Abstract. The random coding error exponent of a channel with non-causal side information at the transmitter (the Gel'fand Pinsker channel) is considered.
!"#$ %&'!()*+$,-.) $ / 0!,# 1!,)$2 3!4$,5'! 5 &6 7"!.5,#.$" 7 8# !!,# 8 9!.) #& * :;:;9 ;< =$#6$ >?@@@< :A,$!"; B$ !"#$C5D< '!,)$2C!!E;5!.) #& ;$.;#" FGHIJKLI MNO PQRSTU VTSWRX OPPTP OYZTROR[ T\ Q VNQRRO] ^W[N RTR_VQ`aQ] aWSO WR\TPUQ[WTR Q[ [NO [PQRaUW[[OP b[NO cO]d\QRS eWRafOP VNQRRO]g Wa VTRaWSOPOSh i `RWjOPaQ]]k Q[[QWRQl]O ]T^OP lT`RS TR [NO PQRSTU VTSWRX OPPTP OYZTROR[ Wa SOPWjOS `aWRX Q PQRSTU VTSWRX aVNOUO ^NWVN WUZPTjOa TR [NO TRO a`XXOa[OS lk cO]d\QRS QRS eWRafOPh m[ Wa aNT^R [NQ[ [NO lT`RS Wa [WXN[ WR [NO PQRSTU VTSWRX aORaO \TP T`P ZPTZTaOS aVNOUOh n`P[NOPUTPOo ^O OY[ORS [NO POa`][ [T [NO VQaO T\ Q [^T_ `aOP U`][WZ]O QVVOaa VNQRRO] bpiqg ^W[N RTR_VQ`aQ] aWSO WR\TPUQ[WTR Q[ [NO [PQRaUW[[OPao WhOho ^O ZPOaOR[ Q `RWjOPaQ]]k Q[[QWRQl]O ]T^OP lT`RS TR [NO OPPTP OYZTROR[ QRSo Qa Q lkZPTS`V[o QR WRROP lT`RS TR [NO VTPPOaZTRSWRX QVNWOjQl]O POXWTR T\ PQ[Oa Wa SOS`VOSh r stuvwxyzu{wt 9)! A5-/| &6 .)$ !"A }#5) A5$5! # 6&,'$5#& $5 5)! 5,$ A'#55!, )$A $55,$.5!/ 5)! $55! 5#& &6 '$ | # 6&,'$5#& 5)!&,#A5A ~A!! !;8;< *>< *?<
?
? E H < A-.) 5)$5 B ~> ? +
@; 9)! .$4$.#5| #A /! !/ $A 5)! A-4,!'-' &6 $"" $.)#!2$"! ,$5!A; -'!, I @ #A .$""!/ 17 156J8K1L98 8MMNM 8OPN787Q 1Q M1Q8 G R NM Q68 234 5617789 + S JQ6 TQ1Q8 UJTQMJLVQJN7 < #6 6&, !2!,| W @ $ / A-.#! 5"| "$,8! < 5)!,! !D#A5A $ .&/! ~> ?
A-.) 5)$5 = !D4B G E $ / B ~> ? +
X !D4B Y ~I Y W
E; 9)! A-4,!'-' &6 $"" $.)#!2$"! !D4& ! 5A $5 ,$5! G #A ,!6!,,!/ 5& $A Q68 M89J1LJ9JQZ R V75QJN7 &6 5)! * .)$ !"; 4&AA#"! 8! !,$"#$5#& &6 5)#A .)$ !" 6&, 5)! 5}& -A!, '-"5#4"! $..!AA .$A! #A $A 6&""&}A; 9)! '-"5#4"! $..!AA .)$ !" ~1
}#5) # 4-5 $"4)$!5 * $ / &-54-5 $"4)$!5 A-.) 5)$5 * < #A 8#2! | < I
I
8
8
A
'
I
A
A
(
I
A
D
7
A
I
A
D
A
E
A
I
I
A
E
A
I
( (
( (
7
7
+
~
,
: 4
- + ~ / .
: 98 8 8 8
8
~?
})!,! , #A 5)! A5$5! A!-! .!< 8! !,$5!/ | $A $&2! $ / $2$#"$"! 5& 5)! 5}& 5,$ A'#55!,A; .&/! > ? ? 6&, 5)! * 1 #A .&'4&A!/ &6 5)! '!AA$8! A!5A : ; $ / : ; < 5)! ! .&/!,A @ : ; * ? ? E H < A-.) 5)$5 B ~> ? ? +
@; 9)! .$4$.#5| ,!8#& #A /! !/ $A 5)! ."&A-,! &6 5)! A!5 &6 $.)#!2$"! ,$5!A; 9)! /! #5#& A &6 $ $.)#!2$"! !,,&, !D4& ! 5 $ / 5)! ,!"#$#"#5| 6- .5#& $5 ,$5! 4$#, ~G G
$,! $ $"&8&-A 5& 5)&A! &6 5)! A# 8"!*-A!, .$A!;
A
A
I
A
A
v wytx
wt u &
vvwv wt tu % wv u & # {t ) v & t
t ) : 5)#A A!.5#& < }! 4,!A! 5 5}& ,$ /&' .&/# 8 A.)!'!A ~%.)!'! $ / %.)!'! +
$ / $ $"|! 5)!#, ,!A-"5# 8 !,,&, !D4& ! 5A; %.)!'! + )$A $ !,,&, !D4& ! 5 $5 "!$A5 $A "$,8! $A 5)$5 &6 %.)!'! ~$ / )! .!< |#!"/A $ 5#8)5!, "&}!, &- / & 5)! ,!"#$#"#5| 6- .5#& &6 5)! * .)$ !"
< -5 #5 #A .&'4&A!/ &6 5}& A5$8!A< }#5) 5)! ,A5 A5$8! !# 8 #'4"!'! 5$5#& &6 5)! %.)!'! < 5)-A< 5)! 5}& A.)!'!A $,! /!A.,#!/ !"&} ; 9)! .&/# 8 A.)!'! #A $A 6&""&}A; !5 ! $ #5! A!5; &, 8#2! G @ $ / $ .& A5$ 5 @< 5)! ! .&/!, /,$}A < ; ! # /!4! /! 5 ,$ /&' 2$,#$"!A< - #6&,'"| /#A5,#-5!/ }#5)# ~
; 9)#A A!5 &6 ; $ .!,5$# 5|4! ."$AA ~
&6 *A!-! .!A .&,,!A4& /# 8 5& < < ! 2!.5&,A #A 4$,5#5#& !/ # 5& = # A !$.) &6 A#! < # $ $,#5,$,| '$ !,; ~*
9)! ! .&/!, A!"!.5A $ '$44# 8 ~*
~ *
5)$5 A$5#A !A 6&, !2!,| ~>
~
W X })!,! W ~
6&, A&'! < A-.) 5)$5 5)! '$,8# $" &6 5)! &# 5 4'6 /! !/ | ~
#A $"}$|A ~&2#&-A"|< A-.) $ '$44# 8 $"}$|A !D#A5A< !;8;< ~
$ / .& A!-! 5"| ~
@ )! .!< $AA-'# 8 W @< #5 #A 8-$,$ 5!!/ 5)$5 ~>
#A A$5#A !/ 6&, A-.#! 5"| "$,8!
; #2! $ '!AA$8! # /!D @ X F X < ; $ / , < "!5 ~, F
! 5)! ,A5 ,$ /&'"| /,$} 2!.5&, }#5)# # -'!, F A-.) 5)$5 ~,
#A A5,& 8"| &# 5"| 5|4#.$" } ;,;5; ~
; :6 & A-.) $ 2!.5&, !D#A5A }#5)# # -'!, F < 5)! $ !,,&, #A /!."$,!/ | 5)! ! .&/!,; 0!D5< 5)! ! .&/!, A!"!.5A $ '$44# 8 ~*
~ *
$ / 8! !,$5!A 6,&' , $ / ~
E ~, F
-A# 8 $ 4'6 5)$5 #A - #6&,' &2!, 5)! 5|4! ."$AA ~,
B $ / 5,$ A'#5A $.,&AA 5)! .)$ !"; 9)! /!.&/!,A !A5#'$5#& &6 5)! '!AA$8! # /!D< F < #A 5)! # /!D &6 5)! # 5)$5 .& 5$# A 5)! 2!.5&, 5)$5 '$D#'#!A 5)! !'4#,#.$" '-5-$" # 6&,'$5#& ~
})!,! 5#!A $,! ,&(! $,#5,$,#"|; 9)! '$# /# !,! .!A !5}!! &-, 4,&4&A!/ A.)!'! $ / 5)! & ! -A!/ # $,! ~$
5)! -A! &6 5)! 11: /!.&/!, ,$5)!, 5)$ 5)! 5|4#.$"*A!5 /!.&/!, $ / ~
5)! 5,!$5'! 5 &6 & *5|4#.$" A5$5! A!-! .!A # A5!$/ &6 /!."$,# 8 $ !,,&, })! $ & 5|4#.$" A5$5! A!-! .! #A ! .&- 5!,!/< }! A!$,.) 6&, $ .&/!}&,/ })&A! &# 5 !'4#,#.$" A5$5#A5#.A }#5) 5)! A5$5! A!-! .! #A 5|4#.$" } ;,;5; A&'! /#A5,#-5#& ~ ~
5)$5 .$ ! &45#'#!/; 9)! $2!,$8! 4,&$#"#5| &6 !,,&, $55$# !/ | 5)#A A.)!'! /!4! /A & $ / ;
E
3
@
:
@
:
C
D
G
@
H
C
: '
I '
:
I
:
.
(
I
H
D
I (
G
E
C
3
G.
H4
(
.
(
%
D
. A
A/ " . A
(
. A
.
D
.
(
.
:
!"# " , $%$ "& '( )* 17UN + , NUJ7 - . NV7U R NM Q68 / J7 - 983 0T8M ,6177891 2 NM 8K8MZ 234 5617789 + D * ( 7 S JQ6 TQ1Q8 J7R NM + 1QJN7 UJTQMJLVQJN7 I ' ~*
3 W E @ 3 G @ E @ 3 8K8MZ 4 7JQ8 T8Q 3 : ' ~
17U TV5 5J87Q9Z 91M- 8 Q68M8 8OJTQT 1 5NU8 > A? S JQ6 = !D4B G E TV56 Q61Q
S 68M8 I
~
:
G
B ~> ? A
I
+
X !D4 Y 6I
# 6 A-49 # 6 ~ 8
A
: ;
0
I
~
:
G
Y W7 2
< = + I < = +
G 8 9 : ~ H ,
Y Y G ! >
~
~
S JQ6 Q68 98R Q3 + NTQ J74 + V + 51MMJ8U NVQ NK8M = ~ * 8 ~
X S JQ6 + 1M- J719 NR + ~ *
I
G
H
:
'
7
(
'
' (
~*
3 Q68 TVP M8+ V + JT NK8M B< ~ *
E 3 17U Q68 MJ- 6Q3 + NTQ J74 + V + JT NK8M Q68 T8Q
'
D
(
%# .! &5) $ / .$ ! &45#'#!/ | 5)! ! .&/!,< }! 8!5 5)! 6&""&}# 8 &,&""$,|; :
I
68 M89J1LJ9JQZ R V75QJN7 NR Q68 234 5617789 + S JQ6 TQ1Q8 J7R NM + 1QJN7 UJTQMJLVQJN7 1Q M1Q8 G JT 9N S 8M LNV7U8U LZ I ~G
A-4 I ~ G
~
"!" ! 4 '(
:
A ; # A = @ C
9)! 4,&&6 &6 ,&4&A#5#& #A $A!/ & 5)! &A!,2$5#& 5)$5 A# .! &-, .)&#.! &6 5)! '$44# 8 A$5#A !A ~>
| /! #5#& < $ ,$ /&' A!"!.5#& &6 < ,$ /&' 2$,#$"!A # ~
6$#"A 5& .&2!, ~
# 5)! A! A! &6 &# 5 5|4#.$"#5| }#5) 4,&$#"#5| 5)$5 2$ #A)!A 6$A5!, 5)$ !D4& ! 5#$""|; :5 A)&-"/ ! &5!/ 5)$5 5)! &- / #A 5#8)5 ~# 5)! !D4& ! 5#$" A.$"!
# 5)! A! A! 5)$5 #5 ,! !.5A 5)! !,,&, !D4& ! 5 &6 5)! 4,&4&A!/ %.)!'! < #;!;< 6&, 8#2! G 5)! !A5 $55$# $"! !,,&, !D4& ! 5 ~.&,,!A4& /# 8 5& 5)! &45#'$" .)&#.! &6 $ /
#A 8#2! | I ~ G
; 9)! A!.& / A.)!'! #A .&'4&A!/ &6 5}& A5$8!A; 5 5)! ,A5 A5$8!< 5)! ! .&/!, # /!D!A 5)! !'4#,#.$" '!$A-,!A &6 &,/!, $ / 5,$ A'#5A &2!, 5)! .)$ !" 5)! # /!D &6 5)! 5|4! ."$AA &6 5)! &A!,2!/ A5$5! A!-! .! , -A# 8 %.)!'! ; A 5)! # 6&,'$5#& .& 2!|!/ # 5)! # /!D &6 5)! 5|4! ."$AA 8,&}A "&8$,#5)'#.$""| }#5) 5)#A .$ ! $.)#!2!/ -A# 8 %.)!'! $5 $ ,$5! G @ }#5) !,,&, !D4& ! 5 8#2! | I ~@
; :6 5)! 5,$ A'#AA#& &6 5)! 5|4! ."$AA 6$#"A< }! .& A#/!, #5 $A $ !,,&, !2! 5 # 5)! $ $"|A#A &6 5)! 4,&$#"#5| &6 !,,&,; -,5)!,< $ ,$ /&' .&/! 5)$5 $AA-'!A ( &}"!/8! &6 $5 5)! ,!.!#2!, .$ ! /!A#8 !/; &, !$.) !'4#,#.$" '!$A-,! ~*
&6 &,/!, < $ A!4$,$5! .&/!&&( #A /,$} A#'#"$,"| 5& 5)! '!5)&/ /!A.,#!/ # 5)! ,A5 A.)!'!< })!,! &} < < $ / .$ $"A& /!4! / & ; 8$# < 8#2! $ ; '!AA$8! # /!D @ X F X < $ / , ~
< 5)! ! .&/!, A!$,.)!A 6&, ~, F
< 5)! ,A5 ,$ /&'"| /,$} 2!.5&, }#5)# # -'!, F &6 5)! .&/!&&( .&,,!A4& /# 8 5& A-.) 5)$5 ~,
#A &# 5"| 5|4#.$" } ;,;5; ~
< $ / 8! !,$5!A 6,&' , $ / ~, F
-A# 8 $ 4'6 5)$5 #A - #6&,' &2!, 5)! .& /#5#& $" 5|4! ."$AA ~, ~, F
; 9)! /!.&/!,A !A5#'$5#& &6 5)! '!AA$8! # /!D< F < #A 5)! -'!, &6 5)! # 5)$5 .& 5$# A 5)! 2!.5&, 5)$5 '$D#'#!A 5)! !'4#,#.$" '-5-$" # 6&,'$5#& ~
}#5)# 5)! .&/!&&( .&,,!A4& /# 8 5& ; '$| /!4! / & 5)! 5|4! ."$AA &6 5)! A5$5! A!-! .!< ! $"!A -A 5& ,!4"$.! 9)! 6$.5 5)$5 5)! &,/!, &6 5)! A-4,!'-' # ~
}#5) 5)! # '-' &2!, # I ~ G
~
; 0!D5< #5 #A !$A#"| 2!,# !/ 5)$5 5)! &45#'$" ~
A$5#A6|# 8 ~>
$,! A-.) 5)$5 ~
W ; &""&}# 8 5)! A$'! "# ! &6 4,&&6 $A # 5)! ,A5 &- /< 5)#A |#!"/A 5)! 6&""&}# 8 "&}!, &- / & 5)! ,!"#$#"#5| 6- .5#& 1TTV + J7 - 7N S 98U- 8 NR Q68 QZP8 591TT NR Q68 TQ1Q8T T8 V8758 1Q Q68 M858JK8M I ~G
# 6 A-49 # 6 ~ < = + < = +
8 9 : ~
Y 8 ~
Y G ! > ~
.
(
3
:
.
:
:
.
.
'
' 3
:
.
.
.
. (
.
3
G.
.
.
H4
:
:
I
G
H
:
@
8A
A
C
: ;
I
I
G
H,
G
H
})!,! &45#'#$5#& A $,! &2!, ~*
< #5! A!5 < < ~ *
< = ~ *
$ /+ ~ *
; 9)! ,!A-"5# 8 !,,&, !D4& ! 5 &6 5)! 5}&*A5$8! A.)!'! #A 4,!A! 5!/ # 5)! 6&""&}# 8 5)!&,!' ; I
I
7
'
'
'
(
'
( (
68 M89J1LJ9JQZ R V75QJN7 NR Q68 234 5617789 + S JQ6 TQ1Q8 J7R NM + 1QJN7 UJTQMJLVQJN7 1Q M1Q8 G JT 9N S 8M LNV7U8U LZ I ~G
'# B I ~@
I ~G
E ~
"! '(
!
:
2#&-A"|< I ~G
I ~G
< !.$-A! I ~G
I ~G
A# .! I ~G
!D4,!AA!A 8! #!*$#/!/ !,,&, !D4& ! 5 })!,! 5)! 5|4! ."$AA &6 5)! A5$5! A!-! .! #A ( &} $5 5)! ,!.!#2!, ~'$5)!'$5#.$""| A4!$(# 8< 5)#A #A $"A& !$A#"| 2!,# !/ | # A4!.5# 8 5)! &,/!, &6 5)! # '-' $ / A-4,!'-' })#.) $44!$, # I ~G
$ / I ~G
; :5 A)&-"/ ! &5!/ 5)$5 })#"! 5)! &- / # &,&""$,| #A 5#8)5 6&, %.)!'! < #5 ,!'$# A $ -!A5#& })!5)!, I ~G
#A $ 5#8)5 &- / & 5)! !D4& ! 5 &6 %.)!'! +;
:
:
:
v wytx & tt )
wt u &
vvwv wt tu % wv
u&
y )u{ ) zz
9)! A-88!A5!/ A.)!'! 6&, 5)! 5}&*-A!, '-"5#4"!*$..!AA .)$ !" #A $ 8! !,$"#$5#& &6 5)! A# 8"! -A!,A %.)!'! +; #2! ,$5!A G @< G @< $ #5! A!5 $ / $ 4'6 ~
< 5)! ! .&/!,A $ / /!.&/!, A!5 $ 2!.5&, ~
5& ! -A!/ 6&, 5#'!*A)$,# 8; 9)! < !$.) -A!, ? .)&&A!A $ .& A5$ 5 @< $ #5! A!5 < $ .& /#5#& $" 4,&$#"#5| /#A5,#-5#& ~
< $ '$44# 8 ~ *
5)$5 A$5#A !A 6&, !2!,| ~ *
~
~
W X })!,! W ~
6&, A&'! < $ / $ '$44# 8 ~ *
~ *
; 9)! -A!,A 8! !,$5! # /!4! /! 5"| A!4$,$5! .&/!&&(A< $A /!A.,#!/ # %.)!'! < $ / 8#2! 5)! '!AA$8! # /!D F $ / 5)! A5$5!A A!-! .! , < -A!, A!$,.)!A 6&, 5)! ,A5 ,$ /&'"| /,$} 2!.5&, }#5)# # -'!, F # #5A .&/!&&(< /! &5!/ ~ , F
< A-.) 5)$5 ~ ,
#A A5,& 8"| &# 5"| 5|4#.$" } ;,;5; ~
< $ / 5)! /,$}A $ 2!.5&, 5& ! 5,$ A'#55!/ - #6&,'"| &2!, ~ , ~ , F
< #
