Exact calculation of optimal filter in semi-M arkov switching model ... YRX , some of which are not more complex that the classical hidden Markov chains and ...
!"
%
#
$
&'
(
)'
-----.
---. 0
1
=/
=/ ---
1 0
2
=/
---
---.
'
, '
-
+
&
' +
&
0 ' 0
&'
:
*
-
/
&&
'& /5
'
&
'
:+ ' ' ' 0' '&
&'
+ +
. / *+ '
0
;
(
. /
.
&
& *
' 0
' + '( (
'# # 3
< 0
'
*
/5
>.
+
@ * /
)
'
'
.
'
&
(
*' ' '
-
) *$ (
+
=
)
'
' + :'
+ :' ' ' /5 =.
' 2
& *
*' )
& &
'
&'
)'
/
< 0
3
&
:
0 '
.-
18 + *
*
& +
/
' *
0 '
.
?..-
, ' '
' 0'
&)
&'
.# ) '
'
.
' &&
+ ' + ' /
'
*'
'
&'
---
/
*
-
+ ' '
}-
' '
. )
: ' '
*2 + 0
'
3
/
0
+ ' '
2
= { ---
=/
'
)
+ 0
' +
1& '
'
.
'
1 +'
' 0'
---
'
'
'
& ' ' 0'
.-
&'
-
6-
' + '(
* '
=/
.
' +
&/
) &
)
=
'
* '
*'
'
7
&&
&
(
---
)
& ' ' ' '
)
0 ' ++ :
'
' =/
+ +
6 &
'
& ' - 9'
0
+
' 0'
++ '
=
'
+ 2 &'
%
'
+ 00 ' +
*
'
3 '
' 7
)'
3
'
) 1
#(
2
)
+ 0 '
'
3
= 5 4 --- )
+ '
*
A
A
+
=
/ . /
/
'@
+
. .
/5.
+
/4. '
A
A
+
'
@
'
&
=
7
0 &&
0'
6
&0
'
=
&: 0 '
)
/5 =..- C & '
&
'
1+ ' =/
'' *
0''
+ ' '
& /
+
* +
&'
& 7
)
'0
/
. /
+
+
+
+
+
.
+
0 )
//
/5 4. " '
.=
.
+
×
/
'&
.
&'
/D.
.
+
0 )'
+ :'
/ .#/4.
4
+
'
5
0
&0
'
-
*- / .-
4
5
4
5
5
4
5
5
4
' '
/0.
0
' 0
'
& 7 '
'
-
+
=
' + +
. &
&
'
&
+
'
' '
/5 /5
'
&&
4.
)
'
)
' 0
* '
'
D. , "
'# # 3
* *'
=
6
+ :'
'
0'
'
'
.
&& &&
'&
& &&
'
'
'
/ /5 5.
' '
& &&
/
0'
/5 >..- B )
=/
' + '
' '
/5 E..
< 0
' + &0
0 '
+ '
) 0
' +
'
&
/< 0 *
+
&
' ( "-
)
7
/ ( ".
: ' 0
&'
' ' '
' ,
) *'
' ''
/5 =..-
+
+ :'
)' '
< 0
#(
'
. )'
)
1' + '2 ( /
/0. ) '
&& =
7
'
(
/ .(
+ + +
*
+- C & ' ) ' '
4
/ .
+ &
&' +
4
5
4
/0.
$/ ."
4
5
4
5
/ . *
6
+ :'
* +
*2
=
+
+
. )
+
5
'
'
&'
/ /
A '
) %
-B )
' ++ :
=
A
+ ' (
'
0
) * '
'
'
'
&
*
:+
' * &&
+
#(
+
'
'
7
+ '
7
+
+
+
=
+ +
=
+
'
) +
'
'
6 &
6 )'
*' ' '
+
+ (" ) )
' ' ' '
*
+
' '
&'
+ +
&
) *- C '
:'
'
*
'
-
'
'
0 &
/5
'
E..
'
& '
'
'
& '
) '
---
'
' ')
+ 0
---.
'
0
-
*
)
' ' '
&
/ 00
&'
+
'
+ +
+ '
+
, ' =/
*'
)' '
&&'
'
'
'
+
+ '
-
=/
---
) *
*
'
5-
(
=/
---.
'
---
---.
'-
! ≥
&
'
.=
/
/
.
=
7
6=
.- F
/
'
) * + ' /. /
(
.
)' *
/ .' / . ' +
=
/
:' +
.
A
'
'
+
'
A
+
/
+
.
+
' '
'
' '
'
≥
&
)
/
/
'
/
:+ ' ' "
3
&0 C
'
+
'
'
'
'
+
+
+
7
+
+
.
/=.
+
+
=
'
'
.
+
/
/ .
.
+
+
+
.=
+ ' 0 &
&'
7
'
+
+
.=
/
+
.-
+
+
+
. *
&' 0
(
& 0
' 0' '
)
&+ '
=/
.
(
0 />.
'
+ :'
& = -
*' '
/>.
'
+
+ ' 0 )'
6
' 0'
+ :'
/=.
.
. /
.-
/
=
*
+
/ +
/
/
0 &
6
+ ' 0 )' '
+
/
.=
+'
'
/
.=
)
0
/
. +
0 '
/
+
+
.= /
+
+
. /
+
+
+
.=
+
/?. = /
)
+
. /
+
.
+
) '
/
+
/
.=
+
+
. /
+
/
+
.
+
=
.
+
/E. /
. /
+
/
)
/
7
+
.
+
+
.=
.
+
.
+
/
+
/
+
/
+
67
+
+
/
.
. /
+
*' / . )
/
+
+
/
=
.= 7
+
/
.
+
.
/
67
/ .
+
.
+
0 /E. '
+
/
.
+
+
/
. /
+
/
.
=
/
+
/
=
+
67 /
+ '
7
.
+
.
+
.
+
.$
6
+
=
6
'
/ .
.
+
/
+
+
+
.
+
.6
+
+
.
+
/
=
/ . 6
/ .
.
+
/
.
/=.& +
+
/
.
*' / . /
.
+
. /
=
+
/
+
/
/
. :+
+
+
=7
.= /
'
. /
1+
)
'
' /5 D.. )
& ' ' ' / +
(
.
.= /
+
2(
/) '
+ '
'
+
. /
& ' +
.-
+
' ' / (
&-
)
.
(
. )
0
5
5
4
4
5
4
5
5
4
5
5
4
5
4
5
4
5
/ .
4
4
4
/ .
/&.
! "#$ #% &' # & %% & # & ( ) *! %+ , &' # & %% & # & ( ) *! %+ , &,# % -"'$. %% &/ ( ) *! %
#
# ,
% -" $
& +
# &+ ,
"
, '
' : +
'
& '' ''
&
' ' &
(
'
&/
+ '
+
)
'
+
' / . )
' :+
' +
'
&& ) '
+
+
.
.= /
'
/ .#/ .
'
+
'
+ ' '
.-
'
+
' 0
( *' '
/
&
' 0'
&
/
'
7
'
/ . /
+
. =δ /
+
+
. &
−
δ /$. =
& +
/
---
+
.=/
'
'
'
=
. &
)'
7
+
'
)
'
' 0'
>
/
+#
+#
-
:'
.=/
+
&
+
. &
'
'
'
0
=
. &
-
=
'
/ ".
+
A-
. - C&
= .-
+
/
#
& ' ( &'
(
+
&
/5 >.. ) )
' ' / ".
/ . =
/
.
'
=
#(
*
/
" +
}
#,
/
)
'
+$ / .
' :' )
− . A
. &
0 ')
-
>
+
&&
/5 >..
'
. &'
+
. =δ
+
=$
+
+
* '
*
'
*
+
) ' δ /$. = & )
)
+
/
&
'
#,
'
&/ " . '
/, +
0
)
* *'
+
'
Υ ={
+
.= /
+
#,
'
'
. 0 ' . )
' ' '
)
/, +
' 0'
+ +
&&
' / ."
0
'
&
&
')
'
'
'
)'
' '
+
'
'
/ " +
/, +
' ''
&0 *
&
+
: -
'
-
' +
* *'
'
/5 >..
'
"
)
*
' #(
(
'
#(
' '
'
''
0
)
0
'
&
'
0
'
+
/
+
* )
&
)
0
0
'
) *-
)
+
'
)
+ '
++
" ) #,
&
*' 3
+
/, +
'
.-C '
)
'
'
+
'
) '
:
/
'
#(
' +
/ ".-
/ "
/ "
' 0'
' 0'
(
+
/5 >..- C & '
/
)
'
0
0
' #(
'
' ++
+
) '
*
' + '(
&
)
&'
/5 >.. & + '
+
*
-
*
' 0'
/
&'
/ ..
#(
/, +
*
/ *- 5 /&..-
+ +
'
' ''
.-
0 / ".-
0
*
+ 0 +
' *) )
' ' '
& ' '
'
$ '
! , '
& = / ".
/ . /5. /
& *&
"
( (
.
/D. ' +
:'
=
/ .
'
+'
0
'
/
+
A
&'
7
'
+
+
'
'
'
+
'
A
+
0 '
'
&
/
+
.
.
+
'
'
'
' '
+
=
+ ' 0 )'
6
'
*
' 0'
+ :'
0
(
' 0'
&'
+ :'
0
& 0
'
'
' '
+ '
&
)
& = -
' '
'
#(
'
+ ' 0 )'
+
/ .
+ ' 0 '
'
.
+
./
$
≥
&
- C
& */ .#/ )'
/4. '
) * + '
'
+ '
/5.#/D.
'
5
/ .#
)
' ''
+
&
5
+ '
&'
+
&
-
5
5
4
5
5
5
5
4
5
4
5
4
/*. !
"$ +
, ' +
') '
4
4
4
4
/ .
# &+ , % ( ) *! % # # # , +, % ( ) *! % # &, # %2
: +
&
*- 4-
#(
/*.
#(
'
'
/
' '
/ .
&0 *(
+
+
+
.
-
+
0'
&& '
*
) *
+
5 : +' '
/ . :' +
% "$ +
#&
* + & '' ''
'
/*.
+ ' ''
-
& ' '
+ +
+-
'
: '
+ ' '
)'
++ :
'
)
'
' + ' (
3
'
+ 0
++
'
' 0 ( + :'
' 0
'
- F
0
& 0
* &&
' *
&&
' *
) + + 1
'
'
'
+
' '
' ' + +
&
&
0 0
&
' &&
&&
'
' )
' '
&'
*) '
G
'
" 00
+ :' ' '
)
0 0
'
&0 +
' + '
& & &'
0 '
'
0 '-
- /5 E.- : ' ' *C #( 8 + * ' :' C' ' " & &" + ' ' ( ' * * +' 0 5=#4 B " ' @ '# # 3 H< 0 - /5 >.- % ' * + ' ( " ' ( ) * (+ ) =D/E.$ 5 =?#5 >4 C " + ' ' "- < "- ( < ' - /5 4.- && ' + ' &' *& +( ' ++ ' ' ' # * ' * ' ( ) * (+ ) = /?.$ ?>5# ?? C " + ' ' -" ' 9- ,- G* ( - ' - " ' "- , " B '' ( - /5 ?.- ! ' ' & ( * +() ( 4 5E/ >.$ 55 #55 E %&
