simulation java. - Olivier GRANIER

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Clemenceau PCSI 1 - Physique

PCSI 1 (O.Granier)

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Oscillateurs mécaniques (mécanique du point matériel) A – Etude en régime libre Olivier GRANIER

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Clemenceau PCSI 1 - Physique


1 - Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} : * En l’absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à :

r T

r ux

l

&x& +

M(m) x

O x

k x = &x& + ω 02 x = 0 m

2π

m T0 = = 2π ω0 k

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

x = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t = C cos(ω 0 t − ϕ ) Simulation Java Olivier GRANIER

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Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} : * En présence de frottement fluide en

r − hmv :

Le PFD s’écrit alors, en projection sur l’axe (Ox) :

m&x& = − kx − hmx& On pose :

ω0 =

k m

;

soit

&x& + hx& +

h = 2λ = 2σω0 =

k x=0 m

ω0 Q

σ est le facteur d’amortissement de l’oscillateur et Q le facteur de qualité. Alors :

&x& + 2λx& + ω 02 x = &x& + 2σω0 x& + ω 02 x = &x& +

ω0 Q

x& + ω 02 x = 0

Différents régimes, selon les valeurs prises par σ (ou Q = 1/2σ σ) : régime pseudo-périodique, régime apériodique ou régime apériodique. Simulation Cabri Olivier GRANIER

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2 - Méthode de résolution de l’équation différentielle : &x& + 2λx& + ω02 x = &x& + 2σω0 x& + ω02 x = &x& +

ω0 Q

x& + ω02 x = 0

On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :

r 2 + 2σω0 r + ω02 = 0 Dont le discriminant est :

∆ = 4ω 02 (σ 2 − 1)

∆ < 0 soit σ < 1 : régime pseudo − périodique (r1 , r2 ∈ C ) ∆ > 0 soit σ > 1 : régime apériodique (r1 , r2 ∈ R) ∆ = 0 soit σ = 1 : régime apériodique critique (racine unique, r = −ω0 ) Olivier GRANIER

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Régime pseudo-périodique : (σ < 1)

(CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)

σω 0   x(t ) = x0 e −σω0t  cos(ωt ) + sin(ωt )  ω   x(t ) = Ce −σω0t cos(ωt − ϕ ) C = x0

 σω  1+  0   ω 

2

; tan ϕ =

σω 0 ω

(avec ω = ω0 1 − σ 2 ) ( Pseudo − pulsation) Simulation Maple Simulation Regressi Olivier GRANIER

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Clemenceau PCSI 1 - Physique

Régime apériodique : (σ > 1)

(CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)

r1 = −σω0 + ω0 σ 2 − 1 ; r2 = −σω0 − ω0 σ 2 − 1 ω = ω0 σ 2 − 1 σω0   x(t ) = x0 e −σω0t  ch(ωt ) + sh(ωt )  ω     σω0  −ωt  σω0  ωt  x x(t ) = 0 e −σω0t  1 − e + 1 + e  2 ω ω      Simulation Maple Simulation Regressi

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Régime apériodique critique :

(σ = 1) (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle)

x(t ) = x0 (1 + ω0t )e −ω0t Simulation Maple

Simulation Regressi

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3 - Autres exemples d’oscillateurs :

l0

A vide

A l’équilibre

k

r Téq

l éq O

r ux

r mg

Le ressort vertical En mouvement

r T

l = l éq + x x

x r r r r Téq = − k (l éq − l 0 )u x ; T = −k (l éq + x − l 0 )u x

r mg Olivier GRANIER

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En l’absence de frottements : A l’équilibre : En mouvement :

r r r r r r mg mg + Téq = 0 ; − k (l éq − l 0 )u x + mgu x = 0 ; l éq = l 0 + k r r r r r r mg + T = ma ; − k (l éq + x − l 0 )u x + mgu x = m&x& u x

En tenant compte de la relation obtenue à l’équilibre :

&x& +

k x = &x& + ω02 x = 0 m

( Avec ω0 =

k ) m

En présence de frottements fluides : Par un raisonnement similaire, on obtient :

r r r r r r r r mg + T − hmv = ma ; − k (l éq + x − l 0 )u x + mgu x − hmx&u x = m&x& u x &x& + hx& +

k x = &x& + 2σω0 x& + ω02 x = 0 m

( Avec ω0 =

k et 2σω0 = h) m Olivier GRANIER

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Ressort sur un plan incliné :

l éq A

rO ur x T r N r f r mg

α

&x& + hx& +

− k (l éq

x

r r r − l 0 )u x + mg sin α u x = 0

d ' où : l éq = l 0 +

x

r v

mg sin α k

En présence d’une force de r frottement fluide de la forme −hmv, l’équation différentielle vérifiée par la variable x peut encore s’écrire sous la forme canonique :

ω k x = &x& + 2σω0 x& + ω 02 x = &x& + 0 x& + ω02 x = 0 m Q Olivier GRANIER

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Oscillateurs couplés :

Enoncé du problème : (fichier au format pdf) Simulation Regressi

pdf Simulation Java (oscillateurs couplés)

Simulation Maple

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Le pendule simple :

r En présence d’une force de frottement fluide − hmv :

r uθ

PFD sur : mlθ&& = −mg sin θ − hm(lθ&) g 2 Soit : θ&& + hθ& + sinθ = θ&& + 2σω0θ& + ω0 sinθ = 0 l Si l’angle θ reste « petit », alors on retrouve l’équation habituelle :

r uz

l

θ

r r f = −hmv

r mg

g l

θ&& + hθ& + θ = θ&& + 2σω0θ& + ω02θ = 0 Simulation Regressi

Simulation Java (pendule amorti)

Simulation Maple

Simulation Java (pendule chaotique)

r vr = lθ& u θ Tr uθ

M r (m) u r

z

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4 - Notion d’espace des phases : Cet espace est le produit de l'espace ordinaire par l'espace des vitesses. En d'autres termes, un point matériel M est repéré dans cet espace par les coordonnées (x,y,z) de son vecteur position ainsi que par celles de son vecteur vitesse, notées (vx,vy,vz). On se limite aux cas où un point matériel M est animé, dans l'espace ordinaire, d'un mouvement à une dimension, le long de l'axe (Ox). Dans l'espace des phases, le point représentatif de l'état de M se déplace alors dans une région à deux dimensions. Ce point, de coordonnées (x,v), décrit lors du mouvement de M une courbe appelée "courbe des phases". Cette "trajectoire" de M dans l'espace des phases a pour origine le point M0(x0,v0) correspondant à l'état initial de M.

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La position du point matériel est complètement déterminée par la donnée des conditions initiales et par la connaissance des équations du mouvement. Comme l'évolution de la particule est univoque, deux trajectoires dans l'espace des phases ne peuvent pas se croiser. Si cela était possible, en prenant ce point d'intersection comme conditions initiales, on pourrait obtenir deux solutions distinctes des équations du mouvement, ce qui est interdit pour des raisons mathématiques. Exemples de courbes des phases : *** initialement en mouvement, M n'est soumis à aucune force. *** initialement immobile, M est soumis à une force constante F. *** initialement en mouvement, M est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse : F = -hmv (a : constante positive). Olivier GRANIER

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Clemenceau PCSI 1 - Physique

*** initialement immobile hors d'équilibre, M est soumis à une force de rappel proportionnelle à son élongation : F=-kxi (k : constante positive). La courbe des phases peut se retrouver en écrivant l’intégrale mouvement.

1ère

du

Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (x,v/ω ω0) ? *** Déterminer, par la même loi de conservation, la courbe de phase pour un pendule simple (masse m et longueur L). Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (θ θ, θ& / ω 0 ) ?

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5 - Portrait de phase d’un oscillateur : Lecture de portrait de phase (ex 5) : on considère le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) r r et à une force de frottement fluide ( −λv , v étant la vitesse de la masse m et on note x l’écart à la position d’équilibre). L’étude est réalisée dans le référentiel galiléen du laboratoire. a) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.

(cm)

b) Déterminer, par lecture graphique : * La valeur initiale de la position x0. * La valeur finale de la position xf. * La pseudo période Ta. * Le décrément logarithmique δ. c) En déduire la pulsation propre ω0, le facteur de qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide λ. Olivier GRANIER

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(cm)

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a) Régime pseudo-périodique : présence de frottements, la courbe de phase n’est pas fermée. Elle se termine en un point d’équilibre stable (ici le point O), appelé attracteur. b) x0 = 3 cm ; xf = 0 cm (attracteur) ; Ta = 315 ms ;

x δ = ln 0  x1

 3.10 −2   = ln  1,6.10 − 2  

  = 0,628  

;

c) Q = 5 ; ω 0 = 20,05 rad .s −1 ; σ =

k = mω02 = 201 N .m −1 ; λ = m

ω0 Q

x(t + Ta ) = e −δ x(t ) = e −σω0Ta x(t )

1 = 0,1 2Q

= 2 Nm −1.s

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Portrait de phase d’un pendule simple :

Fichier Maple (Pendule simple)

Simulation Java (pendule chaotique)

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Trampoline (ex n°2) : On considère la modélisation d’un trampoline à l’aide de deux ressorts de longueur à vide l0 et de raideur k. Un homme, assimilé à un point matériel M de masse m monte sur le trampoline qui s’enfonce ; son mouvement est vertical le long de l’axe (Ox). Données :

k = 3 300 N .m −1 ; l 0 = 1 m ; m = 80 kg ; d = 5 m

Dans les deux premières questions, on suppose que l’homme reste en contact avec le trampoline : il est solidaire du trampoline. a) Déterminer la distance d’enfoncement xéq à l’équilibre lorsque l’homme monte sur le trampoline. En déduire l’allongement des ressorts.

A

B d

A

B

O

b) L’oscillateur obtenu est-t-il harmonique ?

r ux

M(m)

r uy

x

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a) Bilan des forces à l’équilibre : Le poids : mg u x

r La tension du ressort de droite : Td = k ( MB − l 0 )

r r d  MB = − x u x + (d / 2) u y ; MB = x 2 +   2

De même :

MB MB

2

, d’où :

 r  Td = k   

  d   2  r r  −x d   2 x 2 +   − l 0  ux + uy  2 2  2  d d     2 2  x +  + x     2 2  

 r  Tg = k   

  d   2  r r  −x d  2 x 2 +   − l 0  ux − uy  2 2  2  d d     2 2  x +  x +     2 2  

(tension du ressort de gauche)

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r r r r A l’équilibre : mg u x + Td + Tg = 0 En projection sur l’axe (Ox) :

   l0 mg − 2kxéq 1 − 2  2 d   xéq +    2 

   =0    

Une résolution numérique conduit à xéq = 19,8 cm. L’allongement des ressorts est alors : 2

xéq

2

d  +   − l 0 = 1,5 m 2

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En mouvement, le PFD appliqué à la masse m donne, en projection sur (Ox) :

   l0 m&x& = −2kx1 − 2  d  2  x +   2 

    + mg    

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre non linéaire : l’oscillateur n’est pas harmonique.

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Clemenceau Année scolaire 2003 - 2004

Oscillateurs mécaniques (mécanique du point matériel) B – Etude en régime sinusoïdal forcé Olivier GRANIER

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1 - Intérêt de l’étude : Contraintes extérieures

Système linéaire électrique ou mécanique (réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes excités par des ondes lumineuses, …

Réponse du système

L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ω.

e(t)=Emcosω ωt

« Filtres » mécaniques ou électriques

s(t)=Smcos(ω ωt+ϕ ϕ)

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Une 1ère étude a été faîte en cours de SI et les notions suivantes ont été abordées : Fonction de transfert complexe – Gain – phase – Diagramme de Bode – dB – Filtre du 1er ordre – Filtre du 2ème ordre – Pulsation de coupure – Asymptotes – Coefficient d’amortissement ξ (= σ !) – Pulsation propre – Résonance – Bande passante.

Le pont de Tacoma Oscillations forcées

Simulation Regressi (mise en évidence du régime transitoire)

(Ressort vertical)

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2 - Description et équation de l’oscillateur étudié : Dans le référentiel terrestre galiléen :

A l’équilibre

A

m&x& = mg − hmx& − k (l éq + x − x A − l 0 ) En utilisant la condition d’équilibre :

l éq

k k &x& + hx& + x = x A m m

r Téq

En mouvement

O r ux

A

xA

l = l éq + x − x A

r T

Soit, avec :

h = 2σω0 =

ω0 Q

= 2λ et

ω02

k = m

&x& + 2σω0 x& + ω02 x = ω02 x A

r mg

x

r mg

x A = X A,m cos(ωt ) Olivier GRANIER

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Cette équation est formellement identique à celle vérifiée par la tension aux bornes d’un condensateur dans un circuit série (RLC) alimenté par un GBF (voir cours d’électricité) :

1 Lq&& + Rq& + q = e(t ), soit , avec q = CuC : C u&&C +

R 1 1 uC + uC = e(t ) L LC LC

Méthode de résolution choisie : la même qu’en électricité !

x A = X A, m e i ω t

;

x& = iω x

et

x = X m e i (ωt +ϕ ) ( x = X m cos(ωt + ϕ ))

&x& = iω x& = (iω ) 2 x = −ω 2 x Olivier GRANIER

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3 - Détermination de la réponse en amplitude x(t) :

&x& + 2σω0 x& + ω02 x = ω02 x A − ω 2 x + 2σω0 (iω x) + ω02 x = ω 02 x A

[(ω

2 0

]

− ω 2 ) + 2iσω0ω x = ω 02 x A

Soit :

x=

Ou encore :

ω02 (ω 02

X m e iϕ =

2

− ω ) + 2iσω0ω

xA

ω02 (ω02

2

− ω ) + 2iσω0ω

X A, m

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Etude de l’amplitude maximale Xm(ω ω) : En prenant le module de l’expression précédente :

Xm =

Etude mathématique : On note :

ω02 (ω02

2 2

− ω ) + 4σ

lim X m = X A,m

ω →0

2

ω02ω 2

X A, m

lim X m = 0

;

ω →∞

D(ω ) = (ω02 − ω 2 ) 2 + 4σ 2ω 02ω 2

Alors Xm(ω ω) sera extrémale si D(ω ω) l’est aussi. On calcule ainsi une dérivée plus simple :

dD(ω ) = −4ω (ω02 − ω 2 ) + 8σ 2ω02ω = 4ω − (ω02 − ω 2 ) + 2σ 2ω02 = 0 dω

(

)

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Clemenceau PCSI 1 - Physique ω=0

On obtient ainsi :

ou

− (ω02 − ω 2 ) + 2σ 2ω02 = 0

Soit, en oubliant la solution non harmonique (correspondant à ω = 0) :

ω r2 = ω02 (1 − 2σ 2 ) Cette pulsation de « résonance d’amplitude » (c’est à dire correspondant à une réponse harmonique en amplitude maximale) n’existe que si :

1 − 2σ 2 > 0 Elle vaut alors :

soit

σ


1 2

Q

X m (ω r ) =

1−

1 4Q 2

X A,m

Remarque : pour de faibles amortissements (σ σ «faible» et Q «grand»), alors :

ω r ≈ ω0

et

X m (ω r ) ≈ QX A, m

Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant. Olivier GRANIER

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Tracés des courbes Xm(ω ω) pour différentes valeurs de σ (ou Q) : Xm * On a choisi : XA,m = 1 Cliquer sur l’image pour ouvrir le fichier MAPLE

* u = ω/ω ω0 désigne la pulsation réduite * On vérifie bien que, pour σ faible, la résonance est obtenue pour u ~ 1 (soit ω ∼ ω0). * L’oscillateur constitue un filtre passe-bas * Bande passante du filtre

Avec Regressi u Olivier GRANIER

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Etude du déphasage ϕ(ω ω) : La réponse complexe est :

X me

iϕ

=

ω 02 (ω 02

2

− ω ) + 2iσω0ω

X A, m 2

2

Le déphasage ϕ est l’opposé de l’argument θ du complexe (ω 0 − ω ) + 2iσω 0ω. Par conséquent :

tan ϕ = − tan θ = − sin ϕ = − sin θ < 0

2σω0ω

ω 02 − ω 2

→ donc ϕ ∈ [− π ,0]

( signe de − 2σωω 0 )

Tracé des courbes ϕ(ω ω) :

Cliquer sur l’image pour ouvrir le fichier MAPLE

Avec Regressi

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Fonction de transfert complexe en amplitude : La fonction de transfert complexe en amplitude est définie par :

H x (iω ) =

Soit :

G x (ω ) =

x(t ) x A (t )

ω02 X m iϕ H x (iω ) = e = 2 X A, m (ω0 − ω 2 ) + 2iσω0ω Xm est le gain (réel) en amplitude. X A, m

Diagramme de Bode : c’est l’ensemble des deux courbes G x , dB = 20 log(G x ) et ϕ en fonction de la pulsation ω, tracées en échelle semi-logarithmique (voir cours de SI et l’étude des filtres en électricité). Olivier GRANIER

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4 - Détermination de la réponse en vitesse v(t) : En notation réelle :

v(t ) = Vm cos(ωt + ψ )

En notation complexe :

v(t ) = Vm e i (ωt +ψ )

La vitesse complexe v s’obtient à partir de l’amplitude complexe x en remarquant que v = x& = iωx . Par conséquent : 2   ω ω0 0  = v = iω x  (ω 2 − ω 2 ) + 2iσω ω A   ω ω 0 0  0  i − ω  0 ω

Ou encore :

Vm e

iψ

=

ω0  ω ω0   2σ + i −  ω0 ω 

  + 2σ 

xA

X A, m

Olivier GRANIER

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Etude de l’amplitude maximale Vm(ω ω) de la vitesse : En prenant le module de l’expression précédente :

ω0

Vm (ω ) =

 ω ω0   4σ 2 +  −  ω0 ω  Etude mathématique :

lim Vm = 0

ω →0

;

2

X A,m

lim Vm = 0

ω →∞

Vm(ω ω) sera maximale (on parle alors de résonance de vitesse, si le dénominateur est minimal, c’est à dire pour une pulsation telle que :

ω ω0 − =0 ω0 ω

soit

L’amplitude de la vitesse valant alors : Vm (ω0 ) =

ω = ω0 ω0 X A, m = Qω0 X A,m 2σ Olivier GRANIER

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Tracés des courbes Vm(ω ω) pour différentes valeurs de σ (ou Q) : Xm * On a choisi : Cliquer sur l’image pour ouvrir le fichier MAPLE

XA,m = 1 et ω0=1 rad.s

– 1.

* u = ω/ω ω0 désigne la pulsation réduite * Pour σ faible (ou Q grand), la résonance est très aiguë. * L’oscillateur constitue un filtre passe-bande. * Bande passante du filtre

Avec Regressi u Olivier GRANIER

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Fonction de transfert complexe en vitesse et bande passante : La fonction de transfert complexe en vitesse est définie par :

H v (iω ) = Soit :

Gv (ω ) =

H v (iω ) =

V m iψ e = X A, m

v(t ) x A (t ) ω0

 ω ω0   2σ + i −  ω0 ω 

Vm est le gain (réel) en vitesse. Il est maximal pour ω = ω0 et vaut : X A, m ω Gv (ω0 ) = 0 = Qω0 2σ

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Bande passante du filtre passe-bande : c’est l’ensemble des pulsations ω pour lesquelles le gain en vitesse reste, par convention, supérieur au gain maximal (obtenu pour ω0) divisé par 2 .

Gv (ω ) ≥

1 2

Gv (ω0 ) =

1 ω0 2 2σ

pour

[

ω ∈ ω c1 , ωc2

]

Les pulsations ωc1 et ωc2 sont appelées pulsations de coupure. Elles vérifient :

Gv (ωc1 ) = Gv (ωc2 ) =

1 ω0 2 2σ

(Les placer sur les courbes fournies)

Ces pulsations de coupure vérifient ainsi l’équation :

ω0  ω ω0   − 4σ 2 +  ω ω  0 

2

=

1 ω0 2 2σ

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En élevant au carré et en prenant l’inverse : 2

 ω ω0   = 8σ 2 4σ 2 +  −   ω0 ω 

ω ω0 − = 2σ ω0 ω

2

soit

 ω ω0    = 4σ 2 − ω   0 ω 

ou

La 1ère équation conduit à : ω 2 − 2σω0ω − ω 02 = 0

ω ω0 − = −2σ ω0 ω

2 Dont la seule racine positive est : ω c2 = σω0 + ω 0 1 + σ

La 2ème équation conduit à : ω 2 + 2σω0ω − ω02 = 0 2 Dont la seule racine positive est : ω c1 = −σω0 + ω 0 1 + σ

La largeur de la bande passante est : ∆ω = ω c2 − ω c1 = 2σω 0 =

ω0 Q

Elle est d’autant plus faible (résonance aiguë) que l’amortissement est faible (et le facteur de qualité grand). Olivier GRANIER

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Etude du déphasage ϕ(ω ω) : La réponse complexe est :

tanψ = − cosψ > 0 Remarque :

1 2σ

Vm e i ψ =

 ω ω0    ω − ω   0 

( signe de 2σ )

ψ =ϕ +

ω0  ω ω0   2σ + i −  ω0 ω 

X A, m

 π π → donc ψ ∈ − ,   2 2 Avec Regressi

π 2

Tracé des courbes ϕ(ω ω) :

Cliquer sur l’image pour ouvrir le fichier MAPLE

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5 - Bilan énergétique, réponse en puissance : En multipliant par v l’équation différentielle du mouvement :

m&x& + hmx& + kx = kx A On fait apparaître différents termes énergétiques :

mv&x& + hmvx& + kvx = kvx A D’où : Soit :

soit

mx&&x& + kx&x = kvx A − hmvv

d 1 2 d 1 ( x& ) + k ( x 2 ) = kvx A − hmv 2 dt 2 dt 2 d 1 2 1 2 ( mv + kx ) = kvx A − hmv 2 dt 2 2

m

Le 1er membre est la dérivée temporelle de l’énergie mécanique de l’oscillateur :

Em =

1 2 1 2 mv + kx 2 2 Olivier GRANIER

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Le 2nd membre est la somme de la puissance Pd dissipée par les forces de frottement et la puissance Pf fournie par l’excitation :

Pd = −hmv 2

Pf = kx A v

et

On note P la puissance instantanée totale reçue par l’oscillateur :

P = Pd + Pf De la même manière qu’en électricité, déterminons la puissance moyenne sur une période :

P = Pd + Pf Avec :

Pd = − hmv 2

Pf

1 = − hm T

1 = kx A v = k T

∫

T

0

1 v 2 dt = − hm T

T

∫X 0

A, mVm

∫

T

0

2 hmV m Vm2 cos 2 (ωt + ψ )dt = − 2

cos ωt cos(ωt + ψ )dt Olivier GRANIER

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Clemenceau PCSI 1 - Physique

Pf

X A, mVm  =k 2T 

∫

cos(2ωt + ψ ) dt +

0

Vm e i ψ =

Or, avec :

T

ω0  ω ω0   2σ + i −  ω0 ω 

2σ

cosψ =

 ω ω0   4σ +  −  ω0 ω 

2

X A, mVm  cosψdt  = k cosψ 0 2 

∫

T

X A, m

et

X A, m =

2

Vm

ω0

 ω ω0   4σ 2 +  −   ω0 ω 

2

Finalement :

Pf

Vm 1 1 2  h = k 2σ Vm = (mω0 ) 2 ω0 2  ω0

 Vm2 1 2  = hmV = − Pd m ω  0 2 Olivier GRANIER

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En définitive :

P = Pf + Pd = 0 En régime forcé, la puissance moyenne fournie par l’excitation est égale à la puissance moyenne dissipée en chaleur par l’oscillateur.

Olivier GRANIER

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6 - Autres oscillateurs : Exercice n°1 : modélisation d’un haut parleur Exercice n°2 : étude d’un sismographe Exercice n°3 : pourquoi le ciel est-il bleu par beau temps ?

Olivier GRANIER