Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno 1989. 89-1) Esercizio n. 1 del 21/1/
1989. Si consideri la superficie di separazione fra due mezzi dielettrici aventi ...
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Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno 1989
89-1) Esercizio n. 1 del 21/1/1989 Si consideri la superficie di separazione fra due mezzi dielettrici aventi costante dielettrica relativa rispettivamente ǫr1 = 1.3 e ǫr2 = 1.6. Se il campo elettrico nella prima regione forma un angolo di 450 con la normale a detta superficie, calcolare la direzione del campo nella seconda regione. ———————
I ǫr1 = 1.3 ~ E
E1k
.... . 1 ........ ........... .. ...... .. ..... . .. . . .. ... ..... ... ...... .. ......... ..... 0 .. .... ... .. ..............................................................
45
E1⊥
.. ... .. .. ... ... .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. ..
II ǫr2 = 1.6 ~ E
2 .. ......... . . . . . ... ... .... . . . .. ...... ... ..... . ... .... ... ... .... ... ... ... ...
β
~ 1 in due componenti: E1k parallelo alla superficie e E1⊥ perpendicoScomponiamo E lare alla superficie. Si ha: E1k = E1 sin 450 ;
E1⊥ = E1 cos 450 ;
1 E1k = E1⊥ = √ E1 2
Poich`e sappiamo che all’interfaccia la componente parallela `e continua cio`e E1k = E2k mentre per la componente normale si ha D1⊥ = D2⊥ cio`e: ǫ1 E1⊥ = ǫ2 E2⊥ ne segue: E2⊥ = ed anche
ǫr1 ǫr 1 E1⊥ = 1 √ E1 ǫr2 ǫr2 2 1 E2k = √ E1 2 ESFIS89 - 1
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Per calcolare l’angolo β si ha: E2k = E2⊥ tan β da cui tan β =
E2k E2⊥
1 √ ǫr 2 = 2 = 1.23 =⇒ β ≃ 500 , 89 = ǫr1 1 ǫr1 √ ǫr2 2
ESFIS89 - 2
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-2) Esercizio n. 2 del 21/1/1989 Un modello atomico consiste in un protone posto al centro di una sfera carica negativamente in modo uniforme di raggio a = 0.5 · 10−8 cm e di carica totale eguale a quella di ~ calcolare: a) un elettrone. Si applichi al sistema atomico un campo elettrico costante E, il momento di dipolo indotto; b) il lavoro che il campo applicato ha fatto nel muovere il protone dal centro della distribuzione di cariche alla sua nuova posizione di equilibrio. ———————
Si ha: p~ = ed essendo p = |e|b, risulta:
b=
1 3~ a Eest k
1 3 a Eest k|e|
Per calcolare il lavoro fatto dal campo esterno bisogna tenere presente che mentre si sposta il protone si sposta anche la sfera di elettroni, quindi: L = |e|Eext
2 b 1 Eext a3 1 = = pEext 2 k 2 2
che `e uguale in modulo ma opposto a quello fatto dalla forza di richiamo dovuta alla carica negativa.
ESFIS89 - 3
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-3) Esercizio n. 3 del 21/1/1989 Un piccolo campione di sostanza paramagnetica di volume v e di suscettivit` a per unit`a di volume χm `e posto sull’asse di una spira circolare di raggio a percorsa da una corrente di intensit` a I. A quale forza `e sottoposto il campione quando esso si strova a distanza x dalla spira?. Qual `e il lavoro fatto dal campo magnetico per spostarlo dall’infinito a questo punto? ———————
i
........ .... ....... ... ... ... ... . . ... ... ... .... ... .. ... ... ... . ....... ... ...... .. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... .. ... ... . .. ... ... . ... .. ..... .. ... ... . ... . .. ... ... ... ... ... ...............
x
a
•
~x
~ in un punto x `e: Il modulo di B B=
µ0 i a2 2 (a2 + x2 )3/2
Per una sostanza paramagnetica `e χm > 0 e a temperatura ordinaria `e pure χm ≪ 1. Si ha: ~ = χm H ~ M ma
~ ~ = B −M ~ H µ0
quindi ~ ~ ~ = χm B − χm M M µ0 da cui
~ ~ ~ ~ (1 + χm ) = χm B =⇒ M ~ = χm B ≃ χm B M µ0 1 + χm µ0 µ0
~ Il momento magnetico Il campione si magnetizza nella stessa direzione e verso di B. ~ v, cos`ı: totale sar`a M a4 χm ~ µ20 i2 χm 2 ~ ~ ~ ~ ~ ∇ B =v F = ∇ M v · B = v∇ µ0 µ0 4 (a2 + x2 )3 χm µ20 i2 4 ∂ i2 a4 6x 1 =v x ˆ = vχm µ0 x ˆ a − 2 µ0 4 ∂x (a2 + x2 )3 4 (a + x2 )4 ESFIS89 - 4
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— La forza `e diretta verso la parte negativa dell’asse x cio`e verso la zona crescente del campo. ~ fossero invertite. Lo stesso accadrebbe se i e quindi B x Z x i2 a4 1 χm 2 F dx = vχm µ0 L= B = −vM B − 2 = −v 4 (a + x2 )3 ∞ µ0 ∞
ESFIS89 - 5
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-4) Esercizio n. 4 del 21/1/1989 Un filo conduttore lungo 6 cm si muove su un piano con velocit` a v = 25 cm/s in una regione in cui esiste un campo magnetico uniforme avente direzione ortogonale al piano e intensit` a B = 2 · 103 gauss. Calcolare: a) il modulo e la direzione del campo elettrico indotto nel filo; b) la f.e.m. che si manifesta ai capi del filo. ———————
Si ha:
~ = −~v × B ~ E ............. .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... ............................................................................................................................................................................. .... .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. ............
~v
~ = vB = 25 · 10−2 · 0.2 = 5 · 10−2 V |E| Z ~ · d~l = EL = 5 · 10−2 · 6 · 10−2 = 3 · 10−3 V f.e.m. = E
ESFIS89 - 6
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-5) Esercizio n. 1 del 11/3/1989 In condizioni di pressione e di temperatura normali, il gas argon (numero atomico: Z = 18) ha una permettivit`a ǫr − 1 ≃ 6 · 10−4 . Calcolare lo spostamento del centro di massa della “nuvola elettronica” dal nucleo di un singolo atomo, se ad esso si applica un campo elettrico statico di intensit` a E = 300 V /cm. Valutare il momento di dipolo indotto ed esprimerlo in unit`a C.G.S. ——————— In condizioni di pressione e temperatura normali una mole di gas occupa 22.4 dm3 , segue che: NA : 22.4 · 10−3 = N : 1 per cui il numero di atomi per unit`a di volume (m3 ) risulta: N =
NA 6 · 1023 25 atomi = = 2.687 · 10 22.4 · 10−3 22.4 · 10−3 m3
Ricordiamo che gli elettroni in un singolo atomo hanno simmetria sferica in assenza di campo, cos`ı: b=3
Eest 43 πa3 1 a3 = Eest 4kπZe k Ze
Ma p = Zeb =
1 3 a Eest = αEest k
(le formule riquadrate si possono omettere), quindi: b=
α Eest Ze
Ci ricaviamo α dalla formula di Clausius-Mossotti: α=
3ǫ0 (ǫr − 1) 3ǫ0 (ǫr − 1) ǫ0 (ǫr − 1) ≃ = = 1.97707 · 10−40 m3 N (ǫr + 2) 3N N
dove ǫ0 = 8.854 · 10−12 . Ne segue b= In definitiva
1.97707 · 10−40 30000 = 2.06 · 10−18 m = 2.0610 · 10−16 cm 18 · 1.6 · 10−19
p = Zeb = 18 · 4.8 · 10−10 · 2.06 · 10−16 = 1.77 · 10−24 ESFIS89 - 7
(C.G.S.)
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-6) Esercizio n. 2 del 11/3/1989 Un piccolo campione di materiale diamagnetico (bismuto) `e posto fra i poli di un elettromagnete. Se il campo magnetico fra codeste espansioni polari `e descritto dalla 2 relazione B = B0 e−αr , dove r `e la distanza (in cm) in direzione radiale dall’asse di simmetria, B0 = 103 G il valore del campo lungo l’asse di simmetria e α una costante eguale a 10−2 cm−2 , calcolare la distanza dall’asse alla quale si deve porre il campione perch`e la forza alla quale esso `e sottoposto sia massima. Calcolare questo valore massimo se V = 0.1 cm3 `e il volume del campione e χm = −1.4 · 10−5 la sua suscettivit` a magnetica 3 per cm ———————
F
... .. .... ....... ..... ........ ........... ............. .... ............ ........... .. ........... ............. ............... ......... ... .. ........... ........... . . . . . . . ... .. ........... .............. ......... ......... ........... ........... ... ......... ......... .............. . ...... ........ ........... . ... ... ... ... ................ ... ... ... ... ... ........ ... ... ... ... ... .................... ... ... ... ... ........ ......... ........... ............ ... ........ ............. ........... ........... ........ . . . ........... ............. .............. ............ ........ . . . ............. .............. ........... ......... . . ..... . . .. ...
l
Si ha, ricordando che µ = µ0 (1 + χm ):
~ = χm H ~ = χm M
~ B ~ χm ≃B µ0 (1 + χm ) µ0
~ m ~ =⇒ m ~V F~ = ∇( ~ · B) ~ =M ~ M ~ V · B) ~ =∇ ~ F~ = ∇( χm F~ = V µ0
∂ 2 B eˆr ∂r
~ eB ~ sono diretti in direzione assiale. dove M ESFIS89 - 8
χm V B2 µ0
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Segue: χm V 2 Fr = B µ0 0
∂ −2αr2 e ∂r
2 χm V 2 −2αr = B −4αre µ0 0
F..
.. ....... ....... ... .. .. ... .. ... .. .................... ... .......... .. .................. ... ....... ....... .. .. ..... ...... . . .. . . ...... .... .. ... ...... ..... . . . .. ...... . . . . . . ...... . . . ... ...... .... ... . . . . ...... . .. . . ...... . . . .. . ...... . . . . ... . ...... . . . .. . . ...... . . . ...... . ... . . . ...... ... . . . . ...... . .. . . . ...... . . .. . ....... . . . . . ... ....... . . . .. ....... . . ........ ... ..... .. ......... ... .. . .......... ... ... ... ............ .................. .. .... ... .. ..... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
r
5
Poich`e χm < 0 la forza `e repulsiva. Calcoliamo: 2 2 χm V 2 ∂Fr −2αr 2 −2αr =− B 4α e − 4αr e ∂r µ0 0 1 essa `e nulla per 1 = 4αr2 =⇒ r = √ = 5 cm. Il valore di questo massimo `e: 2 α
FrM AX
1 1 2 − −2α √ χm V 2 1 χ V B0 4α = m = −2 αe 2 = 1.35 · 10−2 dyne B0 −4α √ e µ0 µ0 2 α
essendo in unit´a C.G.S. µ0 = 4π.
ESFIS89 - 9
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-7) Esercizio n. 3 del 11/3/1989 Un conduttore rettilineo indefinito `e percorso da una corrente costante di 40 A. Una sottile barra metallica avente una lunghezza di 9 cm trasla parallelamente al conduttore con una velocit` a di 2 m/s. Durante tale movimento essa si mantiene perpendicolare al conduttore ed il suo centro dista da quest’ultimo di 5.5 cm. Calcolare la f.e.m. indotta nella barra. ———————
y.
~ B ⊙
. .... ...... .......... ........ .... .... ................................. .... .. ..... ...... .. .. .... ... ... .. .. ....... ... ... ... .. .. ... ... ....... .. . .. ................................................................................... ..... . . . ............................. . . . . . ..... ..... ..... .... . . . . ..... ..... ..... .... . . . . . .... ............. .....
l
v
d
x
I
z
Si ha: l = 9 cm
e
d = 1 cm
Il campo di induzione magnetica generato dal filo (coincidente con l’asse x), ´e: ~ = µ0 I zb B 2π y
Dalla legge di Faraday per i circuiti mobili segue: ~ ′ = ~v × B ~ E da cui:
µ0 I µ0 I ~ ′ = vb E x× zb = − v yb 2π y 2π y
In definitiva la f.e.m. indotta nella sbarra risulta essere: f.e.m. =
Z
~ = ~ ′ · dl E
Z
d
d+l
µ0 d+l µ0 I v dy = vI ln = 3.68 · 10−5 V 2π y 2π d
ESFIS89 - 10
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-8) Esercizio n. 1 del 8/4/1989 Un solenoide costituito da 1000 spire `e avvolto uniformemente su di un tubo cilindrico di lunghezza 40 cm e di raggio 8 cm. La corrente stazionaria che circola nelle spire `e di 3 A. Calcolare l’intensit`a dell’induzione magnetica nel centro del solenoide e in un punto che si trovi sull’asse in corrispondenza di una sezione estrema del solenoide stesso. ———————
a
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
... .. . R ... .. .. .. L θ .. .. .. .. .. ..
................................................................... . .. ..... ..... ... ..... . . . . .. .. ..... .. ..... ..... ......................1 ........ ... .................. . ....... .... .. ..... ... ... . ... ........... . . ..... .. 2 ... ....... .... ........ .. ..... . ..... .. ..... .. ..... ..... ... ..... ..... .. ..... . ..... .. ..... .. ...
θ
O•
Dalla figura si ha: L = 40 cm, a = 8 cm, N = 1000 spire e I = 3 A. In un generico punto sull’asse si ha: B=
µ0 nI(cos θ1 − cos θ2 ) 2
Nel centro θ2 = 1800 − θ1 =⇒ cos θ2 = − cos θ1 quindi Bcentro =
µ0 nI(2 cos θ1 ) 2
Del resto, sappiamo che R=
r
a2 +
L2 ; 4
L L = R cos θ1 =⇒ cos θ1 = r 2 L2 2 a2 + 4
dalla quale risulta θ1 = 210 , 8. Sostituendo otteniamo: Bcentro =
4π · 10−7 1000 W eber µ0 nI · 1.8569 = · 3 · 1.856953 = 0.00875 = 87.5 Gauss 2 2 0.4 m2 ESFIS89 - 11
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Ad un estremo θ1 = 900 , .. . ............. .. ... ..... 2 .. . ............................................................... ... ..... ... ... . . . ... .. ............ .... .... ... .......... .... . ... ... ... .. ... .. . ..... . ... .. ... ... ... ... ... ... . ... .. ... ... .. ... .... ... ... .. ... ... ... ... ... . ... ... .. ... .. ... .. . ... .... .. ... ... ... ... ... . ... .. .. ...... .. ..
θ
.. ... .. ... .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... ... .. ...
α
L
θ2 = 90 + α; cos θ2 = − sin α, L=
p
a2 + L2 sin α =⇒ sin α = √
L =⇒ α = 780 , 69 2 +L
a2
Noto α possiamo ricavare θ2 : cos θ2 = − √
L = 0.9805806 + L2
a2
Per cui B = 46.2 Gauss
ESFIS89 - 12
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-9) Esercizio n. 2 del 8/4/1989 Un lungo conduttore rettilineo `e disposto parallelamente sull’asse z ed `e immerso in ~ diretto secondo l’asse y, come indicato in un campo uniforme di induzione magnetica B, figura. Tale conduttore `e animato da un moto traslatorio armonico avente un’ampiezza A, una frequenza f e diretto parallelamente all’asse x. Calcolare il campo elettrico indotto nel conduttore in funzione del tempo. ———————
y.
. .... ...... ........ .... .. .. .. ... .. ... ... . ....... .... . . . ..... .... ... ... ... ... .. .. ............ ............. ... ... ........... ... .. .................. . .. . . . . ... ....................... ... ............ . ......... .............................................................................................................................................................................................. ...... ............ ............ .................. . . . . ............ ............ ............... ............... . . . ..... ..... ..... ..... . . . .... ..... ..... ..... . . . . ..... .... ..... .............. . . . .. .....
~ B
O
A
z
x = A cos(ωt + ϕ) dx = −ωA sin(ωt + ϕ) dt ~ ′ = ~v × B ~ E Si ha:
~ ′ = −ωAB sin(ωt + ϕ)kˆ E
ESFIS89 - 13
x
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-10) Esercizio n. 3 del 8/4/1989 Un condensatore cilindrico della lunghezza di 1 m ha il conduttore centrale di raggio 2 cm e quello esterno con un raggio interno di 4 cm. Un lungo cilindro cavo costituito da un dielettrico, la cui costante dielettrica relativa `e uguale a 8, ha il raggio interno di 2 cm e il raggio esterno di 4 cm. Esso `e infilato tra le armature del condensatore suddetto per una lunghezza di 50 cm. Supponendo che al condensatore sia applicata una differenza di potenziale di 30000 V , calcolare la forza meccanica agente sul cilindro dielettrico. ———————
z
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... .... .... ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . ... . .. .. .... .. . .... ..... ... ... ... ... ... . .... . .. .. . .. .... . .. ..... ..... .. . . . . . . . . ... ... ... ........... ... ... .. .. .. ................... . ............. ......... ... ........... ....... ... . ............ ..... . .. .... ..... . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . ...... .... .... . ..... ..... . ........ .......... ... ........ .......... ...... . . ... ...... . . .. ... . . . . .. .......... . ... ....... ............ ... ................................................... ... ... ... ... . .. ... ... ... .. ... .... ........ .... .... ... .... ..... . . . . . ..... . . . . . . .... .... .... ... .... ... ... ..... . . . . . . . . . . . . . . . .. ......... .. .. ... ..... ... ... ..... .... .. ... . ... .. ... ... ................. ... ... ... ... ... ... . . ................ ......... ......... ... .. ........... ...... .... ... ............. . . . . . . ........ ......... . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... . ..... . . ..... .... ......... ........... ... ... ......... ... ..... . . . . ...... . . . . . . ........ . ............. ........ ..........................................
L
Con riferimento alla figura i dati sono: L = 1 m, a = 4 cm, b = 2 cm, Ldielettr. = 50 cm. Si ha: V − V a b |E| = b ρ ln a Ed anche:
~ F~ = ∇W ESFIS89 - 14
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Z Z Z 1 1 a 1 a 2 2 2 W = ǫE dV = ǫ0 E 2πρ dρ(L − z) + ǫE 2πρ dρ z = 2 V 2 b 2 b = −ǫ0
Z
a
b
1 2 E 2πρ dρ z + ǫ 2
= (ǫ − ǫ0 )
Z
Fz = (ǫ − ǫ0 )
Z
a
b
b
a
Z
a b
1 2 E 2πρ dρ z + ǫo 2
1 2 E 2πρ dρ z + W0 = (ǫ − ǫ0 )z 2
Z
∆V 2 1 2 E 2πρ dρ = (ǫ − ǫ0 )π 2 2 b ln a
a
b
Z
Z
a
b
1 2 E 2πρ dρ L = 2
1 2 E 2πρ dρ + W0 2
a
b
2
dρ (∆V ) = (ǫ − ǫ0 )π = b ρ ln a
2
9 · 108 (∆V ) = −7ǫ0 π = −0.25 N = (ǫr − 1)ǫ0 π b ln 2 ln a nel verso delle z decrescenti (verso il basso in figura). Metodo equivalente: La capacit`a di un condensatore cilindrico `e: l
C = 2πǫ0 ǫr
ln
b a
Nel nostro caso:
(l − z) b ln a Per una ∆V medesima e costante si ha: C1 = 2πǫ0
C = C1 + C2 = 2πǫ0
C2 = 2πǫ0 ǫr
z ln
l ln
b a
+ 2πǫ0
b a
z(ǫr − 1) b ln a
Del resto sappiamo che: U=
∂U ∂U ∂C 1 2πǫ0 (ǫr − 1) 1 CV 2 =⇒ = Fz = = V2 b 2 ∂z ∂C ∂z 2 ln a
ESFIS89 - 15
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-11) Esercizio n. 4 del 8/4/1989 Il gas argon ha una costante dielettrica relativa di 1.000545 e una densit` a di 1.78 · 10−3 g/cm3 . Determinare il raggio dell’atomo di argon. ———————
δ = 1.78 · 10−3 g/cm3
ǫr = 1.000545
P.M. = 39.95
Na : 39.95 = X : 1.78 · 10−3 X = 0.267 · 1020 Inoltre α=
atomi atomi = 2.67 · 1025 3 cm m3
3ǫ0 (ǫr − 1) = 1.81 · 10−40 N (ǫr + 2)
Segue p= Cio`e: a3 =
(M.K.S)
a3 Eest = αEest =⇒ a3 = kα k
1 1.81 · 10−40 = 1.62 · 10−30 m3 4πǫ0
In definitiva il raggio dell’argon risulta pari a: a = 1.175 · 10−10 m = 1.175 Ao
ESFIS89 - 16
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-12) Esercizio n. 1 del 3/6/1989 Quattro cariche puntiformi −2q, −q, +q, +2q si trovano sull’asse ~z di un sistema di riferimento ed hanno rispettivamente le coordinate −2a, −a, +a, +2a. Calcolare il termine dipolare del campo elettrico in un punto situato sull’asse ~x distante dall’origine x = 10a. Confrontare il risultato con quello che si ottiene calcolando il campo, nel punto suddetto, direttamente senza approssimazione dipolare e valutare l’errore percentuale commesso. Si ponga q = 1 µC e a = 1 mm. ———————
z . ... ....... ........ .... .. .. .. ... ... .. .. ... .. ... ... .. ...................... . .. .......................... ................... ......... ′ ................... ................... ...........θ ...................................... ............... .....................................r ... ........ .......................................................................... ......... .... ..... θ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ . ... .... O ... ... ... ... .. .. ... ... ... .. .... .. ... ........ .. ...... .. . .. ... ... ... z .. .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. .
2q • q•
R
d
−q • −2q •
P •
x
E
p~ non dipende dall’origine perch`e la distribuzione `e neutra. Assumiamo come origine il punto O. Si ha: p~ =
4 X
r~i qi = 4aqˆ z + aqˆ z + aqˆ z + 4aqˆ z = 10aqˆ z
i=1
Nel punto P `e diversa da zero solo la componente Ez . Si ha: Ezdip. = che per θ =
1 p(3 cos2 θ − 1) 4πǫ0 r3
π diventa: 2 Ezdip. (P ) = −
q 1 1 10aq z ˆ = − zˆ = 9 · 107 C/m2 4πǫ0 103 a3 4πǫ0 100a2 ESFIS89 - 17
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Calcolo diretto:
Ez = 2k
q 2q cos θ + 2k 2 cos θ′ 2 r R
dove r=
p
a2 + d2 ;
R=
Segue Ez = k
(a2
p
4a2 + d2 ;
cos θ = √
a ; a2 + d2
cos θ′ = √
8aq 2aq +k = 8.56 · 107 C/m2 2 3/2 2 +d ) (4a + d2 )3/2
In definitiva l’errore `e: e=
9 − 8.56 = 4.9% 9
ESFIS89 - 18
2a 4a2 + d2
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-13) Esercizio n. 2 del 3/6/1989 ~ Un aeroplano viaggia con velocit` Sia dato un sistema di riferimento O~x~y Z. a v = 800 Km/h nella direzione del verso positivo dell’asse ~x in una zona in cui il campo mag~ = (B0 sin 300 )ˆ netico terrestre `e dato da: B x −(B0 cos 300 )ˆ y con B0 = 0.4 Gauss. Calcolare il modulo, la direzione e d il verso del campo elettrico esistente in un sistema di riferimento solidale con l’aeroplano. Se l’apertura alare `e di 10 m, calcolare la f.e.m. fra le estremit`a delle ali. ———————
Applichiamo le formule per la trasformazione dei campi in caso di moto lungo l’asse ~x, per Ex = Ey = Ez e Bx = B0 sin 300 , By = −B0 cos 300 , Bz = 0 si ha: Ex′ = Ex ; Bx′ = Bx ; Nel nostro caso:
Ey′ = γ(Ey − vBz ) ; By′ = γ(By −
v Ez ) ; c2
′ Ex = 0 Ey′ = 0 ′ Ez = γvBy
Ez′ = γ(Ez + vBy ) Bz′ = γ(Bz +
v Ey ) c2
′ Bx = Bx By′ = γBy ′ Bz = 0
v = 800 Km/h = 2.2 · 104 cm/s = 2.2 · 102 m/s Bisogna usare unit`a M.K.S., cos`ı B0 = 0.4 Gauss = 0.4 · 10−4 W b/m2 Segue in definitiva: E~z′ = −vB0 cos 300 zˆ = 2.2 · 102 cos 300 · 0.4 · 10−4 = 7.62 · 10−3 V /m La f.e.m. risulta f.e.m. = 7.69 · 10−3 · 10 = 76.9 mV
ESFIS89 - 19
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-14) Esercizio n. 3 del 3/6/1989 Due momenti magnetici m1 zˆ e m2 yˆ sono posti alla distanza di 1 Ao. Il primo `e posto nell’origine delle coordinate ed il secondo sull’asse ~y . Calcolare il momento meccanico esercitato dal secondo dipolo sul primo se m1 = m2 = 9.2741 · 10−24 Am2 eguale, cio`e, ad un magnetone di Bohr. ——————— .. .. .. .. ... .. ... ... . ....... 1 .. . . .............. ...... .... ...... .... .. ............................................................................................................................................................ . . .. ... . . . . ..... ... 2 ..... ... .... ... ..... . . . . .. .......... . . . ...... ... .....
m zˆ a
m yˆ
x ˆ
Si ha: τ =m ~ 1 × B~21 µ 3 ( m ~ · ~ r ) ~ r m ~ 0 ~ r) = B(~ − 3 4π r5 r 3 [m y ˆ · (−a)ˆ y ] (−a)ˆ y m y ˆ µ 2 2 0 ~ 12 (~r) = − 3 B 4π a5 a µ0 2m2 µ0 3m2 a2 yˆ m2 yˆ ~ − 3 yˆ = B12 (~r) = 5 4π a a 4π a3 τ1 = m1 zˆ ×
µ0 2m2 µ0 2m1 m2 y ˆ = −ˆ x = 1.72 · 10−23 N m 4π a3 4π a3
ESFIS89 - 20
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-15) Esercizio n. 1 del 1/7/1989 Una carica “sorgente” q1 si trova all’istante t = 0 nell’origine di un sistema di riferimento S e si muove lungo l’asse ~x positivo, con velocit` a ~v . Una carica “test” q2 si trova nello stesso istante sull’asse ~x ad una distanza l da q1 e si muove nel verso positivo di detto asse con velocit` a ~u. Calcolare la forza che si esercita sulla carica q2 . Si ponga q1 = q2 = e, l = 1 cm e v = 0.9c. ———————
S′
S y.
.. ........ ......... ... ... ... .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... .. ... ... .. .. ... .. . . ............................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................................... ............................... . . . . . . . . .. . . 1 2 . . ..... ..... .... ..... . . . . . ..... ..... .... ..... . . . . . . ............. ......
y.′
t=0
O•~v q
z
~u q•
. ........ ......... .... .. .. .. ... ... .. .. ... ′ .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... .. ′ ′........... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .............................. ... ... ... ... ... ....................... . ... . ...... . . . . . . . ... 1 2 ..... . . . . ..... .... ..... ..... . . . . ..... .... ..... .............. . . . . . .....
t
x
z′
u~ • q
O• q
x′
In S ′ solidale a q1 si ha: u′ =
u−v uv 1− 2 c
Fx′ = k
q1 q2 l′ 2
La forza che si esercita sulla carica q2 `e: Fx =
Fx′
q1 q2 q1 q2 = k ′ 2 = (contrazione di Lorentz) = k 2 2 = γ l l
Per q1 = q2 = e = 1.6 · 10−19 C; Fx = (1 − 0.81)9 · 109
v2 1− 2 c
k
q1 q2 l2
v = 0.9; l = 1 cm come dati, si ha: c
(1.6)2 10−38 = 0.19 · 9 · 109 (1.6)2 10−34 = 4.38 · 10−25 N ewton 10−4 ESFIS89 - 21
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-16) Esercizio n. 2 del 1/7/1989 Una sottile barra metallica di lunghezza l = 1.2 m ruota in un campo magnetico uniforme, con frequenza di rotazione ν = 120 giri al minuto, attorno ad un asse perpendicolare alla barra e passante per un punto di essa distante 25 cm da una delle estremit`a. Il vet~ `e parallelo all’asse di rotazione ed ha il modulo di 10 Gauss. tore induzione magnetica B ~ e Applicando le leggi di trasformazione dei campi, scegliendo arbitrariamente il verso di B quello di rotazione, trovare la differenza di potenziale indotta fra le estremit`a della barra. Ripetere il calcolo nel caso in cui l’asse di rotazione passa per il centro della barra. In entrambi i casi disegnare i versi dei campi elettrici nei vari punti della barra. ———————
Poniamo la barra lungo l’asse x del solito sistema di riferimento. Sia l’asse y l’asse di rotazione e quello di figura il verso di rotazione. In tale sistema di riferimento sia: ~ = −B0 yb, B
~ =0 E
y.
.... ...... ... ....... ... .... ... .. ... ... ... . . . . . . .. ... ........ ... .. ... ..................... ... .. ... .. ... ... ... ... .. ... .. .. ... .......... .. .... ... . . .... ...... ′ .. ....... .. .... ... x ............ .... . . . . .. . . . . . . ..... ..................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . .. .. .. ... .... ......... ..................................................................... .... ... ... ... ... .. ..... ..... ....... ... ... ... ..... ... .... . . . . . . . . . . ′ . . . . . . . . . ..... ... ... .... ... ... .... x ........ ... ... ... ..... ... ........ ... ... ..... . . . . . . . . . . . ... .. ... ........ .... ... ..... .... ............... ........ . . . . . . . . .... ..
~ B
E
E
O
x
z
La barra si pu` o considerare costituita da tanti punti mobili con velocit` a variabile secondo la legge: |~v | = ω|r| essendo ω la velocit´ a angolare di rotazione della barra e |r| la distanza di ciascun punto di essa dall’asse di rotazione. ESFIS89 - 22
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Consideriamo l’istante in cui la barra sia orientata secondo l’asse x del sistema di riferimento Oxyz. Nei punti con x > 0 ~v = +ω|x|b z Nei punti con x < 0 ~v = −ω|x|b z Scriviamo le leggi di trasformazione dei campi nel caso di moto lungo l’asse z. Nel sistema di riferimento della barra i campi sono: Ex′ = γ Ex − vBy ;
Ey′ = γ Ey + vBx ;
Nei punti con x > 0
′ Ex = +γω|x|B0 =⇒ Ey′ = 0 ′ Ez = 0
x>0
Nei punti con x < 0
′ E = −γω|x|B0 x =⇒ Ey′ = 0 ′ Ez = 0
x= 4.0 · 10−9 cm. ———————
Per il neon `e Z = 10 , P.A. = 20.183, nel nostro caso `e Z = 8, segue χm = −
N Ze2 < r2 > µ0 (1 + χm ) 6m
Il numero di atomi per unit`a di volume N `e dato da N=
NA atomi atomi = 2.68 · 1025 = 2.68 · 1019 3 0.02241 m cm3
Ponendo 1 + χm ≃ 1 si ha: χm = −
2.68 · 1019 · 8(1.6 · 10−19 )2 16 · 10−22 · 4π · 10−7 = −2.0245 · 10−15 per cm3 = 6 · 0.911 · 10−31
= −2.045 · 10−9 per m3
ESFIS89 - 34
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-25) Esercizio n. 3 del 2/12/1989 Otto cariche eguali negative sono poste nei vertici di un cubo di lato a. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema. ———————
1
4
...................... ...................... ............................................................................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................................................................... ............................. .............................. . .. . .. . . . . . . .. ... .. .. . .. .. .. .. .. .. . . . .. . .. .. . .. .. .. . . . . . .. ... .. .. .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ............................................................... ... ... ... ... ... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............................................................... .. ................................. ................................. .. ........... .......... ... .. .. . .. . .. .. . . .. .. .. . . .. . . .. . . .. .. ... ... ... . .. . . .. .. . . .. .. .. . . .. ................ .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........ ... ... ... ... ... ................................................ . ........................................ ........................................ ... . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . .. . . ... .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. . . ... .. ... .. . . . ............ ............ .............................................................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............................................................ ............................................ ............................................ .......... ..........
a
2
3
8
5
6
7
Si ha: U= U =k
1 XX qi qj k 2 i j |~ri − ~rj |
(i 6= j)
q1 q2 q1 q3 q1 q4 q1 q5 q1 q6 q1 q7 q1 q8 +k +k +k +k +k +k + r12 r13 r14 r15 r16 r17 r18
+k
q2 q4 q2 q5 q2 q6 q2 q7 q2 q8 q2 q3 +k +k +k +k +k + r23 r24 r25 r26 r27 r28 +k
q3 q4 q3 q5 q3 q6 q3 q7 q3 q8 +k +k +k +k + r34 r35 r36 r37 r38 +k
q4 q5 q4 q6 q4 q7 q4 q8 +k +k +k + r45 r46 r47 r48 +k
q5 q6 q5 q7 q5 q8 +k +k + r56 r57 r58 +k
q6 q7 q6 q8 +k + r67 r68 +k
q7 q8 r78
ESFIS89 - 35
———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Poich`e: q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = q6 = q7 = q8 = q r12 = r23 = r34 = r41 = r56 = r67 = r78 = r85 = r15 = r26 = r37 = r48 = a r13 = r24 = r57 = r68 = r18 = r45 = r38 = r47 = r36 = r27 = r16 = r25 = r17 = r46 = r35 = r28 =
√ 2a
p √ a2 + 2a2 = 3a
Segue q2 q2 q2 4 kq 2 12 q2 U = 12k + 12k √ + 4k √ = k 12 + √ + √ = 22.79 a a a 2a 3a 2 3
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———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 89-26) Esercizio n. 4 del 2/12/1989 Un campo magnetico uniforme `e confinato in una regione cilindrica. Il vettore in~ diminuisce nel tempo con una variazione costante di 100 G/sec. Un duzione magnetica B elettrone si trova in un punto distante 5 cm dall’asse del cilindro. Calcolare, in direzione, modulo e verso, la sua accelerazione istantanea. ———————
z.
. ..... ...... ... ... .. . .......... .... .... ...... .... .... ...... .... ...... .... .... ...... .... .... ...... .... ..
.. ...... ...... .... .. .. .. ... .
~ B
.......... .... .... ...... .... .... ...... .... ...... .... .... ...... .... .... ...... .... ..
~ orientato verso le z positive. Supponiamo B ~ ~ si ha che E ~ giace nel piano xy; poich`e div E ~ = Poich`e E `e perpendicolare al rot E 0 significa che se noi prendiamo un volumetto esso `e ortogonale sia alla normale della superficie laterale che alla normale alla superficie di base, quindi le sue linee di forza sono circolari. Per calcolare il modulo si ha: I ~ = − dφ = − dB πr2 ~ · dl E dt dt σ ~ `e positivo se percorso in senso antiorario e dB < 0 si ha che E ~ `e diretto in senso Poich`e dl dt antiorario e quindi ~a in senso orario. dB 1 r; |E| = dt 2
e dB 1 1.6 · 10−19 a= r= = 4.39 · 107 m/s2 −31 −2 −2 m dt 2 9.1 · 10 10 · 0.5 · 5 · 10
Fine Esercizi Fisica II - 1989 ESFIS89 - 37
