Local Learning Techniques for Modeling¸ Prediction ...

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Pre-processing. In this step, raw data are cleaned to make learning easier. ...... For a more concise formulation and a simpler graphical illustration, some simplifi-.
             

                    

                     

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D

MODEL Induction

Deduction

DATA

PREDICTION

Transduction

# EJ0 #     9     N     :      9       :

y 00 11 11 1 00 0 1 0 00 11 11 00

1 0 11 00 00 11 111 00 0 0 1 11 00 00 11

11 00 00 11

0 1 0 1 0 1 1 0 1 0

11 00 1 0 00 11

1 0 00 11 00 11 11 00 00 11 1 0

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q

x

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       95 M  ECC6B 7  ECC :                                           $                             9# M 7    ECKH:    9(  M 5 ECDH:   9(   ECHC:   9  ECKCB 3

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y 1 0 1 0 0 1 11 00 00 11 11 00

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11 00 00 11

1 0 1 0 0 1 0 1 00 1 0 1 11 0 0 1 0 1 1 0 0 1

11 00

q

x

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e

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x

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y

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L4 0 1 00 11 00 11

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x

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                             9;   ECC : "                                     "    &                                                                    9 :                                                 9:          &     9:            9:   

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C

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              ,

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PARAMETER INITIALIZATION

PARAMETRIC TUNING

LINEAR OPTIMIZATION STEP

NON-LINEAR OPTIMIZATION STEP

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VALIDATION

STRUCTURE NO

BEST STRUCTURE ?

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1.8

1.6

2

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1.4

Value to be predicted

1.2

Nadaraya−Watson estimate y

1

0.8

kernel 0.6

0.4

0.2

q 0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

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C 1.8

2

function f(x)=0.9+x

1.6

1.4

Nadaraya−Watson estimate 1.2

Value to be predicted y

1

0.8

0.6

kernel 0.4

0.2

q 0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

x

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9DE6:

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E6J

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 -  9 :    9DJ:                           9 :      

  9 :    9 E:     9DJ:    92 M 2  ECCC:            Æ       

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 9 : 9 : $-9 :  9 : 9 : $-9 : -  O 9 : O  9 : 9 : $ 9 : O E ; E 9 : @ 9 : 9 :  0 9 :  # 9: 9DEG:

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E6D

@ 9 :      - 9 :        '  9DEG:                                                        0 E  W

EX   

(

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 9 : O  9 :

O E 

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 9 :  



9DEJ:

     %    37' 9 : 9' 9G J::                    9GFF:     &    9DEJ:                 9 :                  9    ECCH:



     

                         7   FH J     "(   .7'   $% $   #                 97 ECCC: 5                                                  .8'77         %                           

                   7   FH J            

 )                                                  -  9 :           -  9 :                  9 :  O                                -                 

     0                                     &    

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  *,+ , 

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 0        97   FHGE:    

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E6H

       %    9DEJ:       -               "       

&         

#666 1  !                                          -       

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9DED:

 37' 9 :    9DEJ: "                                              "              

                                           

#666 1    %                                          

                        

        $          9 : "               ;   9 :   9 N E:                       97 M (  ECKK:                                  "   

                        

     $       (      ;                  9 : O   9 :              9 NE: O  9 N E:                                

    9 :   9 N E:           ;    &   O   9 :  9 N E:         /             ;      ;        O                                %    9(  ECCJ:              ' O E #                &      I               

        /  "     A                   

                    5    %         

         

E6K

 N E                      

                                 ,                       E  O  0  %        9     % 0 $- O 6 @ O >8    >:  "  2      9 N E:  9 N E:    $-         9 N E:     '  9DEG:  9DEF: G (                 

        "        

   F                 F 7                                       0    &                                 &                         

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     ,

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      92 ECCD:                                                 $      7   DG 2                -           '     '         7      - 9 :         9 :               37' 9 :  37' 9 :  2               5   ' 9FFK:              

- O

  J - 9 :   J

9DEH:

           0

J O

E

37' 9 :

            '        '                             I             '  9DEH:             9FFF:

     

E6C

15

10

5

0

−5

−10

−15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

# DJ0                ,         ;  

 ,   -      $% $   

                     (   !      ;     

9 : O 6

9E : 



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E 6J  N 6 6J

9DEK:

    ;              O 666            O W6 EX          9# DJ:        O E66          

         W6 EX       ' 9DEK:         O G   O E6                   &   $% $     # DD          $% $  

          9  :          $  "              37'O 6 GJ # DH                                     37'O6 G6 # DK           $$      ' O J  9   :             937'O6 G:           O 6 DG   ,      9DEK:      9 : O G 6   %    # DE6                  O G E6   # DC      37' 9 :                                                    O G E6                      # DE  DEE                      

          

         9 :

         

EE6

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

# DD0           ,       $% $                 

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

# DH0           ,       $% $                 

 

  "

EEE

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

# DK0           ,       $% $             



+ 

 2

      $% $              $% $                       &                     9# DEG: $% $                                           0

     <  6

$% $      

         "                           !   & 97   FE:                                                                              

                    

     6

,&     9             :                                      

     

9    6

                                7                      &        

     

           

;    6

7                                                  

         

EE

2.5

2

L−o−o MSE

1.5

1

0.5

0

3

4

5

6

7

8

9

10

Number of neighbors

# DC0     9:                    O G E6        O 6 DG                    O J   

−2.5

−3

Prediction

Value to be predicted

Winner−takes−all prediction −3.5

−4

3

4

5

6

7

8

9

10

Number of neighbors

# DE60     9:                 O G E6        O 6 DG             # DC         O J   9 :        ,        O 6 DG   9 : O G 6 9  :

 

  "

EEG

2.5

2

L−o−o MSE

1.5

1

0.5

0

3

4

5

6

7

8

9

10

Number of neighbors

# DEE0     9:                  $  O G E6       O 6 DG                   O J   

−2.5

Winner−takes−all prediction −3

Prediction

Value to be predicted

−3.5

−4

3

4

5

6

7

8

9

10

Number of neighbors

# DE 0     9:               $  O G E6       O 6 DG                    O J   9 :        ,        O 6 DG   9 : O G 6 9  :

         

EEF

y 0 1 00 11 1 00 111 00 11 00 11 00 10 0 1 00 11 11 00 11 00 0 1 11 00 0 1 1 0 11 00 11 00 11 00 11 00 1 1 0 00 1 0 11 00 1 0 11 00 00 11 0 1 00 11 11 00 00 11 0 1 00 11 00 11 111 00 11 00 11 00 1 0 11 00 11 00 00 11 0 00 1 00 11 0 1 00 11 00 11 11 00 1 0 11 0 1 00 11 1 0 00 11 11 00 1 0 100 0 0 1 0 1 00 11 1 0 11 11 00 0 1 0 1 0 1 1 0 11 00 1 0 11 00 00 11 1 0 11 00 00 11 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 q x q x

y

y

11 00 1 0 11 00 1 0 11 00 10 0 11 00 10 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 10 0 11 00 11 00 10 1 00 0 1 0 11 00 11 00 1 0 11 1 0 00 11 0 1 00 11 00 11 00 11 0 1 00 11 11 00 00 11 00 11 001 11 00 11 0 0 1 x 1111111111111 0000000000000 q

DIFFERENT BANDWIDTHS

LOCAL WEIGHTED REGRESSION

β(k m), MSEq (km )

β(k M), MSEq (kM )

TRAINING SET

LEAVE-ONE-OUT β(k M), MSEloo(kM )

β(k m), MSEloo(km )

yq

STRUCTURAL IDENTIFICATION

MODEL SELECTION OR COMBINATION

PREDICTION # DEG0  $% $         0 9:    &   # 9 :  O     9:           $-9 :  O           9:    O        37' 9:                       37' 9: 9:       37' 9 :      -                              %                      

         .                   

          "           G                  $% $             "       8    # #    

        B       2 #   

  3  '         #                               

                    #                                  %                                                                     

  %                                                               7   H                                   7   HG                         7   HF                 &      7   HJ     

         7   HD

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EFG

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200

150

100

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0

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50

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" .8'77 66 C 6EGE 66JJ 666G 66JE

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  CE0 .       D                            37'       $$            37'       $$                 

    7 #     6 F E66E F 66 F G66G F F66F F

  .8'77 6E JJ 66FD6 6 DGJ 66FDE 6EDE6

" .8'77 66FC 66GDG 6EDC 66F6J 66DFF

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  C 0 .              

                    837'       $$            837'       $$                     7 #  

          

EFF

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3  $      " $% $  O 6 3      " $% $  O F

  CG0 37'         $  

Local Linear Modeling MSE=0.0018

Iterated Lazy Learning n=20

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

−0.1

−0.1

−0.2

−0.2

−0.3

−0.3

−0.4

−0.4

−0.5

−0.5

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0

20

40

60

Multilayer perceptron 0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

−0.1

−0.1

−0.2

−0.2

−0.3

−0.3

−0.4

−0.4

−0.5

−0.5

0

20

40

60

80

100

120

80

100

120

140

160

180

200

140

160

180

200

Iterated Lazy Learning n=24

0.5

140

160

180

200

0

20

40

60

80

100

120

# CE60 (     $  9 :     9 :            

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140

120

100

80

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1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

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     6

                                7    E6D 

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τ4

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τ2

τ4

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9E6GJ:

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LOCAL MODEL

LOCAL MODEL

LOCAL MODEL

LOCAL CONTROLLER

LOCAL CONTROLLER

LOCAL CONTROLLER

CONTROLLER

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LOCAL MODEL

LOCAL MODEL

LOCAL MODEL

LINEARIZATION

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INVERSE CONTROLLER

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PLANT

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