Interpolationsverfahren. Page 2. Inhalte. ➢ Räumliche Variabilität. • Beispiele. •
Bedeutung. • Messung. ➢ Interpolationsverfahren. • Nicht - stochastische ...
Geostatistik Räumliche Variabilität und Interpolationsverfahren
Inhalte Ø Räumliche Variabilität •
Beispiele
•
Bedeutung
•
Messung
Ø Interpolationsverfahren •
Nicht - stochastische
Beispiele Ø Räumliche Variabilität
Messung • Niederschlag
Niederschlagsmesser n. Hellmann
Messung • Niederschlag
Niederschlagsmesser n. Hellmann
Messung • Niederschlag • Abfluss
Wehre - Ultraschallecholot
Messung • Niederschlag • Abfluss • Bodenhydraulische Eigenschaften
Säulenexperimente
Messung • Niederschlag • Abfluss • Bodenhydraulische Eigenschaften • Verdunstung
Meteorologischer Messtürme
Messung • Niederschlag • Abfluss • Bodenhydraulische Eigenschaften • Verdunstung • Stoffflüsse, konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone Lysimeter - Tensiometer
Messung • Niederschlag • Abfluss • Bodenhydraulische Eigenschaften • Verdunstung • Stoffflüsse, konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone • Grundwasserstände, Stoffkonzentrationen
Messung • Niederschlag • Abfluss • Bodenhydraulische Eigenschaften • Verdunstung • Stoffflüsse, konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone • Grundwasserstände, Stoffkonzentrationen • Biologische Kenngrößen
Problem Ø Räumliche Variabilität von biologischen, geologischen, hydrologischen, usw. …. Eigenschaften finden sich auf unterschiedlichen Skalen Ø Sie steuern zum Teil entscheidend das Prozessgeschehen Ø Messtechnische Erfassung ist oft extrem aufwendig und teuer bzw. gar nicht möglich
Interpolation
Interpolation
Interpolation
Interpolationsmethoden
Exakt/Approximiert
Exakt/Approximiert
Lokal/Global
Deterministisch/Stochastisch
Interpolationsmethoden
Interpolation 1D Nearest Neighbor 25
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Interpolation 1D Nearest Neighbor 25
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Interpolation 1D Nearest Neighbor 25
20
Bedingte Verfahren =exakt
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Interpolation 2D 3
2.5
y [km]
2
1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 x [km]
2.5
3
3.5
4
Interpolation 2D 6
Transmissivity [m×/d]
5 4 3 2 1 0 3 2 1 y [km]
0
0
2
1 x [km]
3
4
Interpolation 2D 3
2.5
y [km]
2
1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 x [km]
2.5
3
3.5
4
Interpolation 2D 3
2.5
y [km]
2
Stützstelle (xi,yi)
1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 x [km]
2.5
3
3.5
4
Interpolation 2D 3
2.5
y [km]
2
Stützstelle (xi,yi)
1.5
X ??? 1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 x [km]
2.5
3
3.5
4
Interpolation 2D Nearest Neighbor
Transmissivity [m×/d]
8
6
4
2
0 3 4
2
3 2
1 1 y [km]
0
0
x [km]
Interpolation 2D Nearest Neighbor 3
2.5
y [km]
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2 x [km]
2.5
3
3.5
4
Interpolation Nearest Neighbor 2D
1D 25
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Nearest Neighbor
Interpolation 1D 25
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Interpolation 1D 25
20
Höhe [m]
15
10
??? Stützstelle
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Interpolation 1D 25
20
Nichtbedingte Verfahren =approximiert
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Beispiel Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wird in Geschäften ein Testverkauf durchgeführt, und man erhält sechs Wertepaare mit dem jeweiligen Ladenpreis einer Flasche (in Euro) sowie der Zahl der jeweils verkauften Flaschen :
Versuch Flaschenpreis verkaufte Menge
1
2
3
4
5
6
20 16 15 16 13 10 0
3
7
4
6 10
http://de.wikipedia.org/wiki/ Lineare_Regression
Beispiel
http://de.wikipedia.org/wiki/ Lineare_Regression
Lösung eines 2x2 Gleichungssystems • Die inverse Matrix einer 2x2 kann noch explizit angegeben werden. Sie lautet
Linearer Zusammenhang zwischen den Daten Ein linearer Zusammenhang zwischen den Daten liegt nur dann vor, wenn beide Regressionsgeraden (für x=a‘y+b‘ und für y=ax+b) aufeinander liegen!!
Regressionsgeraden für y=gx(x) [rot] und x=gy(y) [blau]
Interpolation 1D 25
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Lineare Interpolation 1D Linear 25
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Lineare Interpolation 1D Linear 25
20
(20,16.8) Höhe [m]
15
(23,???) 10
(30,9.9) 5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Lineare Interpolation 1D Linear 25
yi =
20
(20,16.8)
( y2 − y1 )(xi − x1 ) + y
1
x2 − x1
Höhe [m]
15
(23,14.7) 10
(xi,yi)
(30,9.9)
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Lineare Interpolation 2D Linear 3
2.5
y [km]
2
1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 x [km]
2.5
3
3.5
4
Lineare Interpolation 2D Linear 3
2.5
y [km]
2
1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 x [km]
2.5
3
3.5
4
Lineare Interpolation 2D
Transmissivity [m×/d]
P1 P2 P3
x y 1.534 1.534 2.078 0.267 2.715 2.119
T 2.1 2.4 4.7
8
P3
6
T = f ( x, y )
4 2
P1
0 3
= Ax + By + C P1
P2
2 1 y [km]
0
0
1
2 x [km]
3
4
Lineare Interpolation 2D 2.1 = A ⋅1.534 + B ⋅1.534 + C 2.4 = A ⋅ 2.078 + B ⋅ 0.267 + C 4.7 = A ⋅ 2.715 + B ⋅ 2.119 + C
P1 P2 P3
x y 1.534 1.534 2.078 0.267 2.715 2.119
T 2.1 2.4 4.7
Lösung eines 3x3 Gleichungssystems • Die inverse Matrix einer 3x3 kann noch explizit angegeben werden. Sie lautet
Determinante einer 3x3 Matrix
P1 P2 P3
x y 1.534 1.534 2.078 0.267 2.715 2.119
T 2.1 2.4 4.7
Lineare Interpolation 2D 2.1 = A ⋅1.534 + B ⋅1.534 + C 2.4 = A ⋅ 2.078 + B ⋅ 0.267 + C 4.7 = A ⋅ 2.715 + B ⋅ 2.119 + C A = 1.91 B = 0.58 C = −1.73
P1 P2 P3
x y 1.534 1.534 2.078 0.267 2.715 2.119
T 2.1 2.4 4.7
Lineare Interpolation 2D 2.1 = A ⋅1.534 + B ⋅1.534 + C 2.4 = A ⋅ 2.078 + B ⋅ 0.267 + C 4.7 = A ⋅ 2.715 + B ⋅ 2.119 + C A = 1.91 B = 0.58 C = −1.73
T = 1.91 ⋅ x + 0.58 ⋅ y − 1.73
P1 P2 P3
x y 1.534 1.534 2.078 0.267 2.715 2.119
T 2.1 2.4 4.7
Transmissivity [m×/d]
Lineare Interpolation 2D 8
P1 P2 P3
P3
6 4 2
P1
0 3
P1
P2
2 1 y [km]
0
0
1
2 x [km]
3
x y 1.534 1.534 2.078 0.267 2.715 2.119
T 2.1 2.4 4.7
4
T = 1.91 ⋅ x + 0.58 ⋅ y − 1.73
Transmissivity [m×/d]
Lineare Interpolation 2D 8
P1 P2 P3
P3
6 4 2
P1
0 3
P1
P2
2 1 y [km]
Pi
x 2.1
0
y 1.6
0
1
2 x [km]
3
x y 1.534 1.534 2.078 0.267 2.715 2.119
T 2.1 2.4 4.7
4
T = 1.91 ⋅ x + 0.58 ⋅ y − 1.73
T ????
T = 1.91 ⋅ 2.1 + 0.58 ⋅1.6 − 1.73 = 3.22
Lineare Interpolation 2D Linear
Transmissivity [m×/d]
8
6
4
2
0 3 4
2
3 2
1 1 y [km]
0
0
x [km]
Lineare Interpolation Linear 2D
1D 25
8
Transmissivity [m×/d]
20
Höhe [m]
15
10
5
0
6
4
2
0 3 0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
4
2
3 2
1 1 y [km]
0
0
x [km]
Inverse Distance Weighting
Inverse Distance Weighting
Inverse Distance Weighting
Polynom Interpolation 1D Polynome 25
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
f (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an −1 x n −1 + an x n
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
0-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
0-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
1-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
2-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
3-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
4-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
5-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
6-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
7-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
8-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades 25
9-ten Grades
20
Höhe [m]
15
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
Polynom Interpolation 2D Polynome n-ten Grades
0-ten Grades:
Transmissivity [m×/d]
8
T =a
6
4
2
0 3 4
2
3 2
1 1 y [km]
0
0
x [km]
Polynom Interpolation 2D Polynome n-ten Grades
1-ten Grades:
Transmissivity [m×/d]
8
T = a + bx + cy
6
4
2
0 3 4
2
3 2
1 1 y [km]
0
0
x [km]
Polynom Interpolation 2D Polynome n-ten Grades
2-ten Grades:
Transmissivity [m×/d]
8
T = a + bx 2 + cy 2 + dxy + ex + fy
6
4
2
0 3 4
2
3 2
1 1 y [km]
0
0
x [km]
Polynom Interpolation 2D Polynome n-ten Grades
3-ten Grades:
Transmissivity [m×/d]
8
T = a + bx 3 + cy 3 +
6
dx 2 y + ey 2 x + fy 2 + gx 2
4
hxy + ix + jy
2
0 3 4
2
3 2
1 1 y [km]
0
0
x [km]
25
25
20
20
15
15
Höhe [m]
Höhe [m]
Interpolation 1D
10
5
5
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
0
80
25
25
20
20
15
15
Höhe [m]
Höhe [m]
0
10
10
5
0
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
10
5
0
10
20
30
40 Distanz [m]
50
60
70
80
0
70
80
