MECANIQUE - RPN

MECANIQUE 1.

Cinématique

La cinématique est la description géométrique du mouvement mais ne traite pas de ses causes. La cinématique à une dimension permet de traiter tous les problèmes dans lesquels le mouvement a lieu selon une ligne droite, qu'il s'agisse, par exemple, de voitures qui 'freinent ' ou de voitures qui 'accélèrent'. Afin de pouvoir décrire également le mouvement des carrousels ou des satellites en orbite autour des astres, on abordera la cinématique du mouvement circulaire. Les notions qui doivent être maîtrisées au cours de ce chapitre, sont les suivantes: - Position d'un mobile en fonction du temps - Vitesse d'un mobile en fonction du temps - Accélération d'un mobile en fonction du temps On remarquera qu'il s'agit de grandeur caractérisées par une norme et une direction (grandeurs vectorielles). 1.1 Cinématique à une dimension A. Position d'un objet Pour repérer la position d'un objet, on choisit une origine et on mesure la distance x de l'objet à cette origine x en fonction du temps t. Position d'un objet: x(t)

Unités: x se mesure en mètres [m].

B. Vitesse d'un objet La vitesse est définie comme étant la distance parcourue, divisée par le temps de parcours: vitesse =

Vitesse d'un objet: v(t)

distan ce soit temps

v=

Δx Δt

Unité: [m/s]

Unités m/s

Exemple: une voiture roule de Neuchâtel à Lausanne et effectue le parcours (80 km) en une heure. La vitesse moyenne est donc de 80 km/h. Par contre, la vitesse instantanée de la voiture peut être de 120 km/h à la hauteur d'Yverdon et de 40 km/h à l'entrée de l'autoroute. La vitesse instantanée est obtenue en considérant une intervalle de temps Δt très petit et donc une distance Δx petite également.

Mécanique

Remarques: • •

km 1000 m 1 m = = ou 1 m/s = 3,6 km/h h 3600 s 3,6 s La vitesse d'un mobile ne peut jamais dépasser la vitesse de la lumière, c=3.108 m/s Conversion d'unité: 1

•

La vitesse est caractérisée non seulement par sa norme (20m/s; 90 km/h) mais aussi par sa direction. Mathématiquement, la vitesse est donc une grandeur vectorielle.

•

Lorsqu'une vitesse change, elle peut changer en norme (une voiture roule de plus en plus vite sur une route droite; un autobus freine sur un bout rectiligne et s'arrête) mais elle peut aussi changer en direction. Exemple: le passager d'un carrousel peut se déplacer constamment à 40 km/h, cependant sa direction change continuellement. On dira que la vitesse du passager change.

•

En physique, lorsqu'on dit "la vitesse d'un mobile est constante" on sous-entend que la vitesse est constante en norme et en direction. Sinon, il faut donner des indications supplémentaires.

•

Lorsque la trajectoire est rectiligne, il est évident que la direction de la vitesse est constante. Un 'changement' de vitesse est alors équivalent à un changement de la norme de la vitesse.

•

La vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire

C. Accélération Pour décrire et calculer une variation de vitesse, il faut introduire la notion d'accélération. Ainsi, on distingue la voiture A qui passe de 0 à 100 km/h en 15 s, de la voiture B qui passe de 0 à 100 km/h en 8 s, en disant que l'accélération de B est plus grande que l'accélération de A. Accélération =

€

variation de vitesse soit intervalle de temps

a=

Δv Δt

Unités:

m /s m m = = 2 = m ⋅ s−2 s s ⋅s s

Exemple: l'accélération de la pesanteur vaut g=9,81 m/s2. Cela signifie que, lors d'une chute libre, la vitesse de la balle qui tombe € augmente de 9,81 m/s à chaque seconde. Si on lâche la balle avec une vitesse initiale nulle, la vitesse est de 9,81 m/s après 1 s; de 19,62 m/s après 2 s; de 29,43m/s après 3 s, etc. Ordres de grandeur : Freinage sur route sèche: 4 - 5 m/s2 ; Freinage sur route mouillée: 3 - 4 m/s2 Accélération subie par un pilote d'essai: 10-12 .g, pendant des temps très courts

2

Mécanique 1.2 Mouvements particuliers à une dimension 1.2.1. Mouvement rectiligne uniforme: MRU C'est un mouvement en ligne droite, à vitesse constante v0. Position, vitesse et accélération sont donnés par : Position : x(t) = v 0 ⋅ t + x 0 Vitesse : v(t) = v 0 Accélération : a = 0 € €1.2.2. Mouvement rectiligne uniformément accéléré: MRUA Dans€ce cas, l'accélération est constante, on la note a. Position, vitesse et accélération sont donnés par : 1 Position : x(t) = a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + x 0 2 Vitesse : v(t) = a ⋅ t + v 0 Accélération : a ≠ 0 €

€Exemples : 3 € 1) Un cycliste qui parcourt 25 km en 80 minutes, se déplace à : v = 25 ⋅10 = 5,21 m/s 80 ⋅ 60

2)

MRU : une voiture se déplace à 75 km/h. Elle parcourt donc 6,25 km en 5 minutes.

3)

La distance parcourue par la lumière en 1 année est € de 9,45.1015 m.

4)

Le temps que met la lumière pour nous provenir du Soleil est de 8,33 min.

5)

Une voiture dont la vitesse initiale est de 60 km/h a une accélération de 2 m/s2 pendant 12 s. La distance que la voiture parcourt durant ce temps est de : 1 x = 2 ⋅12 2 + (60 /3,6) ⋅12 = 344 m et sa vitesse finale vaut : 2

v = 2 ⋅12 + (60 /3,6) = 40,67 m/s = 146 km/h € 6)

€

On laisse tomber un caillou dans un puits . Le temps de chute est de 1,23 s. On en déduit que la profondeur du puits est de : x = 1 9,81⋅1,232 = 7,42 m et que la vitesse 2

avec laquelle le caillou arrive au fond est de : 7)

v = 9,81⋅1,23 = 12,1 m/s

€ freiner et s'arrêter sur 240 m. On aimerait connaître Une voiture roulant à 50 km/h doit € la décélération du véhicule et le temps qu'il lui a fallu pour s'arrêter. On a les deux

1 2

équations 240 = a ⋅ t 2 + (50 /3,6) ⋅ t ainsi que 0 = a ⋅ t + (50 / 3,6) . De la deuxième équation on tire a = − 13,9 que l'on introduit dans la première t

1 13,9 2 240 ) ⋅ t + 13,9 ⋅ t = 6,95€ ⋅ t . D'où : € = (− 2 t

t = 34,6 s et a = −0,402 m/s2

€

€

3 €

€

Mécanique 1.3 Mouvement circulaire uniforme (MCU) C'est le mouvement d'un corps qui se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon r à une vitesse v de norme constante.

La position du mobile peut être marquée sur le cercle en notant que la longueur d'arc parcouru est la même pour des intervalles de temps égaux. La période de révolution du mobile est le temps T mis pour effectuer un tour complet. Le vecteur vitesse en différents points de la trajectoire circulaire est un vecteur tangent au cercle. L'accélération peut être déterminée intuitivement si l'on remarque que les effets ressentis dans un virage sont fonction du rayon de courbure de celui-ci et de la vitesse de la voiture. Des considérations d'unités permettent ensuite d'écrire: Accélération centripète:

v2 ac = r

Unités: m/s2

Exemples: 1)

€ et prenant un virage de rayon de courbure 300 m est Une voiture roulant à 60 km/h 2

soumise à une accélération de ac = (60 /3,6) = 0,926 m/s2 300

2)

On fait tourner un caillou au bout d'une ficelle longue de 60 cm dans un plan horizontal, à raison de 15 tours en € 10 s. La distance parcourue par le caillou durant ce temps est de d = 15 ⋅ 2π ⋅ r = 15 ⋅ 2π ⋅ 0,6 = 56,6 m . La période du caillou vaut : T = 10 /15 = 0,667 s et sa vitesse est de v = d = 56,6 = 5,66 m/s . Quant à l'accélération centripète, elle est

€

t 10 5,66 2 donnée par : ac = = 54,4 m/s2 0,6

€

€

€

4

Mécanique

2.

Dynamique

La dynamique traite de la cause du mouvement. On constate que l'état de mouvement d'un objet ne change que si des forces agissent sur ce dernier. Dans ce qui suit, il ne sera question que de la mécanique du point matériel (qu'il s'agisse d'un éléphant, d'une locomotive, d'un escargot ou d'un caillou). La seule caractéristique du point matériel est sa masse (quantité de matière en kg), à ne pas confondre avec le poids (force due à l'attraction terrestre, en N) 2.1 Notion de force Une force peut produire une déformation ou être à l'origine de la variation de l'état de mouvement d'un corps. Une force est caractérisée par sa norme et par sa direction. C'est donc une grandeur vectorielle. →

Fi

Notation:

Unité: Newton [N]

Exemples de forces: Poids FP Propulsion ou traction FT r r Gravitation Fgrav Force électrique Fél etc

€

r Frottement F frott

r Poussée d'Archimède FArchi

→ € € Si plusieurs forces agissent sur un corps, c'est la résultante vectorielle des forces, F , qu'il € € € considérer: faut →

→

F = ∑ Fi i

L'addition vectorielle peut s'effectuer graphiquement comme suit: →

F1 →

F1 →

F2

→

F1

→

→

F2

F2

Corps de masse m

Il est essentiel de préciser le corps sur lequel les forces agissent ("corps jaune"). →

→

•

Si la résultante des forces, F , est parallèle à la vitesse v et de même sens, l'effet de la force résultante sera d'augmenter la norme de la vitesse (MRUA)

•

Si F est opposé à v , la norme de la vitesse diminue (MRUA).

•

Si F est perpendiculaire à v , c'est la direction de la vitesse qui sera modifiée(MCU).

→ →

→

→

5

Mécanique 2.2 Lois de Newton 1. Principe d'inertie: si aucune force résultante n'agit sur un corps, ce dernier conserve son état de mouvement: →

→

F= 0

→

→

⇔ v = const

2. Loi fondamentale de la dynamique: l'accélération d'un corps de masse m est proportionnelle € à la résultante des forces agissant sur lui et inversement proportionnelle à sa masse: →

→

a=

→ → F ou plus familièrement: F = m ⋅ a m

Remarques: 1) Le principe d'inertie n'est qu'un cas particulier de la loi fondamentale de la dynamique. 2) L'accélération est une grandeur vectorielle qui est toujours parallèle au vecteur "force résultante" 3) La force est responsable de l'accélération et non de la vitesse d'un corps. Exemples : 1)

Un cycliste de 80 kg roule à la vitesse constante de 12 km/h sur une route horizontale alors qu'il est soumis à des forces de frottements de 600 N. Avec quelle force pédale-til? Réponse: puisqu'il roule à vitesse constante et que la somme des forces vaut alors zéro, il pédale avec une force de 600 N. Faire le dessin.

2)

Ce même cycliste fait ensuite un effort supplémentaire et développe une force de 690 N pendant 5 secondes. Que se passe-t-il? Réponse: la force résultante agissant sur le cycliste est de 90 N. Son accélération vaut alors a = F = 90 = 1,13 m/s2 . La vitesse du m

80

cycliste va donc augmenter et passer à v = 1,13⋅ 5 + (12 / 3,6) = 8,98 m/s = 32,3 km/h . Il aura parcouru 30,8 m durant ce laps de temps. Dessin. 3)

4) €

€

Une voiture de 1200 kg passe de 60 à 90 km/h en 25 s. Les forces de frottements valent € 1,5kN. Quelle doit être la force du moteur, la route étant horizontale? Réponse: l'accélération du véhicule est de a = 0,333 m /s2 . La résultante des forces agissant sur la voiture doit donc valoir F = m ⋅ a = 1200 ⋅ 0,333 = 400 N . Force de frottement et force du moteur étant opposées, la force du moteur vaut donc : Fmot = F + F frott = 400 + 1500 = 1900 N . Dessin. € € La même voiture que ci-dessus descend une pente de 9°. Quelle doit être la force du moteur? Réponse: l'accélération est la même que précédemment, mais trois forces agissent maintenant sur la voiture : la composante de la force pesante selon le plan incliné, la force du moteur dans le même sens que la précédente, la force de frottement opposée aux deux précédentes. Dessin indispensable. Ecrivons cependant la résultante (qui est parallèle au plan incliné): F = mg ⋅ sin α + Fmot − F frott donc Fmot = F − mg ⋅ sin α + F frott = 400 −1200 ⋅ 9,81⋅ sin(9) + 1500 = 58,5 N

€ €

6

Mécanique

Dans les exemples qui suivent, on demande de savoir esquisser les vecteurs-forces, sans effectuer de calculs, mais en respectant les longueurs relatives des vecteurs. 5)

Quelle est la valeur de la force exercée par le câble d'une grue sur une masse M, dans les conditions suivantes (on néglige les forces de frottement; en gris: vecteur vitesse): NB. Ici on note le poids P = FP (a) la masse M est immobile:

(b) la grue monte la masse à vitesse constante:

(c) la grue descend la masse à vitesse constante:

€ câble

câble

câble

r Fcâble

r Fcâble

r Fcâble

M €

M r P

€

€

câble

€

€

€

r Fcâble

r P

€

€

(d2) la grue monte la masse avec une décélération a:

(e1) la grue descend la masse avec une accélération a:

câble

câble

r Fcâble

r Fcâble

r P

€

€

7

(e2) la grue descend la masse avec une décélération a:

câble

r F

r P €

€

r P

€

€

(d1) la grue monte la masse avec une accélération a:

r F

M r P

€

€

r Fcâble

r P

Mécanique

6) Camion de masse M dans différentes conditions: S est la force de soutien exercée par le plan sur l'objet. Camion roulant à vitesse constante (avec forces de € frottement):

Camion roulant de plus en plus vite (avec forces de frottement):

r S

r S

r Ffrott

r Fmoteur

€

€

€

r P €

r F

r €P

€

Camion roulant de plus en plus lentement (avec forces de frottement):

€

€

r S

€ r Ffrott

r Fmoteur

€r F

€

r Fmoteur

r Ffrott

r P €

€ 7) Skieur de € masse M descendant une pente: Pente infiniment glissante

Pente avec frottement faible

r S

€ r P

€

r F

€

r €P €

€

€ Pente r avec frottement important Ffrott r S r F

€ € €

r S

r Ffrott

r P

€

8

r F

Mécanique 8) Corps en équilibre sur un plan horizontal : r Sr est la force de soutien exercée par le sol; P est le poids.

r S r P

€

Equilibre :

€ €

r

r

r

r

∑F = 0 = P + S i

€

€

9) Corps en équilibre sur un plan d'inclinaison α :

r S

v F3 €

€

€ €

r P

€

α

€

r Sr est la force de soutien exercée par le sol; Pv est le poids F3 est la force qu'il faut pour retenir le corps. r r r r r Equilibre : ∑ Fi = 0 = P + S + F3

On peut montrer que F3 = P ⋅ sin α (voir cidessous) €

€

€

10) Corps glissant sans frottement le long d'un plan incliné: r Sr est la force de soutien exercée par le sol; P est le poids r alors S r que r r F S P est la résultante de et de . La € norme de cette force est calculée en r € remarquant qu'elle est le côté opposé à F l'angle α du triangle rectangle d'hypoténuse r € € € € r P . Elle vaut donc F3 = P ⋅ sin α . P L'accélération du corps est donnée par F P ⋅ sin α α a= = = g ⋅ sin α € m m € €

€

L'accélération est nulle si le plan est horizontal (α=0°) et égale à g si le plan est vertical (α=90°)

€

€

9

Mécanique 3. Action=Réaction: si le corps 1 agit sur le corps 2, alors le corps 2 réagit sur le corps 1 avec une force égale en norme mais opposée en direction: →

→

F12 = − F21

Exemples: 1)

Discuter de la force avec laquelle la Terre agit sur vous et de la force que vous exercez sur la Terre

2)

Expliquer le principe de fonctionnement d'un avion à réaction

2.3 Théorème travail-énergie Définition:

r Le travail A d'une force quelconque f est défini comme: r r r A1,2 ( f ) = f • d1,2 où f est la force agissant sur un corps de masse m qui se déplace du point (1) au point (2). €

€

Unités: la force s'exprime en N, la distance en m. Le travail est alors en Joule [J] Théorème: Le théorème travail-énergie se démontre en calculant le travail de la résultante des forces. Considérons, pour simplifier, un chemin rectiligne de longueur d sur lequel un mobile accélère régulièrement en passant du point 1 au point 2, car soumis à une force résultante F. La vitesse en 2 sera donc plus élevée que la vitesse en 1.

On peut alors calculer: Vitesse moyenne entre les points (1) et (2): v moyenne = (v1 + v 2 ) /2 = d /t Accélération entre ces points: a = (v 2 − v1 ) /t

€ €

10

Mécanique →

→

→

Travail de la résultante: A12 ( F ) = F• d

r r r A12 ( F ) = F • d = F ⋅ d = (ma) ⋅ d = m ⋅ a ⋅ v moyenne ⋅ t En remplaçant la vitesse moyenne et l'accélération par les expressions données ci-dessus, on trouve: v −v (v − v ) (v + v ) F ⋅ d = (m ⋅ a) ⋅ d = (m ⋅ 2 1 ) ⋅ v moyenne ⋅ t = m 2 1 2 1 t t t 2 En effectuant on trouve finalement: r 1 1 1 A12 ( F ) = mv 22 − mv12 = E 2cin − E1cin où l'on a défini l'énergie cinétique comme: E cin = mv 2 2 2 2

€

€

Donc en utilisant les définitions: r r r 1 2 Travail de la résultante: A( F ) = F • d et Energie cinétique: E cin = mv € on a établit le 2

€

Théorème Travail-Energie:

€

r A1,2 ( F ) = ΔE cin

€

c'est-à-dire, le travail de la résultante agissant sur un corps de masse m est égale à la variation € de l'énergie cinétique de cette masse. Notons que le travail, selon la direction de la force résultante, peut être positif, négatif ou nul. Cette loi est utile et plus facile à mettre en oeuvre si on ne s'intéresse pas aux directions des vitesses. Sinon il faut résoudre l'équation de Newton, qui est une équation vectorielle. Exemples : 1)

On pousse un véhicule de 200 kg de sur 55 m avec une force de 300 N. Les forces de frottements valent 275 N. Le véhicule étant initialement immobile, quelle sera sa vitesse finale? Réponse : la résultante de force vaut 25 N. On agissant sur 55 m le travail effectué sur le véhicule est de A = 25 ⋅ 55 = 1,38 kJ . La vitesse initiale étant nulle, la vitesse finale s'obtient comme : A = 1 m ⋅ v 2 − 0 , soit 2

v = 2A /m = 2 ⋅1380 /200 = 3,71 m/s . Dessin. €

2) €

Une balle de masse m € tombe d'une hauteur h. Le travail effectué sur la balle vaut A1,2 = m ⋅ g ⋅ h . Dessin.

3)

€ €

Un skieur de 90 kg dévale une pente longue de 1500 m et dont le dénivelé est de 120 m. Les forces de frottements, constantes, valent 60 N. Quelle est la vitesse du skieur au bas € de la pente s'il est initialement immobile? Réponse par le théorème TE : 1 A1,2 (FP ) + A(F frott ) = m ⋅ v 2 − 0 . Or A1,2 (FP ) = 90 ⋅ 9,81⋅120 = 106 kJ et 2 A1,2 (F frott ) = −60 ⋅1500 = −90 kJ . Le travail total vaut donc 15'950 J. On en déduit la vitesse 1 90 ⋅ v 2 d'où v = 18,8 m/s = 67,8 km/h . du skieur : A1,2 = 15'950 = € 2

€

€

11

Mécanique 2.4 Gravitation L'extraordinaire idée unificatrice de Newton a été de constater que la force responsable de la chute des pommes sur la Terre, est la même force que celle qui maintient la Lune en orbite autour de la Terre! Question: pourquoi la Lune ne nous tombe-t-elle pas sur la tête? La force de gravitation universelle - force attractive responsable de la cohésion des galaxies, de celle de notre système solaire, du fait que nous restons à la surface de notre planète et que nous y avons un poids - s'exerce entre tous les corps pourvus de masse m. Soient m1 et m2, deux corps massifs séparés par la distance r. F2/1

m2

m2 r

r

F1/2 m1

m1

L'expression de la norme de la force est alors donnée par:

Fgrav = G ⋅

m1 ⋅ m2 r2

Où les masses sont en kg, la distance en m, la force en N. G=6,67.10-11 N/kg2.m2 est une constante universelle. Exemples. 1) Force d'attraction gravitationnelle s'exerçant entre deux élèves de 55 kg assis sur les bancs c'école, à 30 cm l'un de l'autre? Réponse : Fgrav = G 55 ⋅ 55 = 2,24 ⋅10−6 N . C'est la force qu'il 2 0,3

faudrait pour porter une masse de 0,2 µg! 2) Force gravitationnelle exercée sur€l'un des élèves par la Terre ? Réponse : la distance qui 24 sépare l'élève et la Terre est égale au rayon terrestre. Donc : Fgrav = G 55 ⋅ 5,97 ⋅10 = 540 N 6 2 (6,37 ⋅10 )

3) Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune. Que vaut l'accélération de la Lune? € 22 24 7,35 ⋅10 ⋅ 5,97 ⋅10 Réponse : Fgrav = G = 199 ⋅1018 N ; accélération de la Lune : 8 2 (3,84 ⋅10 )

F aL = grav = 2,70 ⋅10−3 m/s2 M Lune €

€

4) Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Lune sur la Terre. Que vaut l'accélération de la Terre? Réponse : en vertu de la 3ème loi de Newton, la force exercée par la Lune sur la Terre est la même que la force exercée par la Terre sur la Lune. Par contre, l'accélération de la Terre (due à l'action de la Lune) vaut : aL = Fgrav = 33,3⋅10−6 m/s2 . On comprend MTerre

pourquoi c'est la Lune qui tourne autour de la terre et non l'inverse! €

12

Mécanique Le poids. Jusqu'ici on a vu que le poids valait: FP =mg. Il est dû en fait à l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet de masse m. Par conséquent, on doit retrouver la même expression en utilisant la loi de gravitation universelle, avec m1=m et m2=M, masse de la Terre. La distance séparant le centre des deux corps en interaction est ici égale au rayon terrestre R: On peut alors écrire:

FP = m ⋅ g = Fgrav = G

m⋅ M R2

Décidons alors d'appeler "poids", la force de gravitation s'exerçant sur un corps lorsque celuici est très 'proche' de la surface terrestre. € Remarques: • •

L'accélération de la pesanteur, g, dépend de la masse de la planète et de son rayon et M vaut: g = G ⋅ 2 R L'expression de g suggère une méthode pour la mesure de la masse de la Terre! En effet, la mesure de g est facile à réaliser en principe. G est une constante universelle publiée dans les Tables Numériques. Elle a été mesurée pour la première fois par Cavendish, 50 ans environ après la mort de Newton. Le rayon terrestre est connu depuis l'antiquité puisqu' Eratosthène, savant grec et lecteur assidu de la bibliothèque d’Alexandrie, a proposé sa mesure en 250 av. notre ère. Le principe de mesure est le suivant:

Alexandrie

Rayons solaires

Situation au solstice d’été α

à midi:

Syène = Assouan

Si l'on connaît la distance Alexandrie-Syène, il suffit de mesurer l'angle α pour en déduire le rayon terrestre R. La masse se déduit alors simplement des mesures précédentes....

13

Mécanique Mouvement d'un satellite autour d'un astre. La Lune ne se déplace pas en ligne droite puisqu'elle est soumise à l'attraction terrestre. La force s'exerçant perpendiculairement à la direction de la vitesse, on voit d'après ce qui a été dit dans les paragraphes précédents, que la norme de la vitesse reste constante mais que la vitesse change constamment de direction: on a affaire à un MCU.

Prenons le cas Terre-Lune : Si l'on suppose connu la masse des corps célestes et la distance qui les sépare, r, on peut calculer (a) la vitesse à laquelle la Lune se déplace autour de la Terre (b) l'accélération de la Lune et surtout (c) la période de révolution de la Lune. Ces résultats sont bien sûr également valables pour d'autres couples astre-satellite. On notera: m, masse de la Lune; M masse de la Terre.

m⋅ M , ainsi que la loi fondamentale de la dynamique r2 v2 F=ma. S'agissant d'un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est donnée par: a = . r On trouve ainsi (réfléchir à ce que représentent les masses dans les relations ci-dessus): € Il suffit d'utiliser le fait que Fgrav = G

14

Mécanique

(a) Vitesse : v =

GM r

(b)€Accélération : a =

GM r2

(c)La période de révolution T, définie comme le temps mis par la Lune pour effectuer un tour € 2πr complet: T = , peut se calculer en remplaçant la vitesse par son expression. On trouve : v

T2 =

4π 2 3 r . G⋅M

Ce dernier résultat, établi grâce à la loi universelle de la gravitation, est fondamental. Il confirme et explique la proportionnalité entre T2 et r3 qui avait été trouvée par Kepler au début du XVIIème à partir des mesures de Tycho Brahé. Remarques: • L'expression ci-dessus ne dépend pas de la masse du satellite en orbite. • Par contre, elle dépend de la masse de l'astre. Si l'on parvient à mesurer la distance à laquelle orbite un satellite ainsi que sa période, on peut en déduire la masse de l'astre. C'est une merveilleuse méthode pour mesurer la masse d'un astre dont on ne pourra jamais fouler le sol pour y laisser tomber un crayon et mesurer ainsi g! Exemples: 1)

Que vaudrait la période de rotation de la Lune si elle était 2 x plus proche de la Terre? 2 x plus éloignée? 2 Réponse : la période de la Lune est donnée par TLune =

fois plus loin, on aurait T'2Lune = 2)

4π 2 ⋅ r 3 . Si la Lune était deux G ⋅ MTerre

4π 2 ⋅ (2r) 3 et donc T'= 2 3 T = 2,83⋅ T G ⋅ MTerre €

A quelle distance devrait se trouver la Lune pour que sa période de révolution soit de €

une semaine? Réponse : r 3 = (1 semaine) 2 G ⋅ MTerre d'où l'on tire r = 155 ⋅10 6 m € 2 4π

3)

Que vaut la masse du Soleil, connaissant le temps de révolution de la Terre autour de € celui-ci ainsi que € la distance Terre-Soleil (150 mio km)? Réponse : 2 4π 3 M Soleil = dTerre−Soleil = 2,01⋅10 30 kg 2 G ⋅ TTerre

€

15

Mécanique Remarque générale: L'application de la loi de Newton est techniquement impossible pour nous dans le cas gravitationnelle sauf si l'on a affaire à un MCU comme vu ci-dessus. En ce qui concerne les autres types de mouvement, on remarque que puisque la force n'est pas constante, on n'aura jamais de MRUA. Dans le cas où des météorites entrent en collision frontale avec une planète, la trajectoire est bien rectiligne mais l'accélération n'est pas constante. On peut néanmoins travailler avec le théorème travail-énergie en admettant que le travail de la force de gravitation est donné par : A1,2 (Fgrav ) = G ⋅ M ⋅ m(

1 1 − ) r2 r1

où M est la masse de l'astre, m celle de l'objet soumis à son influence, r1 et r2 les distances initiale, resp. finale, de l'objet à l'astre. € Exemples : 1) Le travail pour aller de la surface d'un astre à trois fois son rayon vaut : A1,2 (Fgrav ) = G ⋅ M ⋅ m(

€

1 1 2 GMm − )=− 3R R 3 R

2) Pour échapper à l'attraction d'un astre, il faut que notre vitesse à l'infini soit au moins égale à zéro! A quelle vitesse faut-il lancer verticalement vers le haut un objet situé à la surface de 1 1 1 2 l'astre ? Le théorème TE permet d'écrire: A1,2 (Fgrav ) = G ⋅ M ⋅ m( − ) = 0 − m ⋅ v lib . On ∞ R 2 trouve pour la vitesse de libération v lib = 2GM /R

€ € Bref historique de l'astronomie: Les questions qui se posaient aux savants-philosophes de l'antiquité (Platon, Aristote), portaient sur la nature des astres qu'ils voyaient se déplacer dans le ciel et sur l'origine de leur mouvement. Comme il était alors inconcevable d'imaginer un mécanisme susceptible de mouvoir un objet aussi massif que la Terre (le principe d'inertie est du à l'imagination créatrice de Galilée, aux environs de 1600), la Terre a été placée, immobile, au centre du monde. Le Soleil, les étoiles, les planètes ont acquis, eux, le statut d'objets célestes constitués d'une essence particulière, divine (quintessence), ne nécessitant pas de force pour rester en mouvement orbital autour de la Terre. La particularité de ces objets était également reflétée dans le fait que leurs orbites devaient, elles aussi, porter la marque de la perfection: seule la figure géométrique du cercle (figure symétrique, fermée, parfaite) pouvait satisfaire à une telle exigence. Les trajectoires circulaires rendaient compte de manière satisfaisante de la position du Soleil et des étoiles. Par contre les planètes, qui semblaient errer sur la voûte céleste, nécessitaient pour la description de leurs trajectoires, des figures géométriques plus complexes mais qui, une fois de plus, ne pouvaient être que des combinaisons de cercles (épicycles). Cette cosmologie a été portée à son point culminant dans l'ouvrage de Ptolémée (environ 100 de notre ère), traduit ultérieurement en arabe et connu sous le titre "L'Almageste". Pendant les 15 siècles qui vont suivre et qui ne verront que peu de nouvelles mesures, c'est la vision géocentrique qui prévaut. Elle semble en parfait accord avec l'observation: c'est le 16

Mécanique Soleil qui se meut autour de la Terre tout comme les autres astres, les étoiles sont fixées sur la voûte céleste et l'immobilité de la Terre (qui semble s’imposer avec une parfaite évidence à l’observation quotidienne puisque l’on ne sent pas son mouvement) est confirmée par l'absence de parallaxe. En résumé, cette cosmologie, en harmonie avec la vision anthropocentrique de la religion, a le mérite de proposer une 'explication' de l'ordre du monde: les astres sont parfaits et de nature divine ; par conséquent il peuvent se déplacer sans intervention extérieure et leurs trajectoires sont des cercles parfaits. En 1543 paraît "De Revolutionibus Orbium Coelestium". Copernic met le Soleil, source de lumière et de chaleur, au centre du monde: la cosmologie devient héliocentrique. La représentation du système solaire en est grandement simplifiée et le mouvement erratique des planètes y trouve une explication évidente. Mais les trajectoires, quant à elles, restent encore et toujours des cercles parfaits ! De plus, pour que les prédictions de son modèle soient conformes aux observations, Copernic ne peut éviter d'ajouter des dizaines d'épicycles dans ses calculs. Finalement, sa théorie ne répond pas aux objections concernant l'absence de parallaxe et le fait que l'on ne sente pas le mouvement de la Terre. Et d'ailleurs, comment ce mouvement est-il même possible? Tycho Brahé, astronome danois, est le premier à effectuer une série d'observations astronomiques d'extraordinaire qualité. Lorsqu’il est nommé astronome de l'empereur Rudolf II (Prague), Kepler le rejoint et lui demande à pouvoir consulter, utiliser et analyser ses mesures et à leur trouver une explication. Après des années de travail acharné, et l'abandon, finalement, du dogme des trajectoires circulaires, Kepler propose un modèle cohérent du système solaire: le Soleil est au centre, une sorte de 'force' maintient les planètes en orbite autour de lui. Les trajectoires sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers et la relation entre le temps de révolution T des planètes et leur distance au Soleil, est donné par la relation: T2 proportionnel à r3. Kepler se débarrasse ainsi définitivement des épicycles. Quant au problème de l'absence de parallaxe des étoiles, il est tout simplement la conséquence de la distance phénoménale à laquelle elles se trouvent. Contemporain de Kepler, Galilée découvre, grâce à la puissance de son imagination, le principe d'inertie. Dès lors, l'énormité de la masse des planètes n'est plus un obstacle à leur mobilité. De plus, pointant un télescope sur le Soleil, il constate que sa surface n'est pas parfaite. Il observe en outre que, tout comme le Soleil, Jupiter possède ses propres satellites. La perfection 'divine' s'effrite peu à peu. Il écrit en 1610, dans un langage clair et élégant, "Le Messager Astral". L'ouvrage devient rapidement populaire et la science potentiellement accessible à tous... Newton, qui naît l'année de la mort de Galilée (1642), publiera en 1687 les "Principia Mathematica", l'ouvrage monumental, l'ouvrage-clé de toute la physique classique. Les lois de la dynamique y sont établies, de même que la loi universelle de la gravitation. Il invente même le calcul intégral et différentiel, outil indispensable pour ses calculs. Jusqu'à Einstein, 220 ans plus tard, la représentation du monde mécanique semblait pouvoir être décrite dans les seuls termes de Newton. Avec la contribution magistrale de Maxwell qui réalise au milieu du XIXème siècle la synthèse de l’électromagnétisme, le monde naturel semblait entièrement explicable. Peu après, d’ailleurs, JJ. Thomson affirme: "Tous les phénomènes naturels peuvent être expliqués par la science. Il n'y a que deux petits nuages sombres à l'horizon: le résultat négatif de l'expérience de Michelson-Morley et la catastrophe ultraviolette de Rayleigh-Jeans" Du premier nuage sortira la mécanique relativiste, du second la mécanique quantique.... 17

Mécanique

3.

Statique des fluides

3.1 Fluides On regroupe sous le nom de fluide les liquides et les gaz. Les différences physiques entre solides, liquides et gaz s'expliquent par les forces qui lient les molécules entre elles dans ces trois états. Les fluides pouvant s'écouler, ils possèdent quelques propriétés particulières que n'ont pas les solides. Rappelons que les forces de cohésion dans les liquides sont suffisantes pour qu'ils aient un volume propre, bien que ne possédant pas de forme propre. Les gaz n'ont ni volume, ni forme propres. 3.2 Pression La pression est définie par p=

Fnormal A

où F est la force qui s'exerce normalement à la surface et A l'aire de cette surface. Dans un fluide incompressible (liquide), la pression est immédiatement transmise, inchangée, en tous € points du fluide.

N ou Pascal [Pa]. m2 Autres unités: 1 torr = 1 mmHg=0,133 kPa ; 1 atm=760 mmHg=1,013.105 Pa ; 1 bar=105 Pa Unités: la pression se mesure en

3.3 Principe de Pascal€ D'après le principe de Pascal, en tout point d'un fluide en équilibre il existe une pression. Celle-ci est indépendante de la direction et est la même en tout point, à condition que l'on puisse négliger la gravitation. Exemple: la presse hydraulique est une illustration du principe de Pascal et de la signification de la définition de la pression. En F F effet, on a pour une presse hydraulique, p1 = p2 , soit 1 = 2 . A1 A2 Une petite force appliquée sur un petite surface produit autant d'effet qu'une grande force appliquée sur une grande surface. € € Remarques: • La pression est indépendante de l'orientation de la surface (pensez au tympan d'un plongeur) • A même altitude, la pression en tous les points du fluide est la même • Dans un fluide ce n'est pas la force qui est transmise, mais la pression.

18

Mécanique Exemples : 1.

Quelle est la pression exercée par une masse de 100 g posée sur une surface de 1 m2 ? Rép. 1 Pa

2.

Une masse M est tenue au bout du doigt, dont la surface est de 1 cm2. Que vaut la pression exercée sur le doigt? Rép. 105 Pa

3.

Que vaut la force exercée par la pression atmosphérique sur un disque de diamètre 15 cm? Rép. 1790 kg

4.

Une machine hydraulique est utilisée pour soulever une voiture. Sa masse est de 1200 kg et elle est posée sur un piston de 1,5 m2. Avec quelle force faut-il agir sur le piston de plus faible section pour soulever la voiture? La section du piston moteur est de 400 cm2. Rép. 320 N

3.4 Loi de variation de la pression A. Cas des fluides incompressibles (liquides): La pression exercée au bas d'une colonne de liquide de hauteur h due à son poids propre vaut: p=

Poids mg ρ ⋅ h ⋅ A ⋅ g = = = ρ⋅ g⋅ h Aire A A

La pression ne dépend ni de la forme, ni de la quantité de liquide, mais uniquement de sa hauteur. € Cette propriété explique les caractéristiques des vases communicants: En A et E la pression est égale à la pression atmosphérique. En B, C, D les pressions sont égales en vertu du principe de Pascal et valent pB = patm + ρgh Le principe du manomètre (dispositif pour mesurer la pression d'un gaz contenu dans une enceinte)€est également basé sur les propriétés que nous venons de voir: Au niveau désigné par la flèche, la pression dans le liquide est la même à gauche et à droite du tube. A gauche, la pression en ce point, pG est égale à la pression p dans le gaz; à droite la pression pD est égale à la pression atmosphérique plus la pression exercée par le poids de la colonne de liquide audessus du point fléché: pG= pD, soit: p = patm + ρgh

€ Exemple: une colonne de mercure de 760 mm exerce une pression comparable à celle d'une colonne d'eau de 10,3 m ou une colonne de sang de 9,8 m.

B. Cas des fluides compressibles (gaz): Dans le cas des gaz, la relation entre pression et hauteur de colonne de gaz n'est plus si simple, puisque le poids propre du gaz peut le comprimer. Dans le cas de l'atmosphère, la relation pression-altitude n'est pas linéaire (voir Tables Numériques p. 179 et 201). Les gaz n'ayant pas de volume propre, il existe une relation entre la pression du gaz et le volume qu'il occupe.

19

Mécanique

Exemples : 1.

Quelle est la pression à 30 m sous la surface de la mer (densité: 1,026)? Quelle est la force s'exerçant sur le tympan (surface 1 cm2)? Sur la surface d'un hublot? Rép. 30,2 N

2.

(a) Quelle est la pression à La Chaux-de-Fonds, si la pression à Neuchâtel est de 950 hPa? (b) Calculer la pression au sommet du Mont-Blanc. Comparer avec la valeur des tables et discuter du résultat. Rép. 943,5 hPa

3.5 Poussée d'Archimède Un objet plongé dans un gaz ou dans un liquide subit une pression du fluide en chaque point de sa surface. La force correspondante agit perpendiculairement à l'aire considérée et la pression est plus grande sur les points plus éloignés de la surface du fluide. Cylindre plongé dans l'eau : les forces exercées sur chaque unité de surface se compensent horizontalement. Il reste les forces verticales. La force qui s'exerce sur la face inférieure est dirigée vers le haut et est supérieur à la force qui s'exerce sur la face supérieure et est dirigée vers le bas. La force nette due à la pression de l'eau est donc dirigée vers le haut. On peut montrer que sa norme est égale au poids du volume de fluide déplacé par l'objet. C'est la poussée d'Archimède. Poussée d'Archimède:

FA

FA = ρ fluide ⋅ g ⋅ Vimmergé

Le corps peut être complètement ou € partiellement immergé. Selon que la poussée est plus grande, plus petite ou égale au poids, l'objet monte, descend ou est en équilibre dans le fluide.

FA Volume immergé

P

P

Exemples : 1.

Que vaut la poussée d'Archimède s'exerçant dans la mer sur un nageur de 70 kg entièrement immergé? Immergé aux 3/4? Rép. 700 N; 525 N

2.

Que vaut la force nette s'exerçant sur une sphère de bois de rayon R = 5 cm entièrement immergée dans l'eau? Que vaut l'accélération de la sphère? Que va-t-il se passer? Rép. (densité épicéa 460) 0,283 N ; 1,17 m/s2; monte de plus en plus vite

3.

Mêmes questions, mais pour une sphère d'aluminium. Rép. 0,890 N ; 0,629 m/s2 ; descend de plus en plus vite

4.

Une plaque de liège flotte sur de l'eau. Elle a une épaisseur de 1 cm et une aire de base de 100 cm2. La masse volumique du liège est de 250 kg/m3. Un objet de 60 g repose sur cette plaque de liège, la laissant horizontale. Calculer la hauteur immergée. Rép. 0,85 cm

20