TRANSFORMASI CAYLEY PADA P-MATRIKS SKRIPSI Tialina ...

TRANSFORMASI CAYLEY PADA P -MATRIKS

SKRIPSI

Tialina Nainggolan 040803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Universitas Sumatera Utara


SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

TIALINA NAINGGOLAN 040803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


i PERSETUJUAN

Judul

:


Kategori

:

SKRIPSI

Nama

:

TIALINA NAINGGOLAN

Nomor Induk Mahasiswa

:

040803048

Program Studi

:

SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

:

MATEMATIKA

Fakultas

:

MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, Januari 2009 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP. 130810774

Dra. Elvina Herawati, M.Si NIP. 131945361

Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc NIP. 131796149


ii PERNYATAAN

RANSFORMASI CAYLEY PADA P -MATRIKS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2009

TIALINA NAINGGOLAN 040803048


iii PENGHARGAAN

Hormat dan syukur bagi Allah di tempat yang maha tinggi. Terima kasih Tuhan Yesus Kristus, segala puji syukur kehadirat-Nya, yang telah memberikan berbagai hikmat, pengetahuan, dan kesehatan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa/i Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Pada skripsi ini saya melakukan studi tentang TRANSFORMASI CAYLEY PADA P-MATRIKS. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan bapak Henry Rani S, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Ibu Dra. Elvina Herawati, M.Si selaku dosen pembimbing I dan bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan moril, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan kajian ini. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku dosen pembanding serta seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Skripsi ini juga penulis persembahkan buat orang tua penulis, bapak Martua Nainggolan dan ibu Restaria br. Simbolon terkasih atas doa, kasih sayang, semangat dan pengorbanan yang begitu berharga terhadap semua kebutuhan dan kebaikan penulis. Syukur atas semua kasih dan kebaikan dari abang Niat Marisi Nainggolan semoga abang sukses dan menjadi berkat bagi banyak orang. Buat aik-adik penulis, Dinda Efiera Nainggolan dan Melpiani Nainggolan dalam suka dan duka telah kita lalui bersama, tetap semangat, Tuhan Yesus memberkati. Penulis juga mengucapkan terima kasih buat teman-teman di UKM KMK UP FMIPA USU atas kasih, doa dan motivasi yang diberikan. Buat K.Kecil penulis SHAPE : B’Arist 01, Hans Tua, Moria dan Maria juga adik-adik K.Kecil penulis 08 : Dina, Kathrin, Tika, Talenta, Melda dan Shanti yang manis-manis, atas doa, perhatian, kasih dan dorongan mereka, tetap semangat dan tekun dalam doa, Tuhan Yesus memberkati. Buat teman-teman seperjuangan stambuk 04 : bidang murni, Debo, tiur, Darto, Chandra atas doa, waktu dan motivasinya. Buat adik-adik stambuk 05, stambuk 06 : Marlina, Marlina S, Lusi, Jupri, atas doa dan kasih yang diberikan, tetap semangat, stambuk 07, stambuk 08. Terima kasih juga buat Yusni yang telah banyak memberikan bantuan, doa dan masukan positip bagi penulis juga teman-teman penulis di Sibolga : Hetty, Sustri, Juli, Veppy serta keluarga ompung di Helvetia, keluarga uda dan inang uda di Marindal atas kebaikan, doa dan kasih mereka pada penulis, Tuhan Yesus memberkati. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.


iv ABSTRAK

Suatu matriks A berupa P −matriks berbentuk bujur sangkar yang nonsingular sehingga dapat dibuat matriks (I + A) non-singular maka dapat dibentuk suatu matriks baru C(A) = (I + A)−1 (I − A). Matriks C(A) disebut transformasi Cayley dari A. Berdasarkan transformasi Cayley C(A) matriks A = (I + F )−1 (I − F ) diperoleh. Tulisan ini mengkaji bahwa faktorisasi (I + F ) dan (I − F ) berupa P −matriks dan memberikan karakterisasi P −matriks melalui transformasi Cayleynya.


v ABSTRACT

A matrix A have the form of a square P −matrix is nonsingular such that matrix (I + A) is nonsingular so that a new matrix C(A) = (I + A)−1 (I − A) is formed. Matrix C(A) is called Cayley transform of A. Based on Cayley transform C(A), matrix A = (I + F )−1 (I − F ) be found. This paper investigated whether factors (I + F ) and (I − F ) are P −matrix and determine characterization of P −matrix in terms of its Cayley transform.


vi DAFTAR ISI

Halaman PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

iv

ABSTRACT

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1. PENDAHULUAN 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

1

Latar Belakang Perumusan Masalah Tinjauan Pustaka Tujuan Penelitian Metodologi Penelitian

1 2 2 3 4

2. LANDASAN TEORI 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

5

Matriks Perkalian Matriks Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan Determinan Invers Matriks Matriks Uniter dan Hermite Matriks Similar atau Serupa Spektrum dan Radius Spektral Kelas-kelas Matriks yang Bersifat Positip Transformasi Cayley

3. PEMBAHASAN

24

3.1. Transformasi Cayley dari P -matriks 3.2. Transformasi Cayley dari Matriks Definit Positip 4. KESIMPULAN DAN SARAN 4.1. Kesimpulan 4.2. Saran DAFTAR PUSTAKA

5 5 6 7 11 12 14 15 17 21

24 31 32 32 33 34
