan Presisi Pendekatan dan Kesalahan
Latar Belakang Metode Numerik Tidak semua permasalahan matematis dapat diselesaikan dengan mudah, bahkan bisa jadi tidak ada penyelesaiannya. Contoh : 1
Sin ( x) dx x 0 2 x • Tentukan akar persamaan dari : y = x + e
• Hitung : L = ∫
• Cari suatu persamaan fungsi polynomial dari sejumlah data (> 50 titik)
Latar Belakang Metode Numerik Untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang sulit atau tidak ada solusinya diperlukan : 1. Suatu metode perhitungan Metode Numerik 2. Bantuan komputer : bahasa pemrograman atau software
Penyelesaian masalah matematis : Masa pra komputer • Digunakan cara analitis / eksak • Model linier, geometri sederhana, dimensi rendah Era komputer • Digunakan metode numerik • Model tidak linier, geometri rumit, sistem persamaan besar
Metode Numerik : suatu metode / teknik memecahkan masalah matematis dengan cara operasi perhitungan berdasarkan model matematis yang ada. Ciri-ciri : – Dibuat model matematis – Operasi perhitungan dalam jumlah besar – Perhitungan secara berulang-ulang (iterasi) – Perlu bantuan komputer
Metode untuk menghasilkan penyelesaian yang baik : 1. Metode Analisis / Eksak Penyelesaian matematis untuk persoalan sederhana atau ada teorema analisa matematikanya. 2. Metode Numerik Persoalan sangat sulit / tidak ada penyelesaian matematisnya. 3. Metode Simulasi Persoalan yg mempunyai kompleksitas tinggi shg dg metode numerik tdk diperoleh solusi yg baik.
Ilustrasi Masalah Numerik Contoh : analisis benda jatuh (penerjun) Metode Analisis FU = -cv
FD = mg
Hukum Newton : F = ma dv ............................ (1) F =m dt
dan jumlah gaya (F) : F = FD + FU F = mg – cv ...................... (2)
Ilustrasi Masalah Numerik (1) = (2), sehingga :
dv = mg − cv dt c dv =g− v m dt gm 1 − e − (c m ) t v(t ) = c m
[
]
Jika : m = 68.100 gr g = 980 cm/dt2 c = 12.500 gr/dt maka : 12500 − t 980 × 68100 v (t ) = 1 − e 68100 12500
(
v(t ) = 5339 1 − e −0 ,18355 t
)
Ilustrasi Masalah Numerik 5500
v(t) (cm/dt) 0 1640 2777 3564 4109 4487 4749 5339
5000 4500 4000 3500 v(t)
t (dt) 0 2 4 6 8 10 12 ∞
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0
2
4
6 t
8
10
12
Ilustrasi Masalah Numerik Metode Numerik dv ∆v v(ti +1 ) − v(ti ) ≈ = dt ∆t ti +1 − ti v(ti +1 ) − v (ti ) c = g − v (ti ) ti +1 − ti m c v (ti +1 ) = v (ti ) + g − v(ti ) (ti +1 − ti ) m
Ilustrasi Masalah Numerik Model Matematika : v(ti +1 ) = v(ti ) + [980 − 0,18355 × v(ti )] (ti +1 − ti )
Pada saat t1 = 0, v(0) = 0 Pada saat t2 = 2 detik : v( 2) = 0 + [980 − 0,18355 × 0] (2 − 0 ) v( 2) = 1.960 cm/dt
Pada saat t3 = 4 detik :
v( 4) = 1960 + [980 − 0,18355 ×1960] (4 − 2 ) v( 4) = 3.200 cm/dt
Ilustrasi Masalah Numerik v(t) (cm/dt)
t (dt)
Metode Analisis
Metode Numerik
0 2 4 6 8 10 12 ∞
0 1640 2777 3564 4109 4487 4749 5339
0 1960 3200 3986 4482 4797 4996 5339
Ilustrasi Masalah Numerik 5500 5000 4500 4000
v(t)
3500 Metode Analisis Metode Numerik
3000 2500 2000 1500 1000 500 0
0
2
4
6 t
8
10
12
Angka Signifikan Angka signifikan adalah jumlah digit untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik. Contoh : • 0,00001845 = 1,845 x 10-5 4 angka signifikan • 0,0001845 = 1,845 x 10-4 4 angka signifikan • 0,001845 = 1,845 x 10-3 4 angka signifikan 3 angka signifikan • 4,53 x 104 • 4,530 x 104 4 angka signifikan 5 angka signifikan • 4,5300 x 104
Akurasi dan Presisi
(a)
(b)
(c)
(d) Kenaikan akurasi
Akurasi dan Presisi Nilai Presisi mengacu pd jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pd alat ukur. Contoh : jangka sorong lebih presisi drpd penggaris Nilai Akurasi mengacu pd dekatnya nilai pendekatan yg dihasilkan dengan nilai acuan / nilai eksak. Contoh : nilai eksak = 0,5 Toleransi = 10-4 nilai pendekatan = 0,500001 Akurat
Pendekatan dan Kesalahan Penyelesaian dari Metode Numerik hanya memberikan Nilai Pendekatan dari Metode Analisis/Eksak Ada Kesalahan (Error) Jika a : Nilai Eksak, â : Nilai Pendekatan dan ε : Kesalahan (Error), maka : ε=a–â a=â+ε
Pendekatan dan Kesalahan Ada 3 jenis kesalahan : 1. Kesalahan Perhitungan Kesalahan dr nilai data spt salah menyalin data, salah membaca skala, tidak mengerti data yg dikur. 2. Kesalahan Pembulatan (round of error) Mengabaikan bbrp angka terakhir. 3. Kesalahan Pemotongan (truncation error) Tidak melakukan perhitungan scr lengkap.
Pendekatan dan Kesalahan Kesalahan relatif (εr) : ε a − aˆ ε r = × 100% = × 100% a a Pada banyak kasus, kesalahan relatif tidak bisa dihitung karena nilai eksak tidak diketahui, sehingga kesalahan relatif dihitung berdasarkan nilai pendekatan sbb :
εa =
aˆ n − aˆ n −1 ×100% aˆ n
Contoh 1. Pengukuran panjang sebuah jembatan dan sebuah paku masing-masing didapatkan 9.999 cm dan 9 cm. Nilai eksak masing-masing adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitunglah kesalahan dan kesalahan relatif. Jawab : Jembatan Paku ε = 10000 – 9999 = 1 cm
εr =
1 ×100% = 0,01% 10000
ε = 10 – 9 = 1 cm
εr =
1 ×100% = 10% 10
Contoh 2. Nilai ex dapat dihitung berdasarkan deret Maclauirin sbb : e x = 1 + x +
x 2 x3 x 4 xn + + +L+ 2! 3! 4! n!
Hitunglah e0,5 berdasarkan deret tsb sampai dengan suku ke 4. Jika nilai eksak e0,5 = 1.648721271 hitunglah kesalahan relatifnya. Jawab : e 0,5 = 1 + 0,5 +
εr =
0,52 0,53 + = 1,645833333 2! 3!
1,648721271 - 1,645833333 × 100% = 0,175% 1,648721271
