Ley de Gauss

ley de Gauss

interpretación física

Ley de Gauss Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL

30 de mayo de 2011

ecuación de Poisson

ley de Gauss


enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3


ley de Gauss


enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3 entonces


ley de Gauss



enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3 entonces ZZ S

~r .N dS = 0 r3

si ~0 ∈ / int S

ley de Gauss



enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3 entonces ZZ S

ZZ S

~r .N dS = 0 r3 ~r .N dS = 4π r3

si ~0 ∈ / int S

si ~0 ∈ int S

ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X


ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que:


ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz =

z r


ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = ⇒ rx3 x =

z r


ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = 3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr r6

z r


ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = zr 3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr = r6

r 2 −3x 2 r5


ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = zr 3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr = r6 ~ = div X

r 2 −3x 2 r5 3r 2 −3(x 2 +y 2 +z 2 ) r5


ley de Gauss


demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = zr 3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr = r6 ~ = div X

r 2 −3x 2 r5 3r 2 −3(x 2 +y 2 +z 2 ) =0 r5


ley de Gauss


demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S


ley de Gauss


demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S entonces por Gauss:


ley de Gauss



demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S entonces por Gauss: ZZ

~ .N dS = X S

ZZZ

~ dV div X int S

ley de Gauss



demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S entonces por Gauss: ZZ

~ .N dS = X S

ZZZ

~ dV = 0 div X int S

ley de Gauss


demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S


ley de Gauss


demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S y sea ε > 0 tal que Bε (0) ⊂ int S


ley de Gauss


demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S y sea ε > 0 tal que Bε (0) ⊂ int S probaremos que


ley de Gauss



demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S y sea ε > 0 tal que Bε (0) ⊂ int S probaremos que ZZ

~ .N dS = X S

ZZ ∂Bε (0)

~ .N dS X

ley de Gauss demostración

demostración




demostración

realizamos un corte




demostración

vectores normales



ley de Gauss


demostración

demostración

x Gauss:

RR S1

~ .N dS = X

RRR V1

~ dV div X


ley de Gauss


demostración

demostración

x Gauss:

RR S1

~ .N dS = X

RRR V1

~ dV = 0 div X


ley de Gauss


demostración

demostración

RR RRR ~ .N dS = ~ x Gauss: S1 X V1 div X dV = 0 RR ~ S2 X .N dS = 0


ley de Gauss


demostración

demostración

RR RRR ~ .N dS = ~ x Gauss: S1 X V1 div X dV = 0 RR ~ S2 X .N dS = 0 RR RR ~ .N dS + ~ ⇒ S1 X S2 X .N dS = 0


ley de Gauss



demostración

demostración

RR S1 ∪S2

~ .N dS = X

RR

~

S∪−∂Bε (0) X .N

dS

ley de Gauss


demostración

demostración

RR ~ .N dS = ~ X S∪−∂Bε (0) X .N dS RR RR ~ .N dS − ~ ⇒ SX ∂Bε (0) X .N dS = 0 RR

S1 ∪S2


ley de Gauss



demostración

demostración para finalizar, calculemos

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

ley de Gauss



demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS =

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

ley de Gauss



demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS =

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

ley de Gauss



demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS =

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

ley de Gauss



demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS = =

1 A(∂Bε (0)) ε2

=

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

ley de Gauss



demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS = = =

1 A(∂Bε (0)) ε2 1 4πε2 ε2

=

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

ley de Gauss



demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS = = = ⇒

1 A(∂Bε (0)) ε2 1 4πε2 ε2

RR

~

∂Bε (0) X .N

=

ZZ S

~ .N dS = 4π X

dS

ley de Gauss


interpretación


carga eléctrica flujo eléctrico a través de la superficie


ley de Gauss



interpretación


potencial de una carga puntual q en ~0 ψ(x, y , z) =

q 4πr

ley de Gauss



interpretación



campo eléctrico correspondiente ~ = −∇ψ E

q 4πr

ley de Gauss



interpretación



q 4πr

campo eléctrico correspondiente ~ = −∇ψ = q ~r E 4π r 3

ley de Gauss


interpretación


RR S

~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N


ley de Gauss


interpretación


~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR

S


ley de Gauss


interpretación


~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR

S


ley de Gauss


interpretación


~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR RR q ~r ~ dS = ⇒ E.N 3 .N dS RR

S

S

S 4π r


ley de Gauss


interpretación


~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR RR q ~r ~ dS = ⇒ E.N 3 .N dS = q.χ(int S) RR

S

S

S 4π r


ley de Gauss



interpretación


~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR RR q ~r ~ dS = ⇒ E.N 3 .N dS = q.χ(int S) RR

S

S

S 4π r

observación ~ 6= ~0, sin embargo el flujo a aún en el caso 0 ∈ / int S, el campo E través de S es nulo.

ley de Gauss



interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S

ley de Gauss



interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ

ley de Gauss



interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ ~ se relaciona con ρ de esta entonces el campo eléctrico E manera:

ley de Gauss



interpretación


campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E

ley de Gauss



interpretación


campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E por el teorema de Gauss:

ley de Gauss



interpretación


campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E por el teorema de Gauss: ZZ S

~ dS = E.N

ZZZ ρ dV int S

ley de Gauss



interpretación



~ dS = E.N

ZZZ ρ dV int S

ley de Gauss



interpretación



~ dS = E.N

ZZZ ρ dV = Qtotal int S

ley de Gauss



interpretación


carga total carga total en el interior de una superficie=flujo saliente del campo eléctrico a través de la superficie

ley de Gauss



ρ densidad de carga sobre un abierto W


ley de Gauss



ρ densidad de carga sobre un abierto W potencial eléctrico en ~x :


ley de Gauss



ρ densidad de carga sobre un abierto W potencial eléctrico en ~x :

potencial eléctrico ψ(~x ) =

ZZZ W

ρ(~y ) dV 4πk~x − ~y k


ley de Gauss




probaremos primero:

fórmula ZZ

ZZZ ∇ψ.N dS = − ∂W

ρ dV W

ley de Gauss



pot. el.: ψ(~x ) =

ρ(~y ) ~ W k~x −~y k dV (y )

RRR


ley de Gauss



RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y )


ley de Gauss



RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y )


ley de Gauss




RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x )

ley de Gauss




RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini

ley de Gauss




RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini RR RRR ∂W ∇ψ.NdS = − W

~x −~y ρ(~(y )) RR ~ ~ 4π ( ∂W k~x −~y k3 dS(x ))dV (y )

ley de Gauss




RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini RR RRR ρ(~(y )) RR ∂W ∇ψ.NdS = − W 4π ( ∂W RR RRR ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV

~x −~y dS(~x ))dV (~y ) k~x −~y k3

ley de Gauss




RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini RR RRR ρ(~(y )) RR ∂W ∇ψ.NdS = − W 4π ( ∂W RR RRR √ ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV

~x −~y dS(~x ))dV (~y ) k~x −~y k3

ley de Gauss



ecuación de Poisson 4ψ = −ρ


ley de Gauss




fórmula anterior:

RR ∂W

∇ψ.N dS = −

RRR W

ρ dV

ley de Gauss



RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = W ∇ ψ dV


ley de Gauss



RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV


ley de Gauss



RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W


ley de Gauss



RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W como 4ψ y ρ son continuas


ley de Gauss



RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W como 4ψ y ρ son continuas por TVM para integrales:


ley de Gauss



RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W como 4ψ y ρ son continuas por TVM para integrales: 4ψ = −ρ
