tulisan yang berjudul “Kumpulan Materi Pembinaan dan Pengayaan. Matematika
”. ... pembinaan dan pengayaan matematika kepada siswa SMP Negeri 8 Kota.
KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA
ANDI SYAMSUDDIN Guru Mata Pelajaran Matematika Pada SMP Negeri 8 Kota Sukabumi
SMP NEGERI 8 KOTA SUKABUMI DINAS PENDIDIKAN KOTA SUKABUMI 2009
PENGESAHAN Yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama
: Drs. ANDI SYAMSUDDIN
NIP
: 132144855
Unit Kerja
: SMP Negeri 8 Kota Sukabumi
menyatakan bahwa pembuatan tulisan dengan judul “KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA” benar adalah hasil karya sendiri dan digunakan sebagai bahan dalam pembinaan ekstrakurikuler matematika.
Sukabumi, Februari 2009
Didokumentasikan di Perpustakaan SMPN 8 Sukabumi Koordinator Perpustakaan,
Penulis,
ELIS MARYATI NIP. 131268058
Drs. ANDI SYAMSUDDIN NIP. 132144855
Mengetahui Kepala Sekolah,
ELDA TRISIA, M.Pd. NIP. 130895304 ii
KATA PENGANTAR Tiada kata yang lebih pantas penulis ucapkan, kecuali ucapan rasa syukur ke hadirat Ilahi Rabbi atas karunia sehat, kesempatan, dan petunjuk yang dianugerahkan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan tulisan yang berjudul “Kumpulan Materi Pembinaan dan Pengayaan Matematika”. Tulisan ini merupakan kumpulan tulisan selama melakukan pembinaan dan pengayaan matematika kepada siswa SMP Negeri 8 Kota Sukabumi yang memiliki minat dan kemampuan matematika yang lebih tinggi dibanding dengan siswa yang lain, terutama siswa yang dipersiapkan untuk mengikuti kompetisi matematika baik tingkat kota maupun tinggkat provinsi. Selain itu, tulisan ini juga merupakan renungan setelah melakukan pembelajaran di kelas. Pada bagian akhir tulisan ini disajikan soal dan penyelesaian kompetisi matematika yang dianggap sesuai dengan kemampuan siswa SMP. Akhir kata, tiada gading yang tak retak, semoga tulisan ini dapat dapat menjadi salah satu sumbangan pikiran terhadap dunia pendidikan, khususnya di SMP Negeri 8 Kota Sukabumi. Sukabumi,
Februari 2009
Penulis
iii
DAFTAR ISI Halaman Judul ............................................................................................
i
Lembar Pengesahan ....................................................................................
ii
Kata Pengantar ............................................................................................
iii
Daftar Isi .......................................................................................................
iv
Basis Bilangan ..............................................................................................
1
Nisbah Trigonometri Sudut Istimewa .....................................................
19
Kesebangunan .............................................................................................
24
Keterbagian Bilangan .................................................................................
32
Penerapan Keterbagian Bilangan Dalam Pembelajaran Konsep Akar Pangkat Dua di Kelas VII SMP ................................................................
39
Penerapan Keterbagian Bilangan Dalam Pembelajaran Konsep Akar Pangkat Tiga di Kelas VII SMP ................................................................
48
Penerapan Faktor Prima Dalam Menyelesaikan Bentuk Aljabar ........
54
Kumpulan Soal dan Penyelesaian Kompetisi Matematika ..................
80
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................
177
iv
BASIS BILANGAN Basis bilangan atau disebut dasar bilangan adalah suatu sistem pengelompokan perhitungan yang kita sepakati bersama. Sistem bilangan yang kita pakai sekarang disebut sistem desimal yaitu menggunakan basis (dasar) sepuluh. Basis sepuluh artinya penulisan lambang bilangan yang didasarkan pada pengelompokan sepuluh-sepuluh. Pada basis sepuluh angka (lambang bilangan) yang dipakai adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem penulisan dengan basis sepuluh adalah sistem penulisan dengan pengelompokan sebagai berikut : Tiap 10 satuan dikelompokkan menjadi 1 puluhan (101 )
( ) Tiap 10 ratusan dikelompokkan menjadi 1 ribuan (10 )
Tiap 10 puluhan dikelompokkan menjadi 1 ratusan 10 2
3
Tiap 10 ribuan dikelompokkan menjadi 1 puluhribuan (10 4 ) , dan seterusnya. Selain basis sepuluh ada beberapa basis yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari misalnya basis 60, basis 2, basis 4, basis 8, dan basis 16. Bahkan terkadang dalam soal-soal untuk mengukur kemampuan matematis yang tinggi diperlukan pengetahuan tentang basis bilangan. Tulisan ini diperuntukkan bagi mereka yang sudah mempelajari lambang bilangan berbagai basis dan cara mengubahnya melalui basis 10. Dalam tulisan ini yang akan dibahas adalah pengubahan basis tertentu ke basis lain secara langsung tanpa melalui basis 10. Yang paling banyak digunakan adalah basis 2 (yang dikenal dengan sistem biner). Karena itu, akan dibahas bagaimana mengubah : Basis 2 ke basis 4 dan sebaliknya, secara langsung; Basis 2 ke basis 8 dan sebaliknya, secara langsung;
1
Basis 2 ke basis 16 dan sebaliknya, secara langsung; dan sebagai tambahan untuk mendapatkan pola pengubahan basis ini secara langsung yaitu Basis 3 ke basis 9 dan sebaliknya secara langsung; dan Basis 4 ke basis 16 dan sebaliknya secara langsung. Untuk membandingkan hasil operasi langsung ini ada baiknya pembaca mengingat kembali bagaimana mengubah bilangan dari basis tertentu ke dalam basis lain melalui basis 10. A. Basis Dua (Biner) Basis dua hanya menggunakan angka 0 dan 1 saja. Disebut basis
( ) (2 )
dua karena; setiap 2 satuan dikelompokkan menjadi 1 duaan 2 1 ditulis 10 2 , setiap 2 duaan dikelompokkan menjadi 1 empatan
2
ditulis 100 2 , dan seterusnya. Basis ini amat luas penerapannya dalam teknologi modern yang lebih dikenal dengan istilah teknologi digital. 1. Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Empat Secara Langsung Basis empat menggunakan angka 0, 1, 2, dan 3. Disebut basis empat karena pengelompokannya empat empat. Maksudnya setiap 4
( )
satuan dikelompokkan menjadi 1 empatan 4 1 ditulis 10 4 , setiap 4 empatan dikelompokkan menjadi 1 enambelasan (4 2 ) ditulis 100 4 , dan seterusnya. Contoh 1 : Ubahlah 100112 ke dalam basis empat secara langsung! Penyelesaian :
100112 dikelompokkan dua angka dimulai dari satuan sehingga didapatkan 1 00 112 12
= (1 × 2 0 ) = 1 dalam basis 10.
00 2 = (0 × 2 1 ) + (0 × 2 0 ) = 0 dalam basis 10
112 = (1 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) = 3 dalam basis 10 Karena itu 100112 = 103 4 . 2
Contoh 2 : Ubahlah 111111111112 ke dalam basis empat secara langsung! Penyelesaian : Bila dikelompokkan dua angka menjadi seperti ini 111111111112 . Perhatikan
bahwa
12 = 110 ,
dan
112 = 310 .
Karena
itu
111111111112 = 133333 4 (Petunjuk : Bandingkan hasilnya melalui
basis 10). Dengan melihat pola pada Contoh 1 dan Contoh 2, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung, kurang lebih caranya demikian, kelompokkan bilangan dalam basis dua, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya. Bagaimana jika pertanyaannya dibalik menjadi 133333 4 = .... 2 ? Apakah ada pola yang umum? 2. Mengubah Bilangan Basis Empat ke Basis Dua Secara Langsung Pola yang terjadi pada Contoh 1 dan Contoh 2 kalau kita balik, dapat dipakai untuk mengubah bilangan basis empat ke basis dua secara langsung. Kurang lebih caranya demikian, tuliskan tiap angka dalam basis 4 ke dalam basis dua dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan. Contoh 3 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua! a. 3214
b. 10314
c. 32014
d. 3300 4
Penyelesaian : a. 3214 = .... 2 ? ,
3 4 = 112 ,
2 4 = 10 2 ,
14 = 012 .
Karena
itu
3214 = 1110012 .
3
b. 10314 = .... 2 ? , 14 = 012 , 0 4 = 00 2 , 3 4 = 112 , 14 = 012 . Karena itu
10314 = 010011012 = 10011012 . Perhatikan bahwa ada satu angka 0 yang tidak memiliki nilai.. c. 32014 = .... 2 ? , 3 4 = 112 , 2 4 = 10 2 , 0 4 = 00 2 , 14 = 012 . Karena itu
32014 = 111000012 d. 3300 4 = .... 2 ? , 3 4 = 112 , 3 4 = 112 , 0 4 = 00 2 , 0 4 = 00 2 . Karena itu
3300 4 = 11110000 2 B. Basis Delapan (Octal) Basis delapan menggunakan hanya angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 saja. Disebut basis delapan karena pengelompokannya delapan delapan. Maksudnya setiap 8 satuan dikelompokkan menjadi 1 delapanan (81 ) ditulis 10 8 , setiap 8 delapanan dikelompokkan menjadi 1 enam-puluh-empatan (8 2 ) ditulis 100 8 , dan seterusnya. 1. Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Delapan Secara Langsung Contoh 4 : Ubahlah 100112 ke dalam basis delapan secara langsung! Penyelesaian : 10011 2 dikelompokkan tiga angka dimulai dari satuan sehinga
ditulis seperti ini 10 011
10 2
(
) (
)
= 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 2 dalam basis
10 0112
= (0 × 2 2 ) + (1 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) = 3 dalam basis 10
Karena itu 100112 = 238 Contoh 5 : Ubahlah 1111111112 ke dalam basis delapan secara langsung! Penyelesaian :
4
Bila dikelompokkan tiga angka menjadi seperti ini 1111111112 . Perhatikan bahwa 1112 = 710 . Karena itu 1111111112 = 777 8 . Dengan melihat pola pada Contoh 4 dan Contoh 5, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis delapan secara langsung, kurang lebih caranya demikian, kelompokkan bilangan dalam basis dua, tiga angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya. 2. Mengubah Bilangan Basis Delapan ke Basis Dua Secara Langsung Perhatikan contoh ini 1111111112 = 777 8 . Kalau pertanyaannya dibalik, kurang lebih menjadi 777 8 = .... 2 ? Dengan melihat pola yang sudah ada tentunya pembaca sudah dapat memperkirakan jawabannya. Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis delapan ke dalam basis dua dengan tiga angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan. Contoh 6 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua! a. 756 8
b. 4058
c. 1238
d. 4517 8
Penylesaian : a. 756 8 = .... ? ,
7 8 = 1112 ,
5 8 = 1012 ,
6 8 = 110 2 . Karena itu
756 8 = 111101110 2 b. 4058 = .... ? ,
4 8 = 100 2 ,
0 8 = 000 2 ,
58 = 1012 .
Karena
itu
Karena
itu
4058 = 1000001012
c. 1238 = .... ? ,
18 = 0012 ,
2 8 = 010 2 ,
38 = 0112 .
1238 = 0010100112 . Perhatikan bahwa dua angka 0 tidak memiliki nilai, karena itu 1238 = 10100112 . d. 4517 8 = .... ? ,
4 8 = 100 2 , 58 = 1012 , 18 = 0012 , 7 8 = 1112 . Karena
itu 4517 8 = 1001010011112 . 5
C. Basis Enambelas (Hexagesimal) Basis enambelas banyak digunakan dalam ilmu teknik. Basis enambelas
menggunakan
karakter
(angka)
tambahan
untuk
menuliskan bilangan 10, 11, 12, 13, 14, dan 15 dalam basis 10 ke dalam basis enambelas. Karakter itu masing-masing adalah A, B, C, D, E, dan F. Karena itu basis enambelas menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Disebut basis enambelas karena pengelompokannya enambelas enambelas. Maksudnya setiap 16 satuan dikelompokkan menjadi 1 enambelasan (161 ) ditulis 1016 , setiap 16 enambelasan dikelompokan menjadi 1 dua-ratus-limapuluh-
( )
enaman 16 2 ditulis 10016 , dan seterusnya. Untuk membiasakan diri dalam basis 16 ada baiknya memperhatikan tabel berikut : Angka Dalam Basis Sepuluh
Angka Dalam Basis Enambelas
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E 6
Angka Dalam Basis Sepuluh
Angka Dalam Basis Enambelas
15
F
16
1016
1. Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Enambelas Secara Langsung Contoh 7 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis enambelas! b. 11111111012
a. 1111111112 c. 11001111001112
d. 1111111110111110110 2
Penyelesaian : a. 1111111112 = ....16 ? 1111111112 dikelompokkan empat angka dimulai
dari
12 = 110 = 000116
satuan
sehingga
didapatkan
1111111112 .
(angka 0 didepan tidak memiliki nilai),
11112 = 1510 = F16 . Karena itu 1111111112 = 1FF16 .
b. 11111111012 = ....16 ? Dengan cara yang sama pada bagian (a), didapat
kelompok
11111111012 .
112 = 316 ,
11112 = F16 ,
11012 = D16 . Karena itu 11111111012 = 3FD16 .
c. 11001111001112 = ....16 ?
Dikelompokkan
menjadi
110011110 01112 . Tiap kelompok diubah menjadi 12 = 116 , 10012 = 916 ,
1110 2 = E16 ,
01112 = 7 16 .
Karena
itu
11001111001112 = 19 E 7 16 .
d. 1111111110111110110 2 = ....16 ? 111111111011111 0110 2 .
Tiap
Dikelompokkan kelompok
diubah
menjadi menjadi
1112 = 7 16 , 11112 = F16 , 11012 = D16 , 11112 = F16 , 0110 2 = 616 . Karena itu 1111111110111110110 2 = 7 FDF 616 .
7
Dengan melihat pola pada Contoh 7, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis enambelas secara langsung, kurang lebih caranya demikian, kelompokkan bilangan dalam basis dua, empat angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis enambelas dan urutkan hasilnya. 2. Mengubah Bilangan Basis Enambelas ke Basis Dua Secara Langsung Contoh 8 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua! a. EFC16
b. 1CDE16
c. 9C1E16
d. A2CD16
Penyelesaian : Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis enambelas ke dalam basis dua dengan empat angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan. a. EFC16 = .... 2 ? , E16 = 1110 2 , F16 = 11112 , C16 = 1100 2 . Karena itu EFC16 = 111011111100 2
b. 1CDE16 = .... 2 ? , 116 = 00012 , C16 = 1100 2 , D16 = 11012 , E16 = 1110 2 . Karena itu 1CDE16 = 0001110011011110 2 = 1110011011110 2 . c. 9C1E16 = .... 2 ? , 9 16 = 10012 , C16 = 1100 2 , 116 = 00012 , E16 = 1110 2 . Karena itu 9C1E16 = 1001110000011110 2 . d. A2CD16 = .... 2 ? ,
A16 = 1010 2 ,
2 16 = 0010 2 ,
C16 = 1100 2 ,
D16 = 11012 . Karena itu A2CD16 = 10100010110011012
Basis Tiga dan Basis Sembilan Bagian ini adalah bagian untuk memperlihatkan bahwa ada basis tertentu yang dapat diubah secara langsung ke dalam basis tertentu yang lain. Bilangan-bilangan yang dapat diubah secara langsung hanya bila basis-nya memiliki hubungan perpangkatan. Perhatikan
8
( ) ( ) (3 ). Masing-masing
( )
( )
( )
bahwa basis 2 2 1 , basis 4 2 2 , basis 8 2 3 , basis 16 2 4 , basis 3 31 , dan basis 9
2
memiliki hubungan perpangkatan,
karena itu dapat diubah secara langsung. Selain basis tersebut harus melalui perubahan ke basis 10 terlebih dahulu kemudian diubah ke dalam basis yang diinginkan. 1. Mengubah Bilangan Basis Tiga ke Basis Sembilan Secara Langsung Basis tiga hanya menggunakan angka-angka 0, 1, dan 2, sedang basis sembilan menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Basis tiga dikelompokkan atas satuan (3 0 ), tigaan (31 ), sembilanan (3 2 ), dan seterusnya.
Basis
sembilan
( )
dikelompokkan
atas
satuan (9 0 ) ,
( )
sembilanan 9 1 , delapan-puluh-satuan 9 2 , dan seterusnya. Mengubah bilangan basis tiga ke basis sembilan secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, caranya kurang lebih demikian, kelompokkan bilangan dalam basis tiga, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya. Contoh 9 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis sembilan! a. 1012013
b. 1121010 3
Penyelesaian : a. 1012013 = .... 9 ? Tuliskan bilangan dengan kelompok dua angka seperti ini 10 12 013 . 10 3 = 3 9 , 12 3 = 5 9 , dan 013 = 19 . Karena itu 1012013 = 3519 .
b. 1121010 3 = .... 9 ? Kelompokkan dua angka menjadi 112 10 10 3 . 13 = 19 , 12 3 = 5 9 , 10 3 = 39 , 10 3 = 3 9 . Karena itu 1121010 3 = 1533 9 .
2. Mengubah Bilangan Basis Sembilan ke Basis Tiga Secara Langsung 9
Mengubah bilangan basis sembilan ke basis tiga secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya kurang lebih demikian, tuliskan tiap angka dalam basis sembilan ke dalam basis tiga dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis tiga secara berurutan. Contoh 10 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis tiga! a. 138 9
b. 875019
c. 1000870 9
d. 642381119
Penyelesaian : a. 138 9 = .... 3 ? .
19 = 013 ,
39 = 10 3 ,
8 9 = 22 3 .
Karena
itu
138 9 = 011022 3 = 11022 3
b. 875019 = .... 3 ? . 8 9 = 22 3 , 7 9 = 213 , 5 9 = 12 3 , 0 9 = 00 3 , 19 = 013 . Karena itu 875019 = 22211200013 c. 1000870 9 = .... 3 ? , 19 = 013 , 0 9 = 00 3 , 0 9 = 00 3 , 0 9 = 00 3 , 8 9 = 22 3 ,
7 9 = 213 ,
0 9 = 00 3 .
Karena
itu
1000870 9 = 01000000222100 3 = 1000000222100 3 . (Ada angka 0
yang tidak memiliki nilai). d. 642381119 = .... 3 ? , 6 9 = 20 3 , 4 9 = 113 , 2 9 = 02 3 , 39 = 10 3 , 8 9 = 22 3 ,
19 = 013 ,
19 = 013 ,
19 = 013 .
Karena
itu
642381119 = 20110210220101013 . D. Basis Empat dan Basis Enambelas 1. Mengubah Bilangan Basis Empat ke Dalam Basis Enambelas Secara Langsung Mengubah bilangan basis empat ke basis enambelas secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, caranya kurang 10
lebih demikian, kelompokkan bilangan dalam basis empat, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis enambelas dan urutkan hasilnya. Contoh 11 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis 16! a. 1014
b. 2104
c. 3314
d. 3334
Penyelesaian : Kelompokkan bilangan-bilangan tersebut dua angka dimulai dari satuan sehingga : a. 1014 = ....16? Ditulis dulu 1 014 . 14 = 116 , 014 = 116 . Karena itu
1014 = 1116 . b. 210 4 = ....16 ? 2 4 = 2 16 , 10 4 = 4 16 . Karena itu 210 4 = 24 16 . c. 3314 = ....16 ? 3 4 = 316 , 314 = D16 . Karena itu 3314 = 3D16 . Karena itu 3314 = 3D16 . d. 333 4 = ....16 ? 3 4 = 316 , 33 4 = F16 . Karena itu 333 4 = 3F16 . 2. Mengubah Bilangan Basis Enambelas ke Dalam Basis Empat Secara Langsung Mengubah bilangan basis enambelas ke basis empat secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya kurang lebih demikian, tuliskan tiap angka dalam basis eambelas ke dalam basis empat dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis empat secara berurutan. Contoh 12 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis empat! a. 6DE16
b. 9 ABC16
c. 8BCD16
d. ABCDEF16
Penyelesaian : 11
a. 6 DE16 = .... 4 ?
616 = 12 4 ,
D16 = 314 ,
E16 = 32 4 .
Karena
itu
6 DE16 = 123132 4
b. 9 ABC16 = .... 4 ? 9 16 = 214 , A16 = 22 4 , B16 = 23 4 , C16 = 30 4 . Karena itu 9 ABC16 = 21222330 4 c. 8BCD16 = .... 4 ? 816 = 20 4 , B16 = 23 4 , C16 = 30 4 , D16 = 314 . Karena itu 8BCD16 = 202330314 . d. ABCDEF16 = .... 4 ?
A16 = 22 4 ,
B16 = 23 4 , C16 = 30 4 ,
D16 = 314 ,
E16 = 32 4 , F16 = 33 4 . Karena itu ABCDEF16 = 222330313233 4 E. Contoh Soal-soal Mengenai Bilangan Yang Dapat Diselesaikan Dengan Konsep Basis Kadang-kadang kita dihadapkan pada masalah yang sepintas dianggap mudah, tetapi ternyata susah menyelesaikannya. Sebaliknya tidak jarang kita dihadapkan pada masalah yang dianggap susah, tetapi ternyata mudah diselesaikan dengan konsep yang sederhana. Sebagai contoh, 51250 ÷ 7 memberikan sisa berapa? Contoh ini dapat diselesaikan dengan konsep basis dengan mengamati pola terlebih dahulu. Perhatikan tabel berikut : Tabel. 1 Perpangkatan Bilangan 5 dan Kelipatan 7 5 Pangkat n
Kelipatan 7
Hasil
terdekat
51
5
52
25
53
Sisa
Pola
Pembagian Pengulangan 5
1
21
4
2
125
119
6
3
54
625
623
2
4
55
3125
3122
3
5
56
15625
15624
1
6 12
5 Pangkat n
Hasil
Kelipatan 7 terdekat
Sisa
Pola
Pembagian Pengulangan
57
78125
78120
5
1
58
390625
390621
4
2
59
1953125
1953119
6
3
510
9765625
9765623
2
4
511
48828125
48828122
3
5
512
244140625
244140624
1
6
513
1220703125 1220703120
5
1
514
6103515625
?
4
2
515
30517578125
?
6
3
516
1,52588E+11
?
2
4
Perhatikan tabel di atas. 516 komputer yang digunakan untuk menghitung sudah menyatakan dalam bentuk baku. Kalau diamati, ternyata pola pengulangannya enam kali. Perhatikan pangkat dari bilangan 5 dan pola pengulangan yang terjadi. Dengan menerapkan konsep basis bilangan, basis bilangan yang dapat digunakan dalam soal ini adalah basis 6. Perhatikan tabel berikut : Tabel. 2 Perpangkatan Bilangan 5 Sisa
Sisa Pembagian
Pola
dengan 7
Pengulangan
51
5
1
1
52
4
2
2
53
6
3
3
54
2
4
4
5 Pangkat n
Pembagian
n÷6
13
Sisa
Sisa Pembagian
Pola
dengan 7
Pengulangan
55
3
5
5
56
1
6
0
57
5
1
1
58
4
2
2
59
6
3
3
510
2
4
4
511
3
5
5
512
1
6
0
513
5
1
1
5 Pangkat n
Sisa pembagian
51250 ÷ 7
Pembagian n÷6
dapat dijawab dengan mencari sisa
pembagian 1250 ÷ 6 . Ternyata sisanya 2, artinya 51250 ÷ 7 bersisa 4. (Perhatikan Tabel. 2). Contoh 13 : Berapakah angka satuan dari 12 50 + 9 2000 ? Penyelesaian : Tabel 3. Perpangkatan Bilangan 12
Pangkat
Satuan
12 n
Sisa Pembagian dengan 4
1
2
1
2
4
2
3
8
3
4
6
0
5
2
1
6
4
2
14
Pangkat
Satuan
12 n
Sisa Pembagian dengan 4
7
8
3
8
6
0
9
2
1
Ambil basis 4 untuk pangkat bilangan 12. Bagi pangkat dari bilangan 12 dengan 4. Karena 50 ÷ 4 memberikan sisa 2, maka 12 50 satuannya adalah 4.
Tabel 4. Perpangkatan Bilangan 9
Pangkat
Satuan
9n
Sisa Pembagian dengan 2
1
9
1
2
1
0
3
9
1
4
1
0
5
9
1
6
1
0
Ambil basis 2 untuk pangkat bilangan 9. Bagi pangkat dari bilangan 9 dengan 2. Karena 2000 ÷ 2 memberikan sisa 0, maka 9 2000 satuannya adalah 1. Jadi angka satuan dari 12 50 + 9 2000 adalah 5. Contoh 14 : Berapakah angka satuan dari 8 2005 ?
15
Penyelesaian : Tabel 4. Perpangkatan Bilangan 8
Pangkat
Satuan
8n
Sisa Pembagian dengan 4
1
8
1
2
4
2
3
2
3
4
6
0
5
8
1
6
4
2
7
2
3
8
6
0
9
8
1
Ambil basis 4 untuk pangkat bilangan 8. Bagi pangkat dari bilangan 8 dengan 4. Karena 2005 ÷ 4 memberikan sisa 1, maka 8 2005 satuannya adalah 8. Contoh 15 : Jika 28 9 = 35 x = 101 y = 122 z , maka tentukanlah nilai x, y, dan z ! Penyelesaian : 28 9 = 35 x
⇔ (2 × 9 1 ) + (8 × 9 0 ) = (3 × x 1 ) + (5 × x 0 ) ⇔ (2 × 9 ) + (8) = (3x ) + (5) ⇔ 18 + 8 = 3x + 5 ⇔ 3x = 21
⇔ x =7 ∴x = 7 16
28 9 = 101 y ⇔ (2 × 9 1 ) + (8 × 9 0 ) = (1 × y 2 ) + (0 × y 1 ) + (1 × y 0 )
⇔ (2 × 9 ) + (8) = (y 2 ) + (1) ⇔ 18 + 8 = y 2 + 1
⇔ y 2 = 25 ⇔ y 2 = 25
⇔ y =5 ∴y =5 28 9 = 122 z
⇔ (2 × 9 1 ) + (8 × 9 0 ) = (1 × z 2 ) + (2 × z 1 ) + (2 × z 0 ) ⇔ 18 + 8 = z 2 + 2 z + 2 ⇔ z 2 + 2 z = 24 ⇔ z 2 + 2 z − 24 = 0
⇔ (z − 4 )(z + 6 ) = 0 ⇔ z −4=0∨ z +6=0
⇔ z = 4 ∨ z = −6 . Untuk z = - 6 tidak memenuhi (Basis adalah bilangan Asli lebih dari 1).
∴z = 4 Contoh 16 : Diketahui 27 x = 32 y . Tentukan nilai terkecil dari x dan y yang mungkin! Penyelesaian : Perhatikan bahwa syaratnya x ≥ 8 ∧ y ≥ 4 . , x, y ∈ Asli
27 x = 32 y ⇔ 2x + 7 = 3y + 2 ⇔ 2 x − 3 y = −5
17
Untuk x = 8 , maka 16 − 3 y = −5 ; y =
21 = 7 ( memenuhi) 3
Jadi nilai terkecil adalah x = 8 dan y = 7 Contoh 17 : Tentukanlah nilai y dari persamaan 342 y − 163 y = 157 y ! Penyelesaian : Perhatikan bahwa syaratnya y ≥ 8, y ∈ Asli 342 y − 163 y = 157 y
⇔ 3 y 2 + 4 y + 2 − ( y 2 + 6 y + 3) = y 2 + 5 y + 7 ⇔ 2 y 2 − 2 y − 1 = y 2 + 5y + 7 ⇔ y2 − 7y − 8 = 0
⇔ ( y − 8)( y + 1) = 0 ⇔ y −8 = 0 ∨ y +1= 0 ⇔ y = 8 ∨ y = −1 , y = −1 tidak memenuhi. ∴ y = 8 yang memenuhi.
18
NISBAH TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA C D E
B
A
F Gambar 1
Perhatikan
∆ABC
sama
sisi
dengan
AB = BC = AC = 2
satuan.
AF = AE = 1 satuan. ∠ADE = 90° . Karena itu : A. Ukuran Sudut-sudut Sudut-sudut yang ada sebagai berikut : ∠ABC = 60° ; (∆ABC sama sisi)
∠BAE = 45° ; ( AF = AE = 1 satuan; ∆AEF sama kaki) ∠DAE = 15° ; ∠AED = 75° ;
∠ACF = 30° ; B. Panjang Ruas Garis Dengan menggunakan dalil Pythagoras, maka panjang ruas garis yang ada sebagai berikut : 1.
AE = 2 satuan
2.
CF = 3 satuan
3.
CE = 3 − 1 satuan
Dengan menggunakan kesebangunan, (∆ACF sebangun ∆ECD) menyebabkan
CE CD DE , sehingga panjang ruas garis yang ada = = AC CF AF
sebagai berikut :
19
4.
CD CE CF × CE . = ⇔ CD = CF AC AC
(
⇔ CD = ∴CD =
5.
)
3 3 −1 2
⇔ CD =
3− 3 2
(
1 3− 3 2
)
DE CD AF × CD = ⇔ DE = . AF CF CF
3− 3 1 2 ⇔ DE = 3 ⇔ DE =
3− 3 3 × 2 3 3
⇔ DE =
3 3−3 6
⇔ DE =
3 −1 2
∴ DE =
1 2
(
)
3 −1
6. AD = 2 − CD
3− 3 ⇔ AD = 2 − 2
⇔ AD =
4 −3+ 3 2 3 +1 2
⇔ AD = ∴ AD =
1 2
(
)
3 +1
20
C. Nisbah Ttrigonometri 1. Sudut 30o a. sin ∠ACF = sin 30° =
AF 1 = AC 2
b. cos ∠ACF = cos 30° =
CF 1 3 = AC 2
c. tan ∠ACF = tan 30° =
AF 1 1 = = 3 CF 3 3
2. Sudut 45o a. sin ∠FAE = sin 45° =
EF 1 1 = = 2 AE 2 2
b. cos ∠FAE = cos ∠45° =
AF 1 1 = = 2 AE 2 2
c. tan ∠FAE = tan ∠45° =
EF 1 = =1 AF 1
3. Sudut 60o a. sin ∠FAC = sin 60° =
CF 3 1 3 = = AC 2 2
b. cos ∠FAC = cos 60° =
AF 1 = AC 2
c. tan ∠FAC = tan 60° =
CF 3 = = 3 AF 1
4. Sudut 15o
DE = a. sin ∠DAE = sin 15° = AE ∴ sin ∠DAE = sin 15° =
1 4
(
3 −1 2 = 3 −1 = 3 −1 ⋅ 2 = 2 2 2 2 2 2 6− 2
6− 2 4
)
21
( b. cos ∠DAE = cos 15° = ∴ cos ∠DAE = cos 15° =
)
3 +1 3 +1 3 +1 2 2 = = ⋅ = 2 2 2 2 2 2 1 4
(
6+ 2
)
3 −1 2 = 3 +1 2
DE c. tan ∠DAE = tan 15° = = AD
6+ 2 4
3 −1 3 −1 4 − 2 3 ⋅ = 2 3 +1 3 −1
∴ tan ∠DAE = tan 15° = 2 − 3 5. Sudut 75o
( AD a. sin ∠AED = sin 75° = = AE ∴ sin ∠AED = sin 75° =
1 4
(
6+ 2
1 4
(
6− 2
AD c. tan ∠AED = tan 75° = = DE
∴ tan ∠AED = tan 75° =
6+ 2 4
)
3 −1 2 = 3 −1 = 3 −1 ⋅ 2 = 2 2 2 2 2 2
DE = b. cos ∠AED = cos 75° = AE ∴ cos ∠AED = cos 75° =
)
3 +1 3 +1 3 +1 2 2 = = ⋅ = 2 2 2 2 2 2
6− 2 4
)
3 +1 2 = 3 −1 2
3 +1 = 3 −1
3 +1 3 +1 4 + 2 3 ⋅ = 2 3 −1 3 +1
AD =2+ 3 DE
6. Sudut 0o Perhatikan kembali Gambar 1. Jika ∠ BAC diperkecil, maka CF semakin pendek. Pada saat
AC
berimpit dengan
AB ,
∠BAC = 0° dan CF = 0 . Karena itu :
22
a. sin ∠BAC = sin 0° =
CF 0 = =0 AC 2
b. cos ∠BAC = cos 0° =
AB 2 = =1 AC 2
c. tan ∠BAC = tan 0° =
CF 0 = =0 AB 2
7. Sudut 90o Perhatikan kembali Gambar 1. Jika ∠ BAC diperbesar, maka CF semakin panjang. Pada saat AC ⊥ AB , ∠BAC = 90° , CF = 2 dan AB = 0 . Karena itu :
a. sin ∠BAC = sin 90° =
CF 2 = =1 AC 2
b. cos ∠BAC = cos 90° =
AB 0 = =0 AC 2
c. tan ∠BAC = tan 90° =
CF 2 = = ±∞ AB 0
(Catatan : Untuk sudut-sudut lain yang berelasi dapat ditunjukkan secara geometris melalui lingkaran, atau secara aljabar. Hal ini akan dibahas dalam tulisan yang lain) D. Tabel Nisbah Trigonometri Sudut Istimewa Secara singkat nibah trigonometri untuk sudut-sudut istimewa yang dibahas dalam tulisan ini dapat dilihat dalam Tabel 1.
Tabel 1. Nisbah Trigonometri Sudut Istimewa
a°
0°
sin a°
0
1 4
(
6− 2
cos a °
1
1 4
(
6+ 2
tan a°
0
15°
2− 3
30°
45°
60°
)
1 2
1 2 2
1 3 2
1 4
(
6+ 2
)
1
)
1 3 2
1 2 2
1 2
1 4
(
6− 2
)
0
1 3 3
1
3
75°
2+ 3
90°
±∞ 23
KESEBANGUNAN c2 = a2 + b2 c= x+ y
C
b
a t
A
y
x c
D
B
1. Pada segitiga siku-siku ABC buktikan bahwa : ∆ABC ~ ∆ACD ~ ∆CBD, sehingga berlaku hubungan : a. t 2 = x ⋅ y b. a 2 = c ⋅ y c. b 2 = c ⋅ x Bukti : a. Perhatikan ∆ACD dan ∆CBD ∠ADC = ∠BDC (90o) ∠CAD = ∠BCD ( Perhatikan ∆ABC) ∠ACD = ∠CBD ( dua sudut besarnya sama sudut ke-3
sama)
∴ ∆ACD ~ ∆CBD Karena itu berlaku hubungan CD AD = ⇒ CD 2 = AD ⋅ BD , BD CD
CD AD AC = = BD CD BC
sehingga
berlaku
hubungan
t 2 = xy …(1) b. Perhatikan ∆ABC dan ∆CBD. ∠ABC = ∠CBD (seletak) ∠ACB = ∠CDB (90o) ∠BAC = ∠BCD ∴ ∆ABC ~ ∆CBD (sd, sd, sd)
24
Karena itu berlaku hubungan
BC AB AC = = BD BC CD
BC AB = ⇒ BC 2 = AB ⋅ BD , sehingga berlaku hubungan a 2 = cy BD BC
…(2) c. Perhatikan ∆ABC dan ∆ACD. ∠ACB = ∠ADC (90o) ∠BAC = ∠CAD (seletak) ∠BAC = ∠BCD ( dua sudut besarnya sama sudut ke-3 sama) ∴ ∆ABC ~ ∆ACD (sd, sd, sd)
Karena itu berlaku hubungan AC AB = ⇒ AC 2 = AB ⋅ AD , AD AC
AC AB BC = = AD AC CA
sehingga
berlaku
hubungan
b 2 = cx ….(3) Akibatnya, bila (2) dan (3) disubstitusikan ke (1) didapatkan : t2 =
b2 a 2 ⋅ c c
⇔ t2 =
a 2b2 c2
ab ⇔t = c
2
2
⇔t=
∴t =
ab c
ab c
...................................................................................................(4)
(Catatan : (4) dapat dibuktikan dengan konsep luas dan dalil Pythagoras, cobalah!)
25
2. Contoh Penerapan Dalam Matematika a. Bangun Datar Contoh 1 : Perhatikan
gambar,
BD = 9
C
dan CD = 16 . Tentukanlah : a. Panjang AD
16
b. Panjang AB c. Panjang AC
D 9 A
B
Penyelesaian : a. Untuk menentukan panjang AD, gunakan rumus t 2 = x ⋅ y , sehingga didapatkan AD 2 = BD.CD ⇔ AD = 16 ⋅ 9 . Jadi panjang AD = 12 . b. Untuk menentukan panjang AB, gunakan rumus a 2 = c ⋅ y , sehingga didapatkan AB 2 = BC ⋅ BD ⇔ AB = 25 ⋅ 9 . Jadi panjang AB = 15 . c. Untuk menentukan panjang AC, gunakan rumus b 2 = c ⋅ x , sehingga didapatkan AC 2 = BC ⋅ CD ⇔ AC = 25 ⋅ 16 . Jadi panjang AC = 20 . Contoh 2 : Tentukan luas ∆ABC pada gambar berikut : C
10
8
D 4,5
6 A
7 ,5
B
26
Penyelesaian :
AD adalah garis tinggi ∆ABC pada alas BC . Karena itu kita harus mentukan panjang BD . Rumus yang dapat digunakan adalah
t 2 = x ⋅ y , sehingga didapatkan AD 2 = BD ⋅ CD ⇔ 36 = BD.8 . BD =
36 = 4,5 8
BC = 12,5 Karena itu luas ∆ABC adalah
1 1 BC ⋅ AD = 12,5 ⋅ 6 = 37,5 satuan 2 2
luas. Contoh 3 : Perhatikan gambar berikut : C
16
8 A
D 4 B
Tentukanlah panjang BD, AB, dan AC ! Penyelesaian : Perhatikan bahwa AD 2 = BD ⋅ CD ⇔ 64 = BD.16
BD =
64 = 4 , sehingga 16
BC = 20 . Karena itu
AB = 2 20
dan
AC = 4 20 .
Contoh 4 : Persegipanjang ABCD seperti pada gambar berikut memiliki ukuran AB = 8 cm, dan AD = 6 cm. Tentukanlah panjang MN!
27
A
B N M
D
C
Penyelesaian : Perhatikan bahwa ∆ABC ~ ∆AMB ~ ∆BMC, AN = CM , dan
MN = AM − CM . Perhatikan pula bahwa BM adalah garis tinggi ∆ABC pada alas AC, karena itu BM =
AB ⋅ BC . AC
Dengan dalil Pythagoras didapatkan AC = 10 , sehingga BM = 4,8 .
CM =
BC 2 36 = = 3,6 AC 10
AM =
AB 2 64 = 6,4 AC 10
MN = AM − CM = 6,4 − 3,6 = 2,8 Jadi MN = 2,8 cm. b. Bangun Ruang Contoh 5 : Perhatikan gambar! Tentukan tinggi limas B. ACE pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 4 cm! G H
F E
D A
C B
28
Penyelesaian : Dengan menggunakan garis-garis bantu kubus ABCD.EFGH akan terlihat seperti gambar berikut : G
F
H
E
E
D
T
T
C P
P
A
(a)
B
B (b)
AC = AE = CE = BD = 4 2 cm, karena masing-masing merupakan diagonal sisi kubus. BE = 4 cm dan PB =
1 BD = 2 2 cm. Bidang 2
alas limas adalah bidang ∆ACE yang merupakan segitiga sama sisi, sedang tinggi limas adalah BT . BT =
BE ⋅ BP dan EP = BE 2 + BP 2 EP
EP = BE 2 + BP 2
( )
⇔ EP = 4 2 + 2 2
2
⇔ EP = 16 + 8 ⇔ EP = 24 ∴ EP = 2 6
BT =
BE ⋅ BP EP
⇔ BT =
4⋅2 2 2 6
⇔ BT =
4⋅2 2 2 2⋅3
29
⇔ BT =
4⋅2 2 2 2⋅ 3
⇔ BT =
4 3
⇔ BT =
4 3 3
Jadi, tinggi limas B. ACE adalah
4 3 cm. 3
3. Cara Cepat Mengingat Rumus Perhatikan segitiga siku berikut ini :
(2)
(3)
(4) (6)
(1)
(5)
Persamaan (1) ……. t 2 = xy menjadi (6) = (1) ⋅ ( 2) Persamaan (2) ……. a 2 = cy menjadi (5) = (1) ⋅ (3) Persamaan (3) ……. b 2 = cx menjadi (4) = ( 2) ⋅ (3) Persamaan (4) ................ t =
( 4) ⋅ (5) ab menjadi (6) = (3) c
4. Contoh Penerapan Dalam Kehidupan Sehari-hari Bagian ini adalah bagian paling menarik untuk disimak, karena berhubungan langsung dengan benda-benda yang sering kita lihat sehari-hari. Pernahkah kalian melihat benda-benda seperti pada gambar berikut ini?
30
24 m
5. Soal-soal Matematika yang Berhubungan Dengan Kesebangunan 1. Perhatikan gambar berikut :
AC // A1C1 // A2C2 // A3C3
C C1 C2 C3 B
A A1 A2 A3
dan
AA1 = A1 A2 = A2 A3 = A3 B. Hitunglah : a. AC b. AC + A1C1 + A2C 2 + A3C3
∆ ABC siku-siku di B.
AB = 16 ,
BC = 12 ,
2. Perhatikan gambar berikut : C C1 C2 C3 C4 C5 A A1 A2 A3 A4 A5 B
AA1 = A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = A4 A5 = A5 B = 2 cm dan A5C5 = 18 cm. Hitunglah panjang AC + A1C1 + A2C2 + A3C3 + A4C 4 + A5C5
31
KETERBAGIAN BILANGAN Sebuah bilangan dikatakan habis dibagi (terbagi) dengan sebuah bilangan yang lain, bila hasil pembagiannya memberikan sisa 0. 1. Terbagi Dengan 2 Sebuah bilangan habis dibagi 2, bila bilangan itu bilangan genap. Semua bilangan genap habis dibagi 2. 2. Terbagi Dengan 3 Sebuah bilangan habis dibagi 3, bila jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi 3. Contoh 1 : Bilangan manakah di antara bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 3? a. 123445689
b. 347685542741
c. 23238843934
d. 247465598998745
Penyelesaian : a. Jumlahkan
angka-angka
1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 = 42 ,
pembentuknya
kemudian 4 + 2 = 6 . Karena 6
habis dibagi 3, maka 123445689 habis dibagi dengan 3. b. 3 + 4 + 7 + 6 + 8 + 5 + 5 + 4 + 2 + 7 + 4 + 1 = 56 ,
kemudian
5 + 6 = 11 .
Karena 11 tidak habis dibagi 3 (memberikan sisa 2), maka 347685542741 tidak habis dibagi dengan 3.
c. 2 + 3 + 2 + 3 + 8 + 8 + 4 + 3 + 9 + 3 + 4 = 49 , 49 dijumlahkan angkaangkanya didapat 4 + 9 = 13 , 13 dijumlahkan angka-angkanya didapatkan 1 + 3 = 4 . Karena 4 tidak habis dibagi 3, maka 23238843934 juga tidak habis dibagi dengan 3.
d. 2 + 4 + 7 + 4 + 6 + 5 + 5 + 9 + 8 + 9 + 9 + 8 + 7 + 4 + 6 = 93 ,
93
dijumlahkan angka-angkanya didapat 9 + 3 = 12 , 12 dijumlahkan angka-angkanya didapat 3. Karena 3 habis dibagi 3, maka
247465598998745 habis dibagi dengan 3. 32
3. Terbagi Dengan 5 Sebuah bilangan habis dibagi 5, bila satuan dari bilangan itu 5 atau 0. Perhatikan satuan dari kelipatan (hasil perkalian) 5, hanya ada dua macam yaitu 0 dan 5. 4. Terbagi Dengan 4 Sebuah bilangan habis dibagi 4, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 4. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 4 (2 × 2 ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan 2 sebanyak 2 kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 4, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 2 menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian dengan 4 cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja). Contoh 2 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 4! a. 235642356
b. 6324512536486
c. 1124645654798648
d. 45565254556556532474
Penyelesaian : a. Bilangan 235642356 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi 4, maka 235642356 juga habis dibagi dengan 4. b. Bilangan 6324512536486 dua angka terakhirnya adalah 86. Karena 86 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 6324512536486 juga tidak habis dibagi dengan 4. c. Bilangan 1124645654798648 dua angka terakhirnya adalah 48. Karena 48 habis dibagi 4, maka 1124645654798648 juga habis dibagi dengan 4.
33
d. Bilangan 45565254556556532474 dua angka terakhirnya adalah 74. Karena 74 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 45565254556556532474 juga tidak habis dibagi dengan 4.
Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 4. Catatan : Pada Contoh 2, pembagian dengan 4 yang bersisa hanya memberikan sisa 2, sebab bilangan-bilangan yang dibagi dengan 4 yang memberikan sisa 1 atau 3 pasti bilangan ganjil, dan sebuah bilangan ganjil pasti tidak habis dibagi 4. Ingat bahwa 4 = 2 × 2 . 5. Terbagi Dengan 6 Sebuah bilangan habis dibagi 6, bila bilangan itu adalah bilangan genap dan jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi 3. 6 sama artinya dengan 2 × 3 . Karena itu membagi sebuah bilangan dengan 6 sama dengan membagi bilangan itu dengan 2 × 3 . Artinya bilangan itu dibagi dengan 2, kemudian dibagi lagi dengan 3. Sehingga bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan-bilangan genap yang habis dibagi 3. 6. Terbagi Dengan 8 Sebuah bilangan habis dibagi 8, bila tiga angka terakhir pembentuk bilangan itu habis dibagi 8. ‘Meminjam’ cara untuk menentukan bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 4, kurang lebih demikian. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 8 (2 × 2 × 2 ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan 2 sebanyak 3 kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 8, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 4 menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian 34
dengan 8 cukup dengan memperhatikan tiga angka terakhir dari sebuah bilangan (ratusan, puluhan dan satuan saja). Contoh 3 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 8! a. 235642256
b. 6324512536486
c. 1124645654798648
d. 45565254556556532472
Penyelesaian : a. Bilangan
235642256 ,
tiga
angka
terakhirnya
adalah
256 .
Pembagian 256 ÷ 8 = 32 , artinya habis dibagi 8. Karena itu bilangan
235642256 juga habis dibagi dengan 8. b. Bilangan 6324512536486 , tiga angka terakhirnya adalah 486 . Pembagian 486 ÷ 8 menghasilkan 60 sisa 6. Karena itu bilangan
6324512536486 tidak habis dibagi dengan 8. c. Bilangan 1124645654798648 , tiga angka terakhirnya adalah 648. Pembagian 648 ÷ 8 menghasilkan 81 sisa 0. Karena itu bilangan
1124645654798648 habis dibagi dengan 8. d. Bilangan 45565254556556532472 , tiga angka terakhirnya adalah 472. Pembagian 472 ÷ 8 menghasilkan 59 sisa 0. Karena itu bilangan 45565254556556532472 juga habis dibagi dengan 8.
Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan ratusan, puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 8. Catatan : Pada Contoh 3, perhatikan bahwa tidak ada bilangan ganjil, karena pasti tidak habis dibagi dengan 8. 7. Terbagi Dengan 9 Sebuah bilangan habis dibagi 9, bila jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi 9.
35
9 sama artinya dengan 3 × 3 . Membagi sebuah bilangan dengan 9 hampir sama dengan membagi bilangan itu dengan 3 sebanyak 2 kali (bagi 3, kemudian bagi 3 lagi). Meskipun 9 = 3 × 3 tidak berarti bahwa syarat keterbagian dengan 3 yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah bilangan habis dibagi dengan 9. Karena menentukan sebuah bilangan habis dibagi 3, tidak menghasilkan hasil pembagian bilangan itu dengan 3. Contoh 4 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 9! a. 235642266
b. 6324512536486
c. 1124645655798648
d. 45565254556556532472
Penyelesaian : a. Bilangan 235642266 jumlah angka-angkanya adalah 36. Karena 36 habis dibagi dengan 9, maka bilangan 235642266 juga habis dibagi dengan 9. b. Bilangan 6324512536486 jumlah angka-angkanya adalah 55. Karena 55 ÷ 9 menghasilkan 6 sisa 1, maka bilangan 6324512536486 tidak
habis dibagi dengan 9. c. Bilangan 1124645655798648 jumlah angka-angkanya adalah 81. Karena 81 habis dibagi dengan 9, maka bilangan 1124645655798648 juga habis dibagi dengan 9. d. Bilangan 45565254556556532472 jumlah angka-angkanya adalah 91. Karena
91 ÷ 9
menghasilkan 10 sisa 1, maka bilangan
45565254556556532472 tidak habis dibagi dengan 9.
8. Terbagi dengan 12 Membagi sebuah bilangan dengan 12 sama dengan mebagi bilangan itu dengan 4 × 3 . Karena itu, sebuah bilangan habis dibagi 12, bila bilangan
36
itu dua angka terakhirnya habis dibagi 4 dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. 9. Terbagi Dengan 16 ‘Meminjam’ cara untuk menentukan bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 8, kurang lebih demikian. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 16 (2 × 2 × 2 × 2 ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan 2 sebanyak 4 kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 16, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 8 menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian dengan 16 cukup dengan memperhatikan empat angka terakhir dari sebuah bilangan (ribuan, ratusan, puluhan dan satuan saja). Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya perlu memperhatikan ribuan, ratusan, puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 16. 10. Terbagi Dengan 18 Membagi sebuah bilangan dengan 18 sama dengan membagi bilangan itu dengan 9 × 2 . Karena itu, sebuah bilangan habis dibagi 18 bila bilangan itu
bilangan genap dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 9. 11. Terbagi dengan 25 Sebuah bilangan habis dibagi 25, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 25. Perhatikan barisan kelipatan 25 berikut; 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, .... Pertanyaan
yang
mungkin
muncul
adalah,
‘mengapa
kita
hanya
37
memperhatikan puluhan dan satuan saja?’ Karena mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 25.
38
PENERAPAN KETERBAGIAN BILANGAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP
A. Keterbagian Bilangan Sebuah bilangan dikatakan habis dibagi (terbagi) dengan sebuah bilangan yang lain, bila hasil pembagiannya memberikan sisa 0.
1. Terbagi Dengan 4 Sebuah bilangan habis dibagi 4, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 4. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 4
(2 × 2 )
sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan 2 sebanyak 2 kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 4, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 2 menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian dengan 4 cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja). Contoh 1 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 4! a. 235642356
b. 6324512536486
c. 1124645654798648
d. 45565254556556532474
Penyelesaian : a. Bilangan 235642356 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi 4, maka 235642356 juga habis dibagi dengan 4. b. Bilangan
6324512536486 dua angka terakhirnya adalah 86.
Karena 86 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka
6324512536 486 juga tidak habis dibagi dengan 4.
39
c. Bilangan 1124645654798648 dua angka terakhirnya adalah 48. Karena 48 habis dibagi 4, maka 1124645654798648 juga habis dibagi dengan 4. d. Bilangan 45565254556556532474 dua angka terakhirnya adalah 74. Karena 74 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 45565254556556532474 juga tidak habis dibagi dengan 4.
Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja? Karena,
mulai dari
ratusan, ribuan, sepuluhribuan, dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 4. Catatan : Pada Contoh 2, pembagian dengan 4 yang bersisa hanya memberikan sisa 2, sebab bilangan-bilangan yang dibagi dengan 4 yang memberikan sisa 1 atau 3 pasti bilangan ganjil, dan sebuah bilangan ganjil pasti tidak habis dibagi 4. Ingat bahwa 4 = 2 × 2 . 2. Terbagi Dengan 9 Sebuah bilangan habis dibagi 9, bila jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi 9. 9 sama artinya dengan 3 × 3 . Membagi sebuah bilangan dengan 9 hampir sama dengan membagi bilangan itu dengan 3 sebanyak 2 kali (bagi 3, kemudian bagi 3 lagi). Meskipun 9 = 3 × 3 tidak berarti bahwa syarat keterbagian dengan 3 yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah bilangan habis dibagi dengan 9. Karena menentukan sebuah bilangan habis dibagi 3, tidak menghasilkan hasil pembagian bilangan itu dengan 3. Contoh 2 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 9! a. 235642266
b. 6324512536486
c. 1124645655798648
d. 45565254556556532472 40
Penyelesaian : a. Bilangan 235642266 jumlah angka-angkanya adalah 36. Karena
36 habis dibagi dengan 9, maka bilangan 235642266 juga habis dibagi dengan 9. b. Bilangan 6324512536486 jumlah angka-angkanya adalah 55.
Karena
55 ÷ 9
menghasilkan 6
sisa
1,
maka
bilangan
6324512536 486 tidak habis dibagi dengan 9. c. Bilangan 1124645655798648 jumlah angka-angkanya adalah 81.
Karena
81
habis
dibagi
dengan
9,
maka
bilangan
1124645655798648 juga habis dibagi dengan 9.
d. Bilangan 45565254556556532472 jumlah angka-angkanya
adalah 91. Karena 91 ÷ 9 menghasilkan 10 sisa 1, maka bilangan 45565254556556532472 tidak habis dibagi dengan 9.
3. Terbagi Dengan 16 Sebuah bilangan habis dibagi 16, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 4, dan bila dibagi dengan 4 menghasilkan bilangan yang habis dibagi dengan 4. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 16 (4 × 4 ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan 4 sebanyak 2 kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 16, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 4 menghasilkan bilangan yang habis dibagi dengan 4. Sehingga pembagian dengan 16 cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja), dan hasil pembagiannya dengan 4. Contoh 3 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 16! a. 235642356
b. 6324512536 486
c. 2464565479 8656
d. 4556525455 6556532474 41
Penyelesaian : a. Bilangan 235642356 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi 4, maka 235642356 juga habis dibagi dengan 4.
235642356 ÷ 4 = 58910589 . Selanjutnya, 89 tidak habis dibagi dengan 4. Karena itu, 235642356 tidak habis dibagi 16. b. Bilangan
6324512536486 dua angka terakhirnya adalah 86.
Karena 86 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 6324512536486 juga tidak habis dibagi dengan 16.
c. Bilangan 24645654798656 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi 4, maka 24645654798656 juga habis dibagi
dengan
4.
24645654798656 ÷ 4 = 6161413699664 .
Selanjutnya, 64 habis dibagi 4. Karena itu, 24645654798656 habis dibagi 16. d. Bilangan 45565254556556532474 dua angka terakhirnya adalah 74. Karena 74 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 45565254556556532474 juga tidak habis dibagi dengan 16.
Selain cara seperti di atas, dapat juga dengan hanya memperhatikan 4 angka terakhir dari sebuah bilangan. Atau kurang lebih dapat dikatakan demikian, “Bila 4 angka terakhir sebuah bilangan habis dibagi dengan 16, maka bilangan itu juga habis dibagi dengan 16”. Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya perlu memperhatikan ribuan, ratusan, puluhan dan satuan saja? Karena,
mulai dari sepuluhribuan, dan seterusnya pasti habis
dibagi dengan 16.
4. Terbagi Dengan 25 Sebuah bilangan habis dibagi 25, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 25.
42
Perhatikan barisan kelipatan 25 berikut; 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, .... Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, ‘mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja?’ Karena mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 25. Contoh 4 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 25! a. 235642355
b. 6324512536475
c. 112464565479800
d. 45565254556556532475
Penyelesaian : a. Bilangan 235642355 dua angka terakhirnya adalah 55. Karena 55 tidak habis dibagi 25 (memberikan sisa 5), maka bilangan 235642355 juga tidak habis dibagi 25.
b. Bilangan 6324512536475 dua angka terakhirnya adalah 75. Karena 75 habis dibagi 25, maka bilangan 6324512536475 juga habis dibagi 25. c. Bilangan 112464565479800 dua angka terakhirnya adalah 00. Karena 00 habis dibagi 25 ( 0 ÷ 25 = 0 ), maka bilangan
112464565479800 juga habis dibagi 25. d. Bilangan 45565254556556532475 dua angka terakhirnya adalah 75.
Karena
75
habis
dibagi
25,
maka
bilangan
45565254556556532475 juga habis dibagi 25.
B. Akar Pangkat Dua (Kuadrat) Akar pangkat dua adalah operasi invers (kebalikan) dari pangkat dua (kuadrat). Karena itu, untuk memahami akar pangkat dua sebuah bilangan, perhatikan tabel berikut:
43
Bilangan Kuadrat Bilangan Kuadrat Bilangan
Akar Kuadrat
Bilangan
Akar Kuadrat
0
0
11
121
0
0
121
11
1
1
12
144
1
1
144
12
2
4
13
169
4
2
169
13
3
9
14
196
9
3
196
14
4
16
15
225
16
4
225
15
5
25
16
256
25
5
256
16
6
36
17
289
36
6
289
17
7
49
18
324
49
7
324
18
8
64
19
361
64
8
361
19
9
81
20
400
81
9
400
20
Kenyataan di lapangan menunjukkan bahwa, peserta didik mulai kesulitan menentukan akar pangkat dua sebuah bilangan (khusus bilangan kuadrat sempurna), bila bilangan itu sudah lebih dari 400. Salah satu cara yang mungkin dapat memudahkan peserta didik untuk mencari akar pangkat dua sebuah bilangan adalah dengan menuliskan bilangan yang akan dicari akar pangkat duanya dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat sempurna. Karena itu, penulis berpendapat syarat keterbagian sebuah bilangan dapat dijadikan sebagai prasyarat untuk mempelajari akar pangkat dua (kuadrat) sebuah bilangan. Bilangan kuadrat yang sering digunakan untuk menuliskan bilangan yang akan dicari akar pangkat duanya dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat sempurna adalah 4, 9, 16, dan 25.
44
C. Penerapan Dalam Pembelajaran Tulisan ini dimaksudkan untuk memudahkan peserta didik untuk menentukan akar pangkat dua sebuah bilangan dalam pembelajaran konsep akar pangkat dua di Kelas VII SMP. Contoh 5: Tentukan akar pangkat dua dari bilangan-bilangan berikut: a. 576
d. 12544
b. 1296
e. 15876
c. 2025
f. 32400
Penyelesaian: a. 576 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu 576 = 4 × 144 = 4 × 4 × 36 = 16 × 36 .
Jadi,
576 = 16 × 36 = 16 × 36 = 4 × 6 = 24 .
b. 1296 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu
1296 = 4 × 324 = 4 × 4 × 81 . Jadi, 1296 = 4 × 324 = 4 × 4 × 81 = 4 × 4 × 81 = 2 × 2 × 9 = 36 . c. 2025 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu
2025 = 25 × 81 . Sehingga,
2025 = 25 × 81 = 5 × 9 = 45 .
d. 12544 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu 12544 = 4 × 4 × 4 × 49 .
Jadi, 12544 = 4 × 4 × 4 × 4 × 49 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 = 112 . e. 15876 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu
15876 = 4 × 3969 = 4 × 9 × 441 = 4 × 9 × 9 × 49 . Jadi, 15876 = 4 × 9 × 9 × 49 = 2 × 3 × 3 × 7 = 126 . f. 32400 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu 32400 = 100 × 324 = 100 × 4 × 81 .
Jadi,
32400 = 100 × 4 × 81 = 180 .
45
Soal Latihan Tentukan nilai dari akar bilangan berikut! 4. 1. 81 625 2. 5. 225 784 3. 6. 324 1290 D. Metode Akar Pangkat Dua Dengan Menghitung Contoh 6: Tentukan nilai dari
1156 !
Penyelesaian: Langkah 1: Kelompokkan bilangan itu atas dua angka mulai dari satuan. Perhatikan bentuk
11 56 = ...
Langkah 2: Carilah sebuah bilangan (dari 1 s.d. 0) yang jika dikuadratkan, hasilnya mendekati 11, tetapi tidak boleh lebih dari 11. Diperoleh 3 karena 3 × 3 = 9. Perhatikan!
11 56 = 3 3×3=
9 2
−
hasilnya 3 Selesaikan!
11 56 = 3
− 9 2 56 diperoleh 256.
3×3=
kelompok
berikutnya
diturunkan
Langkah 3: Hasil yang diperoleh dikalikan dengan 2, diperoleh
2 × 3 = 6 . Tuliskan bilangan 6 ini seperti berikut : 11 56 = 3 9 − 2 56 6 ... × ... = .... − ↑ Bilangan 6 disimpan (baca: enampuluh ... kali ...) Titik-titik harus diisi dengan bilangan yang sama. 3×3=
46
Langkah 4: Lengkapi 6 ... × ... = agar diperoleh 256. Diperoleh 4 karena
64 × 4 = 256 .
11 56 = 3 4
Perhatikan!
− 9 2 56 6 4× 4 = 2 56 − 0
3×3=
Jadi,
1156 = 34 .
Soal Latihan
Tentukan nilai dari akar bilangan berikut! 1.
289
4.
600, 25
2.
324
5.
210, 25
3.
676
6.
696, 96
47
PENERAPAN KETERBAGIAN BILANGAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT TIGA DI KELAS VII SMP
A. Pangkat Tiga Suatu Bilangan Bila a suatu bilangan bulat, maka pangkat tiga dari a ditulis a3 = a × a ×
a. Perhatikan tabel berikut:
Bilangan
Pangkat Tiga
Bilangan
Pangkat Tiga
Bilangan
Pangkat Tiga
Bilangan
Pangkat Tiga
0
0
10
1000
20
8000
30
27000
1
1
11
1331
21
9261
31
29791
2
8
12
1728
22
10648
32
32768
3
27
13
2197
23
12167
33
35937
4
64
14
2744
24
13824
34
39304
5
125
15
3375
25
15625
35
42875
6
216
16
4096
26
17576
36
46656
7
343
17
4913
27
19683
37
50653
8
512
18
5832
28
21952
38
54872
9
729
19
6859
29
24389
39
59319
Amati tabel di atas! Pola apa yang dapat kalian temukan antara bilangan a dan pangkat tiganya?
B. Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan Perhatikan tabel berikut:
48
Akar
Akar
Akar
Akar
Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Tiga
Tiga
Tiga
Tiga
0
0
1000
10
8000
20
27000
30
1
1
1331
11
9261
21
29791
31
8
2
1728
12
10648
22
32768
32
27
3
2197
13
12167
23
35937
33
64
4
2744
14
13824
24
39304
34
125
5
3375
15
15625
25
42875
35
216
6
4096
16
17576
26
46656
36
343
7
4913
17
19683
27
50653
37
512
8
5832
18
21952
28
54872
38
729
9
6859
19
24389
29
59319
39
Amati tabel di atas! Pola apa yang dapat kalian temukan antara bilangan a dan akar pangkat tiganya?
C. Metode Penarikan Akar Pangkat Tiga dengan Menggunakan Perkalian Bilangan (Keterbagian Bilangan)
Contoh 1: Tentukan nilai dari
3
2744 !
Penyelesaian: Bilangan 2744 habis di bagi 4, sehingga dapat ditulis 2744 = 2 × 2 × 686. Bilangan 686 masih habis bila dibagi 2, sehingga dapat ditulis 686 = 2 × 343. Karena itu, bilangan 2744 dapat ditulis sebagai berikut:
2744 = 2 × 2 × 2 × 343 49
⇔ 2744 = 2 3 × 343 ⇔ 2744 = 2 3 × 7 3 Karena itu Jadi,
3
3
2744 = 3 2 3 × 7 3 = 3 2 3 ⋅ 3 7 3 = 2 × 7 = 14
2744 = 14 . Apakah ada cara lain yang dapat dilakukan?
Contoh 2: Tentukan nilai dari 3 13824 !
Penyelesaian: Bilangan 13824 habis dibagi 8, sehingga dapat ditulis 13824 = 8 × 1728. Bilangan 1728 habis dibagi 4, sehingga dapat ditulis 1728 = 4 × 432. Bilangan 432 habis dibagi 8, sehingga dapat ditulis 432 = 8 × 54. Bilangan 54 dapat ditulis 54 = 2 × 27. Karena itu, bilangan 13824 = 8 × 4 × 8 × 2 × 27. Atau 13824 = 8 × 8 × 8 × 27 13824 = 83 × 33 Karena itu, 3 13824 = 3 83 × 33 = 3 83 ⋅ 3 33 = 8 ⋅ 3 = 24 Jadi,
3
13824 = 24 . Apakah ada cara lain yang dapat dilakukan?
Soal Latihan
Tentukan nilai dari akar bilangan berikut! 1.
3
216
6.
3
21952
2.
3
729
7.
3
32768
3.
3
1728
8.
3
42875
4.
3
4096
9.
3
46656
5.
3
5832
10.
3
74088
50
D. Metode Penarikan Akar Pangkat Tiga dengan Menghitung Contoh 3: Dengan menghitung, tentukan nilai dari
3
274625 !
Penyelesaian: Langkah 1: Kelompokkan bilangan itu atas 3angka-3angka mulai dari satuan. Perhatikanlah!
3
274 625 =
Langkah 2: Carilah sebuah bilangan (dari 1 s.d. 9) yang bila dipangkattigakan mendekati 274. didapatkan 6 × 6 × 6 = 216. Perhatikan!
3
6×6×6=
274 625 = 6 216 -
hasilnya 6
Selesaikan! 6×6×6=
3
274 625 = 6 216 -
58625
kelompok berikutnya diturunkan..
Langkah 3: Carilah sebuah bilangan yang bila disubtitusi ke dalam persamaan: {30 × 6 × (6...) + (...)2} × ... ≤ 58625. Perhatikan angka satuannya, kemungkinan angkanya di sekitar 5. Coba subtitusikan dan hitung {30 × 6 × (65) + (5)2} × 5 ≤ 58625? {30 × 6 × (65) + (25)} × 5 ≤ 58625? {180 × (65) + (25)} × 5 = 58625? {180 × (65) + (25)} × 5 = 58625? {11700 + 25} × 5 = 58625? {11725} × 5 = 58625. 51
Jadi!
3
6×6×6=
274 625 = 6 5 216 -
58625 {30 × 6 × (6...) + (...)2} × ... 58625-
Bilangan yang dicari adalah 5!
Jadi,
3
274 625 = 65. Periksa dengan 653 = 65 × 65 × 65 = 274625.
Apakah ada cara lain yang dapat dilakukan? Silahkan mencoba! Contoh 4: Dengan menghitung, tentukan nilai dari
3
357911 !
Penyelesaian: Langkah 1: Kelompokkan bilangan itu atas 3angka-3angka mulai dari satuan. Perhatikanlah!
3
357 911 =
Langkah 2: Carilah sebuah bilangan (dari 1 s.d. 9) yang bila dipangkattigakan mendekati 357. didapatkan 7 × 7 × 7 = 343. Perhatikan!
3
7 × 7× 7 =
357 911 = 7 343 -
hasilnya 7 Selesaikan! 7× 7× 7 =
3
357 911 = 7 343 14911
kelompok berikutnya diturunkan.
52
Langkah 3: Carilah sebuah bilangan yang bila disubtitusi ke dalam persamaan: {30 × 7 × (7...) + (...)2} × ... ≤ 14911. Perhatikan angka satuannya, kemungkinan angkanya di sekitar 1. Coba subtitusikan dan hitung {30 × 7 × (71) + (1)2} × 1 ≤ 14911? {30 × 7 × (71) + (1)} × 1 ≤ 14911? {210 × (71) + (1)} × 1 = 14911? {210 × (71) + (1)} × 1 = 14911? {14910 + 1} × 1 = 14911? {14911} × 1 = 14911.
Jadi!
3
7×7×7=
357 911 = 7 1 343 -
14911 {30 × 7 × (7...) + (...)2} × ... 14911-
Bilangan yang dicari adalah 1!
Jadi,
3
357 911 = 71. Periksa dengan 713 = 71 × 71 × 71 = 357911.
Dengan meminjam metode akar kuadrat untuk menentukan akar kuadrat bilangan yang bukan bilangan kuadrat, dapatkah cara di atas digunakan untuk menentukan akar pangkat tiga bilangan yang bukan bilangan kubik? Soal Latihan Tentukan nilai dari akar bilangan berikut! f. 3 103823 a. 3 32768 b. 3 42875 g. 3 166375 c. d.
3
e.
3
3
46656
74088 91125
h. i.
3
405224
3
j.
3
531441 753571 53
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah
pembagi
habis
dari
sebuah
bilangan
yang
merupakan bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Banyak cara untuk mendapatkan faktor prima dari sebuah bilangan,
diantaranya
yang
paling
populer
adalah
dengan
menggunakan pohon faktor. Akan tetapi penggunaan pohon faktor ini perlu didasari dengan penguasaan terhadap materi keterbagian sebuah bilangan. Untuk itu, Anda yang berminat agar membaca
Keterbagian Bilangan yang ditulis oleh penulis yang sama. Contoh 1: Uraikan 321 atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: 321 tidak dapat dibagi 2, tetapi habis
321
dibagi 3. Karena itu, langsung bagi dengan
3
3 hasilnya 10. 107 tidak habis dibagi
107
dengan 2, 3, 5, dan 7. Karena itu faktor prima dari 321 hanya 3 dan 107.
Contoh 2: Uraikan 424 atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: 424 habis dibagi 2 (karena bilangan genap)
424 2
hasilnya 212. 212 habis dibagi 2 hasilnya
212
106. 106 habis dibagi 2 hasilnya 53. 53 2
106 2
tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. 53
Karena itu faktor-faktor prima 424 adalah 2 dan 53 atau 424 = 23 × 53.
54
Contoh 3: Uraikan 30.030 atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: 30.030 habis dibagi 2 hasilnya 15.015.
30.030 2
15.015 habis dibagi 3 hasilnya 5.005. 5.005
15.015 3
habis dibagi 5 hasilnya 1.001. 1.001 habis
5.005
dibagi 7 hasilnya 143. 143 habis dibagi 11
1.001
5
hasilnya 13. Karena itu, fakor prima dari
143
7
11
13
30.030 adalah 2, 3, 5, 7, 11, dan 13 atau dapat ditulis 30.030 = 2.3.5.7.11.13 .
Penerapan faktor prima yang banyak dikenal adalah untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan, dan menentukan Faktor Pesersekutuan Terbesar (FPB) dari dua atau lebih bilangan. Bagian ini tidak akan dibahas dalam tulisan ini. Tulisan
ini
akan
membahas
penerapan
faktor
prima
untuk
menyelesaikan bentuk aljabar khususnya pemfaktoran bentuk aljabar dan
peneyederhanaan
pecahan
bentuk
aljabar,
penyelesaian
persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, dan penyelesaian bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ asli.
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Bentuk a2 − b2 Bentuk a2 − b2 dikenal dengan nama selisih dua kuadrat. Bentuk ini faktor-faktornya adalah (a + b) dan (a − b). Karena itu, a 2 − b 2 = (a + b)( a − b) .............................................................. (1)
Beberapa penerapan bentuk a2 − b2 Sering kita menjumpai soal-soal seperti berikut 512 − 492 = ....? 232 − 222 = ....? 1032 − 1022 = ....? 55
Nampaknya soal ini bila diselesaikan secara biasa akan membutuhkan waktu yang agak lama. Namun, dengan menggunakan faktor-faktor selisih dari dua kuadrat, maka soal ini ternyata dapat diselesaikan hanya dalam hitungan detik. Perhatikan bentuk soal di atas bila diubah menjadi bentuk seperti berikut: 512 − 492 = (51 + 49) (51 − 49) = 100 . 2 = 200 232 − 222 = (23 + 22) (23 − 22) = 45 . 1 = 45 1032 − 1022 = (103 + 102) (103 − 102) = 205 . 1 = 205 Soalnya amat mudah bukan?
Tripel Pythagoras Salah satu teorema dalam matematika yang banyak digunakan adalah teorema Pythagoras. Teorema ini berbunyi “pada segitiga siku-siku kuadrat hypotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya”. Perhatikan gambar berikut:
ABC siku-siku di titik C. AC = b satuan,
B
BC = a satuan, dan AB = c satuan. Menurut
a
c
Pythagoras berlaku hubungan:
c 2 = a 2 + b 2 , akibatnya: C
A b
a 2 = c 2 − b 2 dan b2 = c2 − a2
Perhatikan bahwa bentuk a 2 = c 2 − b 2 yang dapat diubah menjadi a 2 = (c + b)(c − b) , dan bentuk b 2 = c 2 − a 2 dapat diubah menjadi b 2 = (c + a )(c − a) . Dengan demikian,
a = (c + b)(c − b) = (c + b) . (c − b) , ................................................ (2) dan b = (c + a )(c − a ) = (c + a ) . (c − a ) ................................................. (3) Bentuk (2) dan (3) masing-masing adalah panjang sisi a dan sisi b pada segitiga siku-siku dengan panjang hypotenusa c.
56
Contoh 1: Tentukanlah panjang sisi ketiga pada sebuah segitiga sikusiku bila diketahui panjang hypotenusa 13 cm dan salah satu sisi sikusikunya berukuran 12 cm!
Penyelesaian: Perhatikan gambar!
12
x = 13 + 12 . 13 − 12 .
13
⇒ x = 25. 1
⇔ x = 5.1 ∴ x = 5 cm
x = ...?
Contoh 2: Segitiga ABC siku-siku di titik B. Bila AC = 25 cm dan AB = 24 cm, berapakah panjang BC?
Penyelesaian: Perhatikan gambar di samping!
A
BC = ( 25 + 24)(25 − 24)
24
25
B
⇒ BC = 49 . 1 C
BC = ...?
⇔ BC = 7.1
∴ BC = 7 cm
Garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah garis singgung persekutuan dua buah lingkaran. Garis singgung persekutuan dua buah lingkaran yang dikenal ada 2, yaitu; (1) garis singgung persekutuan dalan (gd), dan (2) garis singgung persekutuan luar (gl). Untuk
menemukan
rumus
panjang
garis
singgung
persekutuan dalam dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut:
57
Perhatikan gambar!
A' gd
R A r P
Lingkaran P pusatnya di titik P
d
dengan jari-jari r, dan lingkaran O
O
gd
pusatnya di titik O dengan jari-jari
R
R.
B
Jarak
antara
kedua
pusat
lingkaran yaitu OP = d. Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah AB = gd satuan. Berapakah AB? Untuk menemukan jawabannya, maka garis AB ditranslasikan oleh tranlasi B → O sehingga titik B berimpit dengan titik O, titik A akan berimpit dengan A’. Dengan demikian, AA’ = R, A’O = gd, dan
PA' = r + R . Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: A' gd
R A r P
d
O
Perhatikan bahwa segitiga siku-siku PA’O siku-siku di titik A’. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masingmasing adalah panjang garis singgung dalam (gd) dan jumlah jari-jari kedua lingkaran (r + R). Dengan demikian didapatkan hubungan:
d2 = (gd)2 + (r + R)2 yang mengakibatkan : (gd)2 = d2 − (r + R)2, ...................................................................... (4) dan (r + R)2 = d2 − (gd)2 ...................................................................... (5) Persamaan (4) dapat diubah menjadi: (gd)2 = d2 − (r + R)2
⇒ (gd)2 = (d + r + R)(d − r − R) ∴ g d = (d + r + R) . ( d − r − R) .............................................. (6)
58
Persamaan (5) dapat diubah menjadi: (r + R)2 = d2 − (gd)2
⇒ (r + R)2 = (d + gd)(d − gd)
∴ (r + R ) = ( d + g d ) . (d − g d )
.............................................. (7)
Persamaan (6) dan (7) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan dalam.
Contoh 1: Perhatikan gambar di bawah ini! Panjang PQ = 20 cm, PA = 8 cm, dan AB = 16 cm. Tentukan perbandingan luas lingkaran I dan II !.
A 8 P
16
Q
20 B
I
II
gd = 16
Penyelesaian:
d = 20 r = ....? R=8
Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga sikusiku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : (r + R) = (d + g d ) . (d − g d )
⇒ (r + 8) = (20 + 16) . (20 − 16) ⇔ (r + 8) = 36 . 4 ⇔ (r + 8) = 6.2 = 12
∴r = 4 Perbandingan Luas I : Luas II = R2 : r2 = 82 : 42 = 64 : 16 = 4 : 1.
59
Contoh 2: Perhatikan gambar di samping! Bila AB
D
= 25 cm, AC = 2 cm dan BD = 5 cm,
A
berapakah panjang CD?
B C
Penyelesaian: Agar
soal
ini
mudah
diselesaikan,
gd = ...?
digambarkan dalam bentuk segitiga sikusiku,
d = 25
sedemikian
sehingga
didapatkan
hubungan :
r=2
g d = (d + r + R ) . ( d − r − R )
R=5
g d = (25 + 7) . (25 − 7) g d = 32 . 18
g d = 2 4.2 . 2.3 2
g d = 2 4 . 2 2.3 2 g d = 4.2.3 g d = 24 ∴Panjang CD = 24 cm.
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: gl
D r A
gl d
Perhatikan
C R
E B
gambar!
Lingkaran
A
pusatnya di titik A dengan jari-jari r, dan lingkaran B pusatnya di titik B dengan jari-jari R. Jarak antara kedua pusat lingkaran yaitu AB= d. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah AE = gl satuan. Berapakah AE? 60
Untuk menemukan jawabannya, maka garis CD ditranslasikan oleh tranlasi D → A sehingga titik D berimpit dengan titik A, titik C akan berimpit dengan E. Dengan demikian, CE = DA = r, AE = gl, dan
BE = R − r . Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: C r
gl
E
D r
gl
A
R-r d
B
Perhatikan bahwa segitiga siku-siku ABE siku-siku di titik E. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masing-masing adalah panjang garis singgung luar (gl) dan selisih jari-jari kedua lingkaran (R − r). Dengan demikian didapatkan hubungan:
d2 = (gl)2 + (R − r)2 yang mengakibatkan : (gl)2 = d2 − (R − r)2, ...................................................................... (8) dan (R − r)2 = d2 − (gl)2 ...................................................................... (9) Persamaan (8) dapat diubah menjadi: (gl)2 = d2 − (R − r)2 ⇒ (gl)2 = (d + R − r)(d − (R − r)) ∴ g d = (d + R − r ) . ( d − R + r ) .............................................. (10)
Persamaan (9) dapat diubah menjadi: (R − r)2 = d2 − (gl)2 ⇒ (R − r)2 = (d + gl)(d − gl)
∴ ( R − r ) = (d + g l ) . (d − g l )
.............................................. (11)
Persamaan (10) dan (11) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan luar.
61
Contoh 1: Lingkaran M berjari-jari 3 satuan dan lingkaran N berjari-jari 10 satuan memiliki garis singgung persekutuan luar PQ. Bila MN = 25 satuan, berapakah panjang garis singgung persekutuan luar PQ?
Penyelesaian: Q
?
P
10
3
R
M
25
N
Perhatikan gambar di atas. PQ = MR. ∆MRN sikusiku di titik R. NR = 10 − 3 = 7. Karena itu,
MR = MN 2 + NR 2 ⇒ MR =
(MN + NR )( MN − NR)
⇔ MR = (25 + 7)(25 − 7) ⇔ MR = 32.18 ⇔ MR = 2 4.2.2.3 2 ⇔ MR = 2 2.2.3 ∴ MR = 24 Jadi, panjang garis singgung PQ = 24 satuan.
Contoh 2: Dua
buah
lingkaran
memiliki
garis
singgung
persekutuan luar dengan panjang 35 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran itu 37 cm. Bila jari-jari lingkaran pertama 15 cm, berapakah panjang jari-jari lingkaran yang kedua?
Penyelesaian: 35
D
15
? A
C
E 37
B
62
Perhatikan
gambar!
∆ABE Karena itu,
siku-siku di titik E. AB = 37
BE =
adalah hypotenusa. AE = DC
⇒ BE =
37 2 − 35 2
⇔ BE =
(37 + 35)(37 − 35)
⇔ BE =
72.2
= 35. BE = BC − AD.
AB 2 − AE 2
⇔ BE = 144 ∴ BE = 12
Karena BE = BC − AD, maka BC − AD = 12. AD = BC − 12
⇔ AD = 15 − 12 ⇔ AD = 3 ∴AD = 3 cm Panjang jari-jari lingkaran yang kedua 3 cm.
Bentuk ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Real Bentuk ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Real sering juga disebut bentuk kuadrat. Bentuk ini dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut: 1. Tuliskan ax2 + bx + c =
( ax........)(ax.........) a
2. Carilah nilai a.c. 3. Carilah faktor prima dari a.c. 4. Dari faktor-faktor prima itu carilah pasangan faktor a.c yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b. 5. Pasangan faktor yang didapatkan dimasukkan untuk mengisi titiktitik pada langkah 1. 6. Perhatikan faktor pembilang dari langkah 1. Tentukan faktor yang habis dibagi dengan a. 7. Faktor-faktor dari ax2 + bx + c akan didapatkan.
Contoh 1: Tentukanlah faktor-faktor dari x 2 + 7 x + 12 ! 63
Penyelesaian: Perhatikan bentuk x 2 + 7 x + 12 . a = 1, b = 7 dan c = 12.
ac = 12 . Faktor prima dari 12 = 2.2.3. Karena itu 12 = 1 × 12, 12 = 2 × 6, 12 = 3 × 4. Tuliskan
x 2 + 7 x + 12 =
( x........)( x..........) ...................................(I) 1
Sekarang, pilihlah faktor dari 12 yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b = 7. Didapatkan +4 dan +3. Karena itu + 4 dan + 3 menggantikan titik-titik pada bentuk (I) sehingga
( x + 4)( x + 3) 1 2 ⇒ x + 7 x + 12 = ( x + 4)( x + 3) x 2 + 7 x + 12 =
Contoh 2: Tentukanlah faktor-faktor dari 2 x 2 − 5 x + 2 !
Penyelesaian: (2 x.........)(2 x..........) 2 (2 x − 1)(2 x − 4) ⇒ 2 ⇔ ( 2 x − 1)( x − 2) 2 x 2 − 5x + 2 =
∴ 2 x − 5 x + 2 = ( 2 x − 1)( x − 2)
ac = 4 4 = 1.4 = −1.(−4) 4 = 2.2 = −2.(−2) Pasangan faktor yang jumlahnya
2
−5 adalah −1 dan −4. Karena itu, yang
menggantikan
titik-titik
adalah −1 dan −4.
Contoh 3: Tentukanlah faktor-faktor dari 3 x 2 − 11x + 6
Penyelesaian:
64
ac = 18 18 = 1.18 = −1.( −18) 18 = 2.9 = −2.(−9) 18 = 3.6 = −3.( −6)
(3 x......)(3x.....) 3 (3 x − 2)(3 x − 9) ⇒ 3 ⇔ (3 x − 2)( x − 3) 3 x 2 − 11x + 6 =
∴ 3 x 2 − 11x + 6 = (3x − 2)( x − 3)
Pasangan faktor yang jumlahnya
−11 adalah −2 dan −9. Penyederhanaan pecahan aljabar Lanjutan
dari
pemfaktoran
bentuk
kuadrat
di
SMP
adalah
penyederhanaan pecahan bentuk aljabar. Bila pemfaktoran bentuk
ax 2 + bx + c belum dipahami dengan baik, maka berlatihlah sebelum melanjutkan pada penyederhanaan pecahan aljabar.
Contoh 1: Sederhanakanlah bentuk
21x 2 + 38 x + 5 ! 12 x 2 + 29 x + 15
Penyelesaian: Pembilangnya adalah 21x 2 + 38 x + 5 . Karena itu, ac = 105. 105 dapat dituliskan dalam bentuk perkalian faktor primanya sebagai 105 = 3.5.7. Pasangan-pasangan faktor dari 105 adalah
105 = 1 × 105 ,
105 = 3 × 35 ,
105 = 5 × 21 , dan
105 = 7 × 15 . Pasangan faktor yang jumlahnya 38 adalah 3× 35 . Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 21, sama
artinya bila dibagi dengan 3× 7 . Sehingga didapatkan:
(21x......)(21x......) 21 (21x + 3)(21x + 35) ⇒ 21x 2 + 38 x + 5 = 3× 7 2 ⇔ 21x + 38 x + 5 = (7 x + 1)(3 x + 5) 21x 2 + 38 x + 5 =
∴ Pembilang dapat ditulis dalam bentuk (7 x + 1)(3 x + 5) . 65
Penyebutnya adalah 12 x 2 + 29 x + 15 . Nilai ac = 180. Bila ditulis dalam bentuk perkalian faktor primanya, maka
180 = 2 2.3 2.5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 . Pasangan faktor yang mungkin untuk 180 adalah 180 = 1 × 180 , 180 = 2 × 90 , 180 = 3 × 60 ,
108 = 1 × 180 ,
180 = 4 × 45 ,
180 = 5 × 36 ,
180 = 6 × 30 ,
180 = 9 × 20 , 180 = 10 × 18 , dan 180 = 12 × 15 . Pasangan faktor
yang jumlahnya 29 adalah 9 × 20 . Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 12 = 3 × 4 , maka didapatkan bentuk seperti berikut:
(12 x....)(12 x....) 12 x + 9)(12 x + 20) ( 12 ⇒ 12 x 2 + 29 x + 15 = 3× 4 2 ⇔ 12 x + 29 x + 15 = ( 4 x + 3)(3x + 5)
12 x 2 + 29 x + 15 =
∴Penyebut dapat ditulis dalam bentuk (4 x + 3)(3 x + 5) . Jadi, bentuk sederhana dari:
21x 2 + 38 x + 5 (7 x + 1)(3x + 5) = 12 x 2 + 29 x + 15 ( 4 x + 3)(3x + 5
21x 2 + 38 x + 5 7 x + 1 = 12 x 2 + 29 x + 15 4 x + 3 Contoh 2: Sederhanakan bentuk
2 x 2 − 6 x − 20 ! 2 x 2 + 14 x + 20
Penyelesaian: ( 2 x.....)( 2 x......) 2 x 2 − 6 x − 20 2 = ( 2 x......)( 2 x......) 2 x 2 + 14 x + 20 2 ( 2 x + 4)( 2 x − 10) 2 x 2 − 6 x − 20 2 ⇒ = ( 2 x + 4)( 2 x + 10) 2 x 2 + 14 x + 20 2 2 x 2 − 6 x − 20 ( 2 x + 4)( x − 10) ⇔ = ( 2 x + 4)(( x + 10) 2 x 2 + 14 x + 20 ∴
2 x 2 − 6 x − 20 x − 10 = x + 10 2 x 2 + 14 x + 20
66
Penjelasan pembilang. ac = −40. Faktor yang jumlahnya
b = −6 adalah − 40 = 4 × ( −10) . Penjelasan Penyebut. ac = 40. Faktor yang jumlahnya b = 14 adalah 40 = 4 × 10 .
Contoh 3: Sederhanakan bentuk
3x 2 − 5 x − 12 ! 3x 2 − 11x − 20
Penyelesaian:
(3 x......)(3 x......) 3 x 2 − 5 x − 12 3 = 3 x 2 − 11x − 20 (3 x......)(3 x......) 3 (3x + 4)(3 x − 9) 3 x 2 − 5 x − 12 3 ⇒ 2 = 3 x − 11x − 20 (3 x + 4)(3 x − 15) 3 2 3x − 5 x − 12 (3x + 4)( x − 3) ⇔ 2 = 3x − 11x − 20 (3 x + 4)( x − 5) ∴
3x 2 − 5 x − 12 x−3 = 2 3x − 11x − 20 x − 5
Penjelasan pembilang. ac = −36. Faktor yang jumlahnya b = −5 adalah − 36 = 4 × (−9) .
Penjelasan Penyebut. ac = −60. Faktor yang jumlahnya b = −11 adalah 40 = 4 × (−15) .
C. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, a, b, dan c ∈ Real. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu dengan (1) memfaktorkan; (2) melengkapkan kuadrat sempurna; dan (3) dengan menggunakan rumus. Dalam tulisan ini yang akan dibahas hanya penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan.
67
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan hampir sama dengan menyelesaiakan bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, dan c
∈ Real dengan memfaktorkan yang sudah di bahas pada bagian terdahulu. Karena itu, untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai berikut:
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ ax 2 + bx + c = ⇔
(ax......)( ax......) =0 a
(ax....)(ax....) =0 a
Bandingkan dengan langkah-langkah berikut: Langkah I: Kalikan a dengan c hasilnya ac.
Langkah II: Faktorkan ac atas faktor-faktor primanya.
Langkah III: Pilihlah pasangan faktor ac yang jumlahnya sama dengan b.
Langkah IV: Bagilah pasangan faktor ac yang memenuhi dengan a, kemudian masing-masing kalikan dengan −1.
Hasil dari Langkah IV adalah penyelesaian yang dicari.
Contoh 1: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 !
Penyelesaian:
68
ac = 6 ∧ b = 5 6 = 1.6 6 = 2. 3 → b = 5 = 2 + 3 2 3 x=− ∨x=− a a 2 3 ⇒x=− ∨x=− 2 2 3 ∴ x = − ∨ x = −1 2
2x 2 + 5x + 3 = 0 (2 x......)(2 x......) = 2 (2 x + 3)(2 x + 2) ⇔ =0 2 ⇔ (2 x + 3)( x + 1) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0 ∨ x + 1 = 0 ⇔ 2 x = −3 ∨ x = −1 3 ∴ x = − ∨ x = −1 2 ⇒ 2x 2 + 5x + 3 =
∴ Nilai x yang memenuhi persamaan 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 adalah −
3 atau −1. 2
Penjelasan: Pasangan faktor ac = 6 yang jumlahnya b = 5 adalah 2×3. Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda.
Contoh 2: Tentukan
nilai
x
yang
memenuhi
persamaan
3 x 2 − 13 x + 12 = 0 ! Penyelesaian:
3 x 2 − 13 x + 12 = 0 (3 x.....)(3 x......) ⇒ 3 x − 13 x + 12 = =0 3 (3 x − 4)(3 x − 9) ⇔ =0 3 ⇔ (3 x − 4)( x − 3) = 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ∨ x − 3 = 0 ⇔ 3x = 4 ∨ x = 3 4 ∴x = ∨ x = 3 3 2
ac = 36 ∧ b = −13 36 = −4 × (−9) − 13 = −4 + (−9) 4 9 x= ∨x= a a 4 9 ⇒x= ∨x= 3 3 4 ∴x = ∨ x = 3 3
69
∴ Nilai x yang memenuhi persamaan 3 x 2 − 13 x + 12 = 0 adalah
4 atau 3. 3 Penjelasan: Pasangan faktor ac = 36 yang jumlahnya b
= −13 adalah −4×(−9). Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda.
Contoh 3: Tentukan
nilai
x
yang
memenuhi
persamaan
2 x 2 − 3 x − 20 = 0 ! Penyelesaian: 2 x 2 − 3x − 20 = 0 ⇒ 2 x 2 − 3x − 20 =
(2 x......)(2 x......) = 2
( 2 x + 5)(2 x − 8) =0 2 ⇔ ( 2 x + 5)( x − 4) = 0 ⇔
⇔ 2x + 5 = 0 ∨ x − 4 = 0 ⇔ 2 x = −5 ∨ x = 4 5 ∴x = − ∨ x = 4 2
ac = −40 ∧ b = −3 − 40 = 5 × (−8) − 3 = 5 + (−8) 5 8 x=− ∨x= a a 5 8 ⇒x=− ∨x= 2 2 5 ∴x = − ∨ x = 4 2
D. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b,dan c
∈ Real. Fungsi kuadrat akan memotong sumbu x bila ordinatnya sama dengan 0 (y = f(x) = 0). Karena itu, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, sama dengan mencari nilai-nilai x yang membuat fungsi f(x) bernilai 0, sehingga terbentuk persamaan f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 . 70
Bentuk ax 2 + bx + c = 0 adalah bentuk umum dari persamaan kuadrat. Dengan demikian, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu
x, sama dengan mencari penyelesaian persamaan kuadrat.
Contoh 1: Tentukan titik potong fungsi f ( x) = −6 x 2 + 17 x − 5 dengan sumbu x!
Penyelesaian: Fungsi
f ( x) = −6 x 2 + 17 x − 5
memotong sumbu x
bila
y = f ( x ) = 0 . Karena itu, f ( x) = −6 x 2 + 17 x − 5 = 0
ac = 30 ∧ b = 17
⇒ −6 x 2 + 17 x − 5 = 0
30 = 2 × (15)
(−6 x......)(−6 x......) =0 −6 (−6 x + 2)(−6 x + 15) ⇔ =0 − 2×3 ⇔ (3x − 1)(−2 x + 5) = 0
17 = 2 + 15
⇔
⇔ 3x − 1 = 0 ∨ 2 x + 5 = 0 ⇔ 3 x = 1 ∨ 2 x = −5 ∴x =
1 5 ∨x=− 3 2
2 15 x=− ∨x=− a a 2 15 ⇒x=− ∨x=− 6 −6 2 15 ⇔x= ∨x=− 6 6 1 5 ∴x = ∨ x = − 3 2
Jadi, titik potong fungsi f ( x) = −6 x 2 + 17 x − 5 dengan sumbu
5 1 x adalah di titik (− ,0) dan ( ,0) . 2 3 Perhatikan pada kolom kanan dalam penyelesaian di atas. Mengapa nilai x1 dibagi dengan −6, sedang x2 dibagi dengan 6?
Contoh 2: Tentukan koordinat titik potong f : x → x 2 − 2 x − 3 dengan garis y = 0!
71
Penyelesaian: f : x → x 2 − 2x − 3
dapat
ditulis
sebagai
f ( x) = y = x 2 − 2 x − 3 . Karena itu didapatkan, x 2 − 2x − 3 = 0 ( x......)( x......) ⇒ =0 1 ⇔ ( x + 1)( x − 3) = 0 ⇔ x +1 = 0 ∨ x − 3 = 0 ∴ x = −1 ∨ x = 3 Jadi, titik potong fungsi dengan garis y = 0 masing-masing di titik (−1, 0) dan (3, 0).
Contoh 3: Fungsi
f ( x) = 2 x 2 − 3 x − 4
berpotongan
dengan
garis
y = −5 x − 4 di titik A dan B. Tentukanlah koordinat titik A dan titik B!
Penyelesaian: Bila
y = f ( x) = 2 x 2 − 3 x − 4
berpotongan
dengan
garis
y = −5 x − 4 berarti keduanya memiliki titik persekutuan yang dilalui oleh fungsi f(x) dan garis y. Perhatikan bahwa,
y = 2 x 2 − 3 x − 4 .............................................. (1) dan y = −5 x − 4 ..................................................... (2) Persamaan (1) dan persamaan (2) memiliki ruas kiri yang sama, yaitu y. Karena itu, (1) = (2). Sehingga didapatkan persamaan berikut:
2 x 2 − 3 x − 4 = −5 x − 4 ⇒ 2 x 2 − 3x + 5 x − 4 + 4 = 0 ⇔ 2x 2 + 2x = 0 ⇔ 2 x ( x + 1) = 0 ⇔ 2x = 0 ∨ x + 1 = 0 ∴ x = 0 ∨ x = −1 72
Nilai-nilai x yang diperoleh disubstitusi ke persamaan (1) atau persamaan (2). Untuk x = −1 didapatkan y = −5(−1) − 4 = 1 → A (−1, 1) Untuk x = 0 didapatkan y = −5(0) − 4 = −4 → B (0, −4)
Jadi, titik perpotongannya adalah A (−1, 1) dan B (0, −4).
E.
Bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ Asli (Pengayaan) Bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ Asli memiliki n buah pasangan penyelesaian bila c memiliki 2n buah faktor. Faktor-faktor dari c dapat dengan mudah dicari dengan menggunakan kombinasi perkalian dari faktor prima yang dimiliki oleh c. Karena itu, bila c adalah bilangan prima, maka bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ Asli hanya memiliki satu pasang penyelesaian.
Contoh 1: Diketahui a2 − b2 = 75, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu!
Penyelesaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu sama dengan
1 dari banyaknya faktor 2
yang dimiliki oleh 75. Untuk mengetahui semua faktor dari 75, terlebih dahulu 75 difaktorkan atas faktor-faktor primanya. Semua faktor dari 75 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 75. Bilangan 75 dapat ditulis sebagai 75 = 3×5×5. Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya 75 = 1×75, 75 = 3×25, dan 75 = 5×15. 73
Jadi, ada 3 pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b. Pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut:
Untuk pasangan faktor 1×75 = 75×1. Karena a2 − b2 = (a + b)(a − b), maka (a + b) = 75 dan (a − b) = 1 dicari
75 ≈ 38 . 2
Sehingga a2 − b2 = (38 + 37)(38 − 37) = 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (38, 37).
Untuk pasangan faktor 3×25 = 25×3.
(a + b) = 25 dan (a − b) = 3 . Perhatikan bahwa
25 ≈ 13 . 2
(a + b) = (13 + 12) = 25 ⇔ (a − b) = 13 − 12 = 1 (a + b) = (14 + 11) = 25 ⇔ (a − b) = 14 − 11 = 3 Sehingga a2 − b2 = (14 + 11)(14 − 11) = 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (14, 11).
Untuk pasangan faktor 5×15 = 15×5.
(a + b) = 15 dan ( a − b) = 5 . Perhatikan bahwa
15 ≈ 8. 2
( a + b) = (8 + 7) = 15 ⇔ ( a − b) = 8 − 7 = 1 ( a + b) = (9 + 6) = 15 ⇔ (a − b) = 9 − 6 = 3 ( a + b) = (10 + 5) = 15 ⇔ ( a − b) = 10 − 5 = 5 Sehingga a2 − b2 = (10 + 5)(10 − 5) = 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (10, 5).
Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a2 − b2 = 75, a, dan b adalah bilangan asli adalah (38, 37); (14, 11); dan (10,5).
Contoh 2: Diketahui a2 − b2 = 23, a, dan b adalah bilangan asli.
74
a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan itu!
Penyeleaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu hanya 1 pasang, karena 23 adalah bilangan prima yang ditulis sebagai 23 = 23 × 1. b. Untuk faktor 23 × 1, maka
23 ≈ 12 . Sehingga : 2
a + b = 12 + 11 = 23 ↔ a − b = 12 − 11 = 1 Pasangan yang memenuhi a2 − b2 = (12 + 11)(12 − 11) = 23.
Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (12, 11)
Contoh 3: Diketahui a2 − b2 = 135, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu!
Penyelesaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu sama dengan
1 dari banyaknya faktor 2
yang dimiliki oleh 135. Untuk mengetahui semua faktor dari 135, terlebih dahulu 135 difaktorkan atas faktorfaktor primanya. Semua faktor dari 135 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 135. Bilangan 135 dapat ditulis sebagai 135 = 3×3×3×5. Dalam bentuk
pasangan
faktor-faktornya
135 = 1 × 135 ,
135 = 3 × 45 , 135 = 5 × 27 , dan 135 = 9 × 15 . 75
Jadi, ada 4 pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b.Pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut:
Untuk pasangan faktor 135 = 1 × 135 = 135 × 1 .
(a + b) = 135
dan
( a − b) = 1 .
Perhatikan
bahwa
135 ≈ 68 . 2
(a + b) = (68 + 67) = 135 ⇔ (a − b) = 68 − 67 = 1 Sehingga a2 − b2 = (68 + 67)(68 − 67) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (68, 67).
Untuk pasangan faktor 135 = 3 × 45 = 45 × 3 .
(a + b) = 45
dan
( a − b) = 3 .
Perhatikan
bahwa
45 ≈ 23 . 2 (a + b) = (23 + 22) = 45 ⇔ (a − b) = 23 − 22 = 1 (a + b) = (24 + 21) = 45 ⇔ (a − b) = 24 − 21 = 3 Sehingga a2 − b2 = (24 + 21)(24 − 21) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (24, 21).
Untuk pasangan faktor 135 = 5 × 27 = 27 × 5 .
(a + b) = 27
dan
( a − b) = 5 .
Perhatikan
bahwa
27 ≈ 14 . 2 (a + b) = (14 + 13) = 27 ⇔ (a − b) = 14 − 13 = 1 (a + b) = (15 + 12) = 27 ⇔ (a − b) = 15 − 12 = 3 (a + b) = (16 + 11) = 27 ⇔ (a − b) = 16 − 11 = 5 Sehingga a2 − b2 = (16 + 11)(16 − 11) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (16, 11).
Untuk pasangan faktor 135 = 9 × 15 = 15 × 9 .
(a + b) = 15 dan (a − b) = 9 . Perhatikan bahwa
15 ≈ 8. 2 76
(a + b) = (8 + 7) = 15 ⇔ (a − b) = 8 − 7 = 1 (a + b) = (9 + 6) = 15 ⇔ (a − b) = 9 − 6 = 3 (a + b) = (10 + 5) = 15 ⇔ ( a − b) = 10 − 5 = 5 (a + b) = (11 + 4) = 15 ⇔ (a − b) = 11 − 4 = 7 (a + b) = (12 + 3) = 15 ⇔ (a − b) = 12 − 3 = 9 Sehingga a2 − b2 = (12 + 3)(12 − 3) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (12, 3).
Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a2 − b2 = 135, a, dan b adalah bilangan asli adalah (12, 3); (16, 11); (24, 21); dan (68, 67).
F. Latihan 1.
Hitunglah : a. 132 − 122 b. 262 − 192 c. 352 − 252 d. 512 − 492
2.
Bila pasangan bilangan (a, b, c) berikut merupakan tripel Pythagoras, carilah bilangan yang belum diketahui: a. b = 12, c = 13 b. a = 15, c = 17 c. b = 20, c = 29 d. a = 45, c = 53
3.
Garis singgung lingkaran a. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 11 cm dan 3 cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran 17 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan luarnya? b. Jarak dua pusat lingkaran 13 cm. Bila panjang jari-jari masing-masing lingkaran 3 cm dan 2 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan dalamnya? 77
4.
Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Real Faktorkanlah : a. 2 x 2 − 7 x + 3 b. 3 x 2 + 7 x + 4 c. 2 x 2 − 5 x − 3 d. 4 x 2 + 13x + 3
5.
Penyederhanaan pecahan aljabar Sederhanakanlah:
2 x 2 − 6 x − 20 a. 2 x 2 + 14 x + 20
6.
b.
2 x 2 − 17 x + 30 2 x 2 + 3 x − 20
c.
3x 2 + 10 x − 8 6 x 2 − 28 x + 16
d.
3x 2 + 4 x + 1 2x 2 + 5x + 3
Carilah nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat berikut: a. 2 x 2 + x − 1 = 0 b. 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 c. 2 x 2 + 9 x + 10 = 0 d. 3 x 2 + x − 2 = 0
7.
Tentukan titik potong fungsi kuadrat berikut, dengan sumbu x : a. f ( x) = x 2 + 6 x + 10 b. f ( x) = −7 + 6 x − 2 x 2
78
8.
Tentukanlah pasangan (a, b) dengan a, b ∈ bilangan asli, sedemikian sehingga memenuhi persamaan berikut: a. a2 − b2 = 560 b. a2 − b2 = 756 c. a2 − b2 = 2646 d. a2 − b2 = 5250
G.
Kunci
79
KUMPULAN SOAL DAN PENYESAIAN KOMPETISI MATEMATIKA 1. Diketahui ∆ABC siku-siku di titik A. Titik P dan Q terletak pada sisi BC sedemikian hinga BQ : QP : PC = 1 : 1 : 1. Bila panjang BC = 15 cm, hitunglah nilai dari PQ2 + AP2 + AQ2!
(Jabar 2001)
Penyelesaian : Perhatikan gambar berikut:
Dianalisis
dengan
Berlaku hubungan :
menggunakan sumbu
PQ 2 = a 2 + b 2
koordinat untuk me-
AP 2 = 4 a 2 + b 2
mudahkan perhitungan
y 3b
A
BC 2 = 9 a 2 + 9b 2 ⇒ 9( a 2 + b 2 ) = 225 225 ⇔ a2 + b2 = 9 PQ 2 + AP 2 + AQ 2
C(0, 3b)
2b b
AQ 2 = a 2 + 4b 2 dan
Q (a, 2b) P (2a, b) B(3a, 0)
a 2a 3a x
= a 2 + b 2 + 4 a 2 + b 2 + a 2 + 4b 2 = 6( a 2 + b 2 ) = 6.
225 9
2 .225 3 450 = 3 = 150 =
2. ABCD.EFGH merupakan balok dengan luas ABCD = 56 cm2, luas ABFE = 28 cm2, dan luas BCGF = 14 cm2. Hitunglah panjang diagonal ruang balok itu!
(Jabar 2001)
Penyelesaian : Perhatikan gambar berikut!
80
H F
t l A
Bila AB = p, AD = l, dan AE = t ,
G
E
maka :
D
Luas ABCD = pl = 56
C p
Luas BCGF = lt = 14
B
Luas ABFE = pt = 28 dan panjang diagonal
ruang
balok
=
p 2 + l 2 + t 2 . Sehingga : pl.lt.pt = 56.14.28 ⇔ p 2 .l 2 .t 2 = 56.14.28 . Karena itu,
56.14.28 56.14.28 ⇒ p2 = = 112 2 2 l .t 14 2 56.14.28 56.14.28 l2 = ⇒ t2 = = 28 2 ( pt ) 28 2 p2 =
t2 =
56.14.28 56.14.28 ⇒ t2 = =7 2 ( pl ) 56 2
Jadi , panjang diagonal ruang balok itu = 112 + 28 + 7 = 147 3. Tentukan nilai a + b + c + d + e pada gambar berikut!
b
a
c
e d (Kota Bandung 2001) Penyelesaian :
Perhatikan gambar berikut :
y x
x+y
81
Karena itu, gambar dalam soal dapat dilukiskan sebagai berikut : b
c
a b+e a+c
e d
Jumlah besar sudut sebuah segitiga adalah 180°. Jadi, a + b + c + d + e =180° 4. a dan b ∈ ℜ positif dan a>b. Buktikan bahwa
1 2 ( a + b 2 ) > ab ! 2
Penyelesaian : a, b ∈ ℜ , a > 0, b > 0, dan a > b. Karena itu, a − b > 0.
a−b > 0 ⇒ ( a − b) 2 > 0 ⇔ a 2 − 2 ab + b 2 > 0 ⇔ a 2 + b 2 > 2 ab ⇔
1 2 ( a + b 2 ) > ab ......... (terbukti) 2
5. ABCD adalah persegi
D
C
A
B
dengan panjang sisi 8 satuan. Hitunglah luas lingkaran yang diarsir!
(Kota Bandung 2001) Penyelesaian :
82
D
Perhatikan
C
gambar
di
samping! Bila AB = 8 maka
AF = BF = 4 dan BG = 8 . Bila
G E
jaro-jari lingkaran = r, maka GE = r = EF .
F
A
Sehingga
B
BE = BG − GE = 8 − r .
Menurut dalil Pythagoras, BE2 = BF2 + EF2. Karena itu, (8 − r) = 42 + r2 64 −16r + r2 = 16 + r2 48 = 16r r=3 Luas arsiran = πr2 = 32π = 9π satuan luas.
6. Diketahui : 4a + b + c + d + e = 4 a + 4b + c + d + e = 13 a + b + 4c + d + e = 16 a + b + c + 4d + e = 4 a + b + c + d + 4 e = 19 Tentukanlah nilai a, b, c, d, dan e.
(Jabar 2000)
Penyelesaian : Perhatikan penyelesaiannya bila menggunakan metode matriks. a
b
c
d
e
Σ
B1
4
1
1
1
1
4
B2
1
4
1
1
1
13
B3
1
1
4
1
1
16
B4
1
1
1
4
1
4
B5
1
1
1
1
4
19
Ket
83
a
b
c
d
e
Σ
Ket
B6
−3
3
0
0
0
9
B2 − B1
B7
0
−3
3
0
0
3
B3 − B2
B8
0
0
−3
3
0
−12
B4 − B3
B9
0
0
0
−3
3
15
B5 − B4
B10
−3
0
3
0
0
12
B6 + B7
B11
0
−3
0
3
0
−9
B7 + B8
B12
0
0
−3
0
3
3
B8 + B9
B13
−1
0
1
0
0
4
B10 ÷ 3
B14
0
−1
0
1
0
−3
B11 ÷ 3
B15
0
0
−1
0
1
1
B12 ÷ 3
− a + c = 4 → a = c − 4 ........(1) − b + d = −3 → b = d + 3 .......(2) − c + e = 1 → c = e − 1 ..........(3) (3) substitusi ke (1) a = e − 5 ................................(4) (2), (3), dan (4) substitusi ke B 1 4a + b + c + d + e = 4 ⇒ 4( e − 5) + ( d + 3) + ( e − 1) + d + e = 4 ⇔ 4 e + d + e + d + e − 20 + 3 − 1 = 4 ⇔ 2 d + 6 e − 18 = 22 ⇔ d + 3e = 11 .............................(5) Dari baris B9 : −3d + 3e = 15 → −d + e = 5 .......................... (6) Jumlahkan (5) dengan (6) didapatkan 4e = 16 → e = 4 ↔ d = −1 e = 4 dan d = −1 substitusi ke (4), (2), dan (3) didapatkan : a = e − 5 ↔ a = 4 − 5 = −1 b = d + 3 ↔ b = −1 + 3 = 2 c=e−1↔c=4−1=3 Jadi, a = −1, b = 2, c = 3, d = −1, dan e = 4. 84
(Catatan : Cara penyelesaian ini mirip penyelesaian Gauss Jordan yang bisa disimulasikan di komputer).
7. M dan N berturut-turut adalah tengah-tengah BC dan BA serta
A
N
NC = 8 cm dan AM = 6 cm. B
Hitunglah panjang AC.
C
M
(Jabar 2000) Penyelesaian :
Persamaan (2) substitusi ke (1)
Misalkan :
didapatkan :
AB = 2a dan BC = 2b
AC2 = 4(a + b)2
AC2 =4a2 +4 b2
⇒ AC2 = 4.
AC2 = 4(a + b)2 ............ (1)
NC 2 + AM 2 5
⇔ AC2 =
4 2 (8 + 6 2 ) 5
AM2 = 4a2 +b2
⇔ AC2 =
4 (100 ) 5
NC2 + AM2 = 5a2 + 5b2
⇔ AC2 = 80
NC2 + AM2 = 5(a + b)2
∴ AC = 4 5 cm .
NC2 = a2 + 4b2
( a + b) 2 =
NC + AM 5 2
2
...... (2)
8. Dua buah lingkaran pusatnya masing-masing di titik A. Bila
C
talibusur BC panjangnya 10 cm, hitunglah
luas
daerah
yang
diarsir!
B
85
Penyelesaian :
Misalkan, jari-jari lingkaran besar adalah R dan jari-jari lingkaran kecil adalah r. Luas arsiran sama dengan
C
A
luas lingkaran besar dikurangi luas E
lingkaran
Sehingga,
Luas arsiran = πR 2 − πr 2
D
B
kecil.
= π (R 2 − r 2 ) Bila titik tengah BC adalah E, maka :
AC 2 = AE 2 + CE 2 R2 = r 2 + 52 R 2 − r 2 = 25 Jadi, luas arsiran = 25π satuan luas. 9. Bila jari-jari lingkaran A adalah 10 cm, berapakah keliling ∆ABC?
A B C
Penyelesaian :
Bila jari-jari lingkaran B adalah x cm dan jari-jari lingkaran C adalah y A
dan BC = x + y .
B D
cm, maka AB = 10 − x , AC = 10 − y ,
C E
Karena itu,
Keliling ∆ABC = AB + BC + AC = 10 − x + x + y + 10 − y = 20 cm
86
10. Hitunglah luas yang diarsir pada gambar di bawah ini! ( π =
22 ) 7
Penyelesaian : Luas tiga buah sektor (juring)
7 cm
lingkaran yang terletak pada sudut segitiga sama dengan luas satu
18 cm 20 cm
lingkaran. Karena itu,
L 1 = πr 2 22 2 = .7 7 = 22.7
15 cm
= 154 cm 2 Luaspersegipanjang = (20 × 7) + (15 × 7) + (18 × 7) = Keliling ∆ × 7. = 7 × 53 = 371 cm2. Luas arsiran = L1 + Luaspersegipanjang = 154 cm2 +371 cm2 = 525 cm2. 11. Segitiga ABC dengan panjang sisi AC = 20 cm, panjang BC = 12 cm. Titik D pada sisi BC sehingga DA adalah garis tinggi. Titik E pada sisi AC sehingga BE adalah garis tinggi. Jika panjang AD = 14 cm, berapakah panjang BE? (MY 2001)
Penyelesaian : Perhatikan gambar berikut!
BE.AC = AD.BC BE × 20 = 14 × 12 14 × 12 = BE 20 BE = 8 , 4 cm
C E
A
D
B
87
12. Jari-jari lingkaran yang terletak pada tiap sudut segitiga di samping
adalah
7 cm .
Hitunglah : a. Luas daerah yang diarsir! b. Keliling
lingkaran
bagian
luar segitiga! c. Keliling daerah yang diarsir!
Penyelesaian : a. Luas lingkaran = πr 2 dan Sehingga, jumlah besar sudut segitiga
= 180° .
Karena
itu,
luas
juring yang tidak diarsir
=
1 luas lingkaran . 2
1 Luas arsiran = 3 × Luas lingkaran − Luas lingkaran 2 1 = 2 × Luas lingkaran 2 1 22 = 2 × × 72 2 7 1 = 55 × 7 = 385 cm 2 (2 πr 2 ) 2
b. K = 2πr
Keliling luar = 3K −
1 K 2
1 =2 K 2 = 5πr 22 ×7 7 = 110 cm
Keliling luar = 5 ×
c. Karena keliling lingkaran bagian luar = 5πr, maka keliling daerah yang diarsir = 5πr + 6r ↔ 5r(π + 6) satuan. Jadi, keliling daerah yang diarsir = 5 × 7 × (
22 + 6) = 320 cm. 7
88
13. Bila jari-jari kelima
lingkaran
pada gambar di samping
sama,
maka hitunglah : a. Luas arsiran. b. Keliling arsiran.
Penyelesaian :
Jumlah kelima sudut juring yang tidak diarsir = 180° =
1 lingkaran. 2
Karena itu, a. Luas arsiran = 5 × Luas lingkaran − = 4
1 Luas lingkaran 2
1 × Luas lingkaran 2
1 = 4 πr2 2 b. Keliling arsiran
= 4
1 × Keliling lingkaran + 10r 2
= 4
1 × 2πr + 10r 2
= 9πr + 10r = r(9π + 10) 14. ABCD adalah persegi dengan AB = a satuan. Hitunglah : a. Jari-jari lingkaran yang diarsir! b. Luas daerah yang diarsir! c. Keliling daerah yang diarsir!
89
D
C
A
B
Penyelesaian : a. Bila AB = a satuan, maka lingkaran A berjari-jari a satuan. Karena daerah yang diarsir adalah lingkaran yang menyinggung AB, AD dan busur BD, maka bila lingkaran yang diarsir berjari-jari r, akibatnya : a = r + r√2
⇒ r(1 + √2) = a ⇔r=
a 1+ 2
⇔ r = a(√2 − 1) Jadi, jari-jari daerah yang diarsir adalah a(√2 − 1) satuan. b. Luas daerah yang diarsir : L = πr2 ⇔ L = π.a2.(2 + 1 − 2√2). = a2π(3 − 2√2) satuan. c. Keliling daerah yang diarsir : K = 2πr ⇒ K = 2πa(√2 − 1) satuan. 15. Perhatikan
gambar
di
D
C
samping! Hitung luas daerah yang
tidak
Sukabumi
diarsir.
x cm
(Kota 2001)
A
2x cm
B
Penyelesaian :
90
•
Jari-jari lingkaran yang pusatnya di C dan D masing masing adalah x cm.
•
Jari-jari lingkaran kecil (di dalam) misalkan r cm. Dengan Pythagoras : (x + r)2 = (x − r)2 +x2
⇒ x2 + 2xr + r2 = x2 − 2xr + r2 + x2 ⇔ 4xr = x2 ⇔ 4r = x ⇔r=
x 4
Jadi, jari-jari lingkaran kecil adalah
•
Luas lingkaran kecil
= πr2 = π( =
•
x satuan. 4
x 2 ) 4
πx 2 16
cm 2
Luas lingkaran C = Luas lingkaran D
= =
•
πx 2 4
cm 2 .
Luas arsiran = Luas lingkaran C + Luas lingkaran D + L lingkaran kecil =
•
1 2 πx 4
πx 2 4
cm 2 +
πx 2 4
cm 2 +
=
8πx 2 πx 2 cm 2 + cm 2 16 16
=
9πx 2 cm 2 16
πx 2 16
cm 2
Luas ABCD = 2x2 cm2.
91
•
Luas yang tidak diarsir
= (2x2 −
9πx 2 ) cm2. 16
32x 2 − 9πx 2 = cm 2 . 16 =
x2 (32 − 9π ) cm 2 . 16
16. Ditentukan sistem persamaan :
x y z = = =t 3 4 5 4 x + 3 y + 2 z = 34 Hitunglah : x2 + y2 + z2
(Kota Sukabumi 2001)
Penyelesaian : x = 3t; y = 4t; dan z =5t.
⇒ 4(3t) +3(4t) + 2(5t) =34 ⇔ 12t + 12 t + 10t = 34 ⇔ 34 t = 34 ⇔t=1 Karena itu, x = 3; y = 4; z = 5. Jadi, x2 + y2 + z2 = 32 + 42 + 52 = 50. 17. Tentukan nilai : a + b + c + d + e + f + g dari : (x2 + 3x − 1)(x2 + x −1)(x2 + 2x − 2) = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g (Kota Sukabumi 2001)
Penyelesaian :
• (x2 + 3x − 1)(x2 + x −1)
= x4 + x3 − x2 3x3 + 3x2 − 3x
− x2 − x + 1
+
= x4 + 4x3 + x2 − 4x + 1 ..................... 1
92
⇒ (x4 + 4x3 + x2 − 4x + 1)(x2 + 2x − 2) = x6 +2x5 − 2x4 4x5 + 8x4 − 8x3 x4 + 2x3 − 2x2
−4x3 − 8x2 + 8x x2 + 2x − 2
+
= x6 + 6x5 + 7x4 − 10x3 − 9x2 + 10x − 2 ....... 2 = ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g .......... 3 Karena 2 = 3, maka a = 1, b = 6, c = 7, d = 10, e = −9, f = 10, g = −2. Jadi, a + b + c + d + e + f + g
= 1 + 6 + 7 + 10 − 9 + 10 − 2 = 14 − 11 =3
18. Perhatikan gambar di
R
samping!
PR = 6 cm ,
Bila
L
K
PQ = 8 cm , tentukanlah luas daerah PMKL.
P
Q
M
(Kota Sukabumi 2001)
Penyelesaian : x
Selesaikan R(0, 6)
menggunakan
y=x K
dengan
L
bantuan
koordinat
Cartesius. Q(8, 0) P(0, 0)
M
x
Persamaan
garis
yang melalui P dan L adalah y = x .... 1 93
Persamaan garis yang melalui R dan Q adalah
x y + = 1 ...... 2 8 6
Persamaan 1 disubstitusi ke persamaan 2 didapatkan :
x y + =1 8 6 6x + 8x = 48 14x = 48
x= Luas PMKL
48 =y 14 =x×y = x2 =(
48 2 ) 14
=(
24 2 ) 7
=
24 2 satuan luas. 72
19. 12 tahun yang lalu umur P sama dengan dua kali umur Q, sedangkan 6 tahun kemudian umur P 1
1 kali umur Q. Berapa jumlah umur P dan 2
Q sekarang? (Kota Sukabumi 2001)
Penyelesaian : 12 tahun yang
6 tahun yang
6 tahun kemudian
Sekarang
P − 12
P − 12 + 6 = P − 6
P
P+6
Q − 12
Q − 12 + 6 = Q − 6
Q
Q+6
lalu
akan datang
P − 12 = 2×(Q − 12) → P − 2Q = −12 ............................. 94
P−6=
3 ×(Q − 6) 2
2P −12 = 3Q − 18 → 2P − 3Q = −6 ............................... Selesaikan persamaan dan sebagai berikut : P − 2Q = −12
→
2P −4Q = −24
2P − 3Q = −6
→
2P − 3Q = −6
−↑
Q = 18 Q = 18 disubstitusi ke , didapatkan : P − 2Q = −12
↔ P = −12 + 36
→ P − 2(18) = −12
↔ P = 24.
Jadi, P + Q = 24 + 18 = 42 tahun 20. Perhatikan
gambar
di
samping! Tentukan berapa nilai 2α!
α +15ο α +10ο
α α +25ο
(Kota Sukabumi 2001)
Penyelesaian : Cara I:
α +15ο −α +165 ο
α +10ο α +10ο
−α
α
+155ο
α
2α − 140ο
+25ο
Perhatikan gambar di atas!
95
α + (α + 10°) + 2α − 140° = 180°
Cara II:
⇒ 4α − 130°
= 180°
Jumlah sudut luar segiempat
⇔ 4α
= 310°
adalah 360°. Karena itu,
Jadi, 2α = 155°
α + α + 10° + α + 15° + α + 25° = 360° 4α + 50° = 360° 4α
= 310°
Jadi, 2α = 155
21. Perhatikan gambar di samping!
T
Bila PR = 5 cm , RT = 13 cm , dan PQSU adlah sebuah persegi,
S
U
maka tentukanlah luas PQSU. P
Q
R
(Kota Sukabumi 2001)
Penyelesaian : Bila PR = 5 cm , dan RT = 13 cm , maka PT = 13 2 − 5 2 = 12 cm . Bila PR dan PT masing-masing diimpitkan dengan sumbu-x dan sumbu-y maka koordinat P(0, 0), R(5, 0), dan T(0, 12) sehingga : Persamaan garis yang melalui titik R dan T adalah :
x y + = 1 ............................................. 5 12 Karena PQ = QS, maka persamaan garis yang melalui P dan S adalah
y = x ...................................................... Dari persamaan dan didapatkan : x x + =1 5 12 ⇒ 12x + 5x = 60 ⇔ 17x = 60 60 ∴ x= =y 17 96
LuasPQSU = x.y = x2 = =
60 2 17 2
3600 cm2 289
Cara lain dapat diselesaikan dengan menggunakan kesebangunan. Bila PR = 5 cm , dan RT = 13 cm , maka PT = 13 2 − 5 2 = 12 cm . Karena SU ⁄⁄ PQR, ∆TUS ∼ ∆TPR, dan SU = QS = a cm sehingga didapatkan :
SU UT = PR PT a 12 − a = 5 12 ⇔ 12 a = 60 − 5 a
⇒
⇔ 17 a = 60 60 ∴a = 17 Luas PQSU
= a2 =
60 2 17 2
=
3600 cm2 289
22. Titik A, B, dan C masing-masing
C
adalah pusat lingkaran dengan jarijari R. Tentukanlah perbandingan panjang busur di luar dan di dalam segitiga seperti tampat pada gambar
A
B
di samping!
97
Penyelesaian : Panjang busur dalam segitiga sama dengan setengah keliling lingkaran, sedagkan panjang busur di luar segitiga sama dengan
2
1 keliling lingkaran. Karena itu, 2
Panjang busurluar : Panjang busurdalam = 2
1 1 : = 5 : 1. 2 2
23. Pada gambar di samping busur BC menyinggung lingkaran L. Jika ∠A =
π 3
dan A adalah pusat lingkaran dengan jari-jari 12 cm,
tentukanlah : a. Keliling lingkaran L! b. Luas lingkaran L! C
B L
A
Penyelesaian :
C
E L x
B x
30o 30o
A
Jari-jari lingkaran L adalah DL = x cm. Karena itu,
98
DL 1 = AL 2 ⇒ 2DL = AL ⇔ 2 x = AL
Karena x = 4 cm, maka: K = 2πx = 8π cm L = πx 2
⇔ AE = 3x = 12
= 16π cm 2
∴x = 4 24. Jika ∠A =
π 3
maka tentukanlah
perbandingan luas lingkaran B dan luas lingkaran C pada gambar di
A
B
C
samping! Penyelesaian :
Identik dengan soal No. 23. Bila jarijari lingkaran B adalah r, maka jari-jari lingkaran C adalah 3r. Karena itu, Llingkaran
B
= πr2, dan Llingkaran
C
= 9r2.
Llingkaran B : Llingkaran C = 1 : 9.
25. Pada gambar di samping terdapat lingkaran dalam segitiga siku-siku samakaki. Berapakah luas lingkaran tersebut?
a
99
Penyelesaian : Cara I : (Kesebangunan)
C
BD = r + r√2 = r(1 + √2); AC = a√2. AD = DC
D
A
a 2 . 2
E r r
F
∆ABC ∼ ∆ADB
G
B
→
BD AB = BC AC
r(1 + 2 ) a = a a 2 a2 ⇔ r (1 + 2 ) = a 2 ⇔
⇔r ⇔
a 2 (1 + 2 ) a = 2+ 2
=
⇔
=
a 2− 2 × 2+ 2 2− 2
⇔
=
a( 2 − 2 2
= πr 2
Luas lingkaran E
=π =
a2 (2 − 2 )2 4
a2 π (6 − 4 2 ) satuan luas. 4
Cara II : (Konsep Luas)
Luas ∆ABC
=
1 1 1 r .a 2 + .r.a + r .a 2 2 2
=
1 .r( 2 a + a 2 2
=
r( 2 a + a 2 ) ............................. 2 100
a2 ............................................. 2 Karena persamaan sama dengan persamaan , maka : r(2 a + a 2 ) a2 = 2 2 ⇒ r( 2 a + a 2 ) = a 2
Luas ∆ABC
=
⇔r
=
a2 a( 2 + 2 )
⇔r
=
2− 2 a × 2+ 2 2− 2
a( 2 − 2 ) 2 2 a ∴ r 2 = (6 − 4 2 ) 4 a2 Luas lingkaran E = π (6 − 4 2 ) satuan luas. 4 26. Jari-jari lingkaran di samping adalah R dan ⇔r
=
π
∠A =
4
C
. Tentukan luas daerah yang B
diarsir! A
Penyelesaian : ∠A =
π
menghadap busur BC. Karena itu sudut pusat yang
4
menghadap busur BC adalah 90°. C
O
Luas arsiran = B
A
Luas lingkaran = πR2 Luas ∆OBC = Luas arsiran =
Jadi, luas arsiran =
1 Luas lingkaran − Luas∆OBC. 4
1 2 R 2 1 2 1 2 πR − R 4 2
1 2 π R ( − 1) sl. 2 2 101
U
D 27. Jika
ABCD
adalah
bujursangkar
T
C
dan
PQRSTUVW adalah segi-8 beraturan, maka V tentukanlah
perbandingan
luas
S
segi-8
R
W
dengan luas bujursangkar.
A
P
Q
B
Penyelesaian :
D
U
T
C
Bila AB = a dan DU = x didapatkan :
V
S
Luas ABCD = a2, dan Luas segi-8 = a2 −2x2. Karena TU = UV dan TU = a − 2x
W
R
serta UV = x√2, maka : x√2 = a − 2x
A
P
Q
B
⇒ x√2 + 2x = a ⇔ x(2 + √2) = a
⇔x=
a 2+ 2
=
a 2 − 3a 2 + 2 a 2 2
∴x=
a (2 − 2 ) 2
x =
a ( 2 − 2 ) ⇒ x2 = 2
2
2
= − 2a2 + 2a2 2
a a (6 − 4 2 ) ⇔ (3 − 2 2 ) 4 2 sehingga : Luas segi-8 a 2 − 2.
= 2 a 2 ( 2 − 1) sl.
Luas segi-8 : Luas persegi 2a2(√2 − 1) : a2
= −
2(√2
=
a2 (3 − 2 2 ) 2
=
1) : 1
Luas persegi : Luas segi-8 = (1
+ √2) : 2 (Mengapa?) 102
28. Bila panjang sisi sebuah segi-8 beraturan adalah a
Perhatikan gambar di samping! Luas segi-8 = Luas persegi − 2b2.
cm, berapakah luas segi-8 itu?
b√2 = a b=
Penyelesaian :
a
b b
b
1 a2 a√2 ⇒ b2 = 2 2
2b = a√2 ⇒ 2b2 = a2
a
a
Luas persegi
= (a + 2b)2 = (a + a√2)2 = [a(1 + √2)]2 = a2(3 + 2√2) cm2.
Luas segi-8
= Luas persegi – 2b2 = a2(3 + 2√2) − a2 = 3a2 + 2a2√2 − a2 = 2a2 + 2a2√2 = 2a2(1 + √2) cm2.
29. Bila jari-jari lingkaran pada gambar di samping adalah R, berapak luas segi-8 beraturan yang titik-titik sudutnya dilalui lingkaran?
103
Penyelesaian : Perhatikan bahwa segi-8 beraturan itu terdiri dari 4 buah layanglayang yang kongruen. Layang-layang itu memiliki diagonal d1 = R√2, dan d2 = R. Karena itu, Luas segi-8
= 4.
1 .d1.d2 2
= 4.
1 . R√2.R 2
= 2R2√2 satuan luas. 30. ABCD adalah persegi. Busur AC adalah
D
C
busur lingkaran yang masing-masing berpusat di titik B dan D. Busur BD
a
adalah busur lingkaran yang masingmasing berpusat di titik A dan C.
A
a
B
Hitunglah luas daerah yang diarsir!. (Seleksi IMO Yogyakarta, 2001)
Penyelesaian :
D
Luas juring ADE = Luas juring
C x E
BCE, sehingga :
x = LABCD − (L∆ABE+ 2×Luas juring ADE). x
x a
Jadi, Luas arsiran = L.ABCD − 4{L.ABCD − (L∆ABE + 2L juring
A
x a
ADE)}
B
= 4 L∆ABE+8L.juring ADE − 3L.ABCD.
Perhatikan gambar di samping! Luas arsiran = LuasABCD − 4x. •
∆ABE sama sisi dengan panjang sisi a, karena itu : Luas ∆ABE
=
1 a a. 3 2 2
(t =
a 3) 2 104
= •
•
Luas juring ADE =
Luas ABCD Jadi, luas arsiran
a2 4
3 ..........................
30° 2 πa 360° =
1 2 πa 12
=
a2 π ............... 12
= a2 ................................ = 4.
a2 4
3 + 8.
= a 2 3 + 2.
a2 π − 3a 2 12
a2 π − 3a 2 3
=
3a 2 3 + 2 a 2π − 9 a 2 3
=
a2 ( 3 3 + 2π − 9 ) 3
=
a2 ( 2π + 3 3 − 9 ) satuan luas. 3
31. ABCD adalah persegi. Busur AC adalah busur lingkaran yang masingmasing berpusat di titik B dan D. Busur BD adalah busur lingkaran yang masing-masing berpusat di titik A dan C. Hitunglah luas daerah yang diarsir!.
D
C
a
A
a
B
(Soal Kompetisi Nasional Matematika SMU, 1999, Paket III) 105
(Soal Kompetisi Matematika Tkt. SLTP, Mardi Yuana Sukabumi, 2001, No. 2 Final)
Penyelesaian :
D
C x E
y
• Luas arsiran = LuasABCD − 4(x + y). • x + y = Luas juring BCE − Luas
y
tembereng BE
x
x a y
• L.tembereng BE = L.juring ABE − L∆ABE
y x a
A
B
• Luas juring ABE = 2 × Luas juring BCE, sehingga :
•
Luas tembereng BE = 2 × Luas juring BCE − Luas ∆ABE.
•
x + y = Luas juring BCE − (2 × Luas juring BCE – Luas ∆ABE) = Luas ∆ABE − Luas juring BCE Perhitungan :
1 a a4 a 3= 3 .................................. 2 2 4 30° 2 a 2 Luas juring BCE = πa = π ........................... 360° 12 Luas ABCD = a2 ........................................................... a2 a2 3a 2 3 − a 2π x+y = 3− π = 4 12 12 2 2 3a 3 − a π ............................................ 4(x + y) = 3 3 a 2 3 − a 2π Luas arsiran = a2 − 3 Luas ∆ABE =
=
3 a 2 − 3 a 2 3 + a 2π 3
=
a 2 (3 − 3 3 + π 3
=
a2 (π + 3 − 3 3 satuan luas. 3
106
32. Bilangan 4p67q habis dibagi 72. Tentukan p2 − q2!
Penyelesaian : Bila 4p67q habis dibagi 72, maka bilangan itu harus habis dibagi 9 × 8. Artinya :
Bilangan 4p67q harus habis dibagi 8, dan Bilangan 4p67q harus habis dibagi 9. a. Sebuah bilangan habis dibagi dengan 8 bila tiga angka (digit) terakhir habis dibagi 8. Karena itu, 79q ÷ 8 sisanya harus 0.
8 79q 9.. 7q harus habis dibagi 8. Jadi q = 2.
72 7q
b. Sebuah bilangan habis dibagi dengan 9 bila jumlah angka-angkanya habis dibagi 9. Karena itu, 4 + p + 6 = k×9, k ∈ Asli. p = 8 Jadi, p2 − q2 = 82 − 22 = 10×6 = 60 33. Seorang siswa menggunakan korek api untuk membuat rangkaian segitiga yang ada pada diagram di bawah ini. Sisi sebuah segitiga adalah jumlah korek api. Siswa tersebut membuat catatan : i.
Banyaknyakorek api yang diperlukan
ii.
Jumlah segitiga kecil yang dibuat
iii.
Banyak titik pada 2 atau lebih korek api yang bertemu
Banyaknya korek api
Banyaknya segitiga kecil
Banyaknya titik
3
1
3
9
4
6 107
Banyaknya segitiga
Banyaknya korek api
kecil
Banyaknya titik
18
9
10
30
16
15
Jika banyaknya batang korek api adalah 234, tentukan : a. Banyaknya segitiga kecil. b. Banyaknya titik dari 2 atau lebih korek api bertemu.
Penyelesaian :
Banyaknya korek api
: 3, 9, 18, 30, ...
Banyaknya segitiga kecil
: 1, 4, 9, 16, ...
Banyaknya titik
: 3, 6, 10, 15, ...
Gunakan barisan bertingkat untuk menyelesaikan soal ini. (Baca Penerapan Barisan Bertingkat).
Un = an2 + bn + c a + b + c,
4a + 2b + c,
3a + b
9a + 3b + c,
5a + b
...
7a + b
2a
2a
3
9 6
18 9
3
Perhatikan bahwa
16a + 4b + c,
2a = 3 → a =
30 12
3
3 . 2
3 3 3a + b = 6 → 3( ) + b = 6 ↔ b = . 2 2 a+b+c=3→
3 3 + + c = 3 ↔ c = 0. 2 2 108
Un =
3 2 3 3 n + n = (n2 + n) 2 2 2
3 2 (n + n) = 234 2
Bila
→ (n2 + n) = ↔ n2 + n
2 (234) 3
= 156
↔ n2 + n − 156 = 0 ↔ (n + 13) (n − 12) = 0 ∴ n = 12. Banyaknya
suku adalah 12 156 -156 = 13(-12) 2
78 2
39 3
13
109
Kolom kanan untuk mencari faktor dari −156 = 13 × −12, sehingga
13 + ( −12 ) = 1 . a. Banyak segitiga kecil
: 1, 4, 9, 16, ...
Un = n 2 U12 = 144 Jadi banyaknya segitiga kecil pada urutan ke-12 ada 144 buah.
b. Banyak tititik
: 3,
6, 3
10, 4
1
15,
....
5 1
1 2 3 3 3a + b = 3 → + b = 3 ↔ b = 2 2 1 3 a+b+c=3→ + +c=3↔ c=1 2 2 1 3 U n = n2 + n + 1 2 2 144 36 = U12 + +1 2 2 = 72 + 18 + 1 = 91
2a = 1 → a =
Jadi, banyaknya titik temu pada urutan ke-12 adalah 91. 34. Selisih kuadrat dua buah bilangan bulat positif (asli) adalah 135. Tentukan pasangan-pasangan bilangan yang mungkin! Penyelesaian :
a2 − b2 = 135, a, b ∈ Asli dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: (a + b)(a − b) = 135, a, b ∈ Asli. 135 dapat ditulis sebagai 135×1, 45×3, 27×5, dan 15×9. Karena itu banyaknya pasangan yang mungkin ada 4. Pasangan-pasangan itu adalah : 135×1 = (68 + 67)(68 − 67) ⇒
(68, 67)
45×3
= (24 + 21)(24 − 21) ⇒
(24, 21)
27×5
= (16 + 11)(16 − 11) ⇒
(16, 11)
15K9
= (12 + 3)(12 − 3)
(12, 3)
⇒
110
Jadi, ada 4 pasangan yang mungkin yaitu (68,67), (24,21), (16,11), dan (12,3). 35. Selisih kuadrat dua buah bilangan bulat positif (asli) adalah 75. Tentukan pasangan-pasangan bilangan yang mungkin! Penyelesaian :
a2 − b2 = 75, a, b ∈ Asli dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: (a + b)(a − b) = 75, a, b ∈ Asli. 75 dapat ditulis sebagai 75×1, 25×3, dan 15×5. Karena itu banyaknya pasangan yang mungkin ada 3. Pasangan-pasangan itu adalah : 75×1
= (38 + 37)(38 − 37) ⇒
(38, 37)
25×3
= (14 + 11)(14 − 11) ⇒
(14, 11)
15×5
= (10 + 5)(10 − 5)
(10, 5)
⇒
Jadi, ada 3 pasangan yang mungkin yaitu (38,37), (14,11), dan (10,5).
(Petunjuk : Pada No. 34 dan 35 cara mencari pasangan bilangan-bilangan itu, baca tulisan Penerapan Faktor Prima). 36. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. P terletak pada perpanjangan DC sedemikian sehingga DC = CP. Q adlah titik potong diagonal BD dengan garis AP. Tentukan jarak Q ke garis PG! Penyelesaian :
Perhatikan gambar berikut! S 12√2 12 12√5
H
E
G F
T 12√2
12 D A
12
C
Q B
12
P
R 12√5
DQ : QB = DB : BA = 2 : 1 karena ∆AQB ∼ ∆PQD.
111
AS = AP sehingga AQ : QP = 1 : 2, AQ =
1 AP. 3
AS2 = AP2 = 242 + 122 → AP =12√5. Karena AG adalah diagonal ruang kubus ABCD.EFGH, maka panjang AG = 12√3. Karena DC = CP, maka PQ = 12√2 (sama dengan diagonal sisi kubus). Dengan demikian ∆APS adalah segitiga samakaki dengan alas PS, sehingga AG merupakan garis tinggi ∆APS. Perhatikan gambar berikut: S x
12√5
G T
12√3
x
A 4√5
QT 8 5 2 = = AG 12 5 3 ⇒
QT =
Q
8√5
QT =
2 .12 3 3
P
Jadi, jarak Q ke garis PG adalah 8√3 cm.
QT = 8 3
2 AG 3
37. Sebuah bilangan terdiri atas 2 angka. Bilangan tersebut 8 kali jumlah angka-angkanya. Jika disisipkan angka 0, maka bilangan tersebut 54 lebih dari 9 kali bilangan semula. Tentukan bilangan tersebut!
Penyelesaian : Misal bilangan itu xy, maka
10x + y
= 8(x + y).
→ 10x + y
= 8x + 8y
→ 2x
= 7y
Jadi,
y
=
2x ............... 7
Bilangan kedua berbentuk x0y.
→100x + y
= 54 + 9(xy)
↔ 100x + y
= 54 + 90x + 9y
112
Jadi, 10x − 8y = 54 ................. Persamaan substitusi ke persamaan didapatkan : 10x −
16x 7
= 54
(70 − 16)x
= 7×54
54x
= 7×54 x
= 7 → y = 2.
Jadi, bilangan itu adalah 72. 38. Dalam ∆ABC titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada sisi AB, BC, dan CA sedemikian sehingga AP = 14 cm , PB = 7 cm , BQ = QC = 6
1 cm , 2
CR = 8 cm , dan RA = 12 cm . Tentukanlah luas ∆PQR!
Penyelesaian : 7 Q B 2 C1 P
6,5 Q
14
6,5
A
P1 12
R B1 Q1
C
8
Perhatikan gambar di atas! Luas ∆ABC =
s(s − a)(s − b )(s − c ) dengan s =
1 Keliling ∆ABC, sehingga 2
s = 27 cm. Luas ∆ABC
=
27 × 6 × 7 × 14
= 126 satuan luas. Luas ∆ABC 126
=
1 AC × BB1 2
=
1 .20.BB1 2 113
BB1
=
126 10
= 12,6 Karena
PP1 AP = maka : BB 1 AB
PP1 14 = 12 ,6 21 2 PP1 = 12 ,6( ) 3
PP1 = 8 ,4 Luas ∆APR
=
1 .12.8 ,4 2
= 6(8,4) = 50,4 satuan luas Begitu pula
QQ 1 QC = BB1 BC QQ 1 1 = 12 ,6 2 1 QQ 1 = 12 ,6( ) 2
QQ 1 = 6 ,3 Luas ∆QRC
=
1 (8)(6 ,3) 2
= 25,2 satuan luas =
1 .AB.CC 1 2
126
=
1 .21.CC 1 2
CC1
=
256 11
CC1
= 12
Luas ∆ABC
Karena
QQ 2 BQ maka : = CC 1 BC
114
QQ 2 1 = 12 2 QQ2 = 6 Sehingga Luas ∆BPQ
=
1 .7.6 2
= 21 satuan luas. Jadi, Luas ∆PQR = Luas ∆ABC − Luas ∆APR − Luas ∆QRC − Luas ∆BPQ = 126 − 50,4 − 25,2 − 21 = 29,4 satuan luas 39. Operasi ∗ untuk himpunan bilangan A = {0,1,2,3,4,5} didefinisikan sesuai tabel di bawah ini ∗ 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Jika x2 = x∗x, xn = xn – 1∗x, hitunglah nilai 31999. A. 0
C. 2
B. 1
D. 3
Penyelesaian : Dengan mengamati pola yang terjadi dalam tabel, operasi ∗ berarti sisa dari hasil kali bilangan I dengan bilangan II dibagi 5. Untuk mendapatkan hasil dari 31999 perhatikan pola berikut ini : Sisa
Hasil
31
3
3
35
3
32
9
4
36
4
33
27
2
…
…
…
34
81
1
…
…
…
Pembagian
3n
Sisa
3n
Hasil
Pembagian
Perhatikan pangkat dari 3. Setelah pangkat 4, sisa pembagiannya berulang kembali 3, 4, 3, 1. Dengan demikian, untuk mengetahui hasil 31999 cukup 115
dengan memperhatikan sisa pembagian dari 1999 ÷ 4. Perhatikan tabel berikut : Sisa
Hasil
Pembagian
Operasi ∗
1
3
2
4
3
2
0
1
1999 ÷ 4 = 499 sisa 3
Kunci : C 40. Sebuah operasi bilangan dinamakan operasi β dan didefinisikan sebagai berikut :
a + b , a > b aβ b = a − b , a ≤ b Hitunglah nilai (1β1)(2β1) = ?
Peyelesaian : A. –6
C. –3
B. –4
D. –1
Penyelesaian:
a + b , a > b aβ b = a − b , a ≤ b
(1β1)(2β1) = ?
(1β1) = 1 – 1 = 0
(2β1) = 2 + 1 = 3
(1β1) – (2β1) = 0 – 1 = –3
Kunci : C 41. f ( x 2 + 3 ax + 1) = 2 x − 1 dan f(5) = 3. Hitung nilai a. A. –2
C. 1
B. 0
D. 3
Penyelesaian : x2 + 3ax + 1 = 5
………………..
(1)
2x – 1 = 3
………………..
(2)
116
Selesaikan persamaan (2) didapatkan x = 2. Nilai x = 2 disubstitusi ke persamaan (1) sebagai berikut : x2 + 3ax + 1 = 5
⇔ 22 + 3.a.2 + 1 = 5 ⇔ 4 + 6a +1 = 5 ⇔ 6a + 5 = 5 ⇔ 6a = 0 ⇔a=0
Kunci : B 42. Grafik y = f(x) disajikan di samping ini
Hitung f(–6) + f(8) A. 5
C. 3
B. 4
D2
Penyelesaian : Persamaan y = f(x) adalah
y x + =1 −4 2 ⇒ −x + 2 y = 4 ⇒ 2y = 4 + x ⇒y =2+ Dengan demikian, f(–6)
1 x 2
f(x)
=2+
=2+
1 ( −6 ) , 2
1 x 2 f(8)
=2+
1 ( 8) 2
=2–3
=2+4
= –1
=6
Jadi, f(–6) + f(8) = 5
Kunci : A 117
43. Jika f(2x – 3) = 4x + 5, f(x) = ? A. x – 8
C. 2x + 11
B. 4x +3
D. –2x + 5
Penyelesaian : f(2x – 3) = 4x + 5 ……………….
(1)
Misalkan, f(x) = ax + b. Diperoleh : f(2x – 3) = a(2x – 3) + b f(2x – 3) = 2ax – 3a + b ………
(2)
Perhatikan persamaan (1) dan persamaan (2). Koefisien x pada persamaan (2) mestilah sama dengan koefisien x pada persamaan (1). Karena itu, 2ax = 4x. Diperoleh a = 2. Konstanta pada persamaan (20 mestilah sama dengan konstanta pada persamaan (1). Karena itu, –3a + b = 5 → –3 (2) + b = 5. Diperoleh b = 11. Jadi, f(x) = 2x + 11
Kunci : C
44. a, b, dan c adalah bilangan asli. a.b = 72 dan b.c = 99. Hitunglah nilai minimum untuk hasil penjumlahan bilangan a + b + c! A. 28
C. 26
B. 27
D. 25
Penyelesaian : Perhatikan bahwa b adalah faktor persekutuan dari 72 dan 99. Agar a + b + c bernilai minimum, maka b adalah FPB(72, 99). FPB(72, 99) = b, dan FPB(72, 99) = 9. Karena itu, b = 9. a.b = 72 a=
72 9
a=8
b.c = 99 c=
99 9
c = 11
118
Jadi, a + b + c = 8 + 9 + 11 = 28
Kunci : A
45. a, b, dan c adalah bilangan prima. c = 17(b – a). Hitunglah a + b + c! A. 19
C. 21
B. 20
D. 22
Penyelesaian : a, b, dan c adalah bilangan prima. c = 17(b – a). Perhatikan bahwa 17 adalah bilangan prima. Karena itu, c = 17 dan b – a = 1. Dengan demikian haruslah b = 3 dan a = 2. Jadi, a + b + c = 2 + 3 + 17 = 22
Kunci : D 46. x, y, dan z adalah bilangan asli yang genap dan berurutan, dan x
