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MÉCANIQUE Sommaire Chap 0: Cinématique............................................................................................................................5 I.Référentiel, repère, base.................................................................................................................5 A.Référentiel d'étude...................................................................................................................5 B.Repère d'espace.......................................................................................................................5 C.Base.........................................................................................................................................6 II.Rappels de cinématique................................................................................................................6 A.Dérivée d'un vecteur de norme constante................................................................................6 B.Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne..................................................................7 C.Vitesse et accélération d'un mouvement circulaire..................................................................7 1Vitesse.....................................................................................................................................7 2Accélération:...........................................................................................................................7 D.Vitesse en cylindriques et sphériques......................................................................................8 1En cylindriques.......................................................................................................................8 2En sphériques..........................................................................................................................8 E.Formules de Binet....................................................................................................................8 1Rayon vecteur.........................................................................................................................8 2Vitesse.....................................................................................................................................8 3Accélération............................................................................................................................9 F.Vitesse d'un point d'un solide...................................................................................................9 1Formule fondamentale............................................................................................................9 2Cas d'un solide en rotation......................................................................................................9 3Centre instantané de rotation..................................................................................................9 G.Accélération d'un point d'un solide.........................................................................................9 H.Composition de mouvement: mouvement d'entrainement....................................................10 1Entrainement.........................................................................................................................11 a)Vitesse...........................................................................................................................11 b)Accélération..................................................................................................................12 2Mouvement relatif................................................................................................................12 a)Vitesse...........................................................................................................................12 b)Accélération..................................................................................................................12 3Coriolis.................................................................................................................................12 III.Glissement et non glissement (Exemple)..................................................................................12 1Condition de non glissement:...............................................................................................13 2Vitesse d'un point de la roue.................................................................................................13 3Approche par composition de mouvement...........................................................................13 Chap 1: Mécanique des systèmes.......................................................................................................16 I.Point matériel...............................................................................................................................16 A.Cinétique...............................................................................................................................16 1Grandeurs cinétiques............................................................................................................16 2Dérivée des grandeurs cinétiques.........................................................................................16 B.Dynamique............................................................................................................................17 1Existence des référentiels galiléens......................................................................................17 1/56

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2Principe fondamental de la dynamique................................................................................17 a)Énoncé..........................................................................................................................17 b)Principe dans un référentiel non galiléen.....................................................................17 c)Conservation de la quantité de mouvement pour un point isolé...................................17 3Le théorème du moment cinétique ......................................................................................17 a)Le théorème du moment cinétique en un point............................................................17 b)Démonstration du théorème.........................................................................................18 c)Conservation du moment cinétique en un point si les forces sont centrales................18 d)Conséquences pour un mouvement à force centrale....................................................18 e)Le théorème du moment cinétique en projection.........................................................18 f)Démonstration du théorème du moment cinétique en projection.................................19 g)Conservation du moment cinétique par rapport à l'axe si les forces sont axiales........20 4Cas des référentiels non galiléens.........................................................................................20 C.Énergétique............................................................................................................................21 1Théorème de la puissance cinétique.....................................................................................21 2Force conservative et énergie potentielle.............................................................................22 3Énergie mécanique totale......................................................................................................22 4Intégrale première de l'énergie.............................................................................................22 5Exemple: conservation de l'énergie pour une masse accrochée à un ressort........................23 a)L'énergie potentielle élastique......................................................................................23 b)L'énergie potentielle de pesanteur................................................................................23 c)L'énergie potentielle totale............................................................................................23 6Référentiel non galiléen : travail des forces d'inertie...........................................................24 D.Complément: stabilité d'un équilibre....................................................................................24 1Force et énergie potentielle...................................................................................................25 2La position d'équilibre..........................................................................................................25 3Étude de stabilité:.................................................................................................................25 a)Définition......................................................................................................................25 b)Étude dans le cas où la dérivée première de la force est différente de zéro.................26 c)Étude dans le cas où la dérivée première de la force est nulle.....................................28 E.Complément: énergie potentielle effective............................................................................28 1La force.................................................................................................................................29 2Les intégrales premières.......................................................................................................29 a)Il y conservation du moment cinétique.........................................................................29 b)Il y conservation de l'énergie........................................................................................29 3L'énergie potentielle effective..............................................................................................29 II.Système à deux points ................................................................................................................30 A.Les deux points fictifs G et P................................................................................................30 1Définition..............................................................................................................................30 2Des notations utilisées ici.....................................................................................................30 3Les positions de G et de P....................................................................................................31 B.Cinétique...............................................................................................................................31 1Grandeurs cinétiques............................................................................................................32 a)Quantité de mouvement................................................................................................32 b)Moment cinétique.........................................................................................................33 c)Énergie cinétique..........................................................................................................34 C.Dynamique............................................................................................................................35 1Actions..................................................................................................................................35 2/56

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2Théorème de la résultante cinétique.....................................................................................36 3Théorème du moment cinétique...........................................................................................36 4Système de deux points isolés ou problème à deux corps....................................................37 a)Théorème de la résultante cinétique.............................................................................37 b)Théorème du moment cinétique...................................................................................37 c)Mouvement du mobile réduit.......................................................................................38 D.Énergétique............................................................................................................................38 1Travail des forces intérieures................................................................................................38 2Théorème de la puissance cinétique.....................................................................................39 3Énergie mécanique totale......................................................................................................39 4Système de deux points isolés ou problème à deux corps....................................................39 III.Système quelconque..................................................................................................................40 A.Cinétique...............................................................................................................................40 1Centre de masse ou centre d'inertie ou barycentre...............................................................40 2Grandeurs cinétiques et théorèmes de König.......................................................................40 a)Quantité de mouvement................................................................................................40 b)Moment cinétique.........................................................................................................40 c)Énergie cinétique..........................................................................................................42 3Dérivée des grandeurs cinétiques.........................................................................................42 B.Dynamique............................................................................................................................43 1Actions..................................................................................................................................43 a)Actions intérieures........................................................................................................43 b)Actions extérieures.......................................................................................................43 c)Exemple de force: tension d'un fil vertical...................................................................43 2Postulation tensorielle..........................................................................................................44 3Les théorèmes de base..........................................................................................................45 a)Le théorème de la résultante cinétique:........................................................................45 b)Le théorème du moment cinétique en un point O fixe:................................................45 c)Le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique:..........................45 d)Le théorème du moment cinétique en projection sur un axe fixe:...............................45 e)Le théorème du moment cinétique en projection sur un axe de direction fixe:............46 4Complément: théorème du moment cinétique......................................................................47 C.Énergétique ...........................................................................................................................49 Chap 2: Mécanique du solide.............................................................................................................50 I.Cinétique du solide.......................................................................................................................50 A.Préliminaire...........................................................................................................................50 1Moment cinétique en O........................................................................................................50 2Énergie cinétique..................................................................................................................50 B.Moment d'inertie....................................................................................................................51 C.Moment cinétique pour un solide ayant un point de vitesse nulle........................................51 D.Énergie cinétique pour un solide ayant un point de vitesse nulle.........................................51 E.Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique.........................................................52 II.Dynamique..................................................................................................................................52 A.Lois de Coulomb...................................................................................................................52 1En cas de non glissement......................................................................................................52 2En cas de glissement.............................................................................................................53 B.Le cas particulier du solide en rotation: utilisation du théorème du moment cinétique en projection..................................................................................................................................53 3/56

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III.Énergétique................................................................................................................................54 A.Le travail pour une répartition de forces. Cas particulier du solide......................................54 1La formule............................................................................................................................54 2Les quatre cas particuliers....................................................................................................55 3Le travail des actions intérieures pour un solide..................................................................55 B.Actions de contact, liaisons...................................................................................................55 1Puissance totale des actions de contact.................................................................................55 2Cas du contact ponctuel .......................................................................................................56 3Liaisons.................................................................................................................................56

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Chap 0: Cinématique I. Référentiel, repère, base Un mouvement est étudié par rapport à un référentiel ( préciser les points par où passe l'objet étudié, préciser les instants de passage ).

A. Référentiel d'étude -repère d'espace: origine fixe par rapport à l'observateur et base fixe par rapport à l'observateur (repère privilégié dans le référentiel) -repère de temps: origine et durée unité. Pas de problème pour le temps, identique pour tous en mécanique classique. La donnée d'un référentiel espace-temps consiste alors souvent à ne préciser qu'un repère d'espace ( « repère de définition » ). EXEMPLE: On note v  M /R =

 

 dM /R dt

R est le référentiel.

B. Repère d'espace Pour faire le calcul, on doit préciser l'origine O du repère d'espace privilégié de R et la base fixe B du repère d'espace privilégié. EXEMPLE:

   

  dM dOM Si O est fixe dans R , on aura v  M /R = /R = /B ( on dérive en sachant dt dt que les vecteurs de la base B sont de direction fixe dans le référentiel. En fait, on écrit v  M /R =

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 

 dOM /R dt

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   

Dans

 dOM /R la notation R est redondante puisque l'origine, déjà précisée dans dt

 dOM dt

n'intervient plus. On parle parfois de ( « repère de dérivation » ). On utilisera

plus tard cette remarque quand on utilisera

   

  dGP dGP /R = /R * puisque les bases de dt dt

R et R * sont identiques.

C. Base Un vecteur étant clairement défini, on peut l'écrire dans n'importe quelle base. EXEMPLE: v  M /R peut s'écrire dans la base privilégiée B de R mais aussi dans la base privilégiée B ' de R ' alors que R ' est en mouvement par rapport à R . Pour autant, c'est bien v  M /R et non v  M /R ' que l'on exprime. On parle parfois de ( « repère de projection » ).

II. Rappels de cinématique A. Dérivée d'un vecteur de norme constante Lorsque l'on calcule, par exemple, la vitesse d'un premier point d'un solide, on peut être amené à dériver. Pour un vecteur de norme constante, ∥ AB∥=constante  AB2=constante En dérivant par rapport au temps, on obtient 2 AB donc

d AB =0 dt d AB est perpendiculaire à  AB . dt

On pourra écrire: d AB =∧   AB dt 6/56

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De même pour un vecteur unitaire de R ' qu'on dérive par rapport à R

 

d u /R =R ' /R ∧u  dt

B. Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne EXEMPLE Mouvement uniformément accéléré. En intégrant successivement:

a=constante v=atv 0 at 2 x= v 0 t x 0 2

équation indépendante du temps bien pratique: v 2 – v 20=2 a  x−x 0 

C. Vitesse et accélération d'un mouvement circulaire 1 Vitesse Si O est un point de l'axe de rotation: (cf dérivée d'un vecteur de norme constante) v  M =

d OM = ∧   OM dt

On travaille en général avec le point H de l'axe se trouvant dans le plan du cercle   HM v  M =∧ En cylindriques, on obtient v  M =v u v  M =R ˚ u 2 Accélération: On dérive avec =  ˚ uz 2

a  M =v˚ u− 

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v ur R

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Mécanique a  M =R ¨ u−R ˚2 ur 

L'accélération radiale est normale centripète et vaut: aN =−˚2 HM

D. Vitesse en cylindriques et sphériques 1 En cylindriques  OM =r ur z uz et =  ˚ uz  dl=dr ur r d  u dz uz  v = r˚ ur  r ˚ u z˚ uz

1 d 2˚ a = r¨ −r ˚2  ur   r  u  z¨ uz  r dt 2 En sphériques  ˚ uz˚ u OM =r =r ur avec =    dl=dr ur r d  u r sin  d  u ˚ u  v = r˚ ur r ˚ ur sin  

E. Formules de Binet 1 Rayon vecteur ˚ La trajectoire est plane et r 2 =C 2 ˚ Avec u =1 /r , =C u

1 r = er u 2 Vitesse d r d  v = d  dt v =−u ' er u e  C

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3 Accélération dv d a =  d  dt 2

2

a =−u ' 'u  C u er  (cette accélération est bien radiale puisque la force est centrale)

F. Vitesse d'un point d'un solide 1 Formule fondamentale BA∧  v  B∈R S /R =v  A∈R S /R   R S / R  Cette formule implique ∥ AB∥=constante 2 Cas d'un solide en rotation O est un point quelconque sur l'a.i.r. (axe instantané de rotation) v  M ∈R S /R =

d OM  = MO∧R  S /R =R  S /R ∧ OM dt

remarque: pour un mouvement circulaire, on fait souvent intervenir le point H , centre du cercle décrit  S /R ∧ HM v  M ∈R S /R =R 3 Centre instantané de rotation Dans le cas d'un mouvement plan sur plan. Il existe alors un centre instantané de rotation I (point à chaque instant, lié au solide en mouvement, possédant à cet instant une vitesse nulle). On aura: v  I ∈R S /R  M I ∧R  S /R  v  M ∈R S /R =  S /R ∧ IM ( mouvement circulaire de v  M ∈R S /R =R

M )

G. Accélération d'un point d'un solide BA∧  R /R Rappel: vitesse d'un point d'un solide v  B∈ R / R =v  A∈ R / R S

S

cette formule implique ∥ AB∥=constante 9/56

S

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Pour obtenir l'accélération, il faut dériver mais sans perdre de vue la restriction: ∥ AB∥=constante . L'approche suivante comporte moins de risques. Le plus simple est de travailler vectoriellement: AB v  B∈ R / R =v  A∈ R / R   R / R ∧ S

S

S

=a A∈ R / R 

d  ∧ AB   R dt  R / R 

=a A∈ R / R 

d  ∧ AB   R dt  R / R 

= a  A ∈R

d   R / R ∧ AB   R / R     R / R  AB−   2R / R  AB dt

a  B ∈R 

S

/ R

a  B ∈R 

S

/ R

S

S

S

/ R

S

S

∧

S

/ R

S

/ R

d AB dt

∧   R

S

∧ AB

/ R

S

S

S

S

H. Composition de mouvement: mouvement d'entrainement Soit un point appartenant par exemple à un solide R3 en mouvement dans R2 , référentiel qui se trouve lui même en mouvement par rapport à R1 . On convient ici de désigner par v absolue la vitesse de M par rapport à R1 et par v relative la vitesse de M par rapport à R2 . Qu'appelle-t-on mouvement d'entrainement. C'est un mouvement par rapport à R1 mais ce n'est pas le mouvement du point M . On doit considérer le point de R2 qui coïncide à l'instant considéré avec M , point de R3 . Le point M ∈R2 est appelé point coïncidant. Finalement, il s'agit de cinématique du solide. Donc avec O2 origine de R2 ve= v  M ∈ R2 / R1=v O2 / R1 MO2∧     R2/ R1

ae= a O2 / R1  a M ∈ R2 / R1=

d  ∧ O2M  O2M     R2/ R1 ∧    R2/ R1∧ dt  R2 / R1

EXEMPLE Un point M de coordonnées  x t , y t  , z=0 se déplace dans R . de repère O , ux , uy , uz  qui tourne à la vitesse constante = uz autour de l'axe O 0 z par rapport à  R 0 de repère O0, ux0 , uy0 , uz  . O reste à distance constante HO=a de l'axe O0 z .

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y M x

H

a

O

Couleurs: Le point M (rouge) se déplace par rapport à R (vert) : mouvement « relatif » Le point M (rouge) se déplace par rapport à R

0

(noir) : mouvement « absolu »

Le point de R coïncidant avec M (point vert placé en M ) est fixe par rapport à R (vert) mais se déplace par rapport à R 0 (noir) : mouvement d'entrainement. Le point M est ici considéré comme un point du « solide » R (vert). 1 Entrainement On étudie le mouvement du point coïncidant M ∈ R  : mouvement circulaire de rayon HM . Il est plus facile de faire appel à la cinématique du solide. On utilise les formules donnant la vitesse et l'accélération d'un point d'un solide. a) Vitesse

O et M ∈ R  sont deux points de R donc formule de base:

M O∧ v  M ∈ R / R 0=v O/ R 0   R / R 0  ou OM v  M ∈ R / R 0=v O/ R 0  R / R 0 ∧ de plus O décrit un mouvement circulaire de centre H : HO v O/ R 0=  R / R 0 ∧ finalement   HM v  M ∈ R / R 0=∧ (prévisible puisque M ∈ R  décrit un mouvement circulaire de centre H . On pouvait considérer dès le départ que H était aussi un point du solide R ) 11/56

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b) Accélération Ici

d   =0 donc : dt



a  M ∈ R / R 0=a O / R 0   R / R 0 ∧

d OM dt



/R

0

a  M ∈ R / R 0=a O / R 0∧ OM     ∧   En utilisant le point H au lieu de O , on obtient plus rapidement: a  M ∈ R / R 0=∧   ∧   HM   L'accélération est normale centripète. 2 a  M ∈ R / R 0=−    HM 2 a  M ∈ R / R 0=−    HO OM  2

a  M ∈ R / R 0=−    ax t  ux  y t uy 

2 Mouvement relatif a) Vitesse v  M / R =



d OM dt



/R

v = x˚ t ux  y˚ t uy b) Accélération



a  M / R = 

d v  M / R dt



/R

a  M = x¨ t  ux  ¨y t uy 

3 Coriolis aC =2   entrainement ∧v relatif aC =2 − y˚ t  ux  x˚ t uy 

III. Glissement et non glissement (Exemple) La vitesse de glissement est la différence, au point de contact désigné par I entre les deux solides, des vitesses des deux points coïncidants.

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v glissement  A/ B=v  I ∈ A/R −v  I ∈B/R

Il y a non glissement si cette vitesse est nulle. EXEMPLE Roue roulant sans glisser sur un plan fixe horizontal

C I

x

1 Condition de non glissement: v glissement roue/ plan=v  I ∈ roue/R −v  I ∈sol /R avec v  I ∈ sol /R =0

CI =v a  ux v  I ∈roue /R =v C /R    roue /R ∧ donc v =−a 

2 Vitesse d'un point de la roue On peut écrire pour obtenir la vitesse d'un point de la roue /R ∧ CM soit: v  M ∈roue/R =v C /R roue    roue /R ∧ IM =roue  /R ∧ IM soit: v  M ∈roue/R =v  I ∈roue /R    roue/R ∧ IM v  M ∈roue/R = La roue tourne autour du point I ∈roue 3 Approche par composition de mouvement 13/56

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L'analyse par composition de mouvement, à éviter en général, permet ici de favoriser la compréhension en ce qui concerne les points : M ∈roue et

I ∈roue en rouge I ∈sol en noir

M ∈R ' point vert de R ' coïncidant à un instant avec le point rouge étudié de la roue I (sans autre précision) le point de l'espace euclidien qui se trouve au point de contact schématisé par une croix sur le schéma.

Référentiel R

Référentiel R' (ici, référentiel barycentrique)

C

I

On représente les vitesses relatives de grandeur r  à R ' ).

x

en rouge (vitesse de M ∈roue par rapport

On représente les vitesses d'entrainement de grandeur v en vert (vitesse du point coïncidant M ∈R ' par rapport à R ). On en déduit les vitesses absolues en noir (vitesse de M ∈roue par rapport à R )

x

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2v v√2

v v√2 Vitesse nulle

x

On représente ici la vitesse de I .

x v

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Chap 1: Mécanique des systèmes I. Point matériel A. Cinétique 1 Grandeurs cinétiques Quantité de mouvement du point A :

p /R =m v /R

Moment cinétique du point A en un point O :

  O/ R = rOA∧m  v /R

Énergie cinétique du point A :

1 2 E C /R = m v /R 2

2 Dérivée des grandeurs cinétiques Ce sont les grandeurs dynamiques qui interviennent. On les obtiendra par dérivation des grandeurs cinétiques.  A /R =m a /R

Quantité d'accélération du point A :

 

d p A /R = /R obtenu par  dt   O/ R =rOA∧m a /R

Moment dynamique du point A en O :





d  O  O/R = /R à la obtenu par  dt condition suffisante que O soit un point fixe Démonstration: d  O d  OA d m v = ∧mv  OA∧ dt dt dt d m v =  v −vO ∧m v  OA∧ dt =−vO ∧ p   O   O

=vO ∧ p 

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d   O  dt

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Mécanique   O

=

d   O dt

2013 si O fixe

B. Dynamique 1 Existence des référentiels galiléens Il existe une classe de référentiels, appelés référentiels galiléens, par rapport auxquels un point matériel isolé est en mouvement rectiligne uniforme ( en lien avec l'hypothèse que l'espace vide est homogène, isotrope et que le temps s'écoule de manière uniforme ) 2 Principe fondamental de la dynamique a) Énoncé Dans un référentiel galiléen :

∑ F = donc

d p dt

∑ F =m a

b) Principe dans un référentiel non galiléen Si le référentiel n'est pas galiléen, il faut ajouter les forces d'inertie : -force d'inertie d'entrainement :

f i , e =−ma entrainement

-force d'inertie de Coriolis :

f i , c =−2 m   entrainement ∧ v

c) Conservation de la quantité de mouvement pour un point isolé Si le point matériel est isolé (pas de forces) ou pseudo-isolé (somme des forces nulle), sa quantité de mouvement est donc conservée. 3 Le théorème du moment cinétique Ce théorème n'apporte rien de plus ici mais il est pratique dans certains cas ( rotation, forces centrales, forces axiales ). a) Le théorème du moment cinétique en un point Dans un référentiel galiléen, la dérivée du moment cinétique d'un point matériel A en un point fixe O est égale au moment des forces en O .

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d

∑ M O= dt  O b) Démonstration du théorème

 =r ∧m a soit r ∧ F d  O=  O=   O  M  O avec  dt à la condition suffisante que O soit fixe c) Conservation du moment cinétique en un point si les forces sont centrales  est selon  Si la force résultante F OA , la force est centrale (la force passe toujours par le point fixe ou centre de force O ) alors :  O= M 0 Il y a donc conservation du moment cinétique en O.   O=constante d) Conséquences pour un mouvement à force centrale •

Le mouvement est plan

 O connu par ( A appartient au plan passant par le centre de forces O et perpendiculaire à  les conditions initiales) •

On a une intégrale première du mouvement qui peut s'écrire r

2

d =C avec C : dt

constante des aires (en effet puisque la trajectoire est plane avec uz choisi perpendiculaire au plan: 2   O=m r ur∧ r˙ ur r ˙ u=m r ˙ uz=constante ) •

(

La vitesse aréolaire est constante

dS = dt

∫  r

r ' dr '

0

d 1 2 d = r =C /2 ) dt 2 dt

e) Le théorème du moment cinétique en projection Dans un référentiel galiléen, la dérivée du moment cinétique d'un point matériel A par rapport à un axe fixe Oz est égale au moment des forces selon Oz . d

∑ M Oz = dt Oz 18/56

G.P.

Mécanique

2013

f) Démonstration du théorème du moment cinétique en projection •

Notion de moment par rapport à un axe 

Un moment par rapport à l'axe est la projection du moment par rapport à un point quelconque de cet axe. On choisit un point O (ou O ' ) quelconque sur l'axe de vecteur unitaire uz . On vérifie que le moment par rapport à l'axe ne dépend pas du point. On retrouve au préalable la formule de transport du moment.  O ' A∧m v  O ' = = O ' O OA∧m v = OA∧m v  O ' O∧m v  O ' O∧ p  O ' =  O Puis on projette sur uz uz  O ' O∧ p  O '= uz   O uz  le produit mixte est nul puisque uz et  O ' O sont colinéaires   =uz   O' =uz   O •

La démonstration

L'axe  est un axe fixe. O est fixe sur cet axe et le vecteur unitaire uz de cet axe est fixe. On peut écrire ( O est fixe):

d

∑ M O= dt  O On multiplie par uz :  O =uz uz ∑ M

d   O dt

soit puisque u z est constant: =

d  u   O dt z d

∑ M = dt 

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G.P.

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g) Conservation du moment cinétique par rapport à l'axe si les forces sont axiales Si la force résultante est parallèle à l'axe ou sécante à cet axe, la force est axiale (la force et l'axe sont dans un même plan) alors : M =0 Il y a donc conservation du moment cinétique par rapport à l'axe.   =constante

On a une intégrale première du mouvement 4 Cas des référentiels non galiléens

Le principe fondamental dans le référentiel non galiléen

f =ma avec a désigne l'accélération de M par rapport au Dans R 0 galiléen, on écrit: référentiel choisi. Ici R 0 . On développe l'écriture précédente en utilisant la loi de composition des accélérations

∑

a  M / R 0 =  a  M / R  a  M ∈R / R 02   R / R 0∧v  M / R parfois écrite: a ' absolue ' = a ' relative '  a entrainement  a Coriolis 

∑ f =ma ' relative ' a entrainement a Coriolis ∑ f −ma entrainement−ma Coriolis=ma ' relative ' On pose f i , e =−ma entrainement On pose f i , c =−maCoriolis

∑ f  fi ,e fi ,c=ma' relative' On se place ici du point de vue du référentiel R . On désigne par a l'accélération de M par rapport au référentiel choisi. Ici R . Idem pour v qui désigne maintenant la vitesse de M par rapport au référentiel.

∑ f  fi ,e  fi ,c =ma On peut donc appliquer le principe fondamental dans un référentiel non galiléen R à condition d'ajouter deux forces d'inertie: 20/56

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1) la force d'inertie d'entrainement f i , e =−ma entrainement =−m  a  M ∈R / R

0

2) la force d'inertie de Coriolis f i , c =−maCoriolis =−2 m   R / R 0∧v Retour à l'exemple déjà abordé

y M x H

a

O

L'accélération d'entrainement (rotation à vitesse constante) est normale centripète. 2 a  M ∈ R / R 0=−   HM d'où la force d'inertie d'entrainement est centrifuge: 2 f i , e =m    HM (formule connue) La force d'inertie de Coriolis est donc: f i , c =−2 m   entrainement ∧ v relatif f i , c =−2 m   ∧v

C. Énergétique 1 Théorème de la puissance cinétique  = d p ( F  désigne ici la somme des forces) et on On part du principe fondamental d'où F dt multiplie à droite et à gauche par v ( ce qui introduit dans le problème la solution parasite v =0 )  v =m d v v F dt 21/56

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1 d  m v2  2 P= dt d  EC  =P dt 2 Force conservative et énergie potentielle Une force f est conservative si son travail élémentaire s'exprime comme la différentielle d'une fonction f d l =d −E P  soit:  W forceconservative=−d  E P 

ou encore: f =− grad  E P   rot f = 0  ∮ f dl=0 F

∫ f dl =− E P  F −E P  I =− E P I

3 Énergie mécanique totale En distinguant les forces conservatives et les autres non conservatives, on aura d  EC  =P forcesconservatives P forcesnonconservatives dt d  EC  d  EP  =− P forcesnonconservatives dt dt d  Em =P forcesnonconservatives dt avec: E m =E C E P 4 Intégrale première de l'énergie Si toutes les forces sont conservatives, alors: E m =constante

L'équation différentielle obtenue est intéressante car elle est du premier ordre et non du deuxième 22/56

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ordre comme l'équation issue du principe fondamental. Elle s'appelle intégrale première (une grandeur physique se conserve au cours du temps et donc sa dérivée est nulle) de l'énergie. 5 Exemple: conservation de l'énergie pour une masse accrochée à un ressort Ressort vertical: l'axe x est vers le bas. On désigne par l 0 la longueur à vide, l e la longueur à l'équilibre, l la longueur. a) L'énergie potentielle élastique −k l−l 0 =−

d E P ,élastique dl

donc: 1 E P ,élastique = k l−l 0 2Constante1 2 b) L'énergie potentielle de pesanteur m g=−

d E P , pesanteur dx

donc: E P , pesanteur =−m g xConstante2

c) L'énergie potentielle totale La somme des deux forces s'écrit F totale=−k x si on prend une origine pour l'axe des x à la position d'équilibre. C'est la force qui apparaît, en plus, par rapport aux forces qui existaient déjà à l'équilibre et dont la somme s'annulait. l=l e x m g−k l e −l 0=0 (relation traduisant l'équilibre).

L'énergie potentielle totale peut s'obtenir directement et plus rapidement en faisant: −k x=−

d E P ,totale dx

donc: 1 E P ,totale= k x 2Constante3 2 On choisit en général l'origine des énergies potentielles à la position d 'équilibre donc: 1 2 E Ptotale= k x 2 L'intégrale première est donc: 23/56

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2

 

1 dx 1 2 m  k x =Constante E 2 dt 2

6 Référentiel non galiléen : travail des forces d'inertie Dans un référentiel non galiléen, en rotation uniforme, on doit tenir compte du travail de la force d'inertie de Coriolis f i , c =−2 m   ∧v et du travail de la force d'inertie d'entrainement centrifuge

f i , e =m   2 HM . La force d'inertie de Coriolis ne travaille pas   W i , c =−2 m ∧  v  dl =−2 m   ∧v  v dt  W i , c =0

(On peut remarquer que l'étude du mouvement ou de l'équilibre partant de l'énergie ne permet pas, a priori, dans ces référentiels de conclure sans précaution, puisque l'étude ne permet pas de retrouver la force de Coriolis qui, a priori, intervient dans le mouvement)

Le travail de la force centrifuge est 2   W i , e = m    HM  dl

HM =r ur )  selon uz et H sur l'axe z et  en travaillant en cylindriques (   W i , e = m 2 r ur dr ur r d  u dz uz  2

=m r dr

Puisque il n'y a plus qu'une seule variable, on sait que l'expression est une différentielle totale =−d E P E P =−m 2

2

r à une constante près 2 EP

i ,e =−

m 2 HM 2 2

Le force centrifuge dérive d'une énergie potentielle

D. Complément: stabilité d'un équilibre

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1 Force et énergie potentielle On étudie un problème à une dimension. On peut travailler en utilisant l'expression de la force (ou  =− du moment s'il s'agit de rotation) ou l'expression de l'énergie potentielle: F grad  E P  x  avec  F =F  x  ux F  x =−

dE P  x dx

2 La position d'équilibre x eq est tel que: F  x x= x =0 eq

la fonction est nulle en x eq ou



dE P  x  dx



=0 x= xeq

la fonction est stationnaire en x eq ( E P  x  en x eq :est maximale ou est minimale ou admet un point d'inflexion à tangente horizontale ou est constante) 3 Étude de stabilité: a) Définition On étudie les forces qui apparaissent au voisinage de la position d'équilibre afin d'étudier la stabilité de la position d'équilibre. Souvent, pour favoriser l'étude, on effectue un développement limité de F  x  - bien que l'on en connaisse l'expression exacte – au voisinage de x eq . En utilisant l'expression approchée de F  x  , on conclut que l'équilibre est stable si: pour x x eq on a F  x 0 et:

pour x x eq on a F  x 0

La force qui apparaît dans ce cas au voisinage de x eq est une force de rappel. Si on écarte légèrement le point de sa position d'équilibre, il oscillera sous l'action de la force de rappel. Il suffit que l'une des deux inégalités soit opposée pour que l'équilibre soit instable. Si on écarte légèrement le point de sa position d'équilibre, il s'échappera sous l'action de la force qui tend à l'éloigner. (Si F  x =0 pour x≠ x eq , on a un équilibre indifférent. Si on écarte légèrement le point de sa 25/56

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position d'équilibre, il restera là où on le place) b) Étude dans le cas où la dérivée première de la force est différente de zéro



dF  x  dx



≠0 x= x eq

D.L. de la force F  x =F  x eq  x−x eq 



dF  x  dx



x= x eq

F  x = x−x eq 



dF  x  dx



x= x eq

D.L. de l'énergie potentielle



dE P  x E P  x =E P  x eq  x−x eq  dx



x=x eq



2

d EP  x  1   x− x eq 2 2 2 dx





2

1 2 d EPx E P  x =E P  x eq   x− xeq  2 2 dx

x= x eq



x= xeq

en introduisant la notation K :



d 2 E P  x dx

2



= − x=x eq



dF  x  dx



=K x=x eq

on aura, au voisinage de x eq : F  x =−K  x −x eq 

1 2 E P  x −E P  x eq = K  x− x eq  2

Si K 0 l'équilibre est stable

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G.P.

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F(x)

xeq

x

pour x x eq on a F  x 0 pour x x eq on a F  x 0 La force est une force de rappel (cf: ressort) variant linéairement au voisinage de l'équilibre EP(x)

xeq

x

L'énergie potentielle est minimale (cf:ressort) variant de manière quadratique (parabole) au voisinage de l'équilibre Si K 0 l'équilibre est instable F(x)

xeq

x

pour x x eq on a F  x 0 pour x x eq on a F  x 0 La force tend à éloigner le point de la position d'équilibre. 27/56

G.P.

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EP(x)

xeq

x

L'énergie potentielle est maximale à l'équilibre

c) Étude dans le cas où la dérivée première de la force est nulle



dF  x  dx



=0 x= x eq

L'équilibre est stable •

si pour x x eq on a F  x 0 et pour x x eq on a F  x 0

•

ou si l'énergie potentielle présente un minimum

Si on travaille par approximations, il faut poursuivre le D.L. plus loin que précédemment pour conclure.

Exemples: F  x =



 x− x eq 2 d 2 F  x  2 dx 2



x= x eq

l'équilibre sera instable puisque F  x  ne change pas de signe avec  x− xeq  . C'est le cas où la courbe de l'énergie potentielle présente un point d'inflexion à tangente horizontale.



 x− x eq 3 d 3 F  x F  x = 6 dx 3

l'équilibre sera stable si



d3 F x dx 3





x=x eq

0 x= xeq

E. Complément: énergie potentielle effective 28/56

G.P.

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Au niveau prépa, l'utilisation de la conservation de l'énergie est surtout intéressante lorsque le mouvement dépend d'un seul paramètre. En fait, on utilisera aussi la technique énergétique en présence de deux paramètres non indépendants comme dans le cas d'une force centrale et conservative. Exemple: un satellite assimilé à un point matériel P de masse m décrit une orbite fermée autour de la terre (masse M ≫m ) de centre O. 1 La force  =−G M m r avec r = La force subie par P s'écrit F OP . r3

Elle est centrale et conservative . 2 Les intégrales premières a) Il y conservation du moment cinétique Le mouvement est plan.

  O=m r ur∧ r˙ ur r ˙ u=m r 2 ˙ uz 2 =m r ˙ (constante)

b) Il y conservation de l'énergie E=E c  E p 1 GM m E= m r˙2r 2 ˙ 2− (constante) 2 r 3 L'énergie potentielle effective 2

 

 1 1 GM m E= m r˙2  mr 2 − 2 2 2 r mr



2

 1 GM m E= m r˙2  − 2 2 r 2mr

 1 E= m r˙2 E P eff r  2



E P eff  r =

GM m 2 − 2 r 2 mr

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

G.P.

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On ramène le problème à un problème à une seule dimension. Comme si le problème était étudié par un observateur assis sur le rayon vecteur, constatant une vitesse selon ur et constatant une énergie potentielle de gravitation et une énergie potentielle liée à la force centrifuge (force 2 2 2 centrifuge m r ˙ ur = 3 ur associée à E P= ). 2 mr 2 mr

II. Système à deux points A. Les deux points fictifs G et P 1 Définition Pour étudier le problème à deux points A1 de masse m1 et A2 de masse m2 , on introduit deux autres points fictifs : le barycentre G auquel on attribuera la masse totale M =m1m2 1 1 1 le point fictif ou mobile réduit P auquel on attribuera la masse réduite  avec  =  m1 m2

R*

A1 R

G A2 P

O

2 Des notations utilisées ici  OA1 =r1  OA 2=r2

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G.P.

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 GA1 =r1 *  GA 2=r2 * v  A1 /R = v1 v  A2 /R =v2

v  A1 /R *= v1 * v  A2 /R *= v2 *

3 Les positions de G et de P -Le point G est le barycentre ou centre de masse de A1 et A2  R= OG avec ( cf barycentre avec origine en O ): m1m2  OG =m1 OA 1m2 OA2 (0) M R=m 1 r1m 2 r2 ou (cf barycentre avec origine en G )  0 =m1 GA1m2 GA 2  0 =m1 r1 *m 2 r2 * (1) GP= A 1 A2 -Le point P est tel que 

GP avec r * ou r =  GP= A1 A2= O A2 − O A1 r = r2 – r1  GP= A1 A2= G A2− G A1 r *=r =r2 * – r1 * (2)

Remarque : En ce qui concerne les grandeurs « relatives » r * et r désignent la même grandeur de même pour les dérivées v * et v

B. Cinétique

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G.P.

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d vecteur d vecteur /R = /R * dt dt puisque les deux référentiels sont en translation ( même base ) Remarque

:

1 Grandeurs cinétiques a) Quantité de mouvement -Quantité de mouvement totale dans R * : m1 r1 *m2 r2 *= 0 on dérive par rapport au temps  P *=m1 v1 *m2 v2 *= 0  P *= 0 -Quantité de mouvement du point fictif P de masse  dans R * p *= v *= v ( différent de  P* ) -Quantité de mouvement totale dans R : m1 r1m2 r2=M  R on dérive par rapport au temps

 P /R =m1 v1m2 v2=M V où V désigne la vitesse de G dans R  P / R =M V -Quantité de mouvement du point fictif G de masse M dans R P[G ] /R =M V -Quantité de mouvement de A1 dans R * : m2 r (3) obtenu à partir de (1) et (2) mais cette relation s'obtient directement à partir de M la relation définissant le barycentre (0) en prenant l'origine en A1 r1 *=−

m1 r1 *=−

m1 m2 r =− r on dérive par rapport au temps M

p1 *=m1 v1 *=− v Remarque : v désigne la vitesse de P dans R* ( cette vitesse vaut v2 – v1 ou v2 * – v1 * , c'est à dire la vitesse de A2 moins celle de A1 , grandeur indépendante du 32/56

G.P.

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référentiel, ou « en quelque sorte » vitesse « relative » de A2 par rapport à A1 ) p1 *=−  v -Quantité de mouvement de A2 dans R * : r2 *=

m1 r (4) M p2 *= v Remarque : il n'existe pas de théorème de König pour la quantité de mouvement. On a cependant trouvé:  P / R = P[G ] /R   P * avec P[G ] /R : quantité de mouvement de toute la masse en G .  P /R =M VG /R 0

b) Moment cinétique -Moment cinétique total dans R * : On le calcule en G ( mais il est indépendant du point de calcul )   *=1 *2 * = r1 *∧ p1 * r2 *∧ p2 * =−r1 *∧ p * r2 *∧ p *

= r2 *−r1 *∧ p *   *=r *∧ p *   *=r ∧ v

-Moment cinétique du point fictif P de masse  dans R *   *=r ∧ v -Moment cinétique total dans R en O :   O/ R = r1∧  p1r2∧ p2  p i=mi  vi =mi  V vi *=mi V pi * avec 

  p2 *   O/R = r1∧m1 V  p1 *r2∧m2 V   r1∧ p1 *r2∧ p2 * = r1∧m1 V r2∧m2 V

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G.P.

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=m1 r1m2 r2 ∧V  r2− r1 ∧ p *   O/ R =M  R∧V r ∧ p *   O/R =  R ∧M V r ∧ v -Moment cinétique du point fictif G de masse M dans R

[G ] O/R =  R ∧M V Remarque : on a obtenu le premier théorème de König pour le moment cinétique. On a en effet trouvé:   O/ R =[ G ] O /R   * avec [G ] O/R : moment cinétique en O de toute la masse en G . Le moment cinétique dans le référentiel barycentrique est celui du mobile réduit. c) Énergie cinétique -Énergie cinétique totale dans R * : E C *=E C ,1 * E C ,2 * 1 1 = m1 v 1 *2 m2 v 2 *2 2 2 On obtient v1 * et v2 * en dérivant (3) et (4) 2

2

1 m1 m2 2 1 m2 m1 2 = v v 2 M2 2 M2 =

1 m1 m 2 2 v 2 M 1 2 E C *= v 2

-Énergie cinétique du point fictif P de masse  dans R * 1 E C *= v 2 2 -Énergie cinétique totale dans R : 1 1 E C /R = m1 v 21 m2 v 22 2 2

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G.P.

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1 1 = m1  V v1 *2 m 2  V v2 *2 2 2 1 1 1 =  m1 m 2 V 2 m1 v1 *m2 v2 * V  m1 v 1 *2 m2 v 2 *2  2 2 2 1 2  * V E C * avec  = M V P P *= 0 2 1 1 E C /R = M V 2 v 2 2 2 -Énergie cinétique du point fictif G de masse M dans R 1 2 E C ,[G ] /R = M V 2 Remarque : on a obtenu le second théorème de König pour l'énergie cinétique. On a en effet trouvé: E C /R =E C ,[ G ] /R  EC * avec: E C ,[G ] /R énergie cinétique de toute la masse en G . L'énergie cinétique dans le référentiel barycentrique est celle du mobile réduit.

C. Dynamique

R*

A1 f 1←2

R

F1 ext

G f2←1

A2 P

F2 ext

O

1 Actions On désigne par des minuscules les forces intérieures au système  A1, A2  et par des majuscules les forces extérieures. En vertu de la loi de l'action et de la réaction f 1⇐ 2 =− f 2 ⇐ 1 , donc la somme des forces intérieures s'annule. 35/56

G.P.

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Fint = f 1⇐ 2 f 2⇐ 1 Fint = 0 De même, en vertu de la loi de l'action et de la réaction, la somme des moments intérieurs s'annule aussi. En effet:    int = M OA1∧ f  1 ⇐ 2OA 2∧ f 2 ⇐1 =− OA 1∧ f 2⇐ 1 OA 2∧ f 2 ⇐ 1 = OA 2− OA1 ∧ f 2 ⇐1 = A1 A2∧ f 2 ⇐ 1 =r ∧ f 2 ⇐1 A1 A2 on utilise le fait que les forces intérieures ont pour direction celle de   int =0 M 2 Théorème de la résultante cinétique Dans R : d principe fondamental pour A1 : F 1 f 1⇐ 2= p1 dt d principe fondamental pour A2 : F 2 f 2 ⇐ 1= p2 dt On fait la somme de ces deux relations sachant que la somme des actions intérieures est nulle. d F 1 F 2=  p1 p2 dt d F 1 F 2=  P dt d

∑ Fext = dt P P =M VG avec 

∑ Fext =M aG 3 Théorème du moment cinétique -Dans R , O étant un point fixe : 36/56

G.P.

Mécanique

2013

d OA 1∧ F1 f 1 ⇐2 = 1 O théorème du moment cinétique en O pour A1 :  dt d OA 2∧ F2  f 2⇐ 1 = 2 O théorème du moment cinétique en O pour A2 :  dt On fait la somme de ces deux relations sachant que la somme des moments des actions intérieures est nulle. donc: d  OA 1∧ F1 OA 2∧ F2=  1 O2 O dt d  OA1 ∧ F1 OA 2∧ F2=   O  dt d

∑ M ext O = dt  O  -Dans R * , en G , on a :

∑ M ext G=

d * dt

Une démonstration possible consiste à utiliser le théorème du moment cinétique en G , point fixe, dans le référentiel barycentrique, non galiléen. Il faut alors tenir compte des forces d'inertie. Le référentiel R * est en translation par rapport à R galiléen. Il suffit donc de faire intervenir les forces d'inertie d'entrainement ( pas de forces de Coriolis ). Le moment de ces forces d'inertie en G est :  1∧−m1   2∧−m 2  Mi ,e G=GA a G/R GA a G/ R   1m2 GA  2∧a G/R =− m1 GA  1m2 GA  2 = 0 avec par définition du barycentre m1 GA Mi ,e G=0 4 Système de deux points isolés ou problème à deux corps En l'absence de forces extérieures, le système à deux points est isolé. a) Théorème de la résultante cinétique On obtient alors  P =constante , VG =constante , R * référentiel mouvement rectiligne uniforme dans R . b) Théorème du moment cinétique 37/56

galiléen. G est

en

G.P.

Mécanique

2013

 O=constante ,   *=constante . Le moment cinétique du point fictif P On obtient alors  de masse  dans R * est donc constant. Ceci est en lien avec le fait que le point P décrit un mouvement à force centrale dans R * (avec les conséquences connues: le mouvement de P est 2d  =C avec C : constante des plan dans R * , on a une intégrale première du mouvement r dt aires, la vitesse aréolaire est constante). c) Mouvement du mobile réduit On a ( avec f = f 2 ⇐ 1 ) : f = d v dt Démonstration : principe fondamental pour A1 : f 1⇐ 2 =m1

d v1 dt

principe fondamental pour A2 : f 2 ⇐1 =m 2

d v2 dt

On fait une différence pour obtenir le mouvement relatif de A2 par rapport à A1 ce qui donne d'ailleurs le mouvement de P par rapport à G ou encore le mouvement de P dans le référentiel barycentrique. f 2⇐ 1 f  d − 1 ⇐ 2 =  v2−v1  m2 m1 dt f 2⇐ 1 f 2⇐ 1 d  =  v m2 m1 dt f d v =  dt donc le mobile réduit P de masse  est en quelque sorte soumis à f 2 ⇐1 dans le référentiel barycentrique.

D. Énergétique 1 Travail des forces intérieures  1  f 2⇐ 1 dr 2  W int = f 1⇐ 2 dr

38/56

G.P.

Mécanique

2013

 2− dr  1 = f 2⇐ 1  dr = f 2⇐ 1 d  OA2 −d  OA1  = f 2⇐ 1 d  A1 A2 = f 2⇐ 1 d r Ce travail des forces intérieures n'est pas nul . Le travail des forces intérieures est indépendant du référentiel ( fait intervenir une force et le déplacement relatif). On peut donc le calculer en se plaçant dans un référentiel ou le point A1 est fixe. Cela facilitera le calcul. A1 A2 = GP ) Avec f 2 ⇐1 = f r  ur ( ur est le vecteur unitaire de r =  =dr urr d  ur sin d  u et dr  W int = f r  dr qui ne dépend que de r. On peut donc trouver une énergie potentielle interne ou énergie potentielle d'interaction entre les deux points :  W int =−d E P , int  r 

2 Théorème de la puissance cinétique Pour le système à deux points d  EC  =P forcesextérieures  P forcesintérieures dt 3 Énergie mécanique totale d  Em =P forcesnonconservatives dt avec E m =E C E P int  E P ext 4 Système de deux points isolés ou problème à deux corps Dans R galiléen : E m =constante avec

1 1 E C /R = M V 2 v 2 et 2 2

39/56

G.P.

Mécanique

2013

E P=E P int (indépendant du référentiel) 1 1 2 2 E m = M V  v E P int =constante 2 2 De plus V =V G est une constante Dans R * non galiléen, on a donc aussi 1 2 E m *= v E P int =constante 2 l'énergie du point fictif P soumis à la force f de la part du point fictif G est donc une constante (avec les conséquences connues, notamment l'existence d'une intégrale première du mouvement pour P dans R * )

III. Système quelconque A. Cinétique 1 Centre de masse ou centre d'inertie ou barycentre OAi ∑ mi  i  OG= ∑ mi

OG= (système discret) ou 

i

∭  A d 

 OA

V

∭   Ad 

(système continu)

V

et, avec l'origine en G : 0 =∑ mi  GAi ou 0 =∭  A d   GA i

V

2 Grandeurs cinétiques et théorèmes de König a) Quantité de mouvement En dérivant ces relations on trouve ( notation système discret mais il est facile de revenir au système continu )  P /R =∑ mi vi =M VG i

 P *=∑ mi vi *=0 i

b) Moment cinétique 40/56

G.P.

Mécanique

2013

-Définitions   O/ R =∑  r i∧  pi =∑ ri ∧mi vi i

i

  *=∑  r i *∧ pi * ( exprimé ici en G mais indépendant du point utilisé pour le calcul ) i

-Formule de transport du moment  OO ' ∧  P /R  O/ R =  O ' /R   * est indépendant du point ( si on l'applique dans R * où  P * est nul, on trouve bien que  de calcul ) Démonstration de la formule:  OA i∧mi vi  O/ R =∑  i

=∑  OO '  O ' Ai ∧mi vi i

=∑  OO ' ∧mi vi∑  O ' Ai∧mi vi i

i

= OO '∧∑ mi vi  O' /R i

-Premier théorème de König  OG ∧  P /R  O/R =  *  OG ∧M VG  O/R =  * Démonstration de la formule: La relation importante pour ces démonstrations: (cf composition des vitesses ) vi =VG vi *  OA i∧mi vi  O/ R =∑  i

=∑  OAi ∧mi  VG   vi * i

OA ∧V ∑  OA ∧m v * ∑ m   = ∑ OA ∧V   m   * ( ici  * a été exprimé en =

i

i

i

i

G

i

i

G

i

i

i

i

=M  OG ∧VG  * 41/56

O )

G.P.

Mécanique

2013

= OG∧M VG  *  G/R = * -Remarque: le premier théorème de König montre aussi que  c) Énergie cinétique -Définitions E C /R =∑ i

1 mi v 2i 2

1 m v *2 2 i i

E C *=∑ i

-Second théorème de König 1 E C /R =E C * M V 2G 2 Démonstration de la formule: La relation importante pour ces démonstrations: (cf composition des vitesses ) vi =VG vi * E C /R =∑ i

1 mi  VG vi *2 2

1 1 1 =  ∑ mi V 2G ∑ mi  v i *2  ∑ mi vi * VG 2 i 2 i i 2 1 1 = M V 2G E C * ∑ m i vi * VG 2 2 i 1 1  = M V 2G E C * P * V G avec  P *= 0 2 2 3 Dérivée des grandeurs cinétiques On obtiendra les grandeurs dynamiques par dérivation des grandeurs cinétiques. Quantité d'accélération du système:

 A /R =∑ mi ai /R i

 

d P A /R = /R obtenu par  dt   O/R =∑  r i∧m ai /R

Moment dynamique du système en O :

i

42/56

G.P.

Mécanique

2013





d  O  O/R = /R à la obtenu par  dt condition suffisante que O soit un point fixe Démonstration: d OA i d mi vi d  O =∑ ∧mi vi∑  OA i ∧ dt dt dt i i d mi vi =∑  vi− vO ∧mi vi∑  OAi∧ dt i i  O =−vO ∧∑ mi vi i

  O

d =vO ∧  P   O  dt

B. Dynamique 1 Actions a) Actions intérieures •

La résultante des actions intérieures est nulle.

•

Le moment résultant des actions intérieures est nul aussi.

b) Actions extérieures -Il suffit de connaître les éléments de réduction du torseur des actions extérieures: •

 =∑ Fext La résultante des actions extérieures est F

•

 O=∑ M  ext O Le moment résultant des actions extérieures en un point O est M

-Pour trouver le moment en un point différent, on utilisera la formule du transport du moment :  O=M  O '  M OO ' ∧  F . •

•

  O= 0 , le torseur est un glisseur. La force F S'il existe un point O tel que M s'applique en O .  = 0 , Si au contraire F On note parfois le couple

 est indépendant du point de calcul , le torseur est un couple. M  =M  . 

c) Exemple de force: tension d'un fil vertical

43/56

G.P.

Mécanique

2013

T(z,t) dm =µ dz T'(z+dz,t)

z Le principe fondamental appliqué à une masse élémentaire dm= dz (avec dz 0 ) du fil non élastique permet d'écrire: T '  zdz , t T  z ,t  dz g = dz a  z , t  a  z , t =a z , t  uz = avec 

d vz ,t uz dt

∥T  zdz , t∥−∥T  z , t ∥ dz∥ g∥= dz a  z ,t  On écrit: g∥=g ∥T ∥=T et ∥ ∂T  z , t dz= dz  a− g  ∂z ∂T  z , t  =a−g  ∂z Pour un fil de masse négligeable ∂T  z , t =0 ∂z La tension ( norme ) est donc indépendante de z . 2 Postulation tensorielle Dans un référentiel galiléen, le torseur des efforts extérieurs qui agissent sur un système fermé est égal au torseur dynamique. Si le référentiel n'est pas galiléen, il faut tenir compte des forces d'inertie.

{

}{ }

∑ Fext ∑ Mext O

=

 A   O

On obtiendra le torseur dynamique par dérivée du torseur cinétique.

44/56

G.P. – –

Mécanique

2013

soit en un point O fixe dans R galiléen soit en G dans le référentiel barycentrique R * , associé à R , puisque le moment des forces d'inertie à ajouter normalement dans ce référentiel non galiléen est nul ( pas de forces de Coriolis et résultante des forces d'inertie d'entrainement appliquée en G donc de moment nul en G )

3 Les théorèmes de base a) Le théorème de la résultante cinétique: Dans R galiléen, 

∑ Fext = ddtP =M aG Remarque: si la projection des forces selon l'axe x est nulle, alors la quantité de mouvement selon x : P x est conservée. On obtient ici aussi une intégrale première du mouvement. b) Le théorème du moment cinétique en un point O fixe: Dans R galiléen, si O est un point quelconque fixe dans le référentiel, d

∑ Mext O= dt  O Pour un solide, ce théorème est surtout utile si O est aussi un point du solide (donc un point de vitesse nulle du solide) sinon, on utilisera le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique. c) Le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique: d ∑ Mext G= dt  * (on a vu, en effet, que bien que le référentiel barycentrique n'est pas galiléen a priori, les forces d'inertie n'interviennent pas)  G/ R =  * , ce théorème peut aussi se lire comme le théorème On remarquera que puisque  d  G du moment cinétique en G dans R : ∑ Mext G=  dt d) Le théorème du moment cinétique en projection sur un axe fixe:

u constant. En multipliant le L'axe fixe  passe par O fixe et le vecteur unitaire de l'axe est  u : théorème du moment cinétique en un point O fixe par  45/56

G.P.

Mécanique

2013

Dans R galiléen, si  est un axe fixe dans le référentiel,

∑ M / =

d  / dt

Pour un solide, ce théorème est surtout utile dans le cadre de l'étude d'un solide en rotation autour d'un axe fixe e) Le théorème du moment cinétique en projection sur un axe de direction fixe: L'axe a une direction fixe donnée par le vecteur unitaire u  constant. En multipliant le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique par u  :

u , Dans R * , G étant l'axe passant par G et de direction 

∑ M /G =

d  */G dt

Pour un solide, ce théorème est surtout utile dans le cadre de l'étude d'un solide en rotation autour d'un axe de direction fixe. Dans le référentiel barycentrique, le solide tourne autour d'un axe fixe passant par G . Remarque: si le moment selon l'axe G est nul, alors le moment cinétique selon l'axe:  */G est conservé. On obtient ici aussi une intégrale première du mouvement. On peut penser au patineur qui augmente son moment d'inertie en écartant les bras et dont la vitesse de rotation autour de l'axe vertical diminue et inversement.

46/56

G.P.

Mécanique

2013

4 Complément: théorème du moment cinétique On a favorisé ici dans le poly les deux énoncés suivants: 1)Le théorème du moment cinétique en un point O fixe: Dans R galiléen, si O est un point quelconque fixe dans le référentiel, d

∑ Mext O= dt  O/R 2)Le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique R * : d ∑ Mext G= dt  * Par définition G est un point fixe dans R * mais -d'une part le référentiel barycentrique n'étant pas galiléen, il faut a priori tenir compte des forces d'inertie. On a calculé le moment des forces d'inertie en G et ce moment est nul. d   G/R * mais on a montré par la formule de -d'autre part, il faudrait a priori écrire dt « transport du moment » que le moment cinétique dans le référentiel barycentrique est indépendant du point de calcul parce que la quantité de mouvement dans R * est nulle. d  * . D'où l'écriture simplifiée dt On peut utiliser une autre formulation regroupant d'une certaine façon les deux approches précédentes: 3)Le théorème du moment cinétique Dans R galiléen, en un point P d

∑ Mext  P = dt   P /R avec deux possibilités: •

soit P est un point quelconque fixe O dans le référentiel,

•

soit P est le barycentre G du système étudié

Commentaires:  G/R et 1)Il est déjà intéressant de visualiser la différence de signification entre    G/ R *= * . Par exemple imaginons un solide en translation:

47/56

G.P.

Mécanique

2013 R*

R

Dans R tous les points ont la même vitesse vG

Dans R* tous les points ont une vitesse nulle

Par exemple, imaginons un disque qui roule sans glisser R* R

Dans R le disque tourne autour du centre de rotation I de vitesse nulle

Dans R* le disque tourne autour du point G de vitesse nulle

 G/R et   G/R *=  * sont différents. Il n'en est rien. A priori, on peut penser que    G/R = * . On démontre ceci en utilisant le théorème de König.  OG∧m vG /R  0 /R =  *  GG ∧m vG /R =  G/R =  * * 2)Il nous suffit ici de montrer que: -On peut donc partir de

d

∑ Mext G= dt  G/R d

∑ Mext G= dt  *

.

 *=  G/R avec 

-On aurait pu partir aussi de la dérivée du moment cinétique dans le cas général: d ∑ Mext O= O/R =v O /R ∧m vG / R  dt  O/R ce qui en G donne d ∑ Mext G= G/R =v G/R ∧m vG / R  dt  G /R soit:

d

∑ Mext G= dt  G/R

48/56

G.P.

Mécanique

2013

C. Énergétique Lorsque l'énergie est conservative ( forces intérieures et extérieures conservatives, réaction sans frottement ou non glissement pour que la réaction ne travaille pas, liaisons parfaites se comportant donc comme des liaisons sans frottement ) on écrit la conservation de l'énergie qui donne une intégrale première. Assez souvent on sera pour des raisons de facilité de calcul, amené à dériver et revenir à une équation différentielle du deuxième ordre. E=cste= E C E P ,extérieure E P , intérieure

On peut aussi obtenir directement l'équation différentielle du second ordre en écrivant le théorème de l'énergie cinétique. Cette forme est d'ailleurs obligatoire dans un problème où l'énergie n'est pas conservée. dE C = W toutes actions intérieureset extérieures ou encore en réutilisant l'énergie mécanique totale: dE =W actionsint et ext non conservatives On préférera écrire cette loi en utilisant la notion de puissance dE C =P toutes actions intérieures dt

et extérieures

ou dE =P actions non conservatives dt

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G.P.

Mécanique

2013

Chap 2: Mécanique du solide I. Cinétique du solide A. Préliminaire  . Point matériel M de masse m tournant autour d'un axe =Oz à la vitesse  z m

H

r

M

α

O

x

 =r =z uzr ur et  HM =r ur ( r distance à l'axe). Pour le point M , on a OM 1 Moment cinétique en O  OM ∧m v  O= =r ∧m v =r ∧m ∧  r  2

=m r   −m r z  ur 2

  O=m r      ⊥

 O et   ne sont pas colinéaires. Dans ce cas  2 Énergie cinétique 1 E C= m  v2 2

50/56

G.P.

Mécanique

2013

1 = m  OM 2  ∧ 2 1 E C = m r 2  2 2 Dans le cas de plusieurs points ( répartition discrète ou continue ) la somme des ( masses × distance à l'axe au carré ) joue un rôle important et s'appelle moment d'inertie par rapport à l'axe.

B. Moment d'inertie Moment d'inertie par rapport à un axe  : pour un système discret J / =∑ mi r 2i avec r i distance à l'axe 2 pour un système continu J / =∭ dm r avec r distance à l'axe et dm= d  ou  dS ou  dl

C. Moment cinétique pour un solide ayant un point de vitesse nulle Il existe alors un axe  instantané de rotation a.i.r. passant par ce point O du solide ayant une  uz . vitesse nulle. Cet axe est selon = La relation importante pour ces démonstrations: (cf vitesse d'un point Ai d'un solide ) vi / R =v O∈ Solide/ R  Ai O∧  Solide / R avec puisque O est fixe : vi / R =  O Ai  Solide / R ∧ Dans le cas général, on aura:   O/ R =I    ⊥ donc pour la composante selon uz :  z= I  

(remarque hors programme:  uz se trouve selon un axe principal, on aura Si = / R O=I    )

D. Énergie cinétique pour un solide ayant un point de 51/56

G.P.

Mécanique

2013

vitesse nulle Il existe alors un axe  instantané de rotation a.i.r. passant par ce point O du solide ayant une  uz vitesse nulle. Cet axe est selon = Dans le cas général, on aura: 1 E C / R = I  2 2

E. Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique * * Dans le cas du solide, on peut préciser les expressions de   et de E C puisque le problème dans R * est celui d'un solide en rotation autour d'un axe passant par un point fixe G .

1 E *C = I   2 et *= I    est fixe car alors    ⊥  . C'est intéressant si la direction de  2 I  ne dépend pas du temps. G

G

G

G

II. Dynamique A. Lois de Coulomb Le contact entre deux solides n'est jamais rigoureusement ponctuel. Les possibilités de mouvement relatif font intervenir:

glissement

roulement

pivotement

Si le contact est supposé rigoureusement ponctuel entre les deux solides, on ne doit tenir compte que du frottement de glissement, puisque le moment de la réaction est nul au point de contact I . A chaque fois il faut poser une égalité et vérifier pour la cohérence du raisonnement une inégalité. 1 En cas de non glissement

52/56

G.P.

Mécanique

2013

la réaction se trouve dans le cône de frottement égalité:

0 v glissement =

inégalité:

∣ ∣

RT fS RN

f S : coefficient de frottement d'adhérence ou de frottement statique 2 En cas de glissement la réaction se trouve sur le cône de frottement

∣ ∣

RT =fC RN

égalité:

inégalité: la réaction est opposée à la vitesse de glissement  R . v glissement0 soit: RT . v glissement 0

f C : coefficient de frottement de glissement ou de frottement cinétique

B. Le cas particulier du solide en rotation: utilisation du théorème du moment cinétique en projection 1) Rappel: Le théorème du moment cinétique pour un système:

d

∑ Mext O= dt  O

si O est

un point quelconque fixe dans le référentiel. On se place ici dans le cas d'un solide tournant autour d'un axe fixe O passant par O ( O est donc un point qui appartient au solide ou qui peut être considéré comme un point du solide et qui en tant que tel est un point de vitesse nulle)  O= I    ⊥   donc  O

O

d

  ⊥  ∑ Mext O= dt  I   O

O

u ( constant ) de l'axe O avec =  u ) En multipliant par le vecteur unitaire   d

∑ u Mext O= dt  I  u   u  ⊥   O

O

u  ⊥  =0 avec  O

53/56

G.P.

Mécanique

2013

∑ M ext O =I 

O

d dt

2) On rappelle le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique d ∑ Mext G= dt * Dans le référentiel barycentrique, le solide tourne autour d'un axe passant par G . Si de plus le u ), on aura comme précédemment vecteur rotation garde une direction fixe ( vecteur unitaire  *= I     ⊥  G

G

d

  ⊥  ∑ Mext G= dt  I   G

G

u ( constant ) de l'axe G avec =  u ) En multipliant par le vecteur unitaire   d

 u   ⊥  ∑ u Mext G= dt  I  u  G

G

u  ⊥  =0 avec  G

∑ M ext  G =I 

G

d dt

III. Énergétique A. Le travail pour une répartition de forces. Cas particulier du solide 1 La formule On travaille plutôt avec la puissance P sachant que  W =P dt Pour une répartition de forces F i appliquées aux points Ai de vitesses vi dans le référentiel, on a: P / R =∑ F i v i / R i

Dans le cas particulier du solide, on peut utiliser la formule fondamentale donnant la vitesse sachant que O désigne ici un point du solide ou le point placé en O coïncidant avec le point du solide vi / R =v O∈ Solide/ R  Ai O∧  Solide / R d'où: 54/56

G.P.

Mécanique

2013

P / R =∑ F i  v O∈Solide / R  Ai O∧  Solide / R  i

= ∑ F i  v O∈Solide/ R ∑ F i   OAi   Solide / R ∧ i

i

= ∑ F i  v O∈Solide/ R  ∑  OA i∧ F i    Solide / R i

i

 O  P /R = R  v O∈Solide / R  M  Solide / R 2 Les quatre cas particuliers Solide en translation  0 et donc P=   Solide=  R v Solide soumis à un glisseur passant par O  O= M 0 et donc P=  R v O∈Solide  ( Exemple: poids avec O=G )

Solide en rotation autour d'un axe  passant par O

 O   Solide=M   0 et donc P= M v O∈Solide =  Solide soumis à un couple 

    Solide R=0 et donc P=  3 Le travail des actions intérieures pour un solide 0 . On retrouve ici qu'il est nul en appliquant la formule avec Rint =0 et Mint =

B. Actions de contact, liaisons 1 Puissance totale des actions de contact On exprime la puissance totale des actions de contact entre un solide 1 et un solide 2 en liaison. Le calcul est fait en utilisant le point O . Puisqu'il s'agit de forces intérieures, le résultat est indépendant du référentiel.

 1 ⇒2 O  2 P 1⇒ 2= R1⇒ 2  v O∈2 M   2⇒ 1 O 1 P 2 ⇒1= R2 ⇒1  v O∈1 M  puis P totale= P1 ⇒ 2P 2 ⇒ 1 55/56

G.P.

Mécanique

2013

 1 ⇒ 2 O    = R v O∈2−v O∈1 M  2−   1 1⇒2   1⇒ 2 O  P totale=  R1⇒ 2 v O∈2/1M  2/1 La puissance totale des actions de contact est toujours négative ( frottements ) mais une des puissances P 1⇒ 2 par exemple peut être positive. Pour 2 alors, les frottements sont moteurs même si globalement, ils sont résistants. 2 Cas du contact ponctuel On obtient alors, en  P totale= R1⇒ 2  v  I ∈2 /1

considérant

le

point

de

 1 ⇒2  I = 0 et contact I , M

P totale=  R1⇒ 2 v glissement 2 /1 On retrouve certains éléments de la loi de Coulomb ( P nul en l'absence de glissement avec R v glissement 0 en présence de glissement ) conservation de l'énergie et  On retrouve aussi que, en l'absence de frottement (de glissement), puisque P doit alors être toujours nul malgré le glissement, on a  R perpendiculaire à v glissement 2/1 . 3 Liaisons Une liaison parfaite est une liaison ou les actions de liaison ne travaillent pas. Mouvements relatifs possibles en O

Inconnues de liaison en O

glissière

vz

R z=0

pivot

z

M z=0

pivot glissant

vz

z

rotule

x

y

R z=0 M x =0

z

56/56

M z=0 M y =0

M z=0