Ley de Gauss

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ley de Gauss interpretación física ecuación de Poisson. Ley de Gauss. Jana Rodriguez Hertz. Cálculo 3. IMERL. 30 de mayo de 2011 ...
ley de Gauss

interpretación física

Ley de Gauss Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL

30 de mayo de 2011

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3 entonces

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3 entonces ZZ S

~r .N dS = 0 r3

si ~0 ∈ / int S

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ecuación de Poisson

enunciado

ley de Gauss

ley de Gauss S superficie cerrada en R3 entonces ZZ S

ZZ S

~r .N dS = 0 r3 ~r .N dS = 4π r3

si ~0 ∈ / int S

si ~0 ∈ int S

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interpretación física

demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

ecuación de Poisson

ley de Gauss

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demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que:

ecuación de Poisson

ley de Gauss

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demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz =

z r

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz =  ⇒ rx3 x =

z r

ecuación de Poisson

ley de Gauss

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demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz =  3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr r6

z r

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = zr  3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr = r6

r 2 −3x 2 r5

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = zr  3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr = r6 ~ = div X

r 2 −3x 2 r5 3r 2 −3(x 2 +y 2 +z 2 ) r5

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

~ = X

~r r3

~ ≡ 0 en R3 \ 0 es C 1 y div X

en efecto, recordemos que: rx = xr , ry = yr , rz = zr  3 2r x ⇒ rx3 x = r −3xr = r6 ~ = div X

r 2 −3x 2 r5 3r 2 −3(x 2 +y 2 +z 2 ) =0 r5

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S entonces por Gauss:

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S entonces por Gauss: ZZ

~ .N dS = X S

ZZZ

~ dV div X int S

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ecuación de Poisson

demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ / int S entonces por Gauss: ZZ

~ .N dS = X S

ZZZ

~ dV = 0 div X int S

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demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S y sea ε > 0 tal que Bε (0) ⊂ int S

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S y sea ε > 0 tal que Bε (0) ⊂ int S probaremos que

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

demostración

demostración

supongamos S superficie cerrada tal que ~0 ∈ int S y sea ε > 0 tal que Bε (0) ⊂ int S probaremos que ZZ

~ .N dS = X S

ZZ ∂Bε (0)

~ .N dS X

ley de Gauss demostración

demostración

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ecuación de Poisson

ley de Gauss demostración

demostración

realizamos un corte

interpretación física

ecuación de Poisson

ley de Gauss demostración

demostración

vectores normales

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ecuación de Poisson

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demostración

demostración

x Gauss:

RR S1

~ .N dS = X

RRR V1

~ dV div X

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

x Gauss:

RR S1

~ .N dS = X

RRR V1

~ dV = 0 div X

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

RR RRR ~ .N dS = ~ x Gauss: S1 X V1 div X dV = 0 RR ~ S2 X .N dS = 0

ecuación de Poisson

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demostración

demostración

RR RRR ~ .N dS = ~ x Gauss: S1 X V1 div X dV = 0 RR ~ S2 X .N dS = 0 RR RR ~ .N dS + ~ ⇒ S1 X S2 X .N dS = 0

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

demostración

demostración

RR S1 ∪S2

~ .N dS = X

RR

~

S∪−∂Bε (0) X .N

dS

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demostración

demostración

RR ~ .N dS = ~ X S∪−∂Bε (0) X .N dS RR RR ~ .N dS − ~ ⇒ SX ∂Bε (0) X .N dS = 0 RR

S1 ∪S2

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

demostración

demostración para finalizar, calculemos

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

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ecuación de Poisson

demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS =

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

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interpretación física

ecuación de Poisson

demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS =

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

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ecuación de Poisson

demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS =

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

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ecuación de Poisson

demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS = =

1 A(∂Bε (0)) ε2

=

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

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ecuación de Poisson

demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS = = =

1 A(∂Bε (0)) ε2 1 4πε2 ε2

=

RR

~

∂Bε (0) X .N

dS

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ecuación de Poisson

demostración

demostración para finalizar, calculemos RR ~r ∂Bε (0) r 3 .N dS = RR = ∂Bε (0) r~r3 ~rr dS = RR 2 = ∂Bε (0) εε4 dS = = = ⇒

1 A(∂Bε (0)) ε2 1 4πε2 ε2

RR

~

∂Bε (0) X .N

=

ZZ S

~ .N dS = 4π X

dS

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interpretación

interpretación física

carga eléctrica flujo eléctrico a través de la superficie

ecuación de Poisson

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interpretación

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potencial de una carga puntual q en ~0 ψ(x, y , z) =

q 4πr

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interpretación

interpretación física

potencial de una carga puntual q en ~0 ψ(x, y , z) =

campo eléctrico correspondiente ~ = −∇ψ E

q 4πr

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física

potencial de una carga puntual q en ~0 ψ(x, y , z) =

q 4πr

campo eléctrico correspondiente ~ = −∇ψ = q ~r E 4π r 3

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interpretación

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RR S

~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N

ecuación de Poisson

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interpretación

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~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR

S

ecuación de Poisson

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interpretación

interpretación física

~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR

S

ecuación de Poisson

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interpretación física

interpretación

interpretación física

~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR RR q ~r ~ dS = ⇒ E.N 3 .N dS RR

S

S

S 4π r

ecuación de Poisson

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interpretación física

interpretación

interpretación física

~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR RR q ~r ~ dS = ⇒ E.N 3 .N dS = q.χ(int S) RR

S

S

S 4π r

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física

~ dS flujo eléctrico total saliente de S E.N RR Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 4π si 0 ∈ int S RR / int S Ley de Gauss: S r~r3 .N dS = 0 si 0 ∈ RR RR q ~r ~ dS = ⇒ E.N 3 .N dS = q.χ(int S) RR

S

S

S 4π r

observación ~ 6= ~0, sin embargo el flujo a aún en el caso 0 ∈ / int S, el campo E través de S es nulo.

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ ~ se relaciona con ρ de esta entonces el campo eléctrico E manera:

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ ~ se relaciona con ρ de esta entonces el campo eléctrico E manera:

campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E

ley de Gauss

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ ~ se relaciona con ρ de esta entonces el campo eléctrico E manera:

campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E por el teorema de Gauss:

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ ~ se relaciona con ρ de esta entonces el campo eléctrico E manera:

campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E por el teorema de Gauss: ZZ S

~ dS = E.N

ZZZ ρ dV int S

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ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ ~ se relaciona con ρ de esta entonces el campo eléctrico E manera:

campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E por el teorema de Gauss: ZZ S

~ dS = E.N

ZZZ ρ dV int S

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

interpretación

interpretación física si tenemos una distribución de carga continua en int S cuya densidad de carga es la función ρ ~ se relaciona con ρ de esta entonces el campo eléctrico E manera:

campo eléctrico - densidad de carga ~ =ρ div E por el teorema de Gauss: ZZ S

~ dS = E.N

ZZZ ρ dV = Qtotal int S

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ecuación de Poisson

interpretación

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carga total carga total en el interior de una superficie=flujo saliente del campo eléctrico a través de la superficie

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ecuación de Poisson

ρ densidad de carga sobre un abierto W

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

ρ densidad de carga sobre un abierto W potencial eléctrico en ~x :

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

ρ densidad de carga sobre un abierto W potencial eléctrico en ~x :

potencial eléctrico ψ(~x ) =

ZZZ W

ρ(~y ) dV 4πk~x − ~y k

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

probaremos primero:

fórmula ZZ

ZZZ ∇ψ.N dS = − ∂W

ρ dV W

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ecuación de Poisson

pot. el.: ψ(~x ) =

ρ(~y ) ~ W k~x −~y k dV (y )

RRR

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y )

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y )

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x )

ley de Gauss

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini RR RRR ∂W ∇ψ.NdS = − W

~x −~y ρ(~(y )) RR ~ ~ 4π ( ∂W k~x −~y k3 dS(x ))dV (y )

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini RR RRR ρ(~(y )) RR ∂W ∇ψ.NdS = − W 4π ( ∂W RR RRR ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV

~x −~y dS(~x ))dV (~y ) k~x −~y k3

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interpretación física

ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

RRR ρ(~y ) ~ pot. el.: ψ(~x ) = W k~x −~y k dV (y ) RRR 1 ~ ~ ∇ψ(~x ) = W ρ(y ).∇~x ( k~x −~y k )dV (y ) RRR 1 ~ ~ ~x −~y ∇ψ(~x ) = − 4π W ρ(y ) k~x −~y k3 dV (y ) RR RR RRR 1 ~ ~ ~ ~x −~y ∂W ∇ψ.N dS = − 4π ∂W ( W ρ(y k~x −~y k3 dV (y )))dS(x ) usamos Fubini RR RRR ρ(~(y )) RR ∂W ∇ψ.NdS = − W 4π ( ∂W RR RRR √ ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV

~x −~y dS(~x ))dV (~y ) k~x −~y k3

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson 4ψ = −ρ

ecuación de Poisson

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ecuación de Poisson

ecuación de Poisson

fórmula anterior:

RR ∂W

∇ψ.N dS = −

RRR W

ρ dV

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ecuación de Poisson

RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = W ∇ ψ dV

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W como 4ψ y ρ son continuas

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W como 4ψ y ρ son continuas por TVM para integrales:

ecuación de Poisson

ley de Gauss

interpretación física

ecuación de Poisson

RR RRR fórmula anterior: ∂W ∇ψ.N dS = − W ρ dV RR RRR 2 Teo. Gauss: ∂W ∇ψ.N dS = ∇ ψ dV RRR RRR W juntando: W 4ψ dV = − W ρ dV esto vale para todo abierto W como 4ψ y ρ son continuas por TVM para integrales: 4ψ = −ρ

ecuación de Poisson