Mathematiques Terminales STG

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CHAPITRE

3

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Programmation linéaire

Tout gérant d’un système de livraisons souhaite minimiser les coûts et les délais entre les points de départ et de destination. Aux États-Unis d’Amérique, la compagnie UPS (United Parcel Service) est spécialisée dans la collecte et l’acheminement des colis. Elle assure une liaison efficace en seulement 24 heures à travers le monde. Son aire de desserte s’étend sur 200 pays sur lesquels circulent 3,1 milliards de colis par an.

y d1

d3

d2

d x O

Un graphique, tel que celui qui figure ci-contre, permet de déterminer l’affectation du trafic à moindre coût de transport.

Les notions abordées dans ce chapitre 58

1. Équations de droites : page 60 2. Systèmes linéaires d’inéquations à deux inconnues : page 64 3. Programmation linéaire : page 68

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Testez-vous avant de commencer ! Pour chacune des questions suivantes, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).

A. Savez-vous… tracer une droite ? A

B

C

D

le point A(1 ; 3)

l’origine du repère

l’origine du repère et le point B(3 ; 1)

le point C(– 1 ; – 3)

2. La droite d’équation x = 2

est parallèle est parallèle à l’axe à l’axe des abscisses des ordonnées

passe par les points A(2 ; 3) et B(2 ; –3)

passe par le point C(3 ; 2)

3. La droite d’équation y = 3

est parallèle est parallèle à l’axe à l’axe des abscisses des ordonnées

passe par les points A(1 ; 3) et B(– 1 ; 3)

passe par l’origine du repère et le point C(2 ; 3)

1. La droite d’équation y = 3x passe par

C

D

4. La droite d’équation y = 2x + 3

coupe l’axe des ordonnées au point A(0 ; 3)

a pour coefficient directeur 2

est parallèle à la droite d’équation y = 2x

est parallèle à la droite d’équation y=x+2

5. Soit les points A(2 ; 1) et B( 0 ; – 3). La droite (AB)

a pour coefficient directeur 0,5

a pour coefficient directeur 2

a pour équation y = 2x – 3

a pour équation y = 2x + 1

y=x–3

y = 2x

y=–3

6. La droite d’équation y = 2x – 3 est parallèle à la droite d’équation

y=

2x – 3 7

C. Savez-vous… traduire « au plus », « au moins » ? A 7. On achète au moins x objets à 10 € et y objets à 8 €. La dépense correspondante D vérifie 8. Une salle de spectacle contient au plus 120 places. Il y a x invitées et y personnes qui ont pris un billet. Donc

B

D 압 10x + 8 y D 암 10 x + 8 y

x + y 암 120

x × y 압 120

C

D

D 압 (10 + 8) × (x + y)

D 암 (10 + 8) × (x + y)

x + y 압 120

il y a moins de 120 billets vendus

3

B

CHAPITRE

A


B. Savez-vous… reconnaître une équation de droite et ses propriétés ?

59 Réponses page 211

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ACTIVITÉS 1. Équations de droites Activité 1

Équation et représentation graphique On considère la droite d d’équation 2 x + y = 3.

Vocabulaire

1. Écrire y en fonction de x. On obtient ainsi l’équation réduite de

Une équation de la forme a x + b y = c, avec a et b non nuls tous les deux, est une équation cartésienne de droite.

d, qui est de la forme y = mx + p. Remplir le tableau ci-contre : choisir x arbitrairement et calculer la valeur correspondante de y.

x

y

2. Déduire du tableau précédent deux points de d que l’on tracera dans un repère

orthonormal (O ; i, j ). Comment faire apparaître sur le graphique le coefficient directeur de d ?

3. Donner une équation de la droite d 1 parallèle à l’axe des abscisses, passant par A(2 ; 3), puis une équation de la droite d 2 parallèle à l’axe des ordonnées et passant par A (2 ; 3).

4. Soit d’ la parallèle à d passant par l’origine du repère. Donner une équation de d’.

Activité 2 Dans un club de natation Technique Le somme, qui dépend du nombre de séances, est repérée sur l’axe des odonnées et le nombre de séances sur l’axe des abscisses.

1. L’adhésion à un club de natation A est de 30 € par an. De plus, pour chaque séance, l’adhérent doit acheter un ticket à 2 €. Soit y la somme totale, en euros, payée pour se rendre à un nombre x de séances. a) Déterminer y en fonction de x. x y b) Montrer que les points de coordonnées (x ; y) appartiennent à 0 une droite que l’on notera d. Compléter le tableau ci-contre. En déduire deux points de d, puis 10 tracer d. c) Déterminer sur le graphique la somme totale payée par l’adhérent s’il se rend à 10 séances, puis s’il se rend à 20 séances. Vérifier le résulat par le calcul. Compte tenu du montant de l’adhésion, à combien lui revient chaque séance dans les deux cas ? d) Au bout de combien de séances, celles-ci lui reviennent en fait à 3 € ? 2. Un club de natation B ne demande pas de cotisation d’adhésion, mais pour chaque séance, il faut acheter un ticket à 4 €. Soit y la somme, en euros, payée pour se rendre à un nombre x de séances. a) Déterminer y en fonction de x. b) Justifier que les points de coordonnées (x ; y) appartiennent à une droite que l’on notera d’, passant par l’origine O du repère. Déterminer un deuxième point de d’. Tracer d’ sur le même graphique que d. c) À partir de combien de séances l’adhésion au club A est-elle financièrement plus avantageuse que l’adhésion au club B ?

Activité 3 Fabrication artisanale de commodes

60

Un menuisier fabrique des commodes. Toute commode fabriquée est vendue. Le segment C ci-après représente la fonction c qui, à chaque nombre x de commodes fabriquées associe le coût de fabrication de ces x commodes (x 僆 [0 ; 30]). En abscisses, le nombre d’objets fabriqués (une unité représente 5 objets). En ordonnées, le coût de fabrication en euros (une unité représente 1 000 €).

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ACTIVITÉS y 1. a) Quel est le coût de fabrication de 10 commodes ? de 20 commodes ? b) Combien d’objets sont fabriqués pour un coût de 3 500 € ? c) Montrer que c (x) = 150 x + 500. 1 000 La somme de 500 € représente les frais fixes engagés indépendamment du nombre de O commodes vendues. Que représente le nombre 150 ? On en déduit que le coût de fabrication est constant.

C

5

x

2. Chaque commode est vendue 350 €. a) Soit R la fonction telle que R (x) = 350 x. Que représente R (x) ? Tracer la représentation graphique de R sur le graphique précédent. b) Déterminer graphiquement le nombre de commodes que le menuisier doit fabriquer pour être bénéficiaire.

Vocabulaire Le bénéfice est la différence entre la somme d’argent résultant de la vente des objets et celle correspondant aux frais de fabrication.

3. a) Quel est le bénéfice b (x) obtenu pour la fabrication de x objets ? b) Retrouver par le calcul le nombre de commodes que l’artisan doit fabriquer pour en retirer un bénéfice.

Ce qu’il faut savoir

y

p p O p

x

O

x

• Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : x = k, où k est une constante.

O

x

y k O

x

䊉 Équation générale Toute équation du type ax + by = c, avec a et b non nuls en même temps, est une équation de droite d.

䊉 Coefficient directeur y • Pour la droite d’équation : y = mx + p, p le réel m est appelé coeffi1 N cient directeur et un vecM teur directeur est u (1 ; m). m u • Pour la droite (AB) non O x parallèle à l’axe des ordonR nées, le coefficient directeur y –y est B A avec A(xA ; yA) et B (xB ; yB). xB – xA

䊉 Droites parallèles Deux droites d’équations respectives : y = mx + p et y = m’ x + p’ sont parallèles si, et seulement si, m = m’.


y

y

3

• Une droite d non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p, appelée équation réduite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée p (p est l’ordonnée à l’origine de d). m쏜0 m쏝0 m=0

• Si b ≠ 0, l’équation s’écrit y = mx + p, et si de plus a = 0, alors l’équation s’écrit y = p. d est une parallèle à (x’x). • Si b = 0 et a ≠ 0, l’équation s’écrit x = p. d est une parallèle à (y’y).

CHAPITRE

䊉 Équation réduite

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MÉTHODES 1. Équations de droites Énoncé 1 OBJECTIF : Déterminer et utiliser une équation réduite

Soit la droite d d’équation 4 x – 2y = 5.

1. Donner l’équation réduite de d. Tracer sa représentation graphique. 2. Tracer en utilisant le coefficient directeur, la droite d’ parallèle à d et passant par l’origine du repère.

SOLUTION 1. 4 x – 2 y = 5 équivaut à 2 y = 4 x – 5, c’est-à-

y

d’

dire y = 2 x – 2,5 qui représente l’équation réduite de d.

Méthode On aurait pu se déplacer dans le même sens, horizontalement de 0,5 unité et verticalement de 1 unité.

d

M

2. d’ est parallèle à d, donc d’ a pour coefficient directeur 2. On part de l’origine O, puis on se déplace d’une unité horizontalement vers la droite, on obtient le point H. À partir de H, on se déplace de 2 unités verticalement vers le haut car 2 est positif (sinon ce serait vers le bas), on obtient le point M. La droite d’ est la droite (OM).

H O

x

1

Et maintenant, exercez-vous ! Soit la droite d d’équation 6x + 3y = 9. 1. Déterminer l’équation réduite de d, puis son coefficient directeur m. 2. Déterminer le point A de d d’abscisse 0. Tracer d en utilisant A et le coefficient directeur m de d.

Énoncé 2 OBJECTIF : Utiliser des données sur un graphique et se servir de celui-ci pour résoudre un problème concret

Un marchand de marrons a remarqué que Températures (x) – 15 °C – 5 °C lorsque la température est inférieure à 0° le Nombre de cornets 80 0 nombre de cornets de marrons vendus en vendus (y) une journée est fonction de la température extérieure. Il a relevé les résultats dans le tableau. Soit x la température exprimée en degrés Celsius et y le nombre de cornets de marrons vendus. On suppose que y = m x + p lorsque la température varie de – 20° à 0°.

1. Placer dans un repère les points correspondant aux données du tableau, puis tracer le segment correspondant à x variant de – 20 à 0. 2. Lire sur le graphique quel a été le nombre de cornets vendus un jour où la température a été de – 12°. 3. Déterminer les nombre m et p. Vérifier par le calcul le résultat de la question 2. SOLUTION 1. La température correspond à l’abscisse et le nombre de cornets à l’ordonnée. On prend comme unité 5 en abscisses et 20 en ordonnées. Les points sont A (– 15 ; 80) et B (– 5 ; 0). y = m x + p et – 20 압 x 압 0, donc la représentation graphique est le segment [FE].

62

2. Le point d’abscisse – 12 a une ordonnée de 55 environ. Il y aura environ 55 cornets vendus. 0 – 80 3. m = yB – yA , donc m = , soit – 5 – (– 15) xB – xA m = – 8, d’où y = – 8 x + p.

y

F A

K

M 20 H

B O

5 E

x

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MÉTHODES Méthode Dans y = mx + p après avoir trouvé m, on détermine p en écrivant que l’équation est vérifiée pour les coordonnées d’un point connu de la droite.

A (– 15 ; 80) est un point de (AB), donc 80 = – 8 × (– 15) + p. D’où 80 = 120 + p et p = – 40, donc une équation de (AB) est y = – 8x – 40. Pour x = – 12, on a y = ( – 8) × (– 12) – 40, soit y = 56. Le résultat trouvé dans la question 2 est voisin de 56.

Et maintenant, exercez-vous ! Reprendre l’exercice précédent avec les données indiquées dans le tableau ci-contre.

Énoncé 3 OBJECTIF : Utiliser la position de deux droites représentant deux quantités pour les comparer

– 10 °C – 2 °C

Températures (x) Nombre de cornets vendus (y)

50

5

Une étudiante fabrique chaque semaine un petit stock de bijoux fantaisie qu’elle vend en fin de semaine afin de s’assurer quelques revenus. Pour chaque semaine, le coût de fabrication en euros de x objets est donné par c (x) = 2 x + 27,5 pour x variant de 0 à 40. Chaque bijou est vendu 8 €.

1. On note r (x) la recette, en euros, réalisée pour la vente de x objets. Exprimer r (x) en fonction de x.

2. Construire la représentation graphique C de la fonction c, puis celle de la fonction r notée R (en abscisses, une unité représente 5 objets et en ordonnées, une unité représente 10 €). Déterminer graphiquement à partir de combien d’objets vendus, elle réalise un bénéfice. 3. Vérifier ce résultat par le calcul. y

B

chacun.

2. • c (x) est de la forme a x + b, donc C

Méthode f (x) 쏜 g (x) lorsque dans un même repère la représentation graphique de f est audessus de celle de g.

E C

R est une droite passant par les points : A (0 ; 27,5) et B (40 ; 107,5). K A • r (x) est de la forme a x, donc R est un x segment de droite passant par l’origine du 10 O repère. Elle passe par le point E (10 ; 80). 5 40 • Elle réalise un bénéfice pour r (x) 쏜 c (x), c’est-à-dire lorsque R est audessus de C. D’après le graphique, c’est donc à partir de 5 objets vendus.

3. b (x) = r (x) – c (x), donc b (x) = 6 x – 27,5. On a b (x) 쏜 0 pour x 쏜 4,6, soit x 암 5.

Et maintenant, exercez-vous !

Vrai – Faux A. Le point d’intersection de la droite d’équation – 3x + y = 6 avec l’axe (x’x) est le point (2 ; 0). B. La droite d’équation y – 4 x = – 3 a pour coefficient directeur 4.

C. Les droites d’équations 2 x + y = 1 et 2x – y = 1 sont parallèles. D. La droite d’équation y = 1 a pour coefficient directeur 0.

CHAPITRE

3

Reprendre l’exercice précédent avec c (x) = 3x + 12 et r (x) = 9x.


SOLUTION 1. r (x) = 8 x, car il y a x objets à 8 €

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ACTIVITÉS 2. Systèmes linéaires d’inéquations à deux inconnues Activité 1

Régionnement du plan 1. Déterminer deux points de la droite d, dont une

équation dans un repère (O ; i, j ) est : 2x – 3y – 2 = 0. Pour cela, donner deux valeurs arbitraires à x et déterminer les valeurs correspondantes de y. Puis tracer la droite d.

x

y

Signe de 2x – 3y – 2 –

0

1

1,5

0

0

–1

2. On s’intéresse au signe de l’expression numérique

0

0

2 x – 3y – 2. Recopier et compléter le tableau ci-contre.

1

2

2

–1

3. Placer sur le graphique de la question 1, le point

2

3

A de coordonnées (0 ; 1), puis tous les points dont les coordonnées figurent dans ce tableau.

Vocabulaire La droite d est appelée la frontière des demi-plans P1 et P2 .

4. La droite d définit deux demi-plans : P 1 qui contient le point A et P 2 qui ne contient pas A. Quel est le signe de 2 x – 3 y – 2, selon que le point de coordonnées (x ; y) appartient à P 1 ou à P 2 ? On admet que ce résultat est vrai pour tous les points de chacun des demi-plans P 1 et P 2 .

Activité 2 Résolution graphique d’un système On veut déterminer l’ensemble des points M (x ; y) du plan dont les coordonnées vérifient le système d’inéquations : y쏜–x (1) 2x – y + 3 쏜 0

{

1. On considère les droites d 1 et d 2 d’équations respectives : d1 : y = – x d2 : 2 x – y + 3 = 0 Tracer ces droites dans un repère orthonormal (unité 1 cm), en justifiant ce tracé. À l’aide du graphique, donner leur point d’intersection. Retrouver les coordonnées de ce point par le calcul.

Vocabulaire La droite d1 ne fait pas partie du demi-plan P1, on dit que P1 est un demi-plan ouvert.

2. Déterminer l’ensemble P 1 des points du plan de coordonnées (x ; y) pour lesquels y 쏜 – x. On rayera la partie du plan qui ne satisfait pas à cette condition.

3. Prendre un point particulier de coordonnées (x ; y) n’appartenant pas à la droite d 2 et déterminer pour ce point, le signe de 2 x – y + 3. En déduire l’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l’inéquation 2x – y + 3 쏜 0. Rayer sur la figure la partie du plan qui ne convient pas. 4. Quel est l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système (1) ?

64

5. À l’aide du graphique, déterminer les points de l’ensemble trouvé dans la question 4, dont les coordonnées vérifient les conditions : –1압x압1 y쏜0

{

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ACTIVITÉS Activité 3 Les CD de Max et Léo Max et Léo ont de nombreux CD mais ils ne les ont pas comptés. Ils pensent que : • le nombre de CD de Max est au plus égal à la moitié du nombre de CD de Léo ; • la différence entre le nombre de CD de Léo et le nombre de CD de Max est inférieure ou éventuellement égale à 10 ; • Léo a moins de 50 CD. Soit x le nombre de CD de Max et y celui de Léo, x et y sont des entiers naturels.

1. Montrer que les données de l’énoncé peuvent se traduire par le système : x쏜0 0 쏝 y 쏝 50 x – y + 10 암 0 y 암 2x

2. Dans un repère orthonormal, 1 cm représente 5 unités. Représenter sur un graphique l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) représentant le nombre de CD que peuvent posséder respectivement Max et Léo.

3. Montrer qu’il est possible que Léo ait 15 CD. Si tel est le cas, quel est le nombre de CD que peut posséder Max ? 4. Exprimer en fonction de x et de y le nombre total de CD possédés par Max et Léo. Tracer les droites d’équations respectives x + y = 20 et x + y = 40. Est-il possible que Max et Léo aient à eux deux 20 CD ? aient à eux deux 40 CD ?

Ce qu’il faut savoir

Pour différencier ces demi-plans, on calcule la valeur de ax + by + c pour les coordonnées d’un point particulier non situé sur d et on s’intéresse à son signe. • Lorsque l’équation de la droite d s’écrit y = m x + p : - le demi-plan fermé (1) contenant d, situé audessus de d est l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que y 암 mx + p ;

(1)

y

d

d

O

x

O

(2)

x

䊉 Systèmes d’inéquations Résoudre graphiquement le système de deux inéquations linéaires à deux inconnues x et y suivant : ax + by + c 암 0 a’x + b’y + c’ 암 0 signifie déterminer l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) vérifient simultanément les deux inéquations du système.

{

Le principe de résolution est semblable quel que soit le sens des inégalités.


Si les inégalités sont strictes, les demi-plans ne contiennent pas les points de la droite d et sont des demi-plans ouverts.

y

3

• La droite d d’équation ax + by + c = 0 partage le plan en deux demi-plans : - un demi-plan fermé P1 contenant d, ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que : ax + by + c 암 0 ; - un demi-plan P2 fermé contenant d, ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que : ax + by + c 압 0. La droite d est appelée droite frontière des demiplans P1 et P2 .

- le demi-plan fermé (2) contenant d situé au-dessous de d est l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que y 압 mx + p.

CHAPITRE

䊉 Régionnement du plan

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MÉTHODES 2. Systèmes linéaires d’inéquations à deux inconnues Énoncé 1 OBJECTIF : Résoudre graphiquement un système d’inéquations

Représenter graphiquement les solutions du système : 3x – y 암 0 (on hachurera ce qui ne convient pas). y압–x+3

{

SOLUTION Méthode Lorsque la droite passe par l’origine O, on choisit un point non situé sur la droite.

Méthode Lorsque l’inéquation est de la forme y 암 ax + b, les solutions sont les coordonnées des points situés au-dessus de la droite d’équation : y = ax + b.

• Soit d 1 la droite d’équation 3 x – y = 0 ; d 1 passe par l’origine O et par le point A (1 ; 3). O est sur d 1 , on ne peut donc pas le prendre pour déterminer le signe de 3 x – y. On prend par exemple le point M (0 ; 1) qui n’est pas sur d 1 . On calcule 3x – y avec les coordonnées de M : 3 × 0 – 1 = – 1 쏝 0. On veut 3 x – y 암 0, donc le demi-plan limité par d 1 contenant M ne convient pas. y

• Soit d 2 la droite d’équation y = – x + 3. La droite d 2 passe par les points B (3 ; 0) et C (0 ; 3). y 압 – x + 3, donc les points qui conviennent sont les points du demi-plan défini par d 2 et situé audessous de d 2 .

C

• Les solutions du système sont les coordonnées des points de la partie du plan non hachurée, les frontières d 1 et d 2 étant comprises car les inégalités sont écrites au sens large.

d1

A

O

x

B d2

Et maintenant, exercez-vous ! Représenter graphiquement les solutions du système : 2y – 3x 암 0 (on hachurera ce qui ne convient pas). x + 3y – 5 압 0

{

Énoncé 2 OBJECTIF : Utiliser le régionnement du plan pour un problème d’admission

Après une première sélection, une section sport étude section ski fait subir aux candidats des épreuves physiques et techniques notées sur 20. L’admission se fait alors aux conditions suivantes : - toute note strictement inférieure à 8 à l’épreuve physique est éliminatoire ; - toute note strictement inférieure à 10 à l’épreuve technique est éliminatoire ; - la somme de la note technique et du double de la note physique doit être supérieure à 32.

1. On note respectivement x et y les notes obtenues aux épreuves physique et technique par un candidat. Donner le système de conditions sur x et y pour qu’un candidat soit admis.

2. Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, le système de conditions. On hachurera ce qui ne convient pas. 3. Cinq candidats ont obtenu les résultats ci-dessous.

66

A

B

C

D

E

x

10

12

7

11

14

y

12

8

18

15

10

Placer sur le graphique les points de coordonnées (x ; y) représentant les résultats des cinq candidats. Quels sont les candidats qui seront admis ?

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MÉTHODES Méthode Pour résoudre un problème, il faut exprimer toutes les conditions de l’énoncé.

SOLUTION 1. • Les candidats sont notés sur 20, donc 0 압 x 압 20 et 0 압 y 압 20. Compte tenu des notes éliminatoires à l’épreuve physique et à l’épreuve technique : x 암 8 et y 암 10. On doit donc avoir les premières conditions : 8 압 x 압 20 et 10 압 y 압 20. • La somme de la note technique et du double y de la note physique doit être supérieure à 32, d’où la condition : 2 x + y 암 32. 20 C Le système de conditions requises est : D A E 8 압 x 압 20 10 10 압 y 압 20 B 2 x + y 암 32

2. On trace les droites d’équations respectives

O

10

20

x

x = 8 et x = 20 ; ce qui convient est situé entre ces deux droites. De même, on trace les droites d’équations respectives y = 10 et y = 20 ; ce qui convient est situé entre ces deux droites. L’inéquation 2x + y 암 32 équivaut à y 암 – 2x + 32, on trace donc la droite d’équation y = – 2 x + 32 ; ce qui convient est la partie située au-dessus de cette droite.

3. Voir le graphique plus haut. Les candidats admis à l’issue de toutes les épreuves sont ceux qui sont représentés par des points situés dans la partie du plan non hachurée ou sur la frontière, il s’agit donc de A, D et E.

Dans une école de musique pour passer en classe supérieure, il faut que la note de solfège soit au moins égale à 10/20 et celle d’instrument au moins égale à 12/20. Il faut de plus que la somme de la note de solfège et du triple de la note d’instrument soit supérieure ou égale à 52. On note respectivement x et y les notes obtenues en solfège et en instrument par un candidat. Donner le système de conditions sur x et y pour passer en classe supérieure. Représenter graphiquement dans un repère le système de conditions. On hachurera ce qui ne convient pas.

situés d’un même côté de la droite d’équation : 3 y – 2 x + 7 = 0. D. Les points A(– 2 ; 2) et O sont situés d’un même côté de la droite d’équation y = x – 3. E. Les points A(– 2 ; 2) et B (1 ; – 2) sont situés de part et d’autre de la droite d’équation : 2 x + y – 1 = 0.

CHAPITRE

A. Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points M(x ; y) tels que 2 압 x 압 6 et 0 압 y 압 4 est un carré. B. x et y étant des réels positifs, l’ensemble des points M (x ; y) tels que x + y 압 1 est l’intérieur du triangle. C. Le point A (0 ; 4) et le point B ( – 1 ; 1) sont

3

Vrai – Faux


Et maintenant, exercez-vous !

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ACTIVITÉS 3. Programmation linéaire Activité 1

Dans une fabrique de jouets Un artisan fabrique deux types de jouets en bois A et B. Un jouet A nécessite 1/2 h de travail et 3 kg de bois. Un jouet B nécessite 1 h de travail et 2 kg de bois. L’artisan dispose quotidiennement de 24 kg de bois, il travaille au plus 8 h par jour et limite sa production quotidienne de jouets A à 7 unités au plus. Soit x et y les nombres respectifs de jouets A et B fabriqués par jour.

Vocabulaire Ces conditions sont appelées contraintes.

1. Le but de cette question est de traduire les conditions de l’énoncé Justifier le fait que x et y sont des entiers positifs et que x 압 7. Montrer que la condition relative au nombre d’heures de travail peut s’écrire : 0,5 x + y 압 8. Donner la condition relative à la quantité de bois utilisée. 2. Interprétation graphique des contraintes À tout couple (x ; y) de nombres réels, on associe le point M de coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormal, d’unité graphique 1 cm. À l’aide des résultats de la question 1, vérifier que le système suivant traduit les contraintes : 0압x압7 y암0 x + 2y 압 16 3 x + 2y 압 24 Résoudre graphiquement chaque inéquation du système (on hachurera la partie du plan qui ne convient pas). En déduire l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient ce système.

3. Introduction d’une fonction économique : la fonction bénéfice La vente d’un jouet A rapporte un bénéfice de 12 euros, celle d’un jouet B un bénéfice de 18 euros. On suppose que tout objet fabriqué est vendu. a) Quel est le bénéfice réalisé par l’artisan lorsqu’il vend 2 jouets A et 3 jouets B ? b) Exprimer en fonction de x et de y le bénéfice noté b, obtenu chaque jour, pour la vente de la totalité de la production de l’artisan. Montrer que les couples (x ; y) permettant d’obtenir un bénéfice donné b sont les 2 b coordonnées des points de la droite ∆ b d’ équation y = – x + . 3 18 Tracer la droite correspondant à un bénéfice de 78 euros. c) Compte tenu des contraintes, montrer à l’aide du graphique, que l’artisan peut fabriquer 2 jouets A et 3 jouets B en un jour. Quel est le bénéfice réalisé ? Indiquer tous les types de ventes lui permettant de réaliser le même bénéfice (ne pas oublier que x et y sont des entiers).

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4. Méthode graphique de recherche d’un bénéfice maximal On cherche dans quels cas on peut obtenir un bénéfice maximal sous les contraintes de l’énoncé. a) Quel est le coefficient directeur des droites ∆ b ? Que peut-on en déduire pour les droites ∆ b ? Quelle est l’ordonnée du point d’intersection de ∆ b avec l’axe (y’y) ? On remarquera que le bénéfice est d’autant plus grand que ce point est plus « haut » sur (y’y).

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ACTIVITÉS b) En tenant compte des contraintes, déterminer la droite ∆ b correspondant à un bénéfice maximal. Quel est le nombre de jouets de chaque type à fabriquer chaque jour pour obtenir ce bénéfice maximal b M ? Calculer ce bénéfice b M .

Ce qu’il faut savoir La programmation linéaire consiste à chercher à optimiser, c’est-à-dire rendre le plus grand possible ou le plus petit possible une fonction linéaire à deux inconnues x et y, cela sous certaines conditions, appelées contraintes. Par exemple, on cherchera à rendre un bénéfice le plus grand possible et à rendre un coût le plus petit possible. Cela revient à chercher tous les couples (x ; y) (coordonnées de points) vérifiant certaines conditions, exprimées sous la forme d’inéquations.

䊉 Traduction en termes mathématiques Choix des inconnues x et y, puis traduction de toutes les conditions de l’énoncé (les contraintes), ce qui conduit à la résolution d’un système d’inéquations d’inconnues x et y.

䊉 Interprétation graphique des contraintes Représentation dans un repère orthonormal de l’ensemble des points dont les coordonnées (x ; y) sont solutions des inéquations précédentes. Cet ensemble est appelé polygone des contraintes.

䊉 Méthode graphique de résolution du problème • On considère les droites associées à la fonction économique ; elles ont le même coefficient directeur et sont donc parallèles. Après avoir tracé une droite particulière d, on s’intéresse aux droites parallèles à d coupant le polygone des contraintes. • À l’aide d’une règle appliquée sur d, on cherche la parallèle à la droite d, traversant le polygone des contraintes et coupant l’axe (y’y) de la façon suivante : - au point le plus « haut » lorsqu’on veut définir une valeur maximale de la fonction économique, par exemple pour un bénéfice ; - au point le plus « bas » lorsqu’on veut définir une valeur minimale de la fonction économique, par exemple pour un coût. • Soit A le point (éventuellement il peut y en avoir plusieurs) situé dans le polygone des contraintes et sur la droite ainsi définie. Ce point A a pour coordonnées x 0 et y 0 . Pour ces valeurs x 0 et y 0 , la fonction économique prend la valeur optimale b 0 (dans notre exemple, c’est b 0 = 12x 0 + 18y 0). y

䊉 Fonction économique

3

A (x 0 ; y 0)

CHAPITRE

• Elle peut être définie par exemple pour un bénéfice par b = 12x + 18 y. Pour b donné, b = 12 x + 18 y est une équation de droite d. On veut alors que b prenne une valeur la plus grande possible car il s’agit d’un bénéfice. Il s’agit donc de trouver les valeurs de x et de y qui optimiseront cette fonction. • Lorsque la fonction définit un coût, on voudra qu’elle prenne une valeur la plus petite possible.


䊉 Programmation linéaire

dA

d O

x

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MÉTHODES 3. Programmation linéaire Énoncé 1 OBJECTIF : Résoudre un problème de programmation linéaire

Pour fleurir un parc, il faut au minimum : 1 200 jacinthes, 3 200 tulipes et 3 000 narcisses. Deux pépiniéristes proposent : • l’un le lot A : 30 jacinthes, 40 tulipes et 30 narcisses pour 15 euros ; • l’autre le lot B : 10 jacinthes, 40 tulipes et 50 narcisses pour 12 euros. Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B que l’on doit acheter pour que la dépense soit minimale.

1. On achète x lots A et y lots B. Traduire, par des inégalités faisant intervenir x et y, les besoins de la plantation (ce sont les contraintes). 2. a) À tout couple (x ; y) de nombres réels, on associe le point M de coordonnées

(x ; y) dans un repère orthonormal (O ; i, j ). Déterminer graphiquement l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système : x암0 y암0 y 암 – 3x + 120 (hachurer la partie du plan qui ne convient pas). y 암 – x + 80 3 x + 5 y 암 300 b) Montrer que ce système équivaut au système formé des contraintes trouvées dans la question 1.

3. a) Exprimer en fonction de x et de y la dépense d, occasionnée par l’achat de x lots A et de y lots B. b) Les couples (x ; y) correspondant à une dépense d donnée sont les coordonnées des points d’une droite ∆ d dont on donnera une équation sous la forme y = m x + p. c) Représenter graphiquement la droite ∆ d dans le cas particulier où d = 1 500. Donner un exemple d’un nombre de lots A et d’un nombre de lots B entraînant une telle dépense. 4. Déterminer, à l’aide du graphique, le nombre de lots de chaque type à acheter pour obtenir une dépense minimale dm . Calculer cette dépense.

SOLUTION 1. • x et y sont des nombres de lots, donc des entiers et x 암 0 et y 암 0.

70

• On s’intéresse d’abord aux jacinthes. Il y a 30 jacinthes dans un lot A, donc en achetant x lots A, on a 30 x jacinthes. Il y a 10 jacinthes dans un lot B, donc en achetant y lots B, on a 10y jacinthes. On a donc 30 x + 10 y jacinthes dans x lots A et y lots B. Pour fleurir le parc, il faut au minimum 1 200 jacinthes. On doit donc avoir : 30 x + 10 y 암 1 200, soit 3 x + y 암 120. • Il y a 40 tulipes dans un lot A et 40 tulipes dans un lot B. Donc dans x lots A et y lots B, on a 40 x + 40 y tulipes. Pour fleurir le parc, il faut au minimum 3 200 tulipes. On doit donc avoir : 40 x + 40 y 암 3 200, soit x + y 암 80. • Pour les narcisses, il y en a 30 dans le lot A et 50 dans le lot B. On a donc 30 x + 50y narcisses dans x lots A et dans y lots B. Pour fleurir le parc, il faut au minimum 3 000 narcisses. On doit donc avoir : 30 x + 50y 암 3 000, soit 3 x + 5y 암 300.

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MÉTHODES Méthode

2. a) x 암 0 et y 암 0 donc seul

Pour tracer une droite, on en détermine deux points.

convient le quart de plan supé120 rieur droit. Pour résoudre les trois dernières E inéquations du système, on trace d1 les droites d 1 , d 2 et d 3 d’équa80 tions respectives : y = – 3 x + 120, F y = – x + 80, 3 x + 5 y = 300. d2 On veut : y 암 – 3x + 120 et y 암 – x + 80. Donc les points M qui conviend3 nent sont ceux situés au-dessus 10 de d 1 et de d 2 . On veut que : x O 10 40 80 3x + 5 y – 300 암 0. On sait que d 3 partage le plan en deux demi-plans, dont l’un seulement convient. On étudie le signe de 3 x + 5 y – 300 pour un point particulier, par exemple O : 3 × 0 + 5 × 0 – 300 = – 300 donc l’inéquation n’est pas vérifiée. Pour cette dernière équation, le demi-plan qui convient est celui qui est défini par d 3 et qui ne contient pas O. b) Dans la question 1, on a trouvé les conditions suivantes : x 암 0 ; y 암 0 ; 3x + 1y 암 120 ; x + y 암 80 ; 3 x + 5y 암 300. Le système des contraintes est bien équivalent au système donné.

Méthode On résout les inéquations du système les unes après les autres.

y

4. D’une part, les droites ∆ d ayant pour équation y = – 1,25 x + d/12 ont le

Des droites de même coefficient directeur sont parallèles.

même coefficient directeur – 1,25 ; elles sont donc parallèles. D’autre part, leur intersection avec (y’y) est le point d’ordonnée d/12, on veut d le plus petit possible, donc également d/12 le plus petit possible. À l’aide d’une règle que l’on fait glisser à partir de ∆ 1 500 , on cherche la parallèle à ∆ 1 500 passant par le polygone des contraintes et qui coupe l’axe (y’y) au point le plus bas. C’est la parallèle passant par F, point d’intersection des droites d 1 et d 2 , dont on lit les coordonnées (20 ; 60). La dépense minimale est donc obtenue avec 20 lots A et 60 lots B. Cette dépense est 20 × 15 + 60 × 12, soit 1 020 euros.

Méthode Les inégalités étant écrites au sens large, on peut prendre un point de la frontière.

3

Méthode

CHAPITRE

occasionnée par l’achat de x lots A et y lots B est d = 15 x + 12 y. b) d = 15 x + 12 y, donc – 15 x + d = 12y. On obtient y = – 15 x + d , ce qui 12 12 peut s’écrire y = – 1,25 x + d/12. c) Pour d = 1 500, l’équation est y = – 1,25 x + 125, d’où le tracé de la droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; 125) et (100 ; 0). Par exemple, le point E (20 ; 100) est un point de cette droite situé dans le polygone des contraintes, donc avec 20 lots A et 100 lots B on a une dépense de 1 500 €.


3. a) Un lot A coûte 15 euros et un lot B coûte 12 euros. La dépense en euros

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EXERCICES et PROBLÈMES Pour s’entraîner Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i, j ).

Équations de droites et systèmes 1 Déterminer le coefficient directeur, puis une équation des droites (AB) avec : a. A (0,5 ; 5) et B confondu avec l’origine du repère ; b. A (0 ;2) et B ( – 3 ; 0) ; c. A (2 ; 1) et B (4 ; – 5) ; d. A ( – 4 ; 1) et B (3 ; – 1). 2 Donner une équation de la droite passant par A et de coefficient directeur m. 1 a. A est confondu avec l’origine du repère et m = . 3 b. A (1 ; 2) et m = – 3. c. A (2 ; 1) et m = 5. d. A (1 ; 3) et m = 0.

6

Résoudre algébriquement les systèmes.

a. x – 3 y = 4 x – 2 y = – 1.

{ c. { 5x + 4 y = – 3 2x + 2 y = 1.

b. 3x + y = 1 4x – 2y = 4.

{ d. { 4x – 7 y = 15 x – 8 y = 2.

7 Soit d 1 , d 2 et d 3 . Les représentations graphiVoici ques de trois droites d’équations respectives : d 1 : y = – 2,5 x + 11 ; d 2 : y = 0,5 x + 5 ; d 3 : y = – 0,1 x + 1,4. a. Reconnaître les droites d 1 , d 2 et d 3 sur le graphique ci-dessous. y

A

C B

3 Déterminer une équation des droites passant par les points A et B donnés. a. A (1 ; 1) et B (– 1 ; 0). b. A (2 ; 1) et B (2 ; – 5). c. A (– 4 ; 1) et B (0 ; 2). d. A (3 ; 0) et B (5 ; 1). PISTE On peut calculer le coefficient directeur, puis écrire que la droite passe par A.

4

Lire sur le graphique une équation des droites : (OA) ; (OB) ; (OC) ; (AB) ; (AC) ; (BC). y

B O

x

PISTE Pour certaines de ces droites il est facile de lire leur coefficient directeur.

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x

b. À l’aide du graphique, résoudre les systèmes. (1) y = – 2,5 x + 11 y = 0,5 x + 5.

{ (2) y = 0,5 x + 5 { y = – 0,1 x + 1,4. (3) y = – 2,5 x + 11 { y = – 0,1 x + 1,4.

Inéquations et systèmes d’inéquations

A

C

O

5 Soit d une droite de coefficient directeur égal à 5. Trouver l’équation réduite de la parallèle à d : a. passant par l’origine O du repère ; b. d’ordonnée à l’origine égale à 3 ; c. passant par le point A (2 ; – 3).

8 Représenter graphiquement l’ensemble des solutions des inéquations suivantes. a. 2 y – 6 암 0. b. x + y – 4 쏜 0. c. y 압 – 2 x – 1. d. y 압 x + 3. e. – 2 x + 4 쏜 0. f. 3 y – 2x 암 0. PISTE Tracer d’abord les droites limitant l’ensemble cherché.

9 Représenter graphiquement l’ensemble des solutions des systèmes donnés.

{ y2x+ –4 y암압05. y암3–x c. { y 압 2x + 3. a.

{ 2xx + +y 3암압0.0 5x – 2 y + 2 압 0 d. { 3y – x – 2 압 0.

b.

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EXERCICES

12 a. Construire les droites d 1 et d 2 d’équations : d 1 : y = 4x – 1 et d 2 : 2x + 2y = 3. b. En déduire la résolution graphique du système d’équations : y = 4x – 1 2 x + 2y = 3 c. Retrouver par le calcul les résultats de la question b. d. Résoudre graphiquement le système d’inéquations : y 압 4x – 1 2x + 2y 암 3

{

{

Programmation linéaire 13 Une salle de cinéma contient 120 places. Il y a x enfants et y adultes qui assistent à la projection d’un film. a. Quelles inégalités vérifient x et y ? b. Représenter ces inégalités dans un repère (O ; i, j ) en hachurant ce qui ne convient pas. c. Il y a trois fois plus d’adultes que d’enfants. Représenter sur le graphique la droite d’équation y = 3x et indiquer à l’aide du graphique entre quelles valeurs est compris le nombre d’enfants. 14 Un chocolatier veut confectionner des boîtes contenant un mélange de truffes et de chocolats à la liqueur. Il prépare deux types de boîtes : - des boîtes normales N, composées de 6 truffes et 12 chocolats à la liqueur ; - des boîtes gourmandes G, composées de 15 truffes et 20 chocolats à la liqueur. Il a 750 truffes et 1 200 chocolats à la liqueur. a. On désigne par x le nombre de boîtes N et par y le nombre de boîtes G qu’il prépare.

(1).

b. Tracer dans un repère les droites d’équation : d 1 : 2 x + 5 y = 250 ; d 2 : 3 x + 5 y = 300. On prend 1 cm pour 10 unités sur l’axe (x’x) et 1 cm pour 10 unités sur l’axe (y’y). c. Résoudre graphiquement le système (1). d. Le type de clientèle du chocolatier fait qu’il vend un nombre de boîtes G au plus égal au nombre de boîtes N. Donner des valeurs possibles pour y. PISTE d. On fera intervenir la droite d’équation y = x.

15 Dans un lycée, des élèves se chargent de la distribution de pains au chocolat et de croissants. Pour pouvoir satisfaire la demande, ils doivent disposer au minimum de 108 pains au chocolat et de 96 croissants. Deux boulangers proposent pour le même prix : - l’un le lot A comprenant 12 pains au chocolat et 8 croissants ; - l’autre le lot B composé de 9 pains au chocolat et 12 croissants. Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B qui doivent être achetés pour satisfaire la demande au moindre coût. On rapporte le plan à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) et, à l’achat de x lots A et de y lots B, on associe le point M de coordonnées (x ; y). 1. Quelles inégalités vérifient respectivement x et y ? Placer : - le point E associé à l’achat de 13 lots A et de 14 lots B ; - le point F associé à l’achat de 10 lots A et de 1 lot B. Les achats associés aux points E et F permettent-ils de satisfaire la demande ? 2. On s’intéresse à la satisfaction de la demande. a) Pour que l’achat correspondant au point de coordonnées (x ; y) permette de satisfaire la demande, montrer que les nombres x et y doivent vérifier les inégalités : 4x + 3 y 암 36 et 2 x + 3 y 암 24. b) Hachurer la région du plan dans laquelle se trouvent les points dont les coordonnées (x ; y) ne sont pas solutions du système : 4x + 3 y 암 36 2x + 3 y 암 24


Placer dans un repère orthonormal les points : A (2 ; – 2) et B ( – 3 ; – 1) a. Donner une équation de la droite (AB). b. Donner une inéquation dont les solutions sont les coordonnées des points situés dans le demi-plan défini par la droite (AB) et contenant l’origine O.

x암0 y암0 2x + 5 y 압 250 3x + 5 y 압 300

3

11

Montrer que :

CHAPITRE

10 a. Placer dans un repère othonormal les points : A (1 ; 1), B ( 3 ; 1), C (3 ; 2) et D (1 ; 2). Donner une équation des droites (AB), (BC), (CD) et (AD). b. Donner un système d’inéquations dont les solutions sont les coordonnées des points situés à l’intérieur du rectangle ABCD.

{

3. On cherche à minimiser le coût, c’est-à-dire le nombre total de lots achetés.

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EXERCICES et PROBLÈMES a) Les points associés à des achats d’un nombre total de n lots sont situés sur une droite ∆ n , dont on donnera une équation. Tracer ∆ 9 et ∆ 11 . b) D’après le graphique, peut-on satisfaire la demande en achetant au total seulement 9 lots ? en achetant au total 11 lots ? c) En utilisant le graphique, déterminer l’achat qui permet de satisfaire la demande au moindre coût.

y E 15

D

10 C 5 B 1

16 Un jardinier souhaite aménager un parterre. Deux jardineries proposent : - l’une, le lot A constitué de 5 tulipes, 3 muscaris et 2 narcisses pour une somme de 1,90 € ; - l’autre, le lot B constitué de 6 tulipes, 1 muscari et 3 narcisses pour une somme de 0,90 €. Le jardinier veut planter entre 165 et 180 tulipes et au moins 60 muscaris. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B que le jardinier doit acheter pour que la dépense soit minimale. 1. Expliquer pourquoi les contraintes auxquelles doivent satisfaire les nombre x et y se traduisent par le système d’inéquations : x암0 y암0 5x + 6y 암 165 5x + 6y 압 180 3 x + y 암 60. 2. À tout couple (x ; y) de nombres réels, on associe le point M du plan de coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormal (on choisira 1 cm pour 2 unités). Déterminer graphiquement l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système précédent (on hachurera la zone qui ne convient pas). 3. a) Exprimer, en fonction de x et de y, la dépense D occasionnée par l’achat de x lots A et de y lots B. b) Tracer, dans le repère précédent, la droite correspondant à une dépense de 34,20 €. c) Déterminer graphiquement le nombre de lots à commander dans chaque jardinerie pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée. d) Quelle est alors la dépense en euros ? D’après Bac, La Réunion, juin 2005. PISTE Pour déterminer les contraintes, s’intéresser d’abord au nombre total de tulipes, puis à celui de muscaris et enfin à celui de narcisses.

74

17 A. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i, j ). On considère la figure représentée ci-dessous. On note Ᏸ la partie du plan grisée.

O

1

5

A x

1. Déterminer une équation de la droite (CB) et une équation de la droite (CD). 2. Écrire un système d’inéquations caractérisant la partie grisée du plan, frontières comprises. (On justifiera la réponse.) B. Une entreprise embauche des commerciaux les uns sous contrat A travaillant 35 h et payés 550 € par semaine, les autres sous contrat B travaillant 20 h et payés 220 € par semaine. Le chef d’entreprise peut embaucher au plus : - 8 personnes sous contrat A ; - 15 personnes sous contrat B. Il dispose de 370 h de travail et d’un budget de 5 060 € par semaine. 1. On note x le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y le nombre de personnes sous contrat B. Traduire les informations ci-dessus par un système d’inéquations. 2. Vérifier que ce système est équivalent à celui trouvé dans la question A2 pour des nombres x et y entiers. 3. On estime à 30 le nombre de ventes hebdomadaires effectuées par un commercial sous contrat A, à 16 celles effectuées par un commercial sous contrat B. a) Exprimer en fonction de x et de y le nombre global de ventes effectuées par semaine. b) Les couples (x ; y) correspondant à la réalisation de N ventes sont les coordonnées de points d’une droite D N dont on donnera une équation. Construire sur la figure la droite D 320 correspondant au cas N = 320. c) Déterminer alors graphiquement le nombre de commerciaux sous contrat A et le nombre de commerciaux sous contrat B qu’il faut embaucher pour réaliser un nombre de ventes maximal par semaine. Quel est ce dernier nombre ? (On expliquera la méthode utilisée.) D’après Pondichéry, mars 2003.

18 Madame Maréchal tient une librairie pour la jeunesse. Une grande partie de sa clientèle lit des romans ou des bandes dessinées (BD). Pour approvisionner son rayon, cette libraire a besoin d’au moins 50 romans et 20 BD, mais ne peut dépasser les 180 ouvrages au total.

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EXERCICES

PISTE 3c. La droite représentant le bénéfice doit passer par un point de coordonnées entières du quadrilatère représentant les contraintes et couper l’axe des ordonnées au point d’ordonnée la plus grande possible.

Pour aller plus vite

3

30 min

2. Trois engrais différents, appelés E, G et H sont conditionnés ensemble en boîtes ou en sacs. Une boîte contient 5 kg d’engrais E, 2 kg d’engrais G et 1 kg d’engrais H. Un sac contient 1 kg d’engrais E, 2 kg d’engrais G et 4 kg d’engrais H. On cherche en achetant x boîtes et y sacs à obtenir au moins 10 kg d ‘engrais E, 12 kg d’engrais G et 12 kg d’engrais H. On admet que le système (S) écrit dans la question 1e traduit le système de contraintes ainsi défini. Une boîte est vendue 30 euros et un sac 20 euros. a) Exprimer en fonction de x et de y la dépense occasionnée par l’achat de x boîtes et de y sacs. b) Placer, sur le graphique construit, la droite d’équation 30 x + 20 y = 200. Vérifier que cette droite passe par le point de coordonnées (4 ; 4). c) Au moyen d’une étude graphique, déterminer le nombre x de boîtes et le nombre y de sacs qui occasionnent la dépense minimale. Calculer cette dépense.

Traiter ces exercices en 30 minutes. 1. Soit les points A(3 ; 1), B(2 ; – 2) et C (0 ; 3). Donner une équation des droites (AB) et (AC). Déterminer un système d’inéquations vérifié par les coordonnées (x ; y) des points M situés au-dessus de (AB) et au-dessous de (AC).


D’après Bac, Polynésie, septembre 2004.

19 1. On donne trois droites d 1 , d 2 et d 3 d’équations respectives : d 1 : 5 x + y = 10 ; d 2 : 2 x + 2 y = 12 ; d 3 : x + 4 y = 12. a) Vérifier que le point A (1 ; 5) appartient aux droites d 1 et d 2 . b) Vérifier que le point B (4 ; 2) appartient aux droites d 2 et d 3 . c) Déterminer les coordonnées du point C commun à la droite d 1 et à l’axe (y’y). De même, déterminer les coordonnées du point D commun à la droite d 3 et à l’axe (x’x). d) Sur un même graphique, placer les points A, B, C et D, puis construire les droites d 1 , d 2 et d 3 . e) Colorier l ‘ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système : x암0 y암0 (S ) 5x + y 암 10 2 x + 2 y 암 12 x + 4 y 암 12.

2. Déterminer graphiquement l’ensemble des points x쏜1 M de coordonnées (x ; y) vérifiant y 쏜 1 . x+y쏝6 Indiquer pour quel point M de coordonnées entières, la quantité 2 x + y est maximale. En donner la valeur.

CHAPITRE

La place nécessaire, en moyenne, est de 3 cm pour un roman et de 2 cm pour une BD. Madame Maréchal ne dispose que de 4,80 m de longueur d’étagères pour ces ouvrages. On note x le nombre de romans et y le nombre de BD en rayonnage. 1. Montrer que les contraintes de l’énoncé peuvent se traduire par le système d’inéquations : x 암 50 y 암 20 x + y 압 180 3x + 2 y 압 480, où x et y sont des entiers naturels. 2. À tout couple (x ; y), on associe le point M de coordonnées (x ; y) dans le repère orthonormal (O ; i, j ). Unités graphiques : 1 cm pour 10 unités. Déterminer graphiquement l’ensemble des points M (x ; y) dont les coordonnées vérifient les contraintes (on hachurera la zone qui ne convient pas). Cet ensemble est l’intérieur d’un quadrilatère. On déterminera précisément par le calcul les coordonnées des sommets de ce quadrilatère. 3. Madame Maréchal réalise un bénéfice de 0,50 € par roman et de 0,40 € par BD. Elle désire connaître le nombre de romans et de BD pour obtenir un bénéfice maximal dans l’hypothèse où elle vend la totalité de ses ouvrages. a) Exprimer son bénéfice B en fonction de x et de y. b) Tracer les droites (D 1) et (D 2) correspondant respectivement à un bénéfice B 1 de 100 € et à un bénéfice B 2 de 80 €. Justifier que ces droites sont parallèles. c) À l’aide du graphique, déterminer alors le nombre de romans et le nombre de BD que Madame Maréchal doit avoir en rayon pour obtenir un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice.

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EXERCICES et PROBLÈMES Pour approfondir 20 Une couturière fabrique des pantalons suivant deux modèles A ou B. Elle dispose de 15 m de tissu par semaine et travaille 40 heures par semaine. Le modèle A nécessite 1 mètre de tissu et 4 heures de travail. Le modèle B nécessite 1,50 mètre de tissu et 2 heures de travail. On note x le nombre de pantalons du modèle A et y le nombre de pantalons du modèle B fabriqués par semaine. 1. Montrer que les productions hebdomadaires de la couturière sont soumises aux contraintes suivantes : x 僆⺞, y 僆⺞ x 암 0 et y 암 0 2x + 3y 압 30 2x + y 압 20. 2. Représenter graphiquement les contraintes de production dans un repère (O ; i, j ). On choisira 1 cm comme unité. 3. Utiliser le graphique pour répondre aux questions a et b. a) Si la couturière produit dans sa semaine 8 pantalons du modèle A, combien de pantalons du modèle B peut-elle produire ? (Donner toutes les solutions.) b) Si la couturière produit dans sa semaine 8 pantalons du modèle B, combien de pantalons du modèle A peut-elle produire ? (Donner toutes les solutions.) 4. Sur un pantalon du modèle A, la couturière fait un bénéfice de 60 euros et sur un pantalon du modèle B, un bénéfice de 40 euros. On suppose qu’elle vend toute sa production. a) Exprimer, en fonction de x et de y, le bénéfice hebdomadaire R qu’elle peut réaliser. b) Représenter, sur le graphique précédent, les couples (x ; y) qui permettent de réaliser un bénéfice de 240 euros. c) Déterminer graphiquement le nombre de pantalons de chaque modèle à fabriquer par semaine pour que le bénéfice soit le plus grand possible (on admettra que ce bénéfice est obtenu pour un point de coordonnées x et y liées par x + y = 12). d) Quel est, alors, le bénéfice en euros ? D’après Bac, Inde, avril 2002.

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21 A. 1. Tracer dans un repère orthonormal les droites d 1 , d 2 et d 3 définies par : d 1 : x + 3 y = 96 ; d 2 : x + y = 40 ; d 3 : 17,5 x + 10y = 595.

(On choisira 1 cm pour représenter 5 unités sur chaque axe.) Le point de coordonnées (10 ; 42) appartient-il à d 3 ? 2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection de d 1 et d 2 . 3. Résoudre graphiquement le système d’inéquations : x암0 y암0 x + 3 y 압 96 (S). x + y 압 40 17,5 x + 10 y 압 595 B. La fabrication de la bière nécessite du maïs, du houblon et du malt (orge). Pour produire un baril de bière blonde, il faut 2,5 kg de maïs, 125 g de houblon et 17,5 kg de malt. Pour produire un baril de bière brune, il faut 7,5 kg de maïs, 125 g de houblon et 10 kg de malt. Un brasseur dispose de 240 kg de maïs, de 5 kg de houblon et de 595 kg de malt. Soit x le nombre de barils de bière blonde et y celui de bière brune que l’on peut fabriquer. 1. Traduire les contraintes sous la forme d’un système d’inéquations. Montrer que ce système est équivalent au système (S). 2. Le brasseur peut-il fabriquer : a) 10 barils de bière blonde et 20 barils de bière brune ? b) 10 barils de bière blonde et 30 barils de bière brune ? C. Le brasseur réalise un bénéfice de 13,50 euros par baril de bière blonde et de 20,25 euros par baril de bière brune. 1. Exprimer le bénéfice pour une vente de x barils de bière blonde et de y barils de bière brune. 2. a) Tracer la droite correspondant à un bénéfice de 405 euros. b) Le brasseur peut-il réaliser un bénéfice de 810 euros ? 3. a) Déterminer à l’aide du graphique le nombre de barils de bière blonde et le nombre de barils de bière brune assurant le bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal ? b) Dans le cas du bénéfice maximal, indiquer s’il reste du maïs, du houblon et du malt. Si oui, en quelle quantité ? 4. Si le brasseur dispose de 5 kg de maïs supplémentaire, de combien le bénéfice maximal est-il augmenté ?

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EXERCICES Pour le Bac

2. Le coût d’affrètement d’un bateau de type A est de 10 000 € et celui d’un bateau de type B de 7 500 €. Soit C le coût total d’affrètement de x bateaux A et de y bateaux B. a) Exprimer C en fonction de x et de y. b) Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 €. Représenter (d) dans la figure tracée en annexe. c) Déterminer graphiquement le couple d’entiers (x ; y) qui permet d’assurer le transport pour un coût minimal. Calculer ce coût. On justifiera la démarche. Annexe Les points A, B, C et D ont pour coordonnées : A (9 ; 35) ; B (30 ; 35) ; C (30 ; 10) ; D (15 ; 25). y

A

B

D C

10 O

10

x D’après Bac, France, 2005.

D’après Bac, Nouvelle Calédonie, 2004.


1. a) Traduire les informations ci-dessus par un système d’inéquations. b) Montrer que ce système caractérise la partie Ᏸ.

B. Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en hêtre, les autres en chêne. En raison de contraintes liées à l’approvisionnement, cet artisan ne peut pas produire plus de 9 portes en chêne par semaine. La fabrication d’une porte en hêtre dure 4 h et nécessite 2 m2 de bois. Celle d’une porte en chêne dure 2 h et nécessite 3 m2 de bois. L’artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine et il ne peut pas entreposer plus de 36 m2 de bois dans son atelier. Soit x le nombre de portes en hêtre fabriquées et y le nombre de portes en chêne fabriquées par semaine (x et y sont des nombres entiers). 1. Déterminer, en justifiant les réponses, le système d’inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l’artisan. 2. Utiliser le graphique réalisé dans la partie A pour répondre aux questions suivantes. a) Si l’artisan produit 3 portes en hêtre, combien de portes en chêne peut-il fabriquer ? b) Si l’artisan produit 5 portes en chêne, combien de portes en hêtre peut-il fabriquer ? 3. L’artisan fait un bénéfice de 30 € sur une porte en hêtre et de 20 € sur une porte en chêne. a) Exprimer en fonction de x et de y le bénéfice total réalisé, lorsque x portes en hêtre et y portes en chêne sont vendues. On admet que la droite ∆ d’équation 3 x + 2y = 18 contient les points dont les coordonnées correspondent à un bénéfice de 180 €. Construire la droite ∆ sur le graphique. b) Déterminer graphiquement le nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal. Expliquer la méthode suivie. Quel est alors ce bénéfice en euros ?

3

On note x le nombre de bateaux de type A et y le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport.

Énoncé B A. Dans un repère orthonormal (O ; i, j ), construire les droites D et D’ d’équations respectives : 2x + y = 24 et 2x + 3y = 36. 1. Calculer les coordonnées du point I, intersection des droites D et D’. 2. Déterminer graphiquement (en hachurant ce qui ne convient pas) l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient : x암0 0압y압9 2x + y 압 24 2x + 3 y 압 36

CHAPITRE

Énoncé A Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; i, j ). On considère la figure représentée en annexe et on appelle Ᏸ la partie hachurée bords compris. On admettra que : • la droite (CD) a pour équation y = 40 – x ; 5 • la droite (AD) a pour équation y = – x + 50. 3 Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 véhicules et 400 tonnes de matériel. Le transporteur maritime auquel elle s’adresse dispose : - de 30 bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et 10 tonnes de matériel ; - de 35 bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et 10 tonnes de matériel.

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TRAVAUX PRATIQUES Utilisation du tableur But du TP Rechercher avec un tableur le minimum d’une expression du type a x + b y sous plusieurs contraintes linéaires.

Énoncé Le patron d’un restaurant prévoit l’achat de mobilier de jardin en vue d’aménager un parc pour ses clients. Il choisit deux modèles, l’un en bois, l’autre en métal. Pour le modèle en bois, le lot comprend une table, trois chaises et quatre fauteuils ; le tout pour un prix de 2 400 euros. Pour le modèle en métal, le lot comprend une table, neuf chaises et deux fauteuils ; le tout pour un prix de 1 600 euros. Le projet est de disposer d’au moins 63 chaises et 30 fauteuils. Il s’agit de déterminer l’achat qui permet de minimiser la dépense. 1. Traduction de la situation Soit x le nombre de lots en bois et y le nombre de lots en métal achetés par le restaurateur. a) Justifier que les contraintes peuvent s’écrire : x + 3 y 암 21 x et y naturels et . 2 x + y 암 15 b) Montrer que la quantité à minimiser est 3 x + 2 y. 2. Utilisation d’un tableur a) Première solution : prise en compte des contraintes avec la fonction « SI … » Partir d’une feuille de calculs sur laquelle on fera apparaître les éléments du tableau ci-dessous.

{

A 1 2 3 4 5

x

y

B 0

C 1

D 2

E 3

F 4

b) Deuxième solution : utilisation de la fonction SOLVEUR du tableur La fonction SOLVEUR du tableur permet de déterminer les quantités optimales de chaque lot à acheter pour minimiser le coût total. Elle devra être utilisée à partir d’une feuille de calculs complétée sur le modèle ci-dessous, où les cellules complétées en rouge traduisent les données de l’énoncé. Justifier que la formule à mettre dans B5 est : =B2*F2+B3*E3 A 1

B

C

Nombre de Nombre de chaises fauteuils

D

E

Coût unitaire

Quantité optimale

2

x (lots en bois)

3

4

2 400

3

y (lots en métal) Nombre d’élements nécessaires

9

2

1 600

63

30

4

5

6

Nombre d’élements achetés Coût minimal

Compléter, de même, les cellules C5 et D6 (faire apparaître le coût minimal dans D6). Pour utiliser la fonction SOLVEUR, procéder ainsi : dans « Outils », ouvrir « Solveur », définir les cellules cible et variables, puis suivre les indications, en les justifiant. On aboutit au tableau ci-dessous.

0 1 2 3

Justifier le fait que l’on inscrive la formule suivante dans la cellule B2, puis qu’on la reporte vers le bas puis vers la droite : =SI(((B$1+3*$A2)>=21)*ET((2*B$1+$A2)>=15) ;3*B$1+2*$A2 ; » « )

Déduire de la lecture du tableau ainsi obtenu, le couple de nombres (x ; y) qui minimise 3 x + 2 y. En déduire le montant de la dépense minimale.

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Il ne reste plus qu’à cliquer sur « Résoudre ». Que voit-on apparaître sur la feuille de calculs ? Conclure.

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chapitre 3

Et pour finir testez-vous !

QCM

Pour chacune des questions suivantes, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).

A. Savez-vous… déterminer et utiliser le coefficient directeur d’une droite ? 1. La droite d’équation – 4 x + 2y = 3 a pour coefficient directeur 2. La parallèle à la droite d’équation 3x + y = – 2, passant par A (1 ; – 3), a pour équation

A

B

C

D

3 4

–2

2

3 2

3x – y = 6

6x + 2y = – 4

x + 3y = – 8

–

6x + 2y = 0

y

Pour les questions 3 à 7, utilisez le graphique ci-contre.

A

B C x

O

C

D

des coordonnées qui vérifient x + 2 y 압 12

des coordonnées qui vérifient 1 y압 x+6 2

x압2 y암1 x + 2 y 암 12

x암2 y암1 x + 2 y 압 12

3. Les points de coordonnées (x ; y) situés au-dessous de (AB) ont

une ordonnée au plus égale à1

une abscisse positive

4. L’ensemble des points M (x ; y) situés à l’intérieur du triangle ABC est caractérisé par

y암2 x암1 x + 2 y 압 12

1 압 xy 압 2 x + 2y 압 12

{

C. Savez-vous… résoudre des problèmes d’optimisation ? On suppose que, dans un problème, les solutions sont les couples d’entiers (x ; y) positifs ou nuls situés à l’intérieur du triangle ABC (frontières non comprises).

A 5. La quantité 4 x + 2 y est

B

C

D

maximale pour maximale pour minimale pour minimale pour (x ; y) = (7 ; 2) (x ; y) = (3 ; 4) (x ; y) = (3 ; 2) (x ; y) = (5 ; 3)

6. La plus petite valeur de 4 x + 2y est

8

0

16

10

7. La plus grande valeur de 4 x + 2y est

36

32

24

60

Réponses page 211

3

B

CHAPITRE

A


B. Savez-vous… résoudre graphiquement des inéquations ?

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