Rangkaian Rangkaian Sistem Tenaga - Ee-cafe.org

Sudaryatno Sudirham

Analisis Keadaan Mantap

Rangkaian Sistem Tenaga

ii

BAB 11

Rangkaian Ekivalen Saluran Transmisi Di bab sebelumnya kita telah memperoleh formulasi impedansi dan admitansi per satuan panjang dari saluran transmisi. Selain itu kita telah melihat bahwa dengan transposisi saluran transmisi dibuat menjadi simetris dan memberikan matriks besaran urutan yang diagonal. Impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi terdistribusi sepanjang saluran yang ratusan kilometer panjangnya. Dengan menggunakan model satu fasa, kita akan melihat bagaimana perubahan tegangan dan arus sepanjang saluran. Setelah itu kita akan melihat rangkaian ekivalen yang diperlukan dalam analisis jika saluran transmisi ini terhubung dengan peralatan lain, transformator misalnya. 11.1. Persamaan Saluran Transmisi Karena impedansi dan admitansi terdistribusi sepanjang saluran maka dalam penyaluran daya akan terjadi perbedaan tegangan dan arus antara setiap posisi yang berbeda. Kita lihat saluran transmisi dua konduktor lebih dulu, seperti pada Gb.11.1. ∆x

I s + ∆x

Vs

Z∆x I x

V s + ∆x Y∆ x V x

Ix

Vx

Ir

Vr

x Gb.11.1 Model satu fasa saluran transmisi.

3

Saluran transmisi ini bertegangan Vs di ujung kirim dan Vr di ujung terima. Kita tinjau satu posisi berjarak x dari ujung terima dan kita perhatikan suatu segmen kecil ∆x ke-arah ujung kirim. Pada segmen kecil ini terjadi hal-hal berikut: Tegangan V x di x. Tegangan V x + ∆x di (x + ∆x) karena terjadi tegangan jatuh ∆V x = Z∆xI x (Z adalah impedansi per satuan panjang). Arus I x mengalir dari x menuju ujung terima. Arus ∆I x = Y∆xV x mengalir di segmen ∆x (Y adalah admitansi per satuan panjang). Arus I x + ∆x mengalir menuju titik (x + ∆x) dari arah ujung kirim.

V x + ∆x − V x = ZI x ∆x − Ix I atau x + ∆x = YV x ∆x

V x + ∆x − V x = Z∆xI x atau I x + ∆x − I x = Y∆xV x Jika ∆x mendekati nol, maka

dV x = ZI x dx

dan

dI x = YVx dx

(11.1)

Jika (11.1) kita turunkan sekali lagi terhadap x kita peroleh

d 2 Vx dx

2

=Z

dI x dx

dan

d 2I x dx

2

=Y

dV x dx

(11.2)

Substitusi (11.1) ke (11.2) memberikan

d 2 Vx dx 2

= ZYVx

dan

d 2I x dx 2

= ZYI x

4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga

(11.3)

Konstanta Propagasi. Persamaan (11.3) ini telah menjadi sebuah persamaan di mana ruas kiri dan kanan berisi peubah yang sama sehingga solusi dapat dicari. Untuk mencari solusi tersebut didefinisikan

γ 2 = ZY

atau γ = ZY

(11.4)

γ disebut konstanta propagasi. Karena Z memiliki satuan Ω/m dan Y memiliki satuan S/m, maka γ memiliki satuan per meter. Selain itu karena Z dan Y merupakan bilangan kompleks maka γ juga merupakan bilangan kompleks yang dapat dituliskan sebagai γ = α + jβ

(11.5)

α disebut konstanta redaman β disebut konstanta fasa

Impedansi Karakteristik. Dengan menggunakan pengertian konstanta propagasi maka persamaan (11.3) dapat dituliskan menjadi

d 2 Vx dx 2

= γ 2 Vx

dan

d 2I x

dan

d 2I x

dx 2

= γ 2I x

(11.6.a)

− γ2I x = 0

(11.6.b)

atau

d 2 Vx dx 2

− γ 2 Vx = 0

dx 2

Solusi persamaan (11.6.b) adalah (lihat bahasan analisis transien orde ke-dua di pustaka [3]):

Vx = k v1e γx + k v 2 e − γx dan I x = k i1e γx + k i 2 e − γx (11.6.c) Kita lihat lebih dulu persamaan pertama (11.6.c) yaitu

Vx = k v1e γx + k v1e − γx

(11.7.a)

Persamaan (11.1) dan (11.7.a) memberikan

5

dVx = ZI x = k v1γe γx − k v 2 γe γx dx

(11.7.b)

Persamaan (11.7.a) dan (11.7.b serta definisi (11.4) memberikan

k v1e γx − k v 2 e γx =

Z ZY

Ix =

Z Ix Y

(11.7.c)

Perhatikan bahwa ruas paling kiri (11.7.c) adalah tegangan. Hal ini berarti bahwa ruas paling kanan juga berdimensi tegangan. Oleh karena itu

Z di ruas paling kanan (11.7.c) haruslah berdimensi impedansi; Y impedansi ini disebut impedansi karakteristik, Zc. Zc =

Z Y

(11.8)

Dengan pengertian impedansi karakteristik ini maka (11.7.c) kita tulis menjadi

k v1e γx − k v 2 e γx = Z c I x

(11.9.a)

sementara persamaan pertama (11.6.c) dapat kita tulis

k v1e γx + k v 2 e − γx = V x

(11.9.b)

Pada x = 0 persamaan (11.9.a) dan (11.9.b) memberikan

k v1 − k v 2 = Z c I r k v1 + k v 2 = Vr

Z c I r + Vr 2 sehingga diperoleh Vr − Z c I r k v2 = 2 k v1 =

(11.9.c)

Dengan (11.9.c) ini maka persamaan pertama (11.6.c) menjadi


V x = k v1e γx + k v 2 e − γx Z I + Vr γx Vr − Z c I r − γx = c r e + e 2 2

(11.9.d)

e γx + e − γx e γx − e − γx = Vr + ZcIr 2 2 = Vr cosh( γx) + Z c I r sinh(λx) Persamaan ke-dua (11.6.c) kita olah dengan cara yang sama.

I x = k i1e γx + k i 2 e − γx → → k i1e γx − k i 2 e − γx =

dI x = k i1 γe γx − k i 2 γe − γx = YV x dx

1 Vx Zc

(11.10.a)

Untuk x = 0,

I + Vr / Z c k i1 + k i 2 = I r k i1 = r 2 dan diperoleh 1 k i1 − k i 2 = Vr I − Vr / Z c Zc k i2 = r 2

(11.10.b)

Dengan (11.11.c) ini kita peroleh

I + Vr / Z c γx I r − Vr / Z c − γx Ix = r e + e 2 2 =

Vr e γx − e − γx e γx + e − γx + Ir 2 2 Zc

=

Vr sinh(λx) + I r cosh(γx) Zc

(11.10.c)

Jadi untuk saluran transmisi kita peroleh sepasang persamaan

Vx = Vr cosh(γx) + Z c I r sinh(γx) V I x = r sinh(γx) + I r cosh(γx) Zc

(11.11)

7

Persamaan (11.11) ini memberikan nilai tegangan di setiap posisi x pada saluran transmisi apabila tegangan dan arus di ujung terima diketahui. Dengan bantuan komputer tidaklah terlalu sulit untuk melakukan perhitungan untuk setiap nilai x. Parameter yang terlibat dalam perhitungan adalah konstanta propagasi γ dan impedansi karakteristik Zc. Konstanta propagasi mempunyai satuan per meter yang ditunjukkan oleh persamaan (11.4); impedansi karakteristik mempunyai satuan ohm (bukan ohm per meter) yang ditunjukkan oleh (11.8). 11.2. Rangkaian Ekivalen π Jika panjang saluran adalah d, tegangan dan arus di ujung kirim adalah Vs dan I s maka dari (11.11) kita peroleh

Vs = Vr cosh(γd ) + Z c I r sinh(γd ) (11.12) V I s = r sinh( γd ) + I r cosh(γd ) Zc Rangkaian ekivalen diperlukan dalam analisis saluran transmisi jika terhubung dengan piranti lain. Kita akan meninjau suatu rangkaian ekivalen yang disebut rangkaian ekivalen π seperti terlihat pada Gb.11.2. Is Ir Zt Vs

Yt 2

Yt 2

Vr

Gb.11.2. Rangkaian ekivalen π. Pada rangkaian ekivalen ini, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi tergumpal ekivalen. Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan:


Y    Z Y  Vs = Vr + Z t  I r + t Vr  = 1 + t t  Vr + Z t I r (11.13.a) 2 2     Y Y I s = I r + t Vr + t Vs 2 2  Yt Yt  Z t Yt  (11.13.b) = I r + Vr + 1 +  Vr + Z t I r  2 2  2   Z Y  =  2 + t t 2 

 Yt  Z Y  Vr + 1 + t t 2  2 

 I r 

Kita ringkaskan (11.3.a dan b) menjadi :

 Z Y Vs = 1 + t t 2  Z Y  I s =  2 + t t 2 

 Vr + Z t I   Yt  Z t Yt   2 Vr + 1 + 2  I r   

(11.14)

Jika kita perbandingkan persamaan ini dengan persamaan (11.12), kita dapatkan Z Y 1 + t t = cosh(γd ) 2 Z t = Z c sinh( γd ) (11.15)

Z Y Y  1  2 + t t  t = sinh( γd ) 2 2 Z   c Substitusi persamaan pertama (11.15 ke persamaan ke-tiga memberikan Yt sinh( γd ) (e γd − e − γd ) / 2 = = 2 Z c (cosh(γd ) + 1) Z c (e γd + e − γd + 2) / 2

= =

(e γd / 2 − e − γd / 2 ) × (e γd / 2 + e − γd / 2 ) Z c (e γd / 2 + e − γd / 2 ) 2 (e γd / 2 − e − γd / 2 ) Z c (e

γd / 2

+e

− γd / 2

= )

1  γd  tanh  Zc  2  9

Jadi dalam rangkaian ekivalen π Yt 1  γd  = tanh   2 Zc  2  d = jarak ujung terima dan ujung kirim

Z t = Z c sinh( γd ) dan

(11.16)

Z c = impedansi karakteristik Rangkaian ekivalen π diturunkan dari model satu fasa rangkaian tiga fasa seimbang. Untuk rangkaian tiga fasa tak-seimbang, fasor-fasor tak seimbang kita uraikan menjadi komponen-komponen simetris. Masing-masing komponen simetris merupakan fasa-fasa seimbang sehingga masing-masing komponen dapat di analisis menggunakan rangkaian ekivalen satu fasa. Dengan kata lain masing-masing komponen memiliki rangkaian ekivalen, yaitu rangkaian ekivalen urutan positif, urutan negatif, dan urutan nol, seperti terlihat pada Gb.11.3. Besaran rangkaian ekivalen adalah: Konstanta propagasi urutan: γ 0 = Z 0Y0

γ 1 = Z1Y1

(11.17)

γ 2 = Z 2 Y2 Impedansi karakteristik urutan: Z c 0 = Z 0 / Y0

Z c1 = Z1 / Y1

(11.18)

Z c 2 = Z 2 / Y2 Impedansi urutan:

Z 0 = Z c 0 sinh γ 0 d Z1 = Z c1 sinh γ 1d

(11.19)

Z 2 = Z c 2 sinh γ 2 d


Admitansi urutan:

Y0 γ d 1 tanh 0 = 2 2 Z c0 Y1 γ d 1 tanh 1 = 2 2 Z c1

(11.20)

Y2 γ d 1 tanh 2 = 2 2 Z c2 I s0

I r0

Z t0 Vs0

Yt 0 2

Yt 0 2

Vr 0

Rangkaian Urutan Nol I s1

I r1

Z t1 V s1

Yt 1 2

Yt 1 2

V r1

Rangkaian Urutan Positif I s2

Ir2

Zt2 Vs 2

Yt 2 2

Yt 2 2

Vr 2

Rangkaian Urutan Negatif Gb.11.3. Rangkaian ekivalen urutan.

11

COTOH-11.1: Dari saluran transmisi 50 Hz dengan transposisi yang mempunyai konfigurasi seperti pada Contoh-10.2, tentukan (a) impedansi karakteristik; (b) konstanta propagasi; (c) rangkaian ekivalen π. 8, 4 m R = R = R = 0.088 Ω / km A

4,2 m

A

C

B

B

C

rA = rB = rC = r = 1,350 cm rA′ = rB′ = rC′ = r ′ = 1,073 cm

4,2 m

Kapasitas arus : 900 A

Penyelesaian: Impedansi dan admitansi per satuan panjang saluran ini telah dihitung pada contoh-10.2 dan 10.3.

Z1 = 0,088 + j 0,3896 Ω/km Y1 = j 2,923 µS/km a)

Impedansi karakteristik adalah

Zc =

Z = Y

0,088 + j 0,3896 j 2,923 × 10

−6

= 10 3 ×

0,088 + j 0,3896 j 2,923

= 369,67∠ - 6,4 o Ω b)

Konstanta propagasi

γ = ZY = (0,088 + j 0,3896)( j 2,923 × 10 −6 ) = (0,1198 + j1,074) × 10 −3 per km c)

Untuk jarak antara ujung kirim dan ujung terima 100 km, elemen-elemen rangkaian ekivalen π adalah

Z t = Z c sinh( γd ) = (369,67∠ − 6,4 o ) sinh[(0,1198 + j1,074) × 10 −1 ] = 8,77 + j 38,89 = 39.87∠77.3 o Ω


Yt 1  γd  tanh  = 2 Zc  2  =

 (0,1207 + j1,074) × 10 −3 × 100   tanh o   2 369,67∠ − 6,4   1

= 3,14 × 10 −8 + j 0,1463 × 10 −3 ≈ j 0,1463 mS Is

Vs

8 .77 + j 38 ,89

j 0 ,1463

Ir

j 0 ,1463

Vr

11.3. Rangkaian Ekivalen Pendekatan Apabila kita melakukan perhitungan-perhitungan dengan menggunakan komputer pendekatan ini sebenarnya tidak diperlukan. Namun untuk saluran pendek, perhitungan secara manual kadang-kadang diperlukan sehingga kita memerlukan besaran pendekatan. Pada saluran yang pendek, γd