geodesics and curvature of m obius invariant metrics - Project Euclid

5 downloads 25761 Views 392KB Size Report
Sep 28, 2005 - objects of our study: we call a circular geodesic in Ω if there exists a ..... line in A with Euclidean midpoint Ю ( is unique unless Ю is the center.
    

        

                      

  

        !  "#!! $ %  &# # ' ()*( !  #!  +!, ' ()*( !!  -%! !$!   ./  " /# !! 0! $ ! !  1% !  !0 12 !

               

                                                    !     "  #  $ 

   %&$          ! !      

 #            !           

          !     ' !     (   )                  "     *      +         

  #        $  "                   $     #  #  ,  -           +   !            #         #   !!  .    #  /  !         !   0  #        1     2   3        .    )        .      3   !   #   

   !      . 4

      "   



3444       *. 54&67 #. 5477 54&54      *8 .2%   ' ()*(  9!).2%    ! # # ! : !22# %.   ! * 2! $ !  0# %.  #!  2% 3; 3447 #  0!# $  &%) . )$    !      -             7 :$       " 

!         7 7% 4

    ?;   ?0 *  $  -                 !    





!""# 



%  "                &   

 - >    

56?

  .$   @ :  .       $  @ 7  .       %                  &    '            



      # ,     4  %    !         #  "       #      A      + )    )!   4   ?$     )!  !!   #     B &      !     *            !        9B    !      B$ ;$ 0   C !!       9;$ 90   9C$  !   +     '    7Æ$       "       !! !  #   &    !    !   B  $  !        "     $  ! $    )          $  ' !  $ *  $            "       #        $     !   %D   99$          #   #                 

$ %"&#'"( $ ""'& )#' E         +

     ! ) !  8            /  !   @                   &   .     $  $  !     $    .$ .     $  !  $  !  $  .   !     &           !              8     2@ :8 7      +    *     $ * 2@   : $     "

 2@  :    2@       2@    8      "        !   $      $  !    '   Æ @ Æ  2@    . @    .   

&               .$   7Æ  

 





 















569

      

  

        &      Æ  .  +  .   &     !    .       !         !     "  + 

 '        @    2@  8 Æ  @  8 Æ      #   .           

           F      "        %;       !    . B      ## $       .      #        ) E $       #      $  .   . $     ! $  $   $   

'        .  *  )! $ Æ  @ Æ  +  !

    G 







¼

$ )#'& #"( ' +""(( /           # .              ! 

      "  . (             +             2 . .     

    ! !$          .       $       $   2@     .  

   @           +            #  @   B        !         #  2           8    1   $ $  $  !  $         $   "  $     +   2@       #    B   !     

 !  !     1     #    #  -         .$                      # 







   @





  

    #    "    $     "  #      

 !          @      2    "   1   #    .  



 - >    

56H

       # ! .       #   !     #       !  $ ' !  $     $   *       $ Æ $  $  $  !   4             !     !   ! $  ( !/         #  #   ! 2  !     1    #   +       

   !   $           #      $  !  $   $ &   $   

#  

$ ,'(-!./"0& #"( B       $   ! !      . $     &     #   Æ       !                +         #       E#  1      28 

            ' !       !    !    !     $         #   &!  #   )        $    "          #        #   



 @ 

   





      !        !     "            ' !      !! ! !    !             $        $  #    .  



  @   2@

$   ) !      !  99



 !  



.

    @  8 

$ *./"0& #" + .     

 

!  $       



 

$

  )   

56I

      

  

   # ! 1   2  .       @      (              

  @    @   2@ %7         8

   $       !    .  B    $     '   .  1   ! !    !         !      J      !       )       7   . +          !   #      &         !              #   

  =   (    ! !  ! # )   4,=  B !        #     3$    7





$ '

) .  .       *              .     .  +        $     @            &      @    2 . .         ,  '   $    @ 

+  '     #     

566

! !   & @ &  @  F  .        !       #         #  &   &  F  "   

&@

 

' 2 '  F

 !      '    & 8 

  '         !   #   F !    !   F B )! 2   & @   $ &   !   #    F  #       & @    $ &        !    #  F     $ $    &     !  $  ?$  &        !   #  F       !    &   + & @  F$   & @ F    $           F   )      !    &  -  )   F   & @  F  .$   ; &  @  & .  $ ; &      !   #      F       #    .  # !    & 8    $        #     &      ; &  > 

  &    !    !  $ ; &  @ &  !      #    .    !   *      $              # #

)   +   !     .  #               )    . &  .        )    !  $    !    &  @  F  . >     !       #    )    !   *          !   # # )  $       ! $    ?9   9%    !  )!   !     )                       #     !   #  /  !      

!  $  !   

















$ %/( ) .   &  

 



2

     .    & #   F @ F @ F  .       @  $ & @ &  @  F  . 

      $ 



 &



6::

      

  

     F  .  & @  F   .          #         & 



 +  F @ F  $   3          F         3  &       F        3    & @ &  $  &              F 3   % F        8 $   Æ    #       .      . 

            $    ?H$ 97$ 9I8      '    &  

   $    % %    @      @  Æ             +     !   #  . 4          !   )    !  $    !!  #  .        "     )    !          N  (  :$      7 (? 7   3    

  #   3  . N  $   !    3      4 

F @ F .$ Æ  Æ @   @ 7  (?    N  %?$     $ % Æ   %?(     $   $ K    (





















































>     '              !   .$    & @ &  $     & $    1   

  



 - >    

6:7

   ! $    &    !  .   1         %    7  B        )      8    $       #      )       

$ %/(



) .   &     $ -#    .$   F @ F $ & @ &           F &           . /            F & ) )      F &      ) $   * @  F   F      F )  F        F  )    M #  !         $    @ :$ F @ $ ! & $   ) @  * 4       F     $    :$ 7$  % !         4      !  .$    Æ   

     "      $     F @ $ #     $ @ # N   "    * @  F       F  

$ #       !     + @   )   4 !!   *     ! $ +   > $      $ #    *$   

  !    F    !!   $   !   $ #           !   +        &  

$    )    !   #   1   # $   #$      F$        !   #    !      F !   #   ! $  

  !    !  '  F$       !   #   1   # $   #$       # $ 1   ! !   ' &  ;   &  ' $     '  +     *    !    +   E  # $  

    $ #     *$   !  #  F    !!   $   !   $ #  *      *     





































> )        #  !                           8 

2$ !# 7:H 

6:%

      

  

$2 %/( 

      

0    $  .$ F @ F $ & @ &  $       &  2

 @   



   @   



    



    Æ   )      !   .  F 

 &  & @ &   @  F   .$ F @ F     @          ! #    8     $        

   !    $      ; &     $  

    #     #     & $   !  #  !         $         @ :$ F @    7 &    .  $          %  7  %7   $       !      '      @   7 7 0     @ :  

   97    @ -    , @ 9  7           #  !       ,   -   @ :    ,  !    # 9     $     $  O     @ : >   ,$ -              7 78  $ ,. @ : @ -.  #  7 7 4  ,  -   

   '    #  7 7$       O   

 !     7 7   , @    @ -  7 7 E        $    & $         

     $   !                   &  M #         !      & $       )   F     $ 

 !  %6$     #          

















































                4 !!  3  3    #    .  $  !   #     

)   F    # !   $ #  .  F .  $







 - >    

6:?

   

       F  '   3



 $   #       $ $   # 3  )   

'   4           3$     $  # 3$    

    )              %Æ  '        F @    $      #    ,    

 !    Æ      % 4

$    %7$ %% ( 

 !  '        #   Æ     %$  )   F      )  

 

$ %/( ) .   &  

  

    

(  :  #  / : 7        .2   Æ    %/$  F  @  8              ( Æ   

Æ   7 K (Æ    B  #  $    %7$     F      &        Æ  % /    N  %9           %  %      2   %   :  $ @ %$  $ @ 7      &    !     !   #     :8 %  !   $ $L N  (  :  #     : 7     % !   :   (   / @ ) 7 K (   :5    !!  .  "   Æ  %/ 4  %/ 7I  %$ F    &     M #  Æ  #     @  Æ $          $      @ :$ : @ $   F @ F: @ 8    : E   $   ;  !  %H$  Æ: @ 7 B  $ %/ : @  : % $   7/ K  7 K ( K    7  7 K ( K $                ( +        !    F   :      

!   #     F  &    !     !   $ $L  F  #  $ @ 7 B  # $    #  :    

   $      

















































6:9

      

  

    : @ : @ :Æ :  %/  %  ;        $          (    



     $     !   #   

3  F  &    !   : B  #   !  %H$

    !    3  #  & @  F  .  &     !        !    F 3  4   .$      !    3        # !      )    !               !  





> )   "  )        >     !    & $ & @  F  .     )   F .$ 

 F @ F      $      

  )

!   ; & 







$1 %/(

)

.

  &  

  



 .$ F  F        L  F L  :       1 0    F            

  *)  !   . ; !   #  !         $      @ :   F: @   $ :Æ: @ : @  : @ % >    @ :     Æ  Æ: @ 7     : @ %$  Æ % B  #   !  %5$        F @ 8    :    7













B           $   )   

  &   )    !    &   )!           &  &      (   $  

  

  !    &       !    &  

$3 4"##'

 



  &       &      .    .   &      &          &  $    &       &   )





 - >    

6:H

  4   .            ! $    ' 

   !     .    #     !     . +   F   F $      !        #   F $    &   B    $      @ :$ F  @    F  @  8     :    7  $    $    .      @     @   @ 7 

+             &   E  $ 

 &  $    !  %H    &   @ &            $ 

  )  !!       !   ; &  



$ %/(



) .   &       #   F @ F $ & @ &   +   3  2 &   3            $ # &  $  (  :$    Æ  :        8 Æ  &  $ &    $ 8 (  # 8 (  &    $ 8 ( @ @ &    # 8 (

.$



  +   @ :$ F  @ $ 3 @ ! !$  $ $ @ !   # @ !$    &   * /     !  %6    :  #  F @ 8    :    7 N  (  :  #  4  &   *$    *  .  $ " @  2 0  %  (    !     .$   @  "  .  : >   F     :$      Æ  :        Æ$  F   2 7   7 K %   % @  (  >       !    &   @  F    .     % #    "  >      !       Æ    * B  #   !  %I$   * @  F    !       *          !    *  $  F *    .$       &  @  F   .  * 0   #        !  !#!  &     7   %    !     % #    "   

 &   !8 (  !8 (        #$   *$ &      !             &    !   & @ &   @ ! !    & @ 3             !       Æ     :

6:I

      

  

(      ! ! .$    #     !  # "    !   " "  .   "  @  2  "  

   









E #  1              &       !      2 *  )! $     

   &     !    )    !  P    # )!    $         ! !  $    1        +   !  #  @ 7% $  @ 7 K 77: $   F @   8  8      @ 9 H      7     !    7 4#           !   FL   FL   (  $      1 $ 2 @ 1L   F FL   FL  8 #$ 1     !   1    F    F       K !    2   Q    

  ) *  $   . @    ! 2  :  1 2   @ :  &   @  *$ &   @ ! ! $     ) !       :      &   @ 1 2  





















  

 





$ '((' 8'" /    " 







              

 



 @  F #  

  F     N!  !   + 3     $ 





  #  

9 7   3 K   0 3   F3  @      %  

(   5  "       "       

$  !!       $    





9 7   #  K   0 #     @          %  



  





    @      ! 9 %7 #  K   0 #      



 - >    

6:D

+      #    $    @   @     1      -          @  #  $       B  ! )! $      @ : B  )!   !     4  ? > )  !    !  













$$ 4"##'

)         . +           .     @     

 



 



 





 





 

*    Æ      :$

7   #  K   0 #   %   

   %   

  





 

7   #  K   0 #   %  



#  K   0 #  

    $  

   %   

 



  





#  K   0 #    

   !        '   

 9'#/&"( (        !  )!   

     !  $       *              +    !         !    # !    #  !  *    #        !  !   #             )!              #     !   #  E                 #

  !    $  #          #  

6:5

      

  

  $        # !          E  "   )!    ! !   @                -       '  !        )!  *    "  !    " 

        7 ) !  #  )$      @ 6     )   F  .    #  0     .$      .    0   9?     @     $          @ F B  #   !  %H$           Æ      & @   .     !      &               .      !    * 97       '     #  !     "   #  6 & $        !   '   * 97









B     '                 )  

5 &&'.

) .   &        F        .     F @ "     "                -   @     #  







B                   #  '    *           $               

5 &&'.        



.



   & &



$

% Æ  





.     

% 8 ?



    

679

      

  

&     &      % 

 $    

     





7 Æ   7 Æ   7 Æ  

        .   F   

.





    '         4          '       !          #    $ 

$    ? M #     $   #      $   !    !  99 !       #   !     '   %Æ      $    ??$ 

$    %7        '     8         !  99    #  9 @ . @ 6 .        7Æ  *  $ % ?     '    !  99   * 97         # 7Æ     











      '    '    

 *           N      *    @  >    )!   $  $  $ *5 !     4  ?    ! !    !    * !             # 



52 4"##'        &  

 &

 

.



$  

    *                @         .

     $    !  99$  9  @   @  @   $            #      6 ! #    !            B  #

 - >    

67H

$    3   3   !   #         .  !      . B  #   !  %H$  @ F      @    @    *  $     $     @   







B  !              )   # .       . B  $  !      

    $  3    #  $   !   #       .$  .  # !       .$  







 @   @   @ 

      !    3       

$ #  )   F   & @  F  .$   !    ; &    *!  8  

$ ; &        #   (   $    !

)!   * !       &  

$ 

#     !         7 ! 7 !  +   

 @ .         #    )!   $  $  $ *5   4  ?          #         1   ! !    )   

     )   !   E   $    ! !       #       T&  @ %     .$     )! 1      $           #   @     

 $ 

   977$     T&  @ %     . !    .    !         E     $                @  

$ #  $  . @    : 2 7     .      $   .         #     @    @

















 





















 



5 "' ' 6&7'-%7'&& +""(( (   ! 

     #              *   #       !           #       #    # 

67I   

      

 

  

B N  3     #    !  

$ #    .     .      3   !   #     *) !     3 $    1 @ 3   B  #  0   9I   N  9D$  '    # 3$           1 @  1

 $  

 3     *          #    $   Æ    "   1     4          !   *$ $  :$ #   !     "     . 3 1    .  3  1     $  !    1      #  !    )   1  3  N  2     "    . 1   #    $         2   "   2  % @ 2 %  >   1 2 3   B  $    !    2    !    2  7 7 @       Æ                    1 







   















¼

B        !              #   #     +           *    "    >         !  $       !  $  $  N  9D$ #

 @  #

    #  

5 &&'.

           

 

          

#    # 

51 %/(



 

*

   

+  . 

    &              .      

 - >    

67D

     $     $                      F    4   #        &  $   !    

 !     F         Æ                    @     &  

5 6&7'-%7'&& (#""(    #$         !! $      #     !      ; ;     !   $  !    !                     : @ : . 2@  ! T&   

53 !""#

        $      :  %$                

B    2 . .     !   #        8  $          ! 4 !! 

: .   %8      )    !    @      ; @  &     &  @ &   @ F  .   F @ F @ F  N  ; @   ;    F @ F  >    ; F  

   @     @   '     #   !    @  

$  " '         @   ; $     '                 $     '          "    B!!   #  * %7        !   F      F      $             

    #  $     "   !     +  &   & @ &   @  F  .  $    & 





¼



¼

¼







675

      

  

       #      ; &       "    1   ! !    1 $ 1   1 @  1  !   #    #   F   F $  !  $ 1 ; $         !       # 1   !    !      F   F   !  96   N  9D       B     "              # 1                

Æ



;         $           #   : @ %8    $               #        !        

)   

     )   !   4

  

         9B

5 !""#     : @ %   

 

       

N  .      #  B  #  N  %7:$      )    !         .  

      !        *)  !   .$  &   @   $      !   $ <   . !    @ <          <  +        .$ &   <  B  # $ 

!     !  %H    )    !        .      &  















. @

 



&     
)  !!  .    ) B   $      ; &    3       #   3  # !   $ #  . N  .    #            !!  #   !     .    $ $ #8  $ .      "  !     )   $  $ .  Æ '        : % 7 4  . .    @   $ N  %7% # !       7%$       '         &)!     ?B   ?; >     *    2 ") .   $ #  .    @    4  . . @     @   Q$     @ : 7 >    $ N  %7%            *!    (   $  #  $              *    8  

$   

 

 !    !  )!  $     ?& *  $  !!  .    ) N  .         !  !!  #  !     .    $ $ #8  $ .      " 

!     )   $  $ .  Æ '        : % 7 4  . .    @   $ N  %7%  # !        @    7%





 





















 ¼











 ¼

















 ¼

 

 













 ¼

 ¼



6%:

      

  

 #

 

  

C        '     

5$ !""#

)      *    &      .   +         "    @  .   @ :  .      

$  @ 7  .      





  4    *     !  $              * %%  @ :  $  * %%$     

 :$ .   !    #    @ %    % @ 7  4 

  @ % $ % 7    7  : *)    #   3  .        2 M #   )        $   $      3   !    )          .   #  !  * B  #  0   95$ 3   #       $      !   #    . >    2 * .     !    # ! 1   4 

*   !        .$   )   #     ,    "   *   @ , 3   !   #    * &!  #     )        $   $              !    )$       #  #  @ $     7 @ 7 /    !      

!   7   *  #   B # 3 @    @ @  @ % $     @ %   @ %  $   "   











Æ



#   @



   

  

@%



   

  

@ % #  

+       @      $        @       *  %  %    $      . @  * @       .   #  !    # 8  $ 7 % %     $ . @  * @         0  $         #           &    $     @ @ 7Æ         @ 7Æ$    













 - >    

     ?;

@ 7   . @ *



@

Æ



6%7

@        % @ 7$



/&*&/&>0&4  "   2"  

Suggest Documents