LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 8 - Botime Pegi

Edmond LULJA Neritan BABAMUSTA

LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 8

BOTIME

BOTIME

Të gjitha të drejtat janë të rezervuara © Pegi 2012 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese “Pegi” sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi.

Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 [email protected] Sektori i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73 Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 [email protected]

PËRMBAJTJA I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI 5 I. 1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve 7 I. 2. Tri nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) 8 I. 3. Ndarja e lëndës në njësi mësimore 9 I. 4. Objektivat sipas krerëve në tre nivele II. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

31

II.1. Matematika si lëndë shkollore

31

II.2. Qëllimi, synimet dhe objektivat e përgjithshme të kurrikulit aktual të matematikës në arsimin e detyruar

32

II.3.

Rubrikat e programeve të matematikës

34

II.4. Programi i matematikës së klasës së tetë II.5. Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës

38 50

II.6. Metodat e mësimdhënies II. 7. Planifikimi i mësimit

59 63

II. 8. Mbi vlerësimin formues në matematikë në klasën 8 II.9. Mbi organizimin e punës në klasë

69 73

II.10. Problemat në matematikë

75

II. 11. Testet e arritjeve të nxënësve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës

86

II.12. Qëndrimi ndaj matematikës

94

III.

UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE 98

IV.

HORIZONTI I MËSUESIT 168

II.12. Metodika e trajtimit të koncepteve matematike

168

MATEMATIKA 8

5

I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 8 është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse . Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime. Së pari, programet e matematikës duke filluar nga klasa e parë fillore janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur i autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta është i ndarë në 15 kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës. Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave apo pohimeve. Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema apo fjali, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet! Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend apo përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt. Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi “zbulon”në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë. Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim. Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime.

6

LIBËR PËR MËSUESIN

Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur “më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri probleme të ndryshëm”tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla. Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim. Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, materiali i ri në tekst është i ndarë pikërisht në 120 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët sipas linjave). Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor”, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi për cakton për lëndën. Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë apo realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet. Së teti, objektivat e linjave i përmban programi. Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin. Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë

MATEMATIKA 8

7

dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit. Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to. Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme.

I.1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve Komponenti

Përshkrimi i komponentit

Niveli I-rë i arritjeve

Niveli i II-të i arritjeve

Niveli i III-të i arritjeve

Njohuritë matematike

Terminologjia dhe simbolika. Përkufizimet e koncepteve. Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla). Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit).

Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj

Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë.

Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme.

Aftësitë matematike

Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim.

Shfaqje e kufizuar e aftësive.

Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura.

Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur.

Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike

Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë.

Shfaqje të kufizuara.

Shfaqje solide.

Shfaqje të avancuara.

8

Qëndrimet dhe vlerat


Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave.

Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave.

Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore.

Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave.

I. 2. Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit; - me anën e një numri të kufizuar metodash; - me gabime ose me mangësi të shumta. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me ndihmën e mësuesit - që janë nga më të thjeshtat - me gabime ose mangësi Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - me ndihmën e mësuesit; - me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë; - duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit; - me anën e një numri jo të madh strategjish bazale; - me gabime ose me mangësi të pjesshme. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me një ndihmë të kufizuar të mësuesit; - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve; - me disa gabime ose mangësi të vogla. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur; - me një farë qartësie e saktësie në terminologji; - duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike.

MATEMATIKA 8

9

Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur; - duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të; - zakonisht me saktësi. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - në mënyrë të pavarur; - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur; - qartë dhe saktë; - duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike.

I.3 Ndarja e lëndës në njësi mësimore Kreu I. Thyesat dhe numrat dhjetorë 1.1. Thyesat dhe numrat dhjetorë. 1.2. Numra dhjetorë periodikë. 1.3. Përqindja. 1.4. Ushtrime. 1.5. Interesi bankar. Kreu II. Bashkësitë 2.1. Kuptimi i bashkësisë. 2.2. Bashkësia dhe ndryshorja. 2.3. Prerja e bashkësive. 2.4. Bashkimi i bashkësive. 2.5. Bashkësitë numerike. 2.6. Boshti numerik. 2.7. Ushtrime. Test për krerët I dhe II. Kreu III. Hyrje në gjeometri 3.1. Pika, drejtëza, segmenti. 3.2. Gjysmëdrejtëza, gjysmëplani, këndi. 3.3. Kongruenca e segmenteve dhe e këndeve. 3.4. Matja e segmenteve. (Gjatësia e segmentit). 3.5. Matja e këndeve. Këndet shtuese.

10


3.6. Përkufizimi. Aksioma. Teorema. 3.7. Kënde të kundërt në kulm. Drejtëza pingule. Kreu IV. Fuqitë 4.1. Fuqia e numrit. 4.2. Fuqia me eksponent zero. Fuqia me eksponent të plotë negativ. 4.3. Veprime me fuqitë. 4.4. Shkrimi shkencor i numrit. 4.5. Ushtrime. 4.6. Rrënja katrore. 4.7. Makina llogaritëse. 4.8. Makina llogaritëse(vazhdim). Test për kreun IV Kreu V. Kongruenca e trekëndëshave 5.1. Rasti I i kongruencës së trekëndëshave. 5.2. Veti të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. 5.3. Rasti II i kongruencës së trekëndëshave. 5.4. Teorema e anasjellë. 5.5. Rasti III i kongruencës së trekëndëshave. 5.6. Ushtrime. Test për kreun V Kreu VI. Shprehje me ndryshore 6.1. Shprehjet numerike. 6.2. Shprehja me ndryshore. Programi i saj. 6.3. Shprehje identike. Shndërrime identike të shprehjeve. 6.4. Shndërrime të thjeshta identike të shprehjeve. 6.5. Monomi. Reduktimi i monomeve të ngjashëm. 6.6. Polinomi. Shuma dhe ndryshesa e polinomeve. 6.7. Shumëzimi i monomit me një polinom. Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët. 6.8. Shumëzimi i dy polinomeve. 6.9. Faktorizimi me grupim. 6.10. Ushtrime. Test për kreun VI Kreu VII. Njohuri të tjera gjeometrike 7.1. Kriteret e paralelizmit të dy drejtëzave. 7.2. Veti të drejtëzave paralele. 7.3. Shuma e këndeve të trekëndëshit. 7.4. Krahasimi i brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit. 7.5. Veti të trekëndëshit kënddrejtë. 7.6. Kongruenca e trekëndëshave kënddrejtë.

MATEMATIKA 8

7.7. Rrethi. 7.8. Tangjentja ndaj rrethit. Veti të saj. 7.9. Ushtrime. Test për kreun VII Kreu VIII. Formula të rëndësishme 8.1. Katrori i binomit. 8.2. Faktorizime me anë të formulës së katrorit të binomit. 8.3. Diferenca e katrorëve. Faktorizime. 8.4. Shndërrime identike duke përdorur vetitë e thyesave. 8.5. Ushtrime për përdorimin e mënyrave të ndryshme të faktorizimit. 8.6. Ushtrime. Test për kreun VIII Kreu IX. Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore 9.1. Ekuacione të njëvlershëm me një ndryshore. 9.2. Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. 9.3. Ekuacione me ndryshore në emërues. 9.4. Problema. 9.5. Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. 9.6. Ushtrime. 9.7. Veçimi i një shkronje në një formulë. 9.8. Inekuacione me një ndryshore. Inekuacione të njëvlershëm. 9.9. Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Test për kreun IX Kreu X. Matjet 10.1. Gabimet në matjet. 10.2. Kuptimi për sipërfaqen. Sipërfaqja e drejtkëndëshit. 10.3. Sipërfaqja e trekëndëshit. 10.4. Teorema e Pitagorës. 10.5. Zbatime. 10.6. Gjatësia e harkut të rrethit. 10.7. Sipërfaqja e sektorit qarkor. 10.8. Ushtrime. Test për kreun X Kreu XI. Funksioni 11.1. Kuptimi i funksionit. 11.2. Grafiku i funksionit. 11.3. Funksioni linear. 11.4. Raste të veçanta të funksionit linear. 11.5. Studimi i funksionit linear.

11.6. Ushtrime.

11

12


a

11.7. Funksioni përpjesëtimor i zhdrejtë y= (a ≠ 0) . x 11.8. Funksioni y=x2. 2 11.9. Funksioni y=ax . Kreu XII. Shndërrimet gjeometrike 12.1. Koordinatat e pikës në plan. 12.2. Ushtrime. 12.3. Vektori dhe zhvendosja paralele. 12.4. Shuma e vektorëve. 12.5. Simetria qendrore. 12.6. Simetria boshtore. 12.7. Zbatime. 12.8. Rrotullimi. 12.9. Zgjerimi i figurave. 12.10. Ushtrime. Kreu XIII. Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore 13.1. Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore. 13.2. Sistemi i dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Zgjidhja grafike e tij. 13.3. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e zëvendësimit. 13.4. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e mbledhjes. 13.5. Ushtrime. 13.6. Problema. Test për kreun XIII Kreu XIV. Gjeometria në hapësirë 14.1. Trupat gjeometrikë. 14.2. Sipërfaqet e figurave gjeometrike. 14.3. Vëllimi i prizmit. 14.4. Vëllimi i piramidës. 14.5. Vëllimi i cilindrit. 14.6. Ushtrime. 14.7. Plani dhe drejtëza. 14.8. Gjendja e ndërsjellët e dy drejtëzave dhe dy planeve në hapësirë. 14.9. Drejtëza pingule me planin. 14.10. Ushtrime. Test për kreun XIV Kreu XV. Statistikë dhe probabilitet 15.1. Statistika. 15.2. Paraqitja grafike 1. 15.3. Paraqitja grafike 2.

MATEMATIKA 8

13

15.4. Mesataret. 15.5. Ushtrime. 15.6. Ushtrime. 15.7. Probabiliteti. 15.8. Ushtrime. 15.9. Probabiliteti statistikor. 15.10. Ushtrime.

I.4

Objektivat sipas krerëve në tre nivele

Kreu I: Thyesat dhe numrat dhjetorë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin sasi me anë të numrave dhjetorë e thyesave të zakonshme. • Të krahasojnë dy thyesa të thjeshta, duke i kthyer në emërues të përbashkët. • Të krahasojnë një thyesë të thjeshtë me një numër dhjetor. • Nëse është e mundur, të kthejnë thyesat e zakonshme në numra dhjetorë. • Kur thyesa e zakonshme kthehet në numër dhjetor periodik, të tregojnë periodën dhe paraperiodën. • Të shkruajnë një thyesë të zakonshme, të thjeshtë apo numër dhjetor, si përqindje e anasjellas. • Të zbatojnë algoritmet e veprimeve me thyesa të zakonshme, të thjeshta e numra dhjetorë. • Të gjejnë përqindjen e një numri të dhënë; të gjejnë numrin, kur njihet përqindja e tij. • Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë me një kllapë, me thyesa apo me numra dhjetorë. • Të njehsojnë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike pa kllapa, me numra dhjetorë. • Të zbatojnë njohuritë për thyesat e zakonshme, numrat dhjetorë e përqindjet, për zgjidhjen e problemave të thjeshta me 1-2 veprime, përfshirë edhe problema mbi interesin bankar. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kthejnë një numër dhjetor periodik në thyesë të zakonshme. • Të njehsojnë, me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike me disa veprime, me 1-2 kllapa me numra dhjetorë. • Të zbatojnë përqindjen në situata praktike. • Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit, në situata të thjeshta. • Të përdorin mënyra të thjeshta për:

14


a) parashikimin e rrumbullakosur të përfundimit; b) kontrollin e përfundimit. • Të zbatojnë njohuritë për thyesat, numrat dhjetorë e përqindjet, për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë saktë e me lehtësi algoritmet e veprimeve me thyesa e me numra dhjetorë, me disa mënyra, duke dhënë shpjegime të plota. • Të zgjidhin situata të reja me thyesa të zakonshme, numra dhjetorë e përqindje, me të dhëna të plota, të tepërta apo të mangëta. • Të përdorin trajtat e njëvlershme për kthimin e numrit në situata problemore. • Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit në situata praktike.

Kreu II: Bashkësitë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse, një grumbull objektesh formon bashkësi. • Të tregojnë përkatësinë e elementeve, për një bashkësi të dhënë, duke përdorur simbolet ∈; ∉. • Të japin nënbashkësi të një bashkësie të fundme, të dhënë. • Të paraqesin me diagram të Venit, një bashkësi të fundme. • Të japin me emërtim një bashkësi të fundme, dhënë me veti karakteristike. • Të dallojnë nëse dy bashkësi të fundme, dhënë me emërtim janë apo jo të barabarta. • Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive të fundme, dhënë me emërtim. • Të përdorin saktë simbolet N, Z, Q. • Të paraqesin përfshirjet për to me diagram të Venit. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë, në raste të thjeshta, vetinë karakteristike të bashkësive të fundme, dhënë me emërtim. • Të përshkruajnë kuptimin e ndryshores. • Të lexojnë shënime të trajtës A = {x ∈ N / x < 5}. • Të dallojnë nëse janë të barabarta dy bashkësi të fundme, dhënë me veti karakteristike. • Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive të fundme, të dhëna me veti karakteristike. • Të tregojnë nënbashkësi për një bashkësi të pafundme. • Të zgjidhin në Q ekuacione të trajtës (x-a)(x-b)=0, duke shkruar bashkësinë e rrënjëve. • Të përdorin njohuritë, për prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive, në situata të thjeshta të simuluara.

MATEMATIKA 8

15

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë në trajtën A = {x ∈ E / x gëzon vetinë p(x)}, bashkësi të dhëna me mënyra të tjera. • Të përdorin kuptimin e marrëdhënieve ndërmjet bashkësive (barazimi, përfshirja, prerja, bashkimi), në situata problemore, praktike apo të simuluara.

Kreu III: Hyrje në gjeometri Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përfytyrojnë figurat si bashkësi pikash. • Të shprehin me fjalë vetitë themelore të drejtëzës. • Të dallojnë radhitjen e tri pikave në drejtëz. • Të përdorin saktë shënimin [AB] për segmentin. • Të dallojnë gjysmëdrejtëza plotësuese në një drejtëz. • Të lexojnë e të shënojnë në mënyra të ndryshme një kënd. • Të dallojnë, në një situatë të dhënë, llojet e këndeve (afërndenjës, të bashkëmbështetur, të shtrirë, të drejtë, të kundërt në kulm). • Të dallojnë në një bashkësi të dhënë figurash të thjeshta, figura kongruente (në veçanti, segmente dhe kënde). • Të ndërtojnë segment kongruent me një segment të dhënë. • Të ndërtojnë kënd kongruent me një kënd të dhënë. • Të matin me përafërsi të dhënë, gjatësinë e një segmenti. ∧

• Të përdorin saktë shënimin AOB ose ∠AOB, për masën e këndit. • Të gjejnë masën e këndit me raportor. • Të dallojnë që pika, drejtëza, plani janë kuptime që nuk përkufizohen. • Të dallojnë që aksiomat nuk vërtetohen. • Të formulojnë disa aksioma të thjeshta; të formulojnë disa teorema të thjeshta. • Në teoremat e formuluara në trajtën standarde “në qoftë se p, atëherë q”, të dallojnë kushtin dhe përfundimin. • Të përdorin teoremën për masat e këndeve të kundërt në kulm, në raste shumë të thjeshta. • Të ndërtojnë me mjete dy drejtëza pingule. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë vetitë themelore të figurave më të thjeshta gjeometrike dhe t’i përdorin ato në situata problemore të thjeshta. • Të vizatojnë me vegla, figurat më të thjeshta gjeometrike, kur janë dhënë elemente

16


përcaktuese të tyre. • Të japin kuptimin e masës së segmentit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj. • Të japin kuptimin e masës së këndit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj. • Të përshkruajnë kuptimin e aksiomës dhe atë të teoremës. • Të riprodhojnë vërtetimin për disa teorema të thjeshta. (si ajo për këndet e kundërt në kulm). • Të japin disa përkufizime kuptimesh të thjeshta. • Ndër fjalitë e shqyrtuara matematike, të dallojnë aksiomat nga teoremat. • Të formulojnë veti të thjeshta të drejtëzave pingule dhe t’i përdorin në raste të thjeshta. • Të zbulojnë fjali matematike me anë matjesh direkte dhe t’i vërtetojnë ato. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbulojnë veti për figurat më të thjeshta gjeometrike dhe t’i vërtetojnë ato, në bazë të vetive të njohura. • Të përdorin vetitë e njohura të figurave të thjeshta gjeometrike për zgjidhjen e problemave, me njehsim apo me vërtetim. • Të sjellin teoremat me formulime të ndryshme në trajtën standard “në qoftë se p, atëherë q”.

Kreu IV: Fuqitë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin saktë termat fuqi, bazë, eksponent në shkrimin dhe leximin e një fuqie. • Të gjejnë fuqinë me eksponent natyror e të plotë të një numri racional të thjeshtë, të dhënë. • Të përcaktojnë shenjën e fuqive me eksponent natyrorë të numrave negativë. • Të përdorin lirisht marrëveshjet për a 0 dhe a − n në njehsime. • Të zbatojnë pesë vetitë e fuqive me eksponent të plotë, në njehsime konkrete të drejtpërdrejta. • Të shkruajnë numrat dhjetorë në trajtën standarde dhe anasjellas. • Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike të thjeshta, me dy-tre veprime, që përmbajnë fuqi, duke respektuar radhën e veprimeve. • Të gjejnë me afërsi rrënjën katrore të numrave natyrorë apo dhjetorë, me anë të makinës llogaritëse. • Të përdorin lirisht makinën llogaritëse për njehsimin e vlerës së shprehjes numerike të thjeshtë, me deri në një kllapë, me katër veprimet aritmetike dhe me fuqi. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin me fjalë e shkronja vetitë e fuqive me eksponentë të plotë.

MATEMATIKA 8

17

• T’i përdorin këto veti për shndërrime të thjeshta të shprehjeve dhe për njehsime. • Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike me 1-2 kllapa dhe me fuqi, duke respektuar radhën e veprimeve. • Të kryejnë veprime aritmetike me numra, të dhënë në trajtën standard . • Të përdorin makinën llogaritëse për llogaritjen e vlerës së shprehjeve numerike të thjeshta, me një deri dy kllapa, me veprime aritmetike dhe të ngritjes në fuqi. • Të shkruajnë masa të madhësive fizike konkrete, në trajtën standard . • Të përdorin kuptimin e fuqisë dhe të rrënjës katrore për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë disa nga vetitë e fuqive me eksponentë negativë. • Të kryejnë veprime me fuqitë në situata problemore, duke zbatuar vetitë. • Të përdorin vetitë e fuqive me eksponent të plotë, për vërtetime identitetesh shkronjorë.

Kreu V: Kongruenca e trekëndëshave Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë me fjalë tre rastet e kongruencës së trekëndëshave. • Në dy trekëndësha, që janë kongruentë (sipas ndonjë rasti), të shkruajnë barazimin e elementeve kongruente. • Të zbulojnë kongruencën e dy trekëndëshave, me anë të matjeve të drejtpërdrejta. • Të përdorin në raste të drejtpërdrejta faktin që, në trekëndësha kongruentë përballë brinjëve kongruente ndodhen kënde kongruentë e anasjellas. • Të ndërtojnë trekëndëshin në rastin BKB, KBK, BBB. • Të bëjnë zbatime të drejtpërdrejta të teoremave të shqyrtuara, në raste shumë të thjeshtë, kur plotësohen kushtet e tyre. • Të formulojnë, për trekëndëshin dybrinjënjëshëm, vetinë për këndet e bazës dhe vetinë për mesoren e bazës. • T’i përdorin këto dy veti në raste të drejtpërdrejta. • Të formulojnë fjalinë e anasjellë të fjalisë së dhënë, në trajtën standard “në qoftë se p, atëherë q”. • Të japin shembuj fjalish të anasjella, që nuk janë teorema. • Të tregojnë, me anë të një kundërshembulli, fjali që nuk janë teorema. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave, për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave. • Të vërtetojnë dy vetitë për trekëndëshin dybrinjënjëshëm.

18


• Për teoremat e shqyrtuara, të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella. • T’i përdorin tre rastet e kongruencës së trekëndëshave në problema të thjeshta njehsimi e vërtetimi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbatojnë teoremat për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave, në situata të reja, praktike apo të simuluara. • Të zbulojnë veti për brinjët e këndet në figura, që përbëhen nga trekëndësha. • T’i vërtetojnë këto veti, në bazë të rasteve të kongruencës së trekëndëshave. • Të shqyrtojnë kongruencën e trekëndëshave, që kanë nga dy brinjë e një kënd përkatësisht kongruentë. • Të nxjerrin raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë.

Kreu VI: Shprehje me ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike të thjeshtë, me 1-2 kllapa, me numra racionalë të thjeshtë, duke respektuar radhën e veprimeve. • Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë (raport monomesh apo polinomesh të rregullt), me një ndryshore, për vlera të thjeshta të ndryshores. • Të kontrollojnë nëse një vlerë e caktuar e ndryshores është e palejuar, në një shprehje të tillë. • Të japin shembuj shprehjesh identike dhe shprehjesh jo identike në Q. • Të përdorin vetinë e përdasimit, për të shndërruar shprehje të trajtës . • Të faktorizojnë shprehje të trajtës . • Të përdorin vetitë e fuqive për të sjellë monomin në trajtë të rregullt. • Të dallojnë nëse dy monome janë të ngjashëm. • Të bëjnë reduktimet në një shumë algjebrike, me 1-2 lloje monomesh të ngjashëm. • Të gjejnë shumën dhe ndryshesën e dy trinomeve, me 1-2 ndryshore të trajtës së rregullt. • Të kryejnë shumëzimin e monomit me një polinom të trajtës së rregullt. • Të faktorizojnë, me nxjerrje në dukje, shumën dhe ndryshesën e dy monomeve të thjeshtë. • Të kryejnë shumëzimin e dy binomeve apo të një binomi me një trinom të trajtës së rregullt, me një apo dy ndryshore. • Të bëjnë faktorizim me grupim, në raste shumë të thjeshta, si p.sh. 3x+3y+ax+ay. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin ndryshoren dhe shprehjen me ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike, në situata të thjeshta.

MATEMATIKA 8

19

• Të gjejnë vlerën e palejuar të ndryshores në shprehje të trajtës , ku P(x) është polinom i rregullt. • Të formulojnë përkufizimin e dy shprehjeve identike në E. • Të japin me shkronja vetitë e veprimeve dhe të argumentojnë, në bazë të tyre, shndërrime të thjeshta identike në Q. • Të reduktojnë një shumë algjebrike, me dy deri tri lloje monomesh të ngjashëm të trajtës së rregullt. • Të bëjnë reduktimin e polinomit me një apo dy ndryshore, duke e kthyer atë më parë në trajtë të rregullt. • Të gjejnë shumën apo ndryshesën e dy polinomeve me dy ndryshore. • Të formulojnë rregullën për gjetjen e faktorit të përbashkët që nxirret në dukje. • Ta përdorin atë për të faktorizuar, me nxjerrje në dukje, një polinom të rregullt, me një deri dy ndryshore. • Të kryejnë shumëzimin e një binomi me një trinom (me një deri dy ndryshore), duke bërë edhe reduktimin e kufizave të ngjashme. • Të bëjnë faktorizim me grupim në raste të thjeshta, kur ka edhe fuqi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të bëjnë shumëzimin e dy polinomeve çfarëdo, me një deri dy ndryshore, duke bërë edhe reduktimin e kufizave të ngjashme. • Të përdorin faktorizimin me grupim, në raste komplekse, duke bërë shndërrime të përshtatshme të polinomit fillestar. • Të vërtetojnë identitete të thjeshta polinomesh me një deri dy ndryshore.

Kreu VII: Njohuri të tjera gjeometrike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste të drejtpërdrejta, teoremën mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës (apo ndërrues të brendshëm), të formuar nga prerja e dy drejtëzave paralele me një të tretë. • Kur dy drejtëza paralele priten me një të tretë, të gjejnë masat e këndeve, duke njohur njërin prej tyre. • Të dallojnë paralelizmin (ose jo) të dy drejtëzave paralele, duke krahasuar dy kënde, të formuar nga prerja e tyre me një drejtëz të tretë. • Të formulojnë aksiomën e paraleleve. • Të ndërtojnë drejtëza paralele, duke përdorur vizoren dhe trekëndëshin e vizatimit. • Të përdorin në raste shumë të thjeshta, teoremën mbi shumën e masave të këndeve të trekëndëshit.

20


• Të krahasojnë dy brinjë (dy kënde) të trekëndëshit, kur njihen masat e dy këndeve (dy brinjëve) përballë tyre. • Të dallojnë llojet e trekëndëshave sipas brinjëve (sipas këndeve) dhe të listojnë veti të thjeshta të tyre. • Të listojnë e të përdorin, në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë. • Të kontrollojnë nëse, tri segmente me masa të dhëna mund të formojnë trekëndësh. • Të zbatojnë në raste të drejtpërdrejta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë. • Të tregojnë në një rreth korda, diametra, tangjente. • Të ndërtojnë, me mjete, tangjenten ndaj rrethit në një pikë të tij. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste të thjeshta, kushtet e mjaftueshme për paralelizmin e dy drejtëzave, prerë nga një e tretë. • Të ndërtojnë, nga një pikë jashtë drejtëzës, paralelen me të. • Të riprodhojnë vërtetimin mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës (apo ndërrues të brendshëm), të dy drejtëzave paralele, prerë nga një e tretë. • T’i përdorin këto teorema në problema të thjeshta njehsimi. • Të vërtetojnë teoremën mbi shumën e masave të këndeve të trekëndëshit dhe ta përdorin në problema të thjeshta. • Të bëjnë krahasimin e këndeve (apo brinjëve) të trekëndëshit, në raste të thjeshta, por jo të drejtpërdrejta. • Të përdorin në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë. • Të riprodhojnë teoremën për katetin përballë këndit 300 dhe ta përdorin në problema të thjeshta. • Të formulojnë, me fjalë e shkronja, mosbarazimin e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta. • Të zbatojnë në problema të thjeshta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë. • Të vërtetojnë vetinë e drejtëzës që kalon nga qendra e rrethit, pingule me një kordë, e ta përdorin në problema të thjeshta. • Të vërtetojnë teoremën mbi segmentet e tangjenteve, të hequra ndaj rrethit nga një pikë jashtë tij dhe ta përdorin në problema të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë teorema të anasjella të disa teoremave të shqyrtuara (p.sh. për rastin kur kateti është sa gjysma e hipotenuzës). • Të vërtetojnë teoremat, për rastet e kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. • Të zbulojnë veti të reja për brinjët dhe këndet, në trekëndësha dhe në figura, që ndahen në trekëndësha dhe t’i vërtetojnë ato në bazë të vetive të njohura. • Të përdorin vetitë e njohura të figurave gjeometrike, për zgjidhjen e problemave me njehsim apo vërtetim, në situata të reja.

MATEMATIKA 8

21

Kreu VIII: Formula të rëndësishme Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë formulat për (a ± b ) ; (a-b)(a+b). • T’i zbatojnë ato në raste të thjeshta si: 2

; ; (ax+by)(ax-by). • Të thjeshtojnë dy thyesa, kur gjymtyrët janë monome të rregullt, me një deri dy ndryshore. • Të faktorizojnë shprehje të trajtës: ; a2-b2. • Të faktorizojnë shprehje të trajtës: ax2-ay2; ax2+2ax+a. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë formulat për (a ± b ) ; (a-b)(a+b). • T’i përdorin këto formula për rastin e shumës (ndryshesës) së dy monomeve të rregullt, me një deri dy ndryshore. • Të vërtetojnë identitete të thjeshta, duke përdorur formulat. • Të thjeshtojnë thyesa racionale të thjeshta, duke bërë më parë faktorizime sipas këtyre formulave, në numërues dhe në emërues. • Të faktorizojnë polinome me një deri dy ndryshore, duke bërë nxjerrje në dukje të faktorit të përbashkët e pastaj përdorim të këtyre formulave. • Të kryejnë faktorizime të thjeshta me grupim, në raste si: ax3+ax2+ax+a. 2

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë faktorizime me grupim në raste jo standarde, pas shndërrimesh të përshtatshme. • Të kryejnë faktorizime, ku kombinohen: nxjerrja në dukje, formulat e rëndësishme, faktorizimi me grupim. • Të zbërthejnë, kur është e mundur, trinomin e fuqisë së dytë me një ndryshore në faktorë linearë. • Të vërtetojnë identitete në situata jo standarde.

Kreu IX: Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

22


• Të dallojnë nëse, një vlerë e thjeshtë e ndryshores është rrënjë për ekuacionin ax+b=cx+d; ax2+bx+c=0. • Të formulojnë tri teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore në Q. • T’i përdorin këto teorema në raste shumë të thjeshta. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave ax+b=cx+d; , me numra racionalë të thjeshtë. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave ax2=b; (x-a)(x-b)=0; ax2+bx=0, pa përdorur formulën. • Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues të trajtave

, me koeficient

të plotë, duke përjashtuar vlerat e ndryshores që janë të palejuara. • Të njehsojnë dallorin për ekuacionin ax2+bx+c=0. • Të zgjidhin ekuacionin e fuqisë së dytë të trajtës standard ax2+bx+c=0, me koeficient të plotë dhe a>0. • Të veçojnë njërën nga shkronjat në formulat ax+by=c; y=ax2 (a>0). • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, teoremat për shndërrimet e njëvlershme të inekuacioneve me një ndryshore në Q. • Në veçanti, të ndërrojnë kahun në këta inekuacione, kur ndërrojnë shenjat e të dyja anëve. • Të zgjidhin inekuacione të trajtave ax+b>cx+d, me koeficientë të plotë. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e ekuacioneve të njëvlershëm në E. • Të përdorin teoremat mbi njëvlershmërinë, për të sjellë ekuacionet e thjeshtë, me një ndryshore, në trajtat ax=b, ax2+bx+c=0, duke argumentuar shndërrimet. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën (ax+b)(cx+d)=0, me shndërrime të thjeshta. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë që sillen në trajtat

;

, kur emëruesi i përbashkët gjendet drejtpërdrejtë. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën ax2+bx+c=0, me shndërrime të njëvlershme të thjeshta. • Të shkruajnë dhe të bëjnë interpretime të thjeshta të formulës, për rrënjët e ekuacionit ax2+bx+c=0. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë të fuqisë së dytë, me koeficientë shkronjorë (p.sh. 3x2-7ax+2a2=0). • Të zgjidhin problema të thjeshta, që çojnë në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore. • Të japin përkufizimin e zgjidhjes së inekuacioneve me një ndryshore. • Të japin përkufizimin e dy inekuacioneve (me një ndryshore) të njëvlershëm në E.

MATEMATIKA 8

23

• Të formulojnë teoremat për njëvlershmërinë e inekuacioneve, me një ndryshore në Q. • T’i përdorin këto teorema për të bërë shndërrime të thjeshta të njëvlershme në inekuacione, duke argumentuar. • Të zgjidhin inekuacione të thjeshta, që sillen në trajtën ax+b>cx+d, me shndërrime të njëvlershme. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në ekuacione të njëvlershëm. • Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në inekuacione të njëvlershëm. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën f(x)·g(x)=0, ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë, me një ndryshore. • Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues, që sillen në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë, kur për gjetjen e emëruesit të përbashkët duhen bërë faktorizime. • Të zgjidhin problema nga situata të reja apo komplekse, me anë të ekuacioneve të fuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore. • Të zgjidhin problema të thjeshta që çojnë në inekuacione të trajtës ax+b>cx+d.

Kreu X: Matjet Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin skemën, për kalimin nga një njësi matëse e gjatësisë (apo sipërfaqes) në një tjetër. • Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrin dhe sipërfaqen e disa figurave të thjeshta, duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta apo duke i matur ato. • Të përdorin mesataren aritmetike të vlerave të matura, si përafrim për vlerën e saktë të madhësisë. • Të shprehin me fjalë e shkronja formulën për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në problema të thjeshta njehsimi. • Të formulojnë teoremën e Pitagorës; të gjejnë në trekëndëshin kënddrejtë njërën brinjë, kur njihen dy të tjerat. • Të kontrollojnë, me anë të teoremës së anasjellë të Pitagorës, nëse një trekëndësh me tri brinjët e dhëna është kënddrejtë. • Të gjejnë diagonalen e katrorit, me brinjë të dhënë e anasjellas. • Të gjejnë lartësinë e trekëndëshit barabrinjës, me brinjë të dhënë e anasjellas. • Të shkruajnë e të përdorin, në raste direkte, formulën për gjatësinë e harkut  = dhe atë për sipërfaqen e sektorit qarkor S=

π R2n 360

.

π Rn 180

• Të gjejnë në këto formula vlerën e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e dy të tjerave.

24


Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrat dhe sipërfaqet e disa figurave, duke i ndarë në figura të thjeshta. • Të njehsojnë perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre figurave, kur të dhënat nuk jepen të gjitha drejtpërdrejtë. • Të përdorin formulat për perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre figurave, për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim. • Të nxjerrin me arsyetim disa nga formulat. • Të japin kuptimin për masën e sipërfaqes. • Të vërtetojnë formulën S=a·b, për sipërfaqen e drejtkëndëshit, në rastin kur a, b janë numra të plotë dhe ta përdorin atë në problema të thjeshta. • Të nxjerrin formulën S=

b⋅h , për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në 2

problema të thjeshta. • Të shprehin sipërfaqen e trekëndëshit në dy mënyra, për të gjetur lartësitë e tij. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës së Pitagorës; ta përdorin këtë teoremë për zgjidhjen e problemave të thjeshta. • Të zgjidhin trekëndëshin kënddrejtë me një kënd 300. • Të vërtetojnë formulat për diagonalen e katrorit dhe për lartësinë e trekëndëshit barabrinjës. • Të nxjerrin me argumentim, formulat për gjatësinë e harkut dhe për sipërfaqen e sektorit qarkor. • T’i përdorin këto formula për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin përafrimin gjatë matjeve, në situata të reja problemore. • Të përdorin formulat për perimetrat dhe për sipërfaqet e figurave të thjeshta, në situata të reja problemore. • Të nxjerrin me vërtetim formula të reja nga ato të njohurat.

Kreu XI: Funksioni Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse çiftimi i dy bashkësive të fundme, dhënë me diagram shigjetor, tabelë apo grafik është funksion. • Për një funksion të dhënë me diagram shigjetor, tabelë apo grafik, të shkruajnë të gjithë

MATEMATIKA 8

25

çiftet e renditur (fytyrë; shëmbëllim). • Për një funksion me grafik të dhënë, të gjejnë për çdo vlerë të x, vlerën përgjegjëse të y dhe anasjellas. • Për funksione linearë apo të fuqisë së dytë, të gjejnë vlerën e tij për një vlerë të thjeshtë të ndryshores dhe të ndërtojnë pikën përgjegjëse të grafikut. • Të dallojnë, nëse pika me koordinata të dhëna ndodhet në grafikun e funksionit linear apo të fuqisë së dytë. • Të tregojnë trajtën që ka grafiku i funksionit linear dhe ta ndërtojnë atë, duke marrë dy pika. • Të gjejnë pikat, ku grafiku i funksionit y=ax+b pret boshtin Ox (boshtin Oy). • Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y=

k . x

• Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y=ax2. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit linear y=ax+b, në rastet e veçanta (kur a=0 ose b=0). Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Për një funksion të dhënë grafikisht, të gjejnë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave. • Të japin përkufizimin e grafikut të funksionit.

k

• Për funksionet y=kx, y=x+k, y= , të gjejnë vlerën e k, kur është dhënë tabela ose x grafiku. • Të paraqesin me mënyra të tjera një funksion linear, të dhënë me fjalë. • Të gjykojnë, sipas shenjës së parametrave, për pozicionin që zë grafiku i funksionit y=ax+b, y=

k , y=ax2. x

• Të listojnë veti të grafikut të funksionit y=x2, duke i argumentuar ato. • Të zgjidhin problema të thjeshta që modelohen matematikisht, me anë të funksioneve y=ax+b, y=ax2, y =

k . x

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin me formulë funksione lineare apo të trajtës y=ax2, të dhënë me mënyra të reja.

k

• Të ndërtojnë grafikët e funksioneve y=ax+b, y = , y=ax2, kur bashkësia e përcaktimit x është nënbashkësi e Q. 2 • Të listojnë veti të grafikut të funksionit y=ax , duke i argumentuar ato. • Të zgjidhin situata të reja problemore, që modelohen matematikisht me anë të

26


funksioneve y=ax+b, y=ax2, y=

k . x

Kreu XII: Shndërrimet gjeometrike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë koordinatat e një pike në planin xOy; të ndërtojnë pikën në planin xOy, kur njihen koordinatat e saj (numra të thjeshtë). • Të lexojnë e të shkruajnë drejt koordinatat e vektorit. • Të gjejnë koordinatat e shumës së dy vektorëve. • Të japin koordinatat e shëmbëllimit të një pike; të gjejnë koordinatat e fytyrës, kur njihen ato të shëmbëllimit: →

a) në një zhvendosje paralele me vektor të dhënë a ; b) në një zgjerim (O, k) të dhënë; c) në simetrinë ndaj origjinës O. d) në simetrinë me bosht Ox (Oy).

e) në rrotullimin (0, α ) . • Të gjejnë shëmbëllimin e një segmenti në shndërrimet e sipërpërmendura. • Të dallojnë qendra simetrie (bosht simetrie) në figura shumë të thjeshta. • Të vizatojnë figura që kanë (apo nuk kanë) qendër simetrie (bosht simetrie). • Të japin përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe të përdorin vetinë e saj në raste direkte. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin kuptimin e vektorit dhe të koordinatave të tij. • Të ndërtojnë shëmbëllimin e një shumëkëndëshi: →

a) në zhvendosjen paralele të dhënë me vektor a ; b) në zgjerimin e dhënë (0, k). c) në simetrinë ndaj origjinës O; d) në simetrinë me bosht Ox (Oy);

e) në rrotullimin e dhënë (0, α ) . • Kur njohin fytyrën dhe shëmbëllimin e saj, sipas llojit të shndërrimit të kryer, të gjejnë: →

a) vektorin a të zhvendosjes paralele; b) qendrën e simetrisë; c) boshtin e simetrisë. • Të plotësojnë figurën që ka bosht simetrie (qendër simetrie), kur njohin gjysmën e saj.

MATEMATIKA 8

27

• Të vërtetojnë që pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për paralelogramin. • Të vërtetojnë që lartësia e trekëndëshit dybrinjënjishëm është bosht simetrie për të. • Të vërtetojnë teoremat mbi shëmbëllimet e një segmenti: →

a) në zhvendosjen paralele me një vektor a ; b) në simetrinë me qendër O; c) në zgjerimin (O, k) (k>0); • Të vërtetojnë teoremën mbi vijën e mesme të trekëndëshit. • Ta përdorin këtë teoremë për zgjidhjen e problemave të thjeshta, me njehsim. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të tregojnë veti të figurave të thjeshta gjeometrike, që ruhen gjatë zhvendosjes paralele, simetrisë qendrore, simetrisë boshtore, rrotullimit (O, k). • Të vërtetojnë teoremën mbi shëmbëllimin e një segmenti: a) në simetrinë me bosht d; b) në rrotullimin (O, k). • Të shqyrtojnë zgjerime me koeficientë negativë; të vërtetojnë e të zbatojnë veti të tyre. • Të përdorin vetitë e shndërrimeve gjeometrike të studiuara, në situata problemore. • Të përdorin vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit në problema me vërtetim apo në situata të reja.

Kreu XIII: Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën e binomit ax+by, për vlera të thjeshta të ndryshores. • Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për ekuacionin ax+by=c. • Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për një sistem dy ekuacionesh, të fuqisë së parë, me dy ndryshore. • Të japin disa zgjidhje për ekuacionin ax+by=c. • Të përdorin faktin që grafiku i ekuacionit ax+by=c është drejtëz dhe ta ndërtojnë atë me dy pika. • Të ndërtojnë drejtëzat me ekuacione të trajtës x=a (y=b). • Të zgjidhin një sistem dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me dy ndryshore, në qoftë se; a) Njëri nga ekuacionet ka trajtën y=ax+b (x=cy+d). b) Koeficientët pranë x (pranë y), në ekuacionet e sistemit janë numra të kundërt. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

28


• Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një ekuacioni me dy ndryshore. • Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një sistemi dy ekuacionesh të tillë. • Të zgjidhin sistemin e dy ekuacioneve të thjeshtë, të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore, me mënyrën grafike. • Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e zëvendësimit. • Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e mbledhjes. • Të përdorin barazimet me dy ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike, në situata të thjeshta. • Të zgjidhin problema të thjeshta, me anë të sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë, me dy ndryshore. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin sisteme, që kthehen në sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me zëvendësim të ndryshoreve. • Të zgjidhin grafikisht inekuacione të trajtës x>a (y0 dhe a>0). 5. Zgjidhni inekuacionin. a) 2x-4>6; b) -2x+5>3 në Q; në N. 6. Zgjidhni ekuacionin (2x-1)(3x-1)-6x(x-5)=0. 7. Zgjidhni ekuacionin

x = x+5

.

(2 pikë) (2 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (2 pikë) (3 pikë) (4 pikë)

8. A mund t’i vendosim 158 mollë në tre shporta, në mënyrë që tek shporta e parë të ketë 5 mollë më pak se tek e dyta dhe 5 mollë më shumë se tek e treta? (4 pikë) 9. Zgjidhni ekuacionin x3-x=0. (3 pikë) 10. A ka zgjidhje inekuacioni x2-6x+90; -të veçojnë njërën nga shkronjat në formulat ax+by=c apo y=ax2 ; -të zgjidhin në Q inekuacione të trajtës ax+b>cx+d

`

II.12. Qëndrimi ndaj matematikës

12.1 Për një qëndrim pozitiv dhe përfshirës ndaj orës së mësimit të matematikës

Ora e mësimit është njësia më e vogël kohore e procesit mësimor. Organizimi e menaxhimi i saj kanë ndikim të drejtpërdrejtë në procesin mësimor. Të nxënit është i lidhur me

MATEMATIKA 8

95

qëndrimin e nxënësit ndaj lëndës që fillon që nga qëndrimi i tij ndaj orës së mësimit. Në mësimin e matematikës kjo e fundit është e pandarë nga veprimtaritë që bëhen në klasë. Mësuesit përpiqen që nxënësit të kenë një qëndrim pozitiv ndaj orës së matematikës, e të ndjejnë kënaqësi. Kjo e lehtëson mjaft punën dhe bashkëpunimin ndërmjet mësuesit dhe nxënësve. Duke e parë problemin në këtë këndvështrim, po përmendim disa faktorë që ndikojnë pozitivisht: Së pari, siç përmendëm më sipër, kënaqësia që fitohet nga zgjidhja e problemave; Së dyti, do të ishte mjedisi i krijuar, sepse një mjedis me nxënës dashamirës ndaj matematikës, ndikon pozitivisht ndaj kujtdo që bëhet pjesë e atij mjedisi; Së treti, vlen të përmendim edhe veprimtaritë, të cilat bazohen në mendimin e pavarur dhe zgjedhjen e lirë në të cilat, nga përvojat, është vënë re që nxënësit kënaqen dhe përfshihen tërësisht; Së katërti, sensi i humorit të mësuesit është një tjetër faktor që e bën mësimin të këndshëm dhe që nuk mund të lihet pa u përmendur. Nga përvojat e mësuesve dhe nga biseda të ndryshme të bëra me nxënës po theksojmë disa sugjerime për mësuesit e matematikës: • Përpiquni të bëni diçka të re në orën e mësimit; • Përdorni lojën si mjet didaktik; • I vini nxënësit të bëjnë veprimtari praktike në funksion të konceptit përkatës; • Zbatoni metodën e vrojtimit për të arritur në përfundimet që doni; • Përdorni shpesh punën në grupe, sepse nxënësit ndjejnë kënaqësi duke dëgjuar mendimet e idetë e njëri-tjetrit; • U ofroni nxënësve zgjidhje të fjalëkryqeve, rebuseve gjithnjë në funksion të objektivit mësimor; • Përdorni garën midis grupeve si formë nxitëse dhe zbavitëse; • Gjatë seancave me zgjidhje problemash, diskutoni me nxënësit, ose i vini nxënësit të diskutojnë ndërmjet tyre për zgjidhjet e propozuara. Secili mësues, gjatë përdorimit të sugjerimeve të mësipërme, sjell individualitetin e tij si në zgjedhjen që bën, ashtu edhe në mënyrën se si i zbaton ato në orën e mësimit. Duhet të synohet që qëndrimi pozitiv ndaj një ore mësimi të matematikës të mos mbetet një dukuri e veçuar. Duke e shpërndarë atë edhe në orë të tjera, inkurajojmë dashamirësinë ndaj lëndës së matematikës në tërësi.

12.2 Jo vetëm kënaqësi, por edhe interes Në çështjen e mësipërme trajtuam kënaqësinë që mund të ndjejë nxënësi në orën e matematikës dhe, në përgjithësi, duke nxënë matematikën. Megjithatë, ndërsa kënaqësia është e rëndësishme, akoma më e rëndësishme është të inkurajohet interesi për matematikën. Në një orë matematike, nxënësi mund të ndjejë kënaqësi nga ndonjë prej arsyeve të mësipërme, por mund të ndodhë që kjo të jetë e përkohshme. Ajo për të cilën duhet të përpiqemi, si mësues, është që nxënësi të merret me dëshirë me matematikën, për të arritur qëllimin që i ka vënë vetes. Mjetet dhe mënyrat për të arritur këtë qëllim janë një sintezë e atyre të përmendura në çështjet e mësipërme.

96


12.3 Nxënësi mund të vetë nxitet duke u ndërgjegjësuar për ecurinë e tij Çdo njeri duhet të jetë i përgjegjshëm për veten e tij. Shkolla duhet të luajë rolin e saj në këtë drejtim. Në veçanti mësuesi i matematikës, nëpërmjet procesit mësimor, duhet të synojë të ndërgjegjësojë nxënësit që të kuptojnë ecurinë tyre në matematikë. Disa sugjerime për këtë qëllim do të ishin: • U jepni paraprakisht përgjigjen e detyrës, në mënyrë që ata të kenë mundësi të kontrollojnë veten; • Lërini, madje inkurajoni nxënësit të konsultohen me shokun; • Aplikoni lojërat me shumë pjesëmarrës, sepse nëse veprimet e secilit do të jenë të varura nga ato të të tjerëve, rritet shkalla e ndërgjegjësimit; • Jepni detyra, në të cilat kuptohet lehtë nëse përgjigja është e gabuar, si p.sh., fjalëkryqet; • I vini nxënësit të hartojnë problema dhe tua japin shokëve për zgjidhje.

12.4 Të njohin dobinë e matematikës për të kuptuar botën që na rrethon Të njihesh me zbatimet e matematikës në botën që na rrethon është e rëndësishme, jo vetëm për të kuptuar dukuri të ndryshme të saj, por edhe për të pranuar faktin që matematika i shërben një qëllimi të caktuar. Për të njohur nxënësit me zbatimet e matematikës mund të përdoren një sërë mënyrash, si p.sh., të përshkruhen zbatimet e temës, e cila po trajtohet teorikisht; t’u jepen nxënësve detyra praktike me karakter zbatues, të bisedohet me nxënësit rreth programeve të ndryshme televizive që përdorin zbatimet matematike.

12.5 Kënaqësia estetike Shpesh matematikanët, kur diskutojnë ndërmjet tyre, përmendin kënaqësinë estetike që u jep matematika. Është një cilësi e matematikës që nuk mbetet privilegj vetëm i matematikanëve, por mund të futet edhe në mendjet e nxënësve nëpërmjet një trajtimi adekuat të matematikës shkollore. Kënaqësi estetike jep një rezultat i papritur. P.sh., pas gjetjes në planin koordinativ të pikave që u korrespondojnë disa çifteve të numrave, bashkimi i tyre herë formon vijë të drejtë, herë të lakuar e herë figura të ndryshme në trajtë të rregullt ose jo, por të paparashikuara nga nxënësit. Ata mezi presin ta kryejnë detyrën deri në fund. Ndërtimi i figurave gjeometrike, i modeleve pas zbulimit të ligjësive, konstruktimi i trupave gjeometrikë, ndërtimet stereometrike janë detyra që nxënësi i kryen me dëshirë dhe që e kënaqin atë estetikisht.

MATEMATIKA 8

97

Se çfarë mendon nxënësi për një lëndë është faktor tepër i rëndësishëm në përvetësimin e lëndës. Nëse nxënësi e pëlqen matematikën, ai do ta mësojë atë dhe nuk do t’i duket e vështirë. Pra, ta bëjmë të tillë! Në këndvështrimin e një qëndrimi standard ndaj matematikës, është e dëshirueshme që ne të përpiqemi që nxënësi të zotërojë një qëndrim dashamirës ndaj matematikës, e jo vetëm ndaj mësuesit. Vërtet mësuesi, si mësimdhënës apo si person mund ta afektojë një nxënës në mënyrë të favorshme. Nga kjo gjë ka kryesisht pasoja pozitive për trinomin: matematikë, mësues, nxënës. I vetmi rrezik qëndron në faktin që nxënësi mund të jetë i motivuar vetëm sepse i pëlqen mësuesi dhe standardi i tij i punës. Kështu, ai mund të bjerë me shpejtësi, nëse e ndërron mësuesin që i pëlqen me një mësues që nuk i pëlqen. Së fundi, nuk do të ishte e tepërt të kërkonim edhe përmirësimin e qëndrimit të vetë mësuesit ndaj lëndës së matematikës, sepse ai është një model që nxënësi përpiqet ta imitojë. Entuziazmi i mësuesit për lëndën, kënaqësia e tij për t’u marrë me të (që reflektohet në arritje të larta si mësimdhënës), vlerësimi që ai i bën vlerave utilitare të matematikës, kanë impakte pozitive edhe në qëndrimin e nxënësit ndaj matematikës e jo vetëm si lëndë shkollore.

98


III.

UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE

KREU I. THYESAT DHE NUMRAT DHJETORË Mësimi 1.1. THYESAT DHE NUMRAT DHJETORË Kuptime: Thyesa, numri dhjetor.

Veti: Numri dhjetor si rast i veçantë i thyesave. Metoda: Zbatimi dhe argumentimi i vetive nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të krahasojnë dy thyesa (me emërues të njëjtë e me emërues të ndryshëm). • Të krahasojnë dy numra dhjetorë. • Të krahasojnë thyesa me numra dhjetorë. • Të gjejnë vlerën e një shprehje që përmban veprime me thyesa dhe numra dhjetorë.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit

Kjo orë mësimi nuk përmban njohuri të reja. Nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve rikujtohen njohuritë për thyesat dhe numrat dhjetorë që janë trajtuar në klasat e mëparshme. Gjatë zgjidhjes së ushtrimeve duhen theksuar këto momente. • Thyesat krahasohen ndërmjet tyre duke i kthyer në emërues të njëjtë. • Thyesat krahasohen me numrat dhjetorë duke i kthyer tek njeri-tjetri (ose numrat dhjetorë kthehen në thyesa, ose thyesat kthehen në numra dhjetorë). • Në gjetjen e vlerës së shprehjes që përmban thyesa dhe numra dhjetorë ndiqen rigorozisht rendi i veprimeve (në fillim brenda kllapave). Gjithashtu kryhen më parë veprimet e shumëzimit e pjesëtimit (sipas radhës që janë shkruar) e më pas mbledhja e zbritja (gjithashtu sipas radhës që janë shkruar). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 , 3.

Mësimi 1.2 NUMRA DHJETORË PERIODIKË Kuptime: Numri dhjetor periodik. Veti: Numri dhjetor periodik si numër racional. Metoda: Nëpërmjet shembujve përpunohet algoritmi i kthimit të numrit dhjetor periodik m në thyesa të trajtës . n të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: Shkathtësi: Në mbarim

MATEMATIKA 8

99

• Me anën e pjesëtimit, të kthejnë thyesat në numra dhjetorë periodikë. m • Të kthejnë numrat dhjetorë periodikë në thyesa të trajtës . (Në rastet kur perioda ka n deri në dy shifra)


Në klasën e shtatë nxënësit janë njohur me ekzistencën e numrave dhjetorë periodikë dhe gjithashtu me faktin që këtë numra bëjnë pjesë në bashkësinë e numrave racionalë Q. Është e udhës që me anë e disa shembujve (njëri prej tyre është trajtuar në tekst) të kthehen disa thyesa në numra dhjetorë (periodikë ose jo). Më pas kalohet në algoritmin m e kthimit të numrave dhjetorë periodikë në thyesa të trajtës . Fillimisht kjo realizohet n me numra dhjetorë periodikë me periodë prej një shifre (në tekst është marrë numri 2,77...). Është e rëndësishme që ushtrimet të zgjidhen me pjesëmarrjen e nxënësve. Vetëm pasi të përvetësohet mirë ky algoritëm mund të kalohet në shembullin e dytë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1; 2; 3/a,b,c; 4.

Mësimi 1.3 PËRQINDJA Kuptime: Përqindja Veti: Përqindja si rast i veçantë i thyesës dhe numrit dhjetor. Metoda: Nëpërmjet shembujve realizohet gjetja e përqindjes kur jepet numri dhe gjetja e numrit kur jepet përqindja. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje. • Të gjejnë përqindjen e një numri. • Të gjejnë numrin kur jepet përqindja e tij. • Të përdorin përqindjen për krahasimin e madhësive të ndryshme. • Të përdorin përqindjen për zgjidhjen e problemave.


Përqindja është një rast i veçantë i thyesave dhjetore (thyesa me emërues 100). Është kjo arsyeja që përqindjet kanë të gjitha vetitë e thyesave dhjetore. Trajtimi i tyre nuk kërkon njohuri teorike plotësuese. Nga ana tjetër, për arsye të përdorimeve të gjera në shkollë e në jetë, është e rëndësishme që përqindjet duhen përvetësuar shumë mirë. Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet siç është paraqitur në tekst. Fillimisht të punohen shembujt 1 dhe 2 dhe më pas problemi. Paraprakisht duhet theksuar fakti që krahasimi i raporteve është më lehtë të bëhet duke futur përqindjet.

100


Ushtrimet e ndryshme me përqindje janë të vlefshme edhe për përsëritjen e ushtrimeve përkatëse me thyesat. Është e këshillueshme që në orën e mësimit të zgjidhet edhe ndonjë nga problemet e përfshira në të. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b,c; 2/a,b; 3.

Mësimi 1.4

USHTRIME

Qëllimi i kësaj ore mësimi është risistemimi i njohurive për thyesat, numrat dhjetorë e përqindjet si edhe të veprimeve me to. Është e rëndësishme që nxënësit të përvetësojnë mirë faktin që thyesat, numrat dhjetorë dhe përqindjet janë trajta të ndryshme të paraqitjes së të njejtit numër racional. Për këtë arsye është i mundur gjithmonë kalimi nga njëra trajtë në tjetrën. Mësuesi duhet të ngulë këmbë që ky kalim të realizohet saktë nga të gjithë nxënësit. Rekomandojmë që ora e mësimit të zhvillohet sipas ecurisë të tekstit. Është e mundur gjithashtu puna me grupe, ku grupe të ndryshëm të realizojnë kalimet nga njëra trajtë në tjetrën e më pas të bëhet ballafaqimi i tyre. Shumë i rëndësishëm është problemi i zgjidhur, ku vihet në dukje se rritja e çmimit me një përqindje të caktuar dhe më pas ulja e tij me të njëjtën përqindje, nuk të shpie në çmimin fillestar. Theksojmë se mund të arrihet në një përvetësim të saktë të llogaritjeve me përqindje dhe zgjidhje të ndërgjegjshme të problemave, vetëm në qoftë se janë përvetësuar mirë thyesat, numrat dhjetorë dhe problemet që lidhen me to. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2/a-d ; 3/a-d

Mësimi 1.5 INTERESI BANKAR Kuptime: Interesi bankar; kapitali (sasia e lekëve të depozituar). Fitimi. Veti: Varësia ndërmjet kapitalit, interesit dhe fitimit. Metoda: Nëpërmjet zgjidhjes së shembujve praktikë nxirren përfundime lidhur me veprime të thjeshta financiare. Shkathtësi: Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të llogaritin një nga madhësitë e panjohura që bëjnë pjesë në problemet financiare në banka.


Futja e kuptimit të përqindjes historikisht ka lindur e është realizuar pikërisht nga problemet e financave. Më pas është zgjeruar përdorimi i saj edhe në fusha të tjera. Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet sipas ecurisë së tekstit. Në problemin e parë kërkohet llogaritja e fitimit kur jepet kapitali dhe përqindja. Në problemin e dytë duhet llogaritur kapitali kur jepet përqindja dhe fitimi. Një problem

MATEMATIKA 8

101

tjetër që mund e duhet të trajtohet është ai kur jepet kapitali dhe fitimi dhe duhet gjendur përqindja përkatëse. 100% a  Të gjithë këta probleme zgjidhen duke u bazuar në matricën   ku p është  p% x  100 a përqindja, a është kapitali dhe x është fitimi. Që këtej del formula p = x . Në të bëjnë pjesë tri madhësi të panjohura: a; p dhe x. Me dhënien e dy prej tyre gjendët e treta. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b

KREU II

BASHKËSITË

Mësimi 2.1 KUPTIMI I BASHKËSISË

Kuptime: Bashkësia; elementet e bashkësisë; diagrama e Ven-it; bashkësia boshe. Veti: Përkatësia e elementeve në lidhje me një bashkësi. Simbolet ∈ dhe ∉. Metoda: Paraqitja e bashkësive në trajta të ndryshme (me emërtim; përshkrim, diagramë të Ven-it). Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin kuptimin e bashkësisë nëpërmjet shembujve; • Për një bashkësi të dhënë të dallojnë nëse një objekt është apo jo element i saj. • Të japin shembuj bashkësish me emërtim, përshkrim dhe diagramë të Ven-it. • Të gjejnë numrin elementeve të një bashkësie të fundme. • Të kalojnë nga njëra mënyrë e dhënies së bashkësive në mënyra të tjera.


Me konceptin e bashkësive nxënësit janë njohur në klasat e mëparshme. Duhet të bëhet e qartë për ta se koncepti i bashkësisë nuk përkufizohet, por sqarohet nëpërmjet shembujsh. (grumbull, tufë; grup etj). Është shumë i rëndësishëm fakti që ekzistenca e bashkësive presupozon që për çdo objekt të thuhet qartë nëse bën apo nuk bën pjesë në këtë bashkësi. Nëpërmjet aktivizimit të nxënësve mund të dallohen mënyrat e ndryshme të paraqitjes së bashkësive (me emërtim, përshkrim dhe diagramë të Ven-it). Rekomandojmë që të gjithë ushtrimet e kësaj ore mësimi të trajtohen nga nxënësit (në klasë ose në shtëpi) Gjithashtu mund të kërkohet prej nxënësve edhe të japin shembuj bashkësish duke theksuar përkatësinë e elementeve të saj.

102


Mësimi 2.2 BASHKËSIA dhe ndryshorja Kuptime: Ndryshorja; vlerat e ndryshores në një bashkësi të dhënë; mjedisi dhe cilësia karakteristike (dalluese). Barazimi i bashkësive; nënbashkësia e një bashkësie. Veti: Kuptimi i shënimit A={x∈A/...} ku x merr vlera nga bashkësia A (x nuk është element i bashkësisë A). Përfshirja si koncept në përkufizimin e bashkësive dhe nënbashkësisë së një bashkësie. Metoda: Përkufizimi dhe ilustrimi me shembuj. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të paraqesin bashkësi të ndryshme duke futur kuptimin e ndryshores; • Të dallojnë mjedisin dhe cilësinë karakteristike për bashkësi të dhëna. • Të përkufizojnë nënbashkësinë e një bashkësie. • Të japin vetë shembuj bashkësish të barabarta dhe nënbashkësi të një bashkësie të dhënë.


Momenti i parë i rëndësishëm i kësaj ore mësimi është futja e ndryshores për përcaktimin e një bashkësie si një domosdoshmëri për të paraqitur bashkësi të veçanta. Duhet theksuar p.sh., që në shënimin e shembullit 1, M={x∈N/x ≤ 5}, vetë x nuk është element i bashkësisë M, por ai merr vlera nga bashkësia M. Në kuptimin e barazimit të bashkësive duhet theksuar se në bashkësi të tilla nuk ka rëndësi renditja e elementeve, por vetëm fakti që ato kanë të njëjtat elemente, pra çdo element i bashkësisë së parë është element i bashkësisë së dytë dhe anasjellas. Për të përvetësuar mirë kuptimin e nënbashkësisë së një bashkësie është e udhës që vetë nxënësit të gjejnë sa më shumë nënbashkësi të bashkësive të dhëna; gjithashtu rekomandojmë të rikujtohen me nxënësit bashkësitë N, Z dhe Q. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b,c; 2/a,b,c; 3/a,b,c,d.

Mësimi 2.3 PRERJA E BASHKËSIVE Kuptime: Elementet e përbashkëta të dy bashkësive. Prerja e dy bashkësive. Veti: x ∈ (A∩B) ⇒ x∈A ∧ x∈B; (A∩B) =F kur A dhe B nuk kanë asnjë element të përbashkët; (A∩B) =A kur A ⊂ B. Metoda: Nëpërmjet shembujsh bashkësish të ndryshme arrihet fillimisht në kuptimin e elementeve të përbashkëta dhe më pas në atë të prerjes së dy bashkësive. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin shembuj bashkësish të cilat kanë ose nuk kanë elemente të përbashkëta. • Të dallojnë elementet e përbashkëta në dy bashkësi të dhëna në mënyra të ndryshme. • Të gjejnë prerjen e dy bashkësive të dhëna në mënyra të ndryshme.

MATEMATIKA 8

103


Rekomandojmë të ndiqet ecuria e propozuar në tekst. Për këtë arsye mësimi të zhvillohet me libër të hapur. Pas shembujve 1 dhe 2 mund të trajtohen shembuj të tjerë të krijuar nga vetë nxënësit. Për këtë qëllim të inkurajohen mendimet e tyre edhe sikur në fillim të ketë pasaktësi. Gjithashtu të jepen ushtrime për gjetjen e prerjes së bashkësive të dhëna me diagram të Ven-it. Duhet theksuar edhe rasti kur prerja e dy bashkësive është bashkësi boshe. (Bashkësitë nuk kanë elemente të përbashkëta). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3. Ushtrimi 8 mund të jepet si detyrë shtëpie dhe në mësimin e ardhshëm të trajtohet në klasë. Zgjidhja e tij realizohet thjeshtë me anën e diagramave të Ven-it.

Mësimi 2.4

BASHKIMI I BASHKËSIVE

Kuptime: Bashkimi i dy bashkësive (A∪B). Veti: x ∈ (A∪B) ⇒ x∈A ∨ x∈B; Bashkimi i dy bashkësive A dhe B është bashkësia në të cilën bëjnë pjesë elemente të A (të cilat nuk janë elemente të B); elementet e B (të cilat nuk janë elemente të A) dhe elementet e përbashkëta të bashkësive A dhe B. Metoda: Nëpërmjet shembujsh konkretë arrihet në përkufizimin e bashkimit të dy bashkësive Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë bashkimin e dy bashkësive të dhëna në mënyra të ndryshme. • Të dallojnë bashkimin e dy bashkësive nga prerja e tyre. • Të japin shembuj bashkësish të cilat kanë ose nuk kanë elemente të përbashkëta dhe të gjejnë bashkimin e tyre.


Edhe kjo orë mësimi të zhvillohet me libër hapur dhe sipas ecurisë së përcaktuar në tekst. Është e rëndësishme që të vihet në dukje gjetja konkretisht e bashkimit të dy bashkësive. Për këte fillimisht në bashkësinë (A∪B) futen të gjithë elementet e bashkësisë A dhe pastaj duke i kontrolluar një nga një (kur kjo është e mundur) shkruhen elementet e bashkësisë B, të cilët nuk janë elemente të A. Gjithashtu të ushtrohen nxënësit në gjetjen e bashkimit të dy bashkësive të dhëna me diagrama të Ven-it. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1; 4 dhe 5.

104


Mësimi 2.5 BASHKËSITË NUMERIKE Kuptime: Bashkësia e numrave natyrorë (N); Bashkësia e numrave të plotë (Z); bashkësia e numrave racionalë (Q). Veti: Përfshirja N⊂Z⊂Q e ilustruar me diagrama të Ven-it. (Fig. 2.7 në tekst) Metoda: Përkufizimi i bashkësive N, Z dhe Q me anë shembujsh duke inkurajuar mendimet e nxënësve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë (me emërtim) bashkësitë N, Z dhe Q. • Të formulojnë dhe zbatojnë në ushtrime përfshirjen N⊂Z⊂Q • Të japin shembuj numrash që bëjnë pjesë në njërën ose disa prej bashkësive N, Z, Q.


Në këtë orë mësimi përsëriten fillimisht bashkësitë N, Z dhe Q, të cilat njihen prej nxënësve nga klasat e mëparshme. Fakti që N⊂Z⊂Q të dalë nga vetë nxënësit (me anë shembujsh) të inkurajuar nga mësuesi. Mësimi të zhvillohet me libër hapur duke inkurajuar mendimet e nxënësve dhe duke bërë ilustrime të shumta me anë shembujsh. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 4.

Mësimi 2.6 BOSHTI NUMERIK Kuptime: Boshti numerik. Origjina e boshtit. Vlera absolute e numrit. Numrat e kundërt. Veti: Përkatësia e pikave të boshtit numerik me numrat racionalë. Vlera absolute e numrit si largesë e pikës përkatëse nga origjina e boshtit. Shuma e numrave të kundërt. Metoda: Përsëritje e kuptimit të boshtit, i cili njihet nga vitet e mëparshme. Përkufizimi i vlerës absolute të numrit dhe ilustrimi me shembuj. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë në bosht pikat që u korrespondojnë numrave të ndryshëm racionalë. • Të gjejnë numrat racionalë që u korrespondojnë pikave të dhëna në bosht. • Të formulojnë vlerën absolute të numrit si largesë të tij nga origjina e koordinatave • Të përkufizojnë numrat e kundërt me anën e vlerës absolute. • Të gjejnë vlerën absolute të numrave të dhënë.


Pjesa e parë e kësaj ore mësimi është përsëritje e njohurive të trajtuara në klasën e shtatë. Por asaj i duhet kushtuar vëmendje e veçantë, prandaj rekomandojmë që të fillohet menjëherë me këtë çështje. Të trajtohen me kujdes ushtrimi 1 dhe shembujt 1 dhe 2 të tekstit.

MATEMATIKA 8

105

Më pas kalohet në kuptimin e vlerës absolute të numrit duke theksuar faktin që a ≥ 0 . Po këtu të vihen në dukje që numrat e kundërt (të cilët njihen nga klasa e shtatë) kanë vlera absolute të barabarta (sepse kanë të njëjtën largesë nga origjina e boshtit). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2,. 4/a.

Mësimi 2.7 USHTRIME Qëllimi i kësaj ore mësimi është të sistemojë njohuritë e kreut duke i përgatitur nxënësit për testimin . Në shembullin 1 të trajtuar arrihet në konkluzionin e rëndësishëm për mënyrën e gjetjes së largesës ndërmjet dy pikave në boshtin numerik. Gjithashtu duhet trajtuar detyrimisht shembulli 2, i cili bën fjalë për dendurinë e numrave racionalë (ndërmjet çdo dy numrave racionalë ndodhet një numër i pafundmë numrash racionalë). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2,5,6.

KREU III. HYRJE NË GJEOMETRI Mësimi 3.1.

PIKA, DREJTËZA, SEGMENTI

Kuptime: Pika, drejtëza, plani, segmenti. Relacionet e incidencës dhe të radhitjes. Veti: 3 veti themelore (aksioma) që kanë të bëjnë me incidencën dhe radhitjen. Metoda: Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë incidencën e një pikë në një drejtëz. • Të dallojnë radhitjen e tri pikave në një drejtëz. • Të ndërtojnë e të shënojnë saktë segmentin me skaje të dhëna. • Të zbatojnë, në raste direkte, tri veti themelore të drejtëzës.


Në klasën e tetë fillon trajtimi sistematik i njohurive gjeometrike, duke u bazuar në konceptet themelore dhe aksiomat. Vetë termat “kuptim themelor”dhe “aksiomë”nuk duhet të përmenden në këtë orë mësimi. Trajtimi i materialit sistemon njohuri gjeometrike, të marra nga klasat e mëparshme. Kujdes duhet të tregohet në përdorimin e saktë të simbolikës, sidomos në shënimin e segmentit. Në këtë njësi mësimore përmenden kuptime të shumta, mjaft prej të cilave janë koncepte

106


themelore. Për asnjë nga kuptimet (edhe për ato të përkufizueshmet) nuk duhet të jepet dhe as të kërkohet përkufizimi, duke shmangur formulimin e pyetjeve në trajtën “Ç’quhet”….? Është shumë i rëndësishëm fakti që nxënësit duhet t’i kuptojnë figurat gjeometrike si bashkësi pikash. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Frutdhënëse është metoda e bisedës. Ushtrimet që janë vënë në tekst, në materialin teorik, janë pjesë përbërëse e këtij materiali. Zgjidhja e tyre është e domosdoshme për përvetësimin e tij, prandaj ajo duhet të kryhet në klasë, duke organizuar punë me grupe. Në rubrikën e veçantë “Ushtrime”, të konsiderohen si ushtrime të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

Mësimi 3.2.

GJYSMËDREJTËZA, GJYSMËPLANI, KËNDI

Kuptime: Gjysmëdrejtëza, gjysmëdrejtëza plotësuese, këndi, këndi i shtrirë. Veti: Vetia themelore (aksioma) mbi ndarjen e planit në dy gjysmëplane prej një drejtëze. Metoda: Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të lexojnë e të shënojnë saktë gjysmëdrejtëzat dhe këndet. • Të dallojnë këndin e shtrirë. • Të dallojnë gjysmëdrejtëzën plotësuese të një gjysmëdrejtëze të dhënë.


Kjo njësi mësimore përmban një numër të konsiderueshëm konceptesh, prandaj shtjellimit të materialit i duhet kushtuar gjithë koha në dispozicion. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur paraqitjen e dhënë në tekst. Ndonëse kuptimi i gjysmëdrejtëzës jepet saktë (është dhënë me korsive përkufizimi), nuk duhet të kërkohet shprehja e tij me fjalë nga nxënësit. Por është me rëndësi që nxënësit të dallojnë dy gjysmëdrejtëzat (plotësuese të njëra-tjetrës), që përcaktohen në drejtëz me dhënien e një pike dhe t’i shënojnë saktë ato. Dalja në kuptimin e gjysmëplanit dhe evidentimi i vetisë themelore (aksiomës) që lidhet me të, bëhet në mënyrë induktive, me shembuj. Duhet të punohet me klasën ushtrimi vijues në materialin teorik, duke organizuar punë me grupe. Kujdes i veçantë duhet treguar për dhënien e kuptimit të këndit. Këndi nuk është përkufizuar si pjesë plani, por si figurë gjeometrike, e përbërë nga dy gjysmëdrejtëza, që kanë të njëjtën origjinë. Përvoja e mësimdhënies ka treguar se shënimi dhe leximi i këndit nëpërmjet tri pikave, nga të cilat ajo e mesit është kulmi, është problematik për mjaft nxënës, prandaj duhet trajtuar me kujdes, duke lënë kohën e mjaftueshme, e duke punuar disa ushtrime në klasë.

MATEMATIKA 8

107

Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

Mësimi 3.3. KËNDEVE

KONGRUENCA E SEGMENTEVE DHE

Kuptime: Figura kongruente; mesi i segmentit; përgjysmorja e këndit Veti: Dy veti themelore (V-VI) lidhur me ndërtimin e segmentit (këndit) kongruent me një segment (kënd) të dhënë. Metoda: Ndërtime gjeometrike me vizore e kompas. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse dy figura janë kongruente, duke i mbivendosur ato. • Të ndërtojnë segment kongruent me një segment të dhënë. • Të ndërtojnë kënd kongruent me një kënd të dhënë. • Të gjejnë mesin e një segmenti. • Të ndërtojnë përgjysmoren e një këndi. (Të gjitha ndërtimet të kryhen me vizore dhe me kompas).


Edhe trajtimit të materialit, të vendosur në këtë njësi mësimore, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Kuptimi i kongruencës është kuptim shumë i rëndësishëm. Të shfrytëzohen njohuritë mbi të që nxënësit zotërojnë nga klasat e mëparshme, sepse kështu mund të ekonomizohet koha. P.sh., mund të bëhet vetëm përshkrimi i veprimtarisë për mbivendosjen e figurave, sepse veprimtari të tilla nxënësit kanë kryer në klasën e shtatë. Vëmendja të përqendrohet në sqarimin e dy vetive themelore (aksiomave), që kanë të bëjnë me ndërtimin e segmentit kongruent me një segment të dhënë e me ndërtimin e një këndi kongruent me një kënd të dhënë. Të kryhen praktikisht ndërtime të tilla, që rezultojnë në rikujtesën dhe sistemimin e shkathtësive, të fituara në klasën e shtatë. Nxënësit të punojnë, në mënyrë të pavarur apo me grupe, për gjetjen e mesit të një segmenti të dhënë dhe për ndërtimin e përgjysmores së një këndi të dhënë (duke përdorur vizoren dhe kompasin). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 3, 5.

108


Mësimi 3.4. MATJA E SEGMENTEVE (GJATËSIA E SEGMENTIT) Kuptime: Segmenti njësi. Gjatësia e segmentit Veti: Vetia themelore (aksioma VI) lidhur me matjen e segmenteve. Metoda: Metoda e krahasimit. Metrika e segmenteve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë matjen e gjatësisë së segmentit me vizore të shkallëzuar. • Të përdorin, në raste direkte apo të thjeshta, vetinë themelore për matjen e segmenteve.


Nxënësit dinë, qysh në klasat më të ulëta, të kryejnë matjen e gjatësisë së segmentit me vizore të shkallëzuar. Megjithatë, deri këtu, ata nuk e kanë të qartë, se matja e segmenteve bazohet në krahasimin e tyre me një segment të marrë si njësi matje. Në këtë mësim ata kuptojnë se gjatësia e segmentit është një numër pozitiv, që tregon sa herë përmbahet segmenti njësi (apo nënfishat e tij) në segmentin që matet. Përmbajtja e vetisë themelore VI (aksiomës) sqarohet nëpërmjet shembujve. E rëndësishme është që nxënësit të ushtrohen në zbatime të drejtpërdrejta apo të thjeshta të saj, si nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve të vendosura në materialin teorik (në klasë) apo nëpërmjet atyre të rubrikës “Ushtrime”, që mësuesi do të japë për detyrën e shtëpisë. Është e rëndësishme që nxënësit të kuptojnë dallimin midis shënimit [AB] (segmenti si objekt gjeometrik) dhe shënimit AB (gjatësia e segmentit, numër pozitiv). Është e rëndësishme që nxënësit të kuptojnë qartë e të fiksojnë në kujtesë që: a) dy segmente kongruente kanë gjatësi të barabarta; b) dy segmente me gjatësi të barabarta janë kongruentë. Njëvlershmëria e shënimeve [AB]=[CD] dhe AB=CD do të përdoret gjerësisht në shtjellimin e mëtejshëm të kursit. Ndër ushtrimet e rubrikës “Ushtrime”, si të nivelit minimal mund të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5.

Mësimi 3.5. MATJA E KËNDEVE. KËNDET SHTUES Kuptime: Masa e këndit. Këndi i drejtë. Kënde të bashkëmbështetur Veti: Një veti themelore (aksiomë) VII, lidhur me matjen e këndeve me njësi matje gradën. Metoda: Metoda e krahasimit. Metrika e këndeve

MATEMATIKA 8

109

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë masën në gradë të një këndi me anë të raportorit. • Të zbatojnë, në raste direkte e të thjeshta, vetinë themelore (VII) për matjen e këndeve në gradë. • Të dallojnë në figura të thjeshta kënde të bashkëmbështetur. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që shuma e masave të këndeve të bashkëmbështetur është 1800 .


Mësimi është i ndarë në dy pjesë kryesore: matja e këndeve dhe këndet e bashkëmbështetur (dhe një veti e masave të tyre). Materiali ka ngarkesë jo të paktë vëllimore e konceptuale, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes me nxënës të ngritur në tabelë. Ndonëse nxënësit dinë, qysh prej klasave të mëparshme, të gjejnë masën në gradë të një këndi të dhënë, me anë të raportorit, është pikërisht këtu që ata qartësojnë thelbin e procesit të matjes së këndeve (si krahasim me një kënd të dhënë, të marrë si njësi) dhe kuptimin e masës së këndit (numër që tregon sa herë njësia e matjes apo nënfishat e saj përmbahen në këtë kënd). Tërheqim vëmendjen në dy fakte: 1. Këndi 10 përcaktohet si kënd kongruent me

1 e këndit të shtrirë. 180

2. Këndi i drejtë përcaktohet si kënd me masë 900 . Përmbajtja e vetisë themelore VII (aksiomës) sqarohet nëpërmjet shembujsh. Ata mund të shoqërohen me të tjerë shembuj apo ushtrime gjysmë të zgjidhura, të përzgjedhur nga vetë mësuesi. Nxënësve duhet t’u qartësohen e t’u fiksohen në kujtesë dy fakte: a) Kënde kongruentë kanë masa të barabarta; b) Kënde me masa të barabarta janë kongruentë. Të këmbëngulet në përdorimin e saktë të shënimit për masën e këndit (objekt gjeometrik!) dhe . Në kuptimin e këndeve të bashkëmbështetur dilet nga shqyrtimi i një shembulli konkret. Mësuesi të vërtetojë shkurt, si në tekst, që shuma e masave të dy këndeve të bashkëmbështetur është 1800 . (Në orët pasuese riprodhimi i vërtetimit mund të kërkohet vetëm nga nxënësit e niveleve II-III). Të punohet në klasë me punë të pavarur individuale apo me grupe ushtrimi që pason. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 6.

110


Mësimi 3.6. PËRKUFIZIMI. AKSIOMA. TEOREMA Kuptime: Përkufizimi. Kuptime themelore. Aksioma. Teorema Veti: 7 vetitë themelore të shqyrtuara në mësimet e këtij kreu. Metoda: Arsyetimi Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, ndër kuptimet e njohura, ato që janë kuptime themelore. • Të dallojnë, ndër fjalitë e njohura, ato që janë teorema. • Të dallojnë, ndër teoremat e njohura, kushtin dhe përfundimin.


Në këtë njësi mësimore sqarohen kuptime shumë të rëndësishme të kursit shkollor të matematikës. Nxënësit duhet të kuptojnë qartë, se të japësh përkufizimin e një kuptimi (jo themelor) do të thotë të japësh një përcaktim të qartë të tij, nëpërmjet kuptimeve të njohura që më parë. Veç shembullit të dhënë në tekst (për përkufizimin e kuptimit të këndeve të bashkëmbështetur), është mirë të trajtohen edhe shembuj të tjerë, të përzgjedhur nga mësuesi. Nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë faktin që kuptimet pikë, drejtëz, plan, bashkësi janë kuptime themelore. Kuptimi i aksiomës dhe teoremës është dhënë mbi bazën e kuptimit të “fjalisë matematike”, që mendohet i qartë për nxënësin nga përvoja matematike e shkollore e tij. Mësuesi të sqarojë se kërkesa për të vërtetuar fjali, nëpërmjet fjalish të njohura qysh më parë, nënkupton njohjen aprori të disa fjalive fillestare si të vërteta. Ka rëndësi të shmanget përcaktimi i gabuar që ndihet shpesh. “Aksiomë quhet fjalia matematike që nuk ka nevojë për vërtetim”. Nxënësit duhet të përdorin saktë formulimin “Aksiomë quhet fjalia matematike, vërtetësia e të cilës pranohet pa vërtetim”. Ata duhet të kuptojnë faktin që brendia e kuptimeve themelore sqarohet nëpërmjet aksiomave. Kuptimi i teoremës të jepet thjesht, si në tekst, si fjali matematike, për vërtetësinë e të cilës bindemi me anë të vërtetimit (d.m.th., me anë të arsyetimit, duke u bazuar në ligjet e logjikës dhe në teoremat e njohura më parë, gjatë kursit). Shembulli i dhënë në tekst, për dallimin e kushtit e të përfundimit në një teoremë të thjeshtë, të njohur, është mirë të pasurohet me të tjerë shembuj apo ushtrime gjysmë të zgjidhura, të përzgjedhur nga mësuesi. Për nxënësit e mirë mund të shtrohen kërkesa për riformulimin e teoremave të thjeshta, të njohura në trajtën standard “nëse ndodh p, atëherë ndodh q”. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4.

MATEMATIKA 8

Mësimi 3.7. PINGULE

111

KËNDE TË KUNDËRT NË KULM. DREJTËZA

Kuptime: Kënde të kundërt në kulm. Drejtëza pingule. Veti: Dy kënde të kundërt në kulm janë kongruentë. Dy drejtëza pingule me një të tretë, nuk priten. Metoda: Metoda e vërtetimit “nga e kundërta” Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin kongruencën e dy këndeve të kundërt në kulm, në raste të thjeshta. • Të ndërtojnë pingulen me një drejtëz të dhënë, nga një pikë e dhënë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që dy drejtëza pingule me një të tretë, nuk priten. • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, mënyrën e vërtetimit “nga e kundërta”.


Me kuptimin e këndeve të kundërt në kulm dhe teoremën për kongruencën e tyre, nxënësit janë njohur në klasën e shtatë. Prandaj mësuesi mund t’u japë nxënësve, qysh në orën e mëparshme, detyrën për t’i përsëritur këto njohuri në shtëpi. Kjo krijon mundësi që të përqëndrohet puna në materialin që faktikisht është i ri. Në këtë temë dhe në temat pasuese nis të specifikohet dhënia e përkufizimeve të kuptimeve të reja (objekte apo relacione). Përkufizimet e thjeshta duhen kërkuar të formulohen saktë nga nxënësit. Të përqendrohet vëmendja tek përkufizimi i dy drejtëzave pingule, që duhet dhënë siç është në tekst. Shpesh ky përkufizim jepet jo saktë e ndodh që krijohet edhe rreth vicioz me kuptimin e këndit të drejtë. Vërtetimi i teoremës mbi mosprerjen e dy drejtëzave pingule me një të tretë nuk është i thjeshtë për nxënësit. Nuk duhet kërkuar riprodhimi i vërtetimit. Vlera e vërtetimit, të paraqitur në tekst, qëndron në ilustrimin e metodës që përdoret për të bërë këtë vërtetim (metoda e vërtetimit nga e kundërta). Mësuesi të përqendrohet në sqarimin e thelbit të kësaj metode, duke trajtuar edhe ndonjë shembull tjetër të thjeshtë, të përzgjedhur prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 3, 6.

112


KREU 4 FUQITË Mësimi 4.1 FUQIA E NUMRIT

Kuptime: Fuqia. Baza . Eksponenti. Fuqitë e numrit 10. Veti: am ⋅ a  ⋅ a ⋅⋅⋅a ; a m ⋅ a n = a m + n ; n = a m − n (a ≠ 0; m > n); a n = a a n herë a an (a m ) n =a mn ; (a ⋅ b) n =a n ⋅ b n ; ( ) n = n b b

;

Fuqia me eksponent tek e një numri negativ është numër negativ. Fuqia me eksponent çift e një numri negativ është numër pozitiv. Metoda: Përsëritje. Ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë fuqinë e n-të të një numri; • Të zbatojnë në ushtrime vetitë 1-5 të fuqive; • Të gjejnë fuqitë me eksponentë natyrorë të numrit 10.


Kjo orë mësimi nuk përfshin njohuri të reja. Është shumë e rëndësishme që të rikujtohet përkufizimi i fuqisë me eksponent natyror si edhe vetitë e fuqive. Kjo të realizohet nëpërmjet ushtrimeve dhe shembujve të trajtuara në tekst. Mësuesi të ngulë këmbë që nxënësit të përvetësojnë faktin lidhur me fuqitë me eksponent tek (çift) të numrave negativë. Shumë i rëndësishëm është ushtrimi 2 (në rubrikën ushtrime), për të cilin rekomandojmë të trajtohet në klasë me nxënësit. Pyetjet a-d të tij të trajtohen pasi të jetë plotësuar tabela, pra konkluzionet të nxirren në mënyrë induktive dhe më pas ata të përgjithësohen. Ushtrimet e tjerë të jepen si detyrë shtëpie.

Mësimi 4.2 FUQIA ME EKSPONENT ZERO. FUQIA ME EKSPONENT NEGATIV Kuptime: Veti:

Fuqia me eksponent zero. Fuqia me eksponent të plotë negativ.

0 n a= 1; a −=

1 an

(a ≠ 0; n ∈ N )

MATEMATIKA 8

113

Metoda: Induksion. Marrëveshje. Përgjithësim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë kuptimet a0 dhe a-n mbi bazën e marrëveshjes. • Të zbatojnë këtë marrëveshje për llogaritjen e vlerave a0 dhe a-n për a≠0.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Fillimisht, mësuesi të shpjegojë domosdoshmërinë e futjes së kuptimit të fuqisë me eksponent zero dhe eksponent negativ. 1 Më pas duhet qartësuar mirë që kuptimet = a 0 1;= a−n janë marrëveshje dhe jo n a vërtetime. Të trajtohen edhe ushtrimet e tekstit, në mënyrë që nxënësit të aftësohen për të bërë kalimet nga eksponenti negativ në thyesë dhe anasjellas, nga thyesa në eksponent negativ. 1 1 −3 = (P. sh., 3 5= dhe x −4 etj.) 5 x4 Ushtrimet e kësaj ore mësimi janë relativisht të thjeshtë dhe rekomandojmë që ato të trajtohen të gjithë (në klasë apo në shtëpi).

Mësimi 4.3 VEPRIME ME FUQITË Në këtë orë mësimi nuk trajtohen njohuri të reja. Rekomandojmë që fillimisht t’u shpjegohen nxënësve që vetitë 1-5 të fuqive, janë të vërteta edhe në rastin e eksponentit negativ apo zero. (mund të vërtetohet vetëm vetia 4, siç është trajtuar në tekst). Jemi të mendimit që nxënësve vetëm t’u thuhet që edhe vetitë e tjera kanë vend, pa pretenduar vërtetimin e tyre. Është e rëndësishme që nxënësit t’i zbatojnë këto veti dhe jo t’i formulojnë. Shembujt 3, 4 dhe 5 të tekstit kanë të bëjnë pikërisht me zbatimin e këtyre vetive. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 4.4 SHKRIMI SHKENCOR I NUMRIT Kuptime: Shkrimi shkencor i numrit. Forma standarde. Veti: Çdo numër N∈Q, mund të shkruhet në trajtën N=a⋅10m ku 1≤ a ≤10 dhe m∈Z. Metoda: Induksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë disa numra të veçantë (shumë të mëdhenj apo shumë të vegjël) në trajtë standarde.

114



Qëllimi i kësaj ore mësimi është të aftësojë nxënësit që të paraqesin disa numra të veçantë në trajtën a⋅10n (të ashtuquajtur trajtë standarde). Bëhet fjalë për numra që përdoren kryesisht në lëndë të tjera si kimi, fizikë, biologji, gjeografi etj. (p.sh., është praktike që masa e atomit të hidrogjenit të shkruhet në trajtën 1,7⋅10-24, ndërkohë që ta shkruash atë në trajtën e zakonshme do duheshin 23 zero). Nuk ka kuptim të shtrohet problemi i paraqitjes në trajtë standarde të numrave si 12; 158; 57,3 etj.

Mësimi 4.5

USHTRIME

Qëllimi i kësaj ore mësimi është të sistemohen njohuritë e mësimeve 1.1- 1.4 të këtij kreu, lidhur me fuqitë dhe veprimet me to. Veç shembujve 1 dhe 2 të tekstit, në varësi të kushteve të klasës, mësuesi të gjykojë e vendosë edhe për trajtimin e ushtrimeve të tjerë të paraqitur në rubrikën e ushtrimeve të kësaj ore mësimi. Shumë i rëndësishëm është ushtrimi 3 për krahasimin e fuqive me eksponentë të ndryshëm në rastet kur baza është më e madhe apo më e vogël se 1.

Mësimi 4.6

RRËNJA KATRORE

Kuptime: Rrënja katrore e numrit. Numrat racionalë dhe irracionalë. Vlerat e përafërta.


Futja e kuptimit të rrënjës katrore të numrit, rekomandojmë të bëhet bazuar në shembullin 1 të trajtuar në tekst. Është e rëndësishme që nxënësit të qartësohen e të përvetësojnë faktin që rrënjët katrore të shumë numrave ( si p.sh., 2; 23; 74 etj.) janë numra me të cilët nuk jemi ndeshur më parë (numra irracionalë). Nga ana tjetër rrënjët katrore të disa numrave janë numra racionalë 25 5 ( p.sh., = 9 3;= etj.) 49 7 . Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

MATEMATIKA 8

115

Mësimi 4.7-4.8 MAKINA LLOGARITËSE Në realizimin e këtyre orëve të mësimit, nxënësit duhen porositur të sjellin makina llogaritëse (të paktën të ketë 1 makinë për 2-3 nxënës). Në përgjithësi nxënësit e klasës së tetë janë njohur me makinën llogaritëse dhe dinë ta përdorin atë. Për këtë arsye rekomandojmë që të jepen ushtrime për gjetjen e vlerës numerike të shprehjeve të ndryshme. Këtu mund të organizohet punë në grupe, ku grupet t’i japin ushtrime njeri- tjetrit (sidomos në orën e dytë me këtë tematikë). Për këto mund të përdoren ushtrimet e tekstit apo edhe ushtrime të tjerë.

Kreu V: KONGRUENCA E TREKËNDËSHAVE Mësimi 5.1. RASTI I PARË I KONGRUENCËS SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Trekëndësha kongruentë Veti: Rasti i parë i kongruencës së trekëndëshave Metoda: Metoda e vërtetimit me sintezë Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë në trekëndësha kongruentë brinjët (këndet) përkatësisht kongruente. • Të përdorin rastin e parë të kongruencës së trekëndëshave në situata të thjeshta matematikore.


Duke evokuar kongruencën e njohur të figurave, mësuesi të përqendrohet në dy momente: • Në trekëndësha kongruentë, brinjët (këndet) janë dy nga dy kongruente. • Në trekëndësha kongruentë, përballë brinjëve (këndeve) kongruente ndodhen kënde (brinjë) kongruentë. Për formimin lëndor të nxënësve është me rëndësi të evidentohet fakti që kongruenca e trekëndëshave, në shumë situata, mund të konstatohet (dhe të përdoret), duke matur e krahasuar vetëm disa elemente të tyre. Ushtrimi i vendosur para teoremës, për rastin e parë të kongruencës, duhet të punohet detyrimisht në klasë, sepse ai synon që të krijojë tek nxënësit një hamendje të caktuar dhe në drejtimin e duhur. Vërtetimi i teoremës mund të bëhet në tabelë nga mësuesi. Për t’i mësuar nxënësit të punojnë me librin, mund të kërkohet prej tyre më pas që të lexojnë në tekst vërtetimin e dhënë aty, si edhe zgjidhjen e paraqitur për shembullin pasues. Më tej, mësuesi mund të vërë si detyrë zgjidhjen në klasë, në punë me grupe, të ndonjë ushtrimi të thjeshtë.

116


Duke marrë parasysh ngarkesën e kësaj teme dhe rëndësinë e saj për gjithë kursin shkollor të matematikës, rekomandohet që shtjellimit të materialit të ri t’i kushtohet gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.2. VETI TË TREKËNDËSHIT DYBRINJËNJËSHËM Kuptime: Lartësitë, mesoret, përgjysmoret e trekëndëshit. Trekëndëshi dybrinjënjëshëm. Trekëndëshi barabrinjës. Veti: Këndet e bazës të trekëndëshit dybrinjënjëshëm janë kongruentë. Në trekëndëshin dybrinjënjëshëm, mesorja e hequr nga kulmi ndaj bazës është edhe përgjysmore, edhe lartësi e trekëndëshit. Metoda: Metoda e vërtetimit me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë lartësitë, mesoret, përgjysmoret e një trekëndëshi të çfarëdoshëm, duke përdorur mjetet e thjeshta të njohura. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën mbi këndet e bazës së trekëndëshit dybrinjënjëshëm. • Të vërtetojnë, në bazë të pyetjeve të strukturuara, vetinë e mesores së bazës të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. • Ta përdorin këtë veti në raste shumë të thjeshta.


Kuptimet e lartësisë, mesores, përgjysmores së trekëndëshit dhe ndërtimet e tyre janë të njohura qysh nga klasa e shtatë. Prandaj rekomandohet që mësuesi, qysh në orën e mëparshme, t’u vërë nxënësve si detyrë përsëritjen në shtëpi të këtyre njohurive. Kjo mundëson përqendrimin në orën e mësimit, tek vërtetimet e teoremave për vetitë e trekëndëshit dybrinjënjëshëm dhe tek zbatimet e tyre. Teorema e parë (për kongruencën e këndeve të bazës së trekëndëshit dybrinjënjëshëm) mund të vërtetohet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Më tej, nxënësit punojnë me libër hapur. Fillimisht ata të lexojnë vërtetimin sintetik, të dhënë në tekst për teoremën e parë. Më tej nxënësit, me punë të pavarur individuale apo me grupe, të zgjidhin ushtrimin pasues. Në të, nëpërmjet një sistemi pyetjesh të strukturuara, synohet të kryhet vërtetimi i teoremës së dytë (vetia e mesores së bazë të trekëndëshit dybrinjënjëshëm). Formulimi i teoremës jepet në fund, duke përmbledhur gjithë punën e kryer. Tërheqim vëmendjen në faktin që shpesh vërehen formulime jo të sakta, kryesisht sepse nuk theksohet fakti që bëhet fjalë jo për cilëndo mesore, por për mesoren e bazës së trekëndëshit dybrinjënjëshëm.

MATEMATIKA 8

117

Në varësi të kohës, në klasë mund të trajtohet, me punë të pavarur individuale apo me grupe, edhe ndonjë zbatim shumë i thjeshtë i kësaj teoreme, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.3. RASTI I DYTË I KONGRUENCËS SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Kongruenca e trekëndëshave Veti: Rasti II i kongruencës së trekëndëshave Metoda: Metoda e vërtetimit me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, rastin kënd-brinjë-kënd të kongruencës së trekëndëshave.


Ushtrimi i vënë në hyrje të mësimit, synon të evokojë tek nxënësit njohuritë për kongruencën e trekëndëshave, të marra në klasën e gjashtë. Vëmë në dukje se formulimet e teoremave, për rastin e parë e të dytë të kongruencës së trekëndëshave, nuk janë të thjeshta dhe ato duhen kërkuar nga nxënësit e niveleve II-III. E rëndësishme është që të gjithë nxënësit të dallojnë, në situata të drejtpërdrejta, plotësimin e kushteve të këtyre teoremave dhe të nxjerrin përfundime të thjeshta. Nxënësit e niveleve II-III duhet të mësojnë, qysh këtu shënimin e shkurtër të kushteve të teoremave të rastit të parë e të dytë të kongruencës së trekëndëshave dhe të përfundimeve të tyre, p.sh. [ AB ] = [ A1 B1 ]  ∠A =∠A1  ⇒ ∆ABC = ∆A1 B1C1 . ∠B =∠B1  Vërtetimi i teoremës për rastin e dytë të kongruencës të bëhet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Në të njëjtën mënyrë të procedohet edhe për shembullin e dhënë në tekst. Vëmë në dukje që në orët pasuese të lëndës, nuk rekomandohet të kërkohet riprodhimi i vërtetimit të teoremës nga nxënësit. Ushtrimi i vendosur në tekst, në materialin teorik, është pjesë përbërëse e këtij materiali, prandaj duhet të punohet nga nxënësit në klasë, me punë të pavarur individuale apo me grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 3.

118

Mësimi 5.4.


TEOREMA E ANASJELLË

Kuptime: Fjalia e anasjellë. Teorema e anasjellë Veti: Dy teorema të anasjella të vetive të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. Metoda: Metoda e vërtetimit nga e kundërta. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kthejnë teoremat e thjeshta, të njohura, në trajtën “nëse p, atëherë q”. • Për fjali matematike, të dhëna në trajtën “nëse p, atëherë q”, të formulojnë fjalinë e anasjellë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremat e anasjella për vetitë e trekëndëshit dybrinjënjëshëm.


Kuptimi i fjalisë së anasjellë të një fjalie matematike është shumë i rëndësishëm për formimin lëndor të nxënësit, prandaj atij i duhet kushtuar vëmendja e duhur. Kështu, para se të kalohet në shqyrtimin e teoremave të anasjella të vetive të trekëndëshit dybrinjënjëshëm, mësuesi duhet të punojë edhe disa shembuj e ushtrime të tjerë, për kuptimin e fjalisë së anasjellë. Bazë për suksesin është zotësia për të kthyer një fjali matematike të thjeshtë, të dhënë, në trajtën “nëse p, atëherë q”. Vërtetimi i teoremës së anasjellë: “Nëse në trekëndëshin ABC këndet pranë bazës AB janë kongruentë (∠A=∠B), atëherë ky trekëndësh është dybrinjënjëshëm (AC=BC)”, të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Është me shumë rëndësi sqarimi i faktit që fjalia e anasjellë e një teoreme mund të mos jetë teoremë.

Po ashtu, është shumë i rëndësishëm sqarimi i vlerës së kundërshembullit (për të treguar që një fjali nuk është teoremë, mjafton të tregojmë një rast (një shembull) ku ajo nuk është e vërtetë). Dy ushtrimet e vendosura në materialin teorik, duhet të punohen në klasë, duke organizuar punën e pavarur individuale apo me grupe të nxënësve. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.5. RASTI I TRETË I KONGRUENCËS SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Kongruenca e trekëndëshave Veti: Rasti i tretë i kongruencës së trekëndëshave Metoda: Vërtetimi me sintezë. Vërtetimi nga e kundërta Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

MATEMATIKA 8

119

• Të zbatojnë, në raste të thjeshta, rastin e tretë të kongruencës së trekëndëshave.


Ushtrimi i dhënë në hyrje të mësimit, synon të evokojë njohuritë për rastin e kongruencës së trekëndëshave, që kanë tri brinjët përkatësisht kongruente, të marra në klasën e shtatë. Formulimi i rastit të tretë, të kongruencës së trekëndëshave, është relativisht i thjeshtë dhe mund t’u kërkohet gjithë nxënësve. Krahas kësaj duhet të vazhdojë puna për shënimin shkurt, në mënyrë simbolike, të kushteve dhe përfundimeve të teoremave. Vërtetimi i rastit të tretë të kongruencës së trekëndëshave është gjykuar si i vështirë për këtë moshë, prandaj nuk është dhënë në tekst. Shembulli i dhënë në libër të punohet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Është me shumë vlera formuese zbatimi për ngurtësinë e konstruksionit trekëndor, formuar me listela, prandaj nuk duhet të anashkalohet. Më tej, mësuesi duhet të punojë, të paktën një ushtrim, të përzgjedhur prej tij, duke organizuar punën e pavarur individuale apo me grupe të nxënësve. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2.

Mësimi 5.6.

USHTRIME

Synimi i mësuesit, për organizimin e kësaj ore mësimi, duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Ai duhet t’u japë nxënësve paraprakisht, si detyrë, përsëritjen në shtëpi dhe sistemimin në mënyrë të përmbledhur, me shkrim të fakteve e vetive të mësuara në orët paraardhëse. Në orën e mësimit të alternohet e kombinohet puna e pavarur apo me grupe e nxënësve të klasës, për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen e ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm në tabelë. Secili nga ushtrimet, që jepen për t’u punuar, duhet të diskutohet e analizohet me klasën në tërësi. Kujdes duhet treguar ndërkaq për t’u lënë nxënësve kohë të mjaftueshme për t’u menduar, për t’u shprehur e për t’u vetëkorrigjuar. Si ushtrime të nivelit minimal (pra prioritare për t’u punuar nga klasa, me punë të pavarur individuale apo me grupe), të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4. Është me rëndësi që trajtohet në klasë numri 7/b. Me anë të një kundërshembulli të tregohet që fjalia “Nëse dy brinjë dhe një kënd, të një trekëndëshi, janë përkatësisht kongruentë me dy brinjë e një kënd, të një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë kongruentë”. Është rasti që mësuesi t’u tërheqë vëmendjen nxënësve në formulimin e saktë të rastit I të kongruencës së trekëndëshave.

120

KREU VI:


SHPREHJE ME NDRYSHORE

Mësimi 6.1. SHPREHJET NUMERIKE Kuptime: Shprehja numerike. Vlera e shprehjes numerike. Metoda: Metodat e kryerjes së veprimeve aritmetike Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë shprehje të thjeshta, që nuk kanë vlerë numerike (nuk kanë kuptim). • Të zbatojnë radhën e përcaktuar të veprimeve, për të gjetur vlerën numerike të një shprehje të thjeshtë, me 1-2 kllapa.


Kuptimi i shprehjes numerike jepet me përshkrim e nëpërmjet shembujve. E njëjta rrugë është ndjekur për të dhënë kuptimin e shprehjes numerike, që nuk ka vlerë (nuk ka kuptim). Është shumë e rëndësishme që nxënësit të fiksojnë në kujtesë rregullën, për njehsimin e vlerës numerike të shprehjes numerike (me ose pa kllapa), që përmban veprime aritmetike (përfshirë ngritjen në fuqi), të kryera mbi numra racionalë dhe ta zbatojnë atë në raste të thjeshta. Pasi lexojnë në libër shembullin e dhënë, për gjetjen e vlerës së një shprehje numerike, nxënësit detyrimisht duhet të zgjidhin, me punë të pavarur individuale apo me grupe, ushtrimin e vendosur në pjesën teorike të tekstit. Mësuesi nuk duhet të mjaftohet me kaq, por të organizojë zgjidhjen në klasë të disa ushtrimeve të tjera nga rubrika “Ushtrime”. Nga ushtrimet e kësaj rubrike, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 2, 5, 6/a.

Mësimi 6.2.

SHPREHJE ME NDRYSHORE

Kuptime: Ndryshorja. Shprehja me 1 apo 2 ndryshore. Vlera e saj. Vlera e palejuar e ndryshores në shprehjen me një ndryshore. Metoda: Metodat e njehsimit Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë, me një ndryshore për vlerën e thjeshtë të dhënë të ndryshores. • Të gjejnë vlerën e palejuar të ndryshores në një shprehje të thjeshtë me një ndryshore.

MATEMATIKA 8

121


Edhe kuptimi i shprehjes me ndryshore është dhënë me përshkrim e nëpërmjet shembujve. E njëjta rrugë është ndjekur për të sqaruar kuptimin “vlera e shprehjes me një ndryshore, për një vlerë të caktuar të saj”. Duke ditur se kuptimi i ndryshores është i lidhur me atë të bashkësisë që përshkon, është me rëndësi e duhet theksuar marrëveshja “nëse nuk përmendet bashkësia që përshkon ndryshorja, do të nënkuptojmë që ajo është bashkësia e numrave racionalë Q”. Shumë i rëndësishëm është kuptimi i vlerës së palejuar të ndryshores, në një shprehje me një ndryshore, që jepet nëpërmjet shembullit. Mësuesi të japë edhe shembuj të tjerë e ushtrime gjysmë të zgjidhura për ta përpunuar këtë koncept. Nxënësit duhet të jenë të aftë të gjejnë vlerat e palejuara të ndryshores, në shprehje të trajtës

, ku a≠0; c≠0.

Ndër ushtrimet e rubrikës “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ato me numrat 1, 6, 7.

Mësimi 6.3. SHPREHJE IDENTIKE. SHNDËRRIME IDENTIKE TË SHPREHJEVE Kuptime: Shprehje identike në bashkësinë E. Identitet në E Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive. Metoda: Shndërrime identike në një bashkësi të dhënë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, nëse dy shprehje të thjeshta janë identike në një bashkësi të fundme. • Të dallojnë, nëse dy shprehje shumë të thjeshta, me një ndryshore, janë identike në bashkësinë Q.


Në kuptimin e dy shprehjeve identike në një bashkësi, synohet të arrihet nëpërmjet shembujve dhe ushtrimeve. Ushtrimet e strukturuara me numrat 1 dhe 2, të vendosur në tekst në hyrje të mësimit, janë pjesë përbërëse e rëndësishme e materialit teorik, prandaj duhet të zgjidhen nga nxënësit në klasë, me punë të pavarur individuale apo me grupe. Rruga që është ndjekur në tekst parashikon dhënien, më parë, të kuptimit të dy shprehjeve identike në E dhe më pas, atë të identitetit në E. Të jepet saktë përkufizimi, si në tekst, duke shmangur formulimin e gabuar, që ndihet shpesh në shkolla. “Dy shprehje quhen identike nëse kanë vlera përgjegjëse të barabarta, për të gjitha vlerat e lejuara të ndryshoreve të tyre”. Të mbahet parasysh, se nuk ka shprehje identike (dhe as identitet) në përgjithësi, por ka

122


të tilla vetëm në një bashkësi të caktuar. Prandaj duhet theksuar marrëveshja: “Kur themi thjesht, që dy shprehje janë identike, pa përmendur bashkësi, nënkuptojmë që ato janë identike në bashkësinë e të gjithë numrave”. Qysh në këtë mësim, që të mos mbetet i mjegullt kuptimi i shndërrimit identik në Q, duhet theksuar fakti që, “kur zbatojmë vetitë e mbledhjes e shumëzimit, si edhe vetitë e fuqive me eksponentë natyrorë, ne kryejmë shndërrime identike në Q”. Është me rëndësi që nxënësit të ushtrohen për të përdorur kundërshembullin, kur duam të tregojmë që dy shprehje nuk janë identike në E. Dobia e shndërrimeve identike është evidentuar në tekst me një shembull për thjeshtimin e programit të shprehjes. Mësuesi duhet të organizojë në klasë punimin e shembujve apo ushtrimeve gjysmë të zgjidhura, lidhur me shndërrimet identike të shprehjeve me një ndryshore në E. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

Mësimi 6.4. SHNDËRRIME TË THJESHTA IDENTIKE TË SHPREHJEVE Kuptime: Shprehje identike në E. Veti: Vetitë e mbledhjes, shumëzimit dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Metoda të shndërrimit identik të shprehjeve në E. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetitë e mbledhjes, shumëzimit, të fuqive me eksponent natyrorë, për të kryer shndërrime identike të shprehjeve në bashkësinë Q.


Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit që është paraqitur në tekst. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Materiali mësimor është strukturuar në disa paragrafë, të shënuar me numrat romakë I-VII. Në secilin paragraf jepet në fillim një veti (apo grup vetish) e një veprimi aritmetik dhe më pas shembuj të përdorimit të saj, për të kryer shndërrime identike të shprehjeve me ndryshore në Q, të ndjekur nga ushtrime (për punë të pavarur individuale apo me grupe në klasë) për përpunim të metodës. Mësuesi mund dhe duhet ta shtojë numrin e shembujve dhe të ushtrimeve, sipas gjykimit të tij dhe gjendjes së klasës. Shembulli i paragrafit VII (mbi përdorimin njëra pas tjetrës të disa vetive të veprimeve) është me rëndësi. Argumentimi hap pas hapi i vetive, që përdoren mund të kërkohet vetëm nga nxënësit shumë të mirë (niveli III). Për nxënësit e nivelit I-II është e mjaftueshme t’i kryejnë shkurt, por saktë, shndërrimet. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

MATEMATIKA 8

123

Mësimi 6.5. MONOMI. REDUKTIMI I MONOMEVE TË NGJASHËM Kuptime: Monomi. Trajta e rregullt e monomit. Monome të ngjashëm. Veti: Vetitë e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi me eksponentë natyrorë. Metoda: Reduktimi i monomeve të ngjashëm. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kthejnë një monom të dhënë në trajtë të rregullt. • Të kryejnë reduktimin e monomeve të ngjashëm.


Në këtë njësi mësimore rimerren, sistemohen e thellohen njohuritë për monomin, të marra në klasën e shtatë. Prandaj rekomandohet që mësuesi, paraprakisht t’u vërë si detyrë nxënësve që të përsëritin në shtëpi këto njohuri. Për kuptimin e monomit ka shpesh paqartësi, prandaj mësuesi të ngulmojë që nxënësit të kuptojnë e të fiksojnë në kujtesë përkufizimin e dhënë në tekst: “Monom quhet shprehja, që merret duke kryer mbi numrat e ndryshoret vetëm veprimet e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi”. Është me rëndësi që monomet të kthehen në trajtë të rregullt e të përcaktohen koeficientët e tyre. Mësuesi të punojë në klasë shembuj e ushtrime të tjerë për këtë qëllim. Kuptimi i monomeve të ngjashëm është i rëndësishëm për kursin në tërësi. Të gjithë nxënësit duhet të aftësohen, për të dalluar monomet e ngjashëm në një shumë algjebrike monomesh, të kthyer në trajtë të rregullt. Pasi evokon njohuritë që nxënësit kanë prej klasës së shtatë, për reduktimin e monomeve të ngjashëm, mësuesi trajton përmbledhtas rregullën për kryerjen e këtij reduktimi (në dy hapa) dhe punon shembuj e ushtrime për zbatimin e tij. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 6, 7.

Mësimi 6.6. POLINOMI. SHUMA DHE NDRYSHESA E POLINOMEVE Kuptime: Polinomi. Trajta e rregullt e tij. Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Shndërrime identike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të sjellin një polinom, me 1 a 2 ndryshore në trajtë të rregullt. • Të gjejnë shumën apo ndryshesën e dy polinomeve, në trajtë të rregullt me 1 apo 2 ndryshore.


124


Kuptimi i polinomit është dhënë duke u bazuar mbi atë të monomit. Po kështu, kthimi i polinomeve në trajtë të rregullt bazohet në dy procese: kthimin e monomeve në trajtë të rregullt dhe reduktimin e kufizave të ngjashme. Është e nevojshme që mësuesi të organizojë punën e pavarur individuale apo me grupe të nxënësve në klasë, për zgjidhjen e disa ushtrimeve (veç atij të vënë në tekst), me qëllim që nxënësit të fitojnë shkathtësitë e nevojshme, për kthimin e polinomeve me 1-2 ndryshore, kryesisht të fuqisë së dytë, në trajtë të rregullt. Shuma dhe ndryshesa e polinomeve të trajtohen thjesht si në tekst. Këtu duhet përqendruar vëmendja, nëpërmjet punimit të ushtrimeve, në dy aspekte: • hapja e kllapave, kur para tyre qëndron shenja (-) minus; • reduktimi i kufizave të ngjashme. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2/a, 5, 6.

Mësimi 6.7. SHUMËZIMI I MONOMIT ME POLINOM. NXJERRJA NË DUKJE E FAKTORIT TË PËRBASHKËT Kuptime: Monomi. Polinomi. Faktor në polinom. Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë shumëzimin e një monomi, në trajtë të rregullt me një polinom të trajtës së rregullt. • Të faktorizojnë polinome me 1 apo 2 ndryshore, duke kryer nxjerrjen në dukje të faktorit të përbashkët.


Materiali i vendosur në këtë njësi mësimore ka ngarkesë vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Shumëzimi i monomit me një polinom (të trajtës së rregullt) të trajtohet thjeshtë, si në tekst, me anë të një shembulli. Pasi të formulohet rregulla përkatëse, nxënësit duhet të zgjidhin, me punë të pavarur individuale apo me grupe, ushtrimin e vendosur në materialin teorik dhe ndonjë ushtrim tjetër, të përzgjedhur nga mësuesi. Faktorizimi i polinomeve është një proces me rëndësi në kursin shkollor të matematikës. Njohuritë, që nxënësit kanë për këtë qysh prej klasës së shtatë, janë të pakta e fragmentare. Me këtë mësim fillon sistematizimi i tyre. Në kuptimin e nxjerrjes në dukje të faktorit të përbashkët, si edhe në mënyrën e realizimit të tij, të dilet në mënyrë induktive, nëpërmjet shembujsh (të punohet edhe një shembull tjetër gjysmë i zgjidhur, veç atij të dhënë në tekst) e ushtrimesh të thjeshta. Për shqyrtimin e rasteve më të vështira evokohet rregulla, që është shqyrtuar në klasën e shtatë. Që këtu e më tej mësimi mund të zhvillohet me libër hapur.

MATEMATIKA 8

125

Duke patur parasysh rregullën e dhënë me korsive, nxënësit të lexojnë me laps në dorë dy shembujt e zgjidhur, të dhënë në tekst e pastaj të zgjidhin me punë të pavarur individuale apo me grupe ushtrimin që pason. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 6, 7.

Mësimi 6.8. SHUMËZIMI I DY POLINOMEVE Kuptime: Polinomi. Kufiza e tij. Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Shndërrime identike. Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shumëzojnë dy polinome (binome, trinome) të trajtës së rregullt, me 1 apo 2 ndryshore.


Në nxjerrjen e rregullës, për shumëzimin e dy polinomeve, është ndjekur rruga induktive. Një ushtrim gjysmë i zgjidhur, i dhënë në hyrje, synon të krijojë tek nxënësit një hamendje të caktuar. Kjo përforcohet më tej nëpërmjet shembujsh e ushtrimesh gjysmë të zgjidhura. Më tej bëhet një sintezë e shkurtër dhe nxirret përfundimi përgjithësues. Më pas kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, e më tej më komplekse. Rekomandojmë që për zhvillimin e mësimit të ndiqet rruga metodike e shtjellimit të materialit në tekst. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 6.9. FAKTORIZIMI ME GRUPIM Kuptime: Faktorë në polinom. Veti: Veti të veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponentë natyrorë. Metoda: Faktorizimi me grupim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të faktorizojnë me grupim, polinome të thjeshtë me katër kufiza.


Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Thelbi i metodës qartësohet gradualisht para nxënësve, nëpërmjet shqyrtimit të ushtrimeve gjysmë të zgjidhura dhe shembujve, nga të cilët ka në sasi të mjaftueshme në tekst. Të mbahet parasysh se shembulli 3 (për zbërthimin e trinomit x2 -7x+12) nuk është për

126


nxënësit e nivelit I-II, prandaj të lexohet vetëm prej nxënësve të nivelit III. Është mirë që mësuesi t’u vërë në dukje nxënësve se faktorizimi me grupe mund të përdoret vetëm në raste të veçanta.

Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1/a, 2, 3.

Mësimi 6.10.

USHTRIME

Ky mësim ka natyrë përsëritje. Rekomandohet që mësuesi t’u japë paraprakisht nxënësve, si detyrë shtëpie, hartimin e një përmbledhje të njohurive dhe rregullave kryesore të kreut. Kjo, së bashku me zgjidhjen e ushtrimeve në klasë, do të bëjë të mundur realizimin e rimarrjes dhe thellimit të njohurive kryesore dhe kuptimin e lidhjeve midis tyre (struktura e kreut). Në klasë mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të organizohet kombinimi i punës së nxënësve të klasës (me punë të pavarur apo me grupe) me punën për zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje të analizohet e të diskutohet me klasën. Ndër ushtrimet e vëna në tekst, të konsiderohen si të nivelit minimal (pra të përshtatshme për punën me klasën), ato me numrat 2, 3, 5, 7, 8.

KREU VII: NJOHURI TË TJERA GJEOMETRIKE MËSIMI 7.1. KRITERET E PARALELIZMIT TË DY DREJTËZAVE Kuptime: Drejtëza paralele. Kënde përgjegjës; kënde ndërrues të brendshëm. Veti: Dy teorema që shprehin kushte të mjaftueshme për paralelizmin e dy drejtëzave, nëpërmjet barazimit të këndeve përgjegjës apo ndërrues të brendshëm. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë, me mjete të thjeshta, paralelen me një drejtëz të dhënë nga një pikë e dhënë. • Të emërtojnë këndet që formohen nga prerja e dy drejtëzave me një të tretë. • Të formulojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, teoremat mbi paralelizmin e dy drejtëzave, që në prerje me një të tretë formojnë dy kënde ndërrues të brendshëm (përgjegjës) kongruentë.


Rekomandohet që mësuesi t’u vërë paraprakisht nxënësve, si detyrë në shtëpi, përsëritjen

MATEMATIKA 8

127

e njohurive, të marra nga klasa e shtatë, për ndërtimin e drejtëzës paralele me një drejtëz të dhënë, nga një pikë e dhënë dhe për emërtimin e këndeve (përgjegjës, ndërrues të brendshëm), që formohen nga prerja e dy drejtëzave me një të tretë. Në klasë, ai duhet të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e njohur të dy drejtëzave paralele, duke bërë saktësimet eventuale (përvoja ka treguar që shpesh nxënësit harrojnë fjalët e rëndësishme “në plan”, kur formulojnë këtë përkufizim). Mësuesi të tërheqë klasën në një diskutim mbi mundësinë për të gjykuar për paralelizmin e dy drejtëzave, prej të cilit të evidentohet dobia e teoremave, që japin kushte të mjaftueshme për këtë. Teorema e parë pranohet pa vërtetim. Vërtetimi i teoremës së dytë është shtruar në tekst si ushtrim dhe në këtë mënyrë të procedohet edhe në klasë, duke organizuar punë me grupe. Më tej mësuesi mund të organizojë edhe zgjidhjen e ushtrimeve të tjera, të përzgjedhura nga ai vetë. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1,2.

Mësimi 7.2. VETI TË DREJTËZAVE PARALELE Kuptime: Drejtëzat paralele. Kënde ndërrues të brendshëm; kënde përgjegjës. Veti: Aksioma e paraleleve. Teoremat mbi këndet që formojnë dy drejtëza me një prerëse. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë saktë aksiomën e paraleleve. • Të nxjerrin prej saj përfundime të thjeshta. • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta e të thjeshta, teoremat mbi këndet që formojnë dy drejtëza paralele me një prerëse.


Në hyrje të mësimit evokohen njohuritë që nxënësit kanë nga klasa e shtatë, për ekzistencën e një drejtëze paralele me një drejtëz të dhënë, hequr nga një pikë jashtë saj (duke përdorur faktin që dy drejtëza pingule me një të tretë janë jo-prerëse ndërmjet tyre). Shtrohet pyetja: A ka më tepër se një paralele me drejtëzën d, të hequr nga një pikë jashtë saj? Këtu është vendi që mësuesi, duke mbajtur në konsideratë komponentët epistemiologjike të mësimdhënies së matematikës, t’u flasë shkurt nxënësve për historikun e përpjekjeve, që çuan në pranimin e aksiomës së paraleleve. Të vihet në dukje se aksioma ka të bëjë me unicitetin e paraleles së hequr (ekzistenca e kësaj vërtetohet). Të angazhohet klasa në zgjidhjen e ushtrimit, që synon formulimin e teoremës së anasjellë të teoremës së njohur (kushtit të mjaftueshëm të paralelizmit). Vërtetimi i teoremës së tretë nuk është i thjeshtë dhe mund të mos trajtohet (sipas nivelit

128


të klasës). Por nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë e të përdorin gjerësisht formulimin e saj. Është e dobishme që nxënësit, me punë në grupe, të vërtetojnë teoremën e katërt, duke u bazuar tek teorema e tretë. Më tej mund të punohet, me punë me grupe, ndonjë zbatim i thjeshtë i teoremave të tretë e të katërt, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 3, 4, 5/a.

Mësimi 7.3. SHUMA E MASAVE TË KËNDEVE TË TREKËNDËSHIT Kuptime: Këndi i jashtëm i trekëndëshit. Veti: Shuma e masave të këndeve të trekëndëshit është 1800 . Masa e këndit të jashtëm është sa shuma e masave të dy këndeve të brendshëm jo afërndenjës me të. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që shuma e masave të këndeve të trekëndëshit është 1800 . • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që masa e këndit të jashtëm është sa shuma e masave të dy këndeve të brendshëm jo afërndenjës me të.


Në hyrje, mësuesi mund t’u vërë në dukje përpjekjet, për të evidentuar matjen e shumës së masave të këndeve të trekëndëshit prej 1800 (Gauss). Vërtetimi i teoremës të kryhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Për të mësuar nxënësit që të punojnë me librin, më tej mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Në libër nxënësit lexojnë vërtetimin e dhënë për teoremën dhe shembullin e zgjidhur, që pason. Ushtrimi, i vënë në materialin teorik, zgjidhet në klasë me punë në grupe. Pasi njihen me përkufizimin e këndit të jashtëm të trekëndëshit, nxënësit të tregojnë të gjithë këndet e jashtëm, për një trekëndësh të dhënë ABC. Vërtetimi i vetisë së këndit të jashtëm të trekëndëshit të bëhet me libër hapur, duke dhënë përgjigje për pyetjet e strukturuara, të vendosura në të. Më tej është mirë që nxënësit të zgjidhin, me punë në grupe, ndonjë ushtrim të thjeshtë njehsimi, zbatim të teoremës, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 8

129

Mësimi 7.4. KRAHASIMI I BRINJËVE DHE KËNDEVE TË TREKËNDËSHIT Kuptime: Mosbarazimi Veti: • Në trekëndësh, përballë brinjës (këndit) më të madhe, ndodhet këndi (brinja) më i madh. • Çdo brinjë e një trekëndëshi është më e vogël se shuma e dy brinjëve të tjera. Metoda: Metoda e vërtetimit nga e kundërta. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, krahasimin ndërmjet brinjëve (këndeve) të trekëndëshit. • Të përdorin, në raste të thjeshta, mosbarazimin e trekëndëshit.


Paraprakisht, mësuesi t’u japë nxënësve, si detyrë në shtëpi përsëritjen e vetisë themelore (aksiomës) së dytë. Për krahasimin e brinjëve (këndeve) të trekëndëshit, nxënësit të vihen fillimisht në veprimtari praktike, për të nxjerrë përfundime që përgjithësohen tek teorema e parë. Është me rëndësi për zhvillimin logjik të tyre, zgjidhja e ushtrimit që pason, i cili duhet patjetër të trajtohet në klasë. Vërtetimi i teoremës së dytë (me metodën e vërtetimit nga e kundërta) të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Pasi rikujtohet shkurt fakti (aksioma e dytë) që ndër tri pika, të ndodhura në një drejtëz, njëra dhe vetëm njëra ndodhet ndërmjet dy të tjerave. Mësuesi mund t’i vërë nxënësit në veprimtari praktike, për t’u bindur për faktin që çdo brinjë në trekëndësh është më e vogël se shuma e dy të tjerave. Përfundimi përgjithësues (teorema) të kërkohet të formulohet prej nxënësve. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5.

Mësimi 7.5.

VETI TË TREKËNDËSHIT KËNDDREJTË

Kuptime: Trekëndëshi kënddrejtë. Hipotenuza e kateti. Veti: Teorema e drejtë dhe e anasjellë për katetin, që ndodhet përballë këndit 300 . Metoda: Metoda e ndërtimeve plotësuese në figura. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, veti të veçanta për këndet e brinjët në trekëndëshin kënddrejtë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën për katetin përballë këndit 300 dhe të anasjellën e saj.

130



Mësuesi të synojë që nxënësit, duke u nisur nga veti të përgjithshme të njohura të trekëndëshit, të zbulojnë e të formulojnë veti të veçanta për trekëndëshin kënddrejtë (p.sh. që shuma e këndeve të ngushtë të tij është 900, që hipotenuza është më e madhe se çdo katet etj.). Për këtë t’u vihen detyra nxënësve në klasë e të organizohet puna me grupe për zgjidhjen e tyre. Teorema mbi vetinë e katetit përballë këndit 300 të vërtetohet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Formulimi i teoremës së anasjellë të kërkohet fillimisht prej nxënësve, të cilët duhet të dallojnë në teoremën e parë kushtin dhe përfundimin. Më tej nxënësit, me punë në grupe, mund të zgjidhin ndonjë ushtrim zbatimi të thjeshtë, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 7.

Mësimi 7.6. KONGRUENCA E TREKËNDËSHAVE KËNDDREJTË Kuptime: Kongruenca e trekëndëshave. Veti: Katër raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. Metoda: Silogjizmi Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin tri raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë prej rasteve të njohur, të kongruencës së trekëndëshave. • Të zbatojnë, në raste të thjeshta, katër rastet e kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë.


Rekomandohet që mësuesi, qysh orën e mëparshme, t’u vërë si detyrë në shtëpi nxënësve, përsëritjen e rasteve të kongruencës së trekëndëshave. Mbi këtë bazë ai mund të kërkojë, duke i shtruar si problema, që nxënësit në klasë të nxjerrin prej tyre, me punë të pavarur, rastin e parë dhe rastin e dytë të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. Më tej mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke zgjidhur në bazë të pyetjeve të strukturuara, të vëna në të, ushtrimin për vërtetimin e rastit të tretë të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë (teorema e tretë). Pasi sqarohet thelbi i rastit të katërt të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë (teorema 4), është mirë që të punohet me grupe, ndonjë ushtrim zbatimi i thjeshtë, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 4, 5.

MATEMATIKA 8

Mësimi 7.7.

131

RRETHI

Kuptime: Rrethi, rrezja, diametri, korda. Veti: Drejtëza, që kalon nga qendra e rrethit e që është pingule me një kordë, është përmesore e kësaj korde. Metoda: Vërtetimi me sintezë. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e saktë të rrethit. • Të dallojnë në një rreth diametrat dhe kordat. • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë e drejtëzës që kalon nga qendra e rrethit dhe është pingule me një kordë.


Duke evokuar njohuritë, që nxënësit kanë nga klasat e mëparshme, mësuesi të kërkojë prej tyre përkufizimin e rrethit. Mund të ndizet kështu një diskutim frutdhënës, deri sa të arrihet në përkufizimin e saktë (adekuat) të rrethit. Nëpërmjet një ushtrimi të thjeshtë, mësuesi kërkon që nxënësit të veçojnë në një rreth të ndërtuar, korda e harqe të ndryshme dhe e shfrytëzon këtë veprimtari për të nxjerrë nga nxënësit përkufizimin e kordës dhe atë të diametrit. Vërtetimin e teoremës, që shpreh vetinë e drejtëzës, që kalon nga qendra e rrethit dhe është pingule me një kordë, e bën mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Më pas, veç ushtrimit të vendosur në tekst lidhur me formulimin e fjalisë së anasjellë, është mirë që të punohet në klasë, me grupe, edhe ndonjë ushtrim i thjeshtë zbatimi, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 7.8. TANGJENTJA NDAJ RRETHIT. VETI TË SAJ Kuptime: Tangjentja ndaj rrethit. Veti: Tangjentja ndaj rrethit nuk ka me të pika të tjera të përbashkëta, veç pikës së tangjencës. Dy veti të segmenteve të tangjenteve ndaj rrethit, të hequra nga një pikë jashtë tij. Metoda: Metoda e vërtetimit nga e kundërta. Metoda e bisedës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë tangjenten në një pikë të rrethit. • Të përdorin, në raste të thjeshta, dy vetitë e segmenteve të tangjenteve, të hequra ndaj rrethit nga një pikë jashtë tij.

132



Përkufizimi i tangjentes në një pikë të rrethit është dhënë në një trajtë jo të zakontë. Ai ka të mirën që është një përkufizim konstruktiv (inkludon në vetvete edhe ekzistencën, edhe mënyrën e ndërtimit të objektit që përkufizohet). Më tej, vërtetohet se tangjentja nuk ka me rrethin pika të tjera të përbashkëta, veç pikës së tangjencës. Vërtetimi i kësaj teoreme të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Në të njëjtën mënyrë procedohet edhe për vërtetimin e teoremës mbi vetinë e segmenteve të tangjenteve, të hequra nga një pikë jashtë rrethit. Ushtrimi që pason (me natyrë vërtetimi) destinohet për nxënësit e mirë. Për masën tjetër të nxënësve të klasës, mësuesi të japë për punë me grupe, zgjidhjen e ndonjë ushtrimi të thjeshtë zbatimi, të përzgjedhur nga ai vetë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3.

Mësimi 7.9.

USHTRIME

Për këtë orë mësimi duhet të synohet përvetësimi i njohurive dhe përmirësimi i shkathtësive, të zhvilluara gjatë kreut. Mësuesi mund t’u japë më parë nxënësve, për detyrë, përgatitjen në shtëpi të përmbledhjes së sistemuar të fakteve kryesore, të trajtuara në mësimet 7.1-7.8. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të kombinohet puna me grupe e nxënësve të klasës, për zgjidhjen e disa ushtrimeve, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Zgjidhja e secilit nga ushtrimet e dhëna duhet të analizohet e diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal (të përshtatshëm për punën me grupe të nxënësve), të konsiderohen ata me numrat 4, 8, 10. Ushtrimet e zgjidhura nr.1, nr.9 të lexohen nga nxënësit në tekst.

KREU VIII: FORMULA TË RËNDËSISHME Mësimi 8.1.

KATRORI I BINOMIT

Kuptime: Binomi. Fuqia Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponent natyror. Metoda: Vërtetimi i identiteteve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

MATEMATIKA 8

133

• Të vërtetojnë identitetet për (a+b)2; (a-b)2. • T’i përdorin këto identitete në raste të thjeshta.


Identitetet për (a+b)2; (a-b)2 luajnë një rol të rëndësishëm në kursin shkollor të matematikës, prandaj shkathtësimi i nxënësve në përdorimin e tyre, duhet të vlerësohet maksimalisht nga mësuesi. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të paraqitur në tekst. Është e domosdoshme që nxënësit të zgjidhin, mundësisht individualisht, të gjitha ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mësimi 8.2. FAKTORIZIME ME ANË TË FORMULËS SË KATRORIT TË BINOMIT Kuptime: Polinomi. Faktorë në polinom. Veti: Vetia simetrike e barazimit. Metoda: Vërtetimi i identiteteve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një trinom mund të shkruhet si katror binomi. • Të bëjnë këtë zbërthim, kur është e mundur.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik, të paraqitur në tekst. Pas punimit të dy shembujve të parë, mësuesi duhet të synojë nxjerrjen e përfundimit përgjithësues. Që një trinom të shkruhet si katror binomi, duhet e mjafton që të plotësohen dy kushte: 1. Dy nga kufizat të jenë katrorë monomesh. 2. Kufiza e tretë të jetë sa dyfishi i prodhimit të këtyre monomeve. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 8.3. NDRYSHESA E KATRORËVE. FAKTORIZIME Kuptime: Ndryshesa e katrorëve Veti: Vetitë e veprimeve aritmetike dhe të fuqive me eksponent natyror. Metoda: Vërtetimi i identiteteve. Metoda të faktorizimit.

134


Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë identitetin a2-b2=(a-b)(a+b). • Ta përdorin atë, për të shkruar shkurt shumëzimin e dy shprehjeve të konjuguara. • Ta përdorin atë, për të bërë faktorizime të ndryshesave të katrorëve.


Vërtetimi i identitetit (a+b)(a-b)=a2 –b2 mund të kërkohet të bëhet nga nxënësit, duke organizuar punë të pavarur individuale apo me grupe. Më tej, mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik, të dhënë në tekst. Nxënësit të lexojnë në të shembujt e dhënë të zgjidhur dhe të angazhohen, për të zgjidhur ushtrimet e vendosura në materialin teorik, fillimisht individualisht dhe kur është e nevojshme me grupe. Rekomandohet që në klasë të trajtohen edhe ushtrime të tjera, të përzgjedhura nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4, 6.

Mësimi 8.4. SHNDËRRIME IDENTIKE, DUKE PËRDORUR VETITË E THYESAVE Kuptime: Thyesa racionale. Shndërrimi identik në E. Veti: Vetitë e raporteve. Metoda: Shndërrime identike. Thjeshtimi i thyesave. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të bëjnë thjeshtime të thyesave, në raste të thjeshta, pas faktorizimeve në gjymtyrët e tyre, duke vënë edhe kushtet për ndryshoren.


Rekomandohet që mësuesi t’u japë paraprakisht, si detyrë në shtëpi, nxënësve përsëritjen e mësimit mbi shndërrimet identike të shprehjeve me ndryshore. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Është shumë i rëndësishëm, për formimin lëndor të nxënësit, përfundimi: “Gjatë thjeshtimit të shprehjes, kur pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me monom apo polinom, do të kemi parasysh se barazimi që merret është identitet për vlerat e ndryshores, që nuk e bëjnë pjesëtuesin zero”. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

MATEMATIKA 8

135

Mësimi 8.5. USHTRIME PËR PËRDORIMIN E MËNYRAVE TË NDRYSHME TË FAKTORIZIMIT Synimi i këtij mësimi është që të thellohen e të zhvillohen më tej aftësitë e fituara nga nxënësit në mësimet e mëparshme, për përdorimin e mënyrave të ndryshme të faktorizimit. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Është me rëndësi këshilla që jepet në tekst, për ta filluar faktorizimin e një polinomi, nëse është e mundur, nga nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët. Leximi i vëmendshëm individual (në klasë) i shembujve të zgjidhur të tekstit duhet të pasohet detyrimisht nga ushtrime (për punë të pavarur individuale apo me grupe). Veç atyre që janë vënë në tekst, mësuesi mund të propozojë edhe zgjidhjen e ushtrimeve të tjera, të përzgjedhura prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4, 6.

Mësimi 8.6.

USHTRIME

Në këtë mësim synohet përforcimi i aftësive të nxënësve për të bërë faktorizime. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në tekst ushtrimin e zgjidhur nr.7 (Vërtetimi i faktit që katrori i çdo numri tek është numër tek). Më pas kombinohet zgjidhja e disa ushtrimeve nga nxënësit e klasës (me punë të pavarur individuale apo me grupe), me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet e të diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal (të përshtatshme për punën e pavarur individuale apo me grupe) të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 9/a, b; 10/a, b.

Kreu IX: EKUACIONE DHE INEKUACIONE ME NJË NDRYSHORE Mësimi 9.1. NDRYSHORE

EKUACIONE TË NJËVLERSHËM ME NJË

Kuptime: Ekuacioni me një ndryshore. Rrënja e tij. Ekuacione të njëvlershëm në E. Veti: Tri teorema mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve në Q. Metoda: Metoda të zgjidhjes së ekuacioneve me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një vlerë e ndryshores është rrënjë e ekuacionit. • Të kryejnë shndërrime të thjeshta, të njëvlershme në Q, për ekuacionin me një ndryshore, duke u bazuar në tri teoremat.

136



Kjo njësi mësimore ka ngarkesë të konsiderueshme konceptuale, prandaj trajtimit të materialit, të paraqitur në të, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Kujdes duhet treguar në vetë kuptimin e ekuacionit, për të cilin shpesh dëgjohen formulime të pasakta në shkolla. Të mbahet përkufizimi që është dhënë në tekst: “Barazimi me një ndryshore quhet ekuacion, nëse kërkohen vlerat e ndryshores që e kthejnë atë në barazim numerik të vërtetë”. Kuptimi i njëvlershmërisë së ekuacioneve (sikurse edhe ai i identitetit) shqyrtohet në një bashkësi të caktuar. Më poshtë, në trajtimin e lëndës, do të shqyrtohet kryesisht zgjidhja e ekuacioneve në bashkësinë Q, prandaj janë dhënë pa vërtetim tri teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore në Q. Është mirë që mësuesi të japë, për t’u punuar në klasë (me punë të pavarur individuale apo me grupe), edhe disa ushtrime të tjera (veç atyre që janë dhënë në materialin teorik) si zbatime të thjeshta të tri teoremave.

Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mësimi 9.2. NDRYSHORE

EKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË

Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Veti: Teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve në Q. Metoda: Metoda e zgjidhjes së ekuacionit, që sillet në trajtën ax+b=0. Metoda e zgjidhjes së ekuacioneve të trajtës (x-a)(x-b)=0. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin, me argumentim, ekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore. • Të zgjidhin ekuacione të trajtës (x-a)(x-b)=0.


Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Ushtrimi i vendosur në hyrje ka rëndësi konceptuale (midis të tjerash tregon që jo çdo ekuacion i trajtës ax=b është ekuacion i fuqisë së parë), prandaj duhet të zgjidhet e të diskutohet në klasë. Shpesh herë përkufizimi i ekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore formulohet jo saktë. Mësuesi të këmbëngulë në formulimin e dhënë në tekst. Nxënësit duhet të japin argumentimet, për njëvlershmërinë e shndërrimeve të bëra, për

MATEMATIKA 8

zgjidhjen e ekuacionit

137

2 + x x −1 − = x + 2 në tekst. 3 6

Mësuesi duhet t’u japë për të zgjidhur në klasë (me punë të pavarur individuale apo me grupe) edhe ndonjë ekuacion tjetër të kësaj trajte, me synimin e familjarizimit me programin për zgjidhjen. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 9.3. EKUACIONE ME NDRYSHORE NË EMËRUES Kuptime: Vlera e palejuar e shprehjes. Rrënja e ekuacionit. Ekuacione me ndryshore në emërues. Veti: Vetia: Kur shumëzojmë dy anët e një ekuacioni me polinom, rrënjë të ekuacionit fillestar janë vetëm rrënjët e ekuacionit të dytë, për të cilat shumëzuesi është i ndryshëm nga zero. Metoda: Metoda e zgjidhjes së ekuacioneve me ndryshore në emërues.


Trajtimit të materialit të ri i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit, për shkak të ngarkesës së konsiderueshme vëllimore e konceptuale që ai paraqet. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Ushtrimi i hyrjes synon të krijojë tek nxënësit bindjen që, vlera e palejuar për shprehjen, në anën e majtë ose në anën e djathtë të ekuacionit, nuk ka sesi të jetë rrënjë e ekuacionit. Nxënësit këtu, përtej përkufizimit të thatë të rrënjës, thellojnë kuptimin e saj (vlerë e ndryshores që është e lejuar për secilën anë dhe që i bënë të dyja anët të barabarta). Ushtrimi pasues synon që nxënësit të nxjerrin përfundimin: “Kur shumëzohen dy anët e ekuacionit me shprehje, që nuk ka vlera të palejuara të ndryshores, rrënjë të ekuacionit fillestar janë vetëm ato rrënjë të ekuacionit të dytë, që nuk e bëjnë zero shumëzuesin”. Më poshtë është dhënë një shembull zgjidhje ekuacioni me ndryshore në emërues dhe vetëm pastaj është afishuar (duke bërë përgjithësim) programi i zgjidhjes. Ushtrimi i vënë në materialin teorik duhet të zgjidhet detyrimisht në klasë (me punë të pavarur individuale a me grupe). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

Mësimi 9.4.

PROBLEMA

Synimi i këtij mësimi është të familjarizojnë nxënësit me programin e zgjidhjes së problemave (që çojnë në ekuacion me një ndryshore) dhe t’i aftësojnë ata, për zgjidhjen e problemave të tilla shumë të thjeshta. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Pasi njihen me programin për zgjidhjen, nxënësit lexojnë me laps në dorë shembullin e zgjidhur.

138


Më tej, ata me punë të pavarur individuale apo me grupe, fillojnë zgjidhjen e problemës pasuese (për të janë treguar hapat që duhen ndjekur). Rekomandohet që më tej nxënësit të zgjidhin edhe ndonjë problemë tjetër, të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4.

Mësimi 9.5. EKUACIONI I FUQISË SË DYTË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. Dallori i tij. Veti: Formula për rrënjët e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore. Metoda: Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së dytë të formës standard apo të trajtave jo të plota. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së dytë të trajtave jo të plota ax2+c=0; ax2+bx=0. • Të njehsojnë dallorin e ekuacionit ax2+bx+c=0 dhe të gjykojnë për numrin e rrënjëve të ekuacionit, sipas shenjës së tij. • Të shkruajnë formulën për rrënjët (kur D < 0) dhe ta përdorin atë në raste të drejtpërdrejta.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandohet që mësuesi t’u japë, paraprakisht detyrë në shtëpi nxënësve, zgjidhjen e disa ekuacioneve të fuqisë së dytë, të trajtave jo të plota (ax2 +c=0; ax2 +bx=0), për përsëritjen e metodave të njohura të zgjidhjes së tyre.

Përkufizimi i dhënë përfshin, në ekuacionet e fuqisë së dytë me një ndryshore, jo vetëm ata të trajtës standard ax2 +bx+c=0 (a≠0), por edhe ata që sillen në këtë trajtë me shndërrime të njëvlershme. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik, të paraqitur në tekst. Veç ushtrimeve të vendosura në materialin metodik (që duhen zgjidhur të gjitha), mësuesi është mirë t’i japë klasës, për punë të pavarur individuale apo me grupe, edhe 1-2 ushtrime për zgjidhje ekuacionesh të trajtës standard ax2 +bx+c=0. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 6.

Mësimi 9.6.

USHTRIME

Synimi i mësuesit, në këtë orë mësimi, duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, për zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore që janë fituar në mësimet e mëparshme të kreut. Për këtë qëllim rekomandohet që, qysh në orën paraardhëse, nxënësve t’u vihet si detyrë në shtëpi, hartimi i një përmbledhje të fakteve e vetive kryesore. Duhet të krijohet bindja se, rruga e zgjidhjes së ekuacioneve me një ndryshore është

MATEMATIKA 8

139

përdorimi i shndërrimeve të njëvlershme (që ruajnë rrënjët), për t’i sjellë ata në trajtat standard ax+b=0; ax2 +bx+c=0. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Të kombinohet zgjidhja e disa ushtrimeve në klasë (me punë të pavarur apo me grupe), me zgjidhjen e disa ushtrimeve të tjera në tabelë, nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të diskutohet e të analizohet.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4/a.

Mësimi 9.7. VEÇIMI I NJË SHKRONJE NË NJË FORMULË Kuptime: Formulat Veti: Teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve. Metoda: Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të fuqisë së parë apo të dytë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të veçojnë njërën nga shkronjat në formula të trajtës ax+by=c. • Të veçojnë njërën nga shkronjat në formula të trajtës ax2=c. • Të zgjidhin, kundrejt x, ekuacionin me koeficientë shkronjorë ax2+bx+c=0.


Veçimi i një shkronje në një formulë është një kërkesë, që haset shpesh gjatë studimit të lëndëve të tjera (sidomos të shkencave të natyrës) në shkollë. Prandaj mësuesi duhet ta trajtojë këtë kërkesë me shumë vëmendje e seriozitet. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit duhet të krijojnë përfytyrim të qartë për faktin që, për të bërë këtë veçim, formulën e konsiderojmë si një ekuacion me një ndryshore, ku si ndryshore të konsiderohet pikërisht kjo shkronjë, kurse shkronjat e tjera të konsiderohen si numra të njohur. Zgjidhet ky ekuacion, duke përdorur shndërrimet që janë parë, për të marrë ekuacione të njëvlershëm. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3/a, 4.

Mësimi 9.8. INEKUACIONE ME NJË NDRYSHORE. INEKUACIONE TË NJËVLERSHËM Kuptime: Inekuacione me një ndryshore. Zgjidhja e tij. Inekuacione me një ndryshore të njëvlershme në E. Veti: Katër teorema mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve me një ndryshore në Q. Metoda: Shndërrime të njëvlershme të inekuacioneve me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një numër i dhënë është zgjidhje e një inekuacioni me një ndryshore.

140


• Të formulojnë dhe të përdorin, në raste direkte, katër teoremat mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve me një ndryshore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Trajtimi i kuptimit të inekuacionit, me një ndryshore në kursin shkollor ka ngjashmëri, por ka edhe ndryshime, me trajtimin e kuptimit të ekuacionit. Nxënësit duhet të kenë përfytyrim të qartë për inekuacionin me një ndryshore dhe të formulojnë saktë përkufizimin e zgjidhjes së tij. Ata duhet të kuptojnë se, zgjidhja e inekuacionit me një ndryshore kryhet duke e shndërruar atë në një inekuacion të njëvlershëm, por më të thjeshtë, deri sa të arrijnë në një inekuacion, për të cilin bashkësia e zgjidhjeve dallohet qartë. Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit siç është paraqitur në tekst. Mësuesi duhet të ndalet në sqarimin e teoremës së katërt (shumëzimi i të dyja anëve të inekuacionit me numër negativ, duke ndërruar kahun), sepse në përdorimin e saj vërehen dendur gabime. Ushtrimeve, të vendosura në materialin teorik, që janë zbatime direkte të teoremave, u duhet lënë koha e duhur për t’u punuar në klasë (në mënyrë individuale apo në grupe). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

Mësimi 9.9. INEKUACIONI I FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Veti: Teoremat mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve me një ndryshore. Metoda: Shndërrime të njëvlershme në Q të inekuacioneve me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin inekuacione të thjeshta të fuqisë së parë me një ndryshore, duke i sjellë ata në ndonjë nga trajtat x>c; x ≤ c ; x ≥ c ; x>c. • Të gjykojnë për bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit 0·x0; për a0; për a0) është bashkësi pikash, që ndodhet në një vijë të përkulur (parabolë)”. Vetitë e funksionit y=ax2 (për a>0 dhe a1 (k