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J. Sys. Sci. & Math. Scis. 32(8) (2012, 8), 1019–1032

Y  q- \ p l  ` ^ d e u

∗

%&

(

DfP{IZ:|) !"TA7: Q Æ Abramov
Petkovˇsek ` , 2001
2002 GtWd!8r^e1e Ore-Sato MTD lG28r Zeilberger ?XDF? wX Abramov , [6] D?2D Zeilberger ?XDF?J(>R Ore-Sato MT q- 'k2'kD q- u} Gel’fand, Graev
Retakh ,Ze [7] Dq9^ q$`u`D Ore-Sato MT=!Wm2AH8r)4 y,Ze [8] D V Ore-Sato MTD q- u}?2^ q- $`u`D Zeilberger ?XF?wJ( , q- $`uD{ q-  ?O2wL HW [m+;T^ u{ q-  ?OIÆQ"LHW .+;Tu Gel’fand Fm2D qu}2^uD q- u} * lzz"QH|6 (CCF-1017217), z"QH|6Æ
6 (10901156) z"QH|6 (60821002/F02) NKLG 4j 2011-12-29, 4Bxgj 2012-06-08. [3−4]

[5]

^ M G { " ; {

1020

32

B

Z
T,D ×

[g 

C 2E5TaD;:$ q , q , · · · , q F%Fd`D$`\/T 2 q-

1



   τ1   

z1 z2 .. . zn

      

=

"2 r ∈ C; 4) q , q , · · · , q , R DI  y 2.1 q , q , · · · , q , C !;:\w ( $& q , q , · · · , q , C !;:hwCmgSw l℄:, C !D^aSk -"℄$&2d 0, b

j

∈ C[q2y2 , q3y3 , · · · , qnyn ], ℓ X

b

ℓ

6= 0.

*?O τ W,- (2) !IC 1

q1j bj (q2y2 , q3y3 , · · · , qnyn ) q1jy1 = 0,

(3)

j=0

zi\/ (2) -Æ q !\/ (3) D$T ℓ 1

ℓ−1   X q1ℓ − q1j bj (q2y2 , q3y3 , · · · , qnyn ) q1jy1 = 0.

(4)

j=0

T q "2C, C D (  C DDA%>CT&:d,$& f 2 F DD&:zi τ (f ) = f QA gS 1 ≤ i ≤ n D i ,YT 2.3 I: τi (f ) f

i

i

f = cq1i1 y1 q2i2 y2 · · · qnin yn ,

Qwl c ∈ C
wT i , i , · · · , i ∈ Z ,Y{ i 6= 0, zi τ (f ) = q f . AÆ q = 1, ! q "2 8>Q h D2dD\l f !DW MT 5

×

×

1

1

1 1

2 2

t t

i

m1

f Ξ = (f σ1 )

(f σ2 )

mt

· · · (f σt )

9 #M  Γf = Ξ ∈ Z[Ξ ] | f Ξ ∈ C .

8 Γ 2Æ Z[Ξ ] DTj f

n

n

×

i

m2

2

2

.

(8)

^ M G { " ; {

1026

32

B

& h ∈ C[q , q , · · · , q ] "2 Ξ ,ÆLD π DW` Dm T Ξ . vM! h hwD Ξ /Ξ D Tzi3T?  Ξ /Ξ , F !DW (i '- (6) DMDW). 1- (8) DM  Ξ /Ξ DW? Laurent Sk-Æ Z[Ξ /Ξ ] , F !DWAHDW`A9& Ξ = m σ + m σ + · · · + m σ ∈ Z[Ξ /Ξ ] Æ  f ∈ F . M


y1 1

y2 2

yn n

h

h

h

h

h

h

h

h

h

×

h

1 1

2 2

t t

h

×

f Ξ = f σ1

- (7), (8) Æ (9) I:

m1

f σ2

m2

· · · f σt

mt

.

(9)

(10) QAD Ξ ∈ Z[Ξ ] O hh ∈ C. `pDtF=r{ h 2"I)Sk-zi Z[Ξ ]/Γ ≃ Z[Ξ /Ξ ]. {  5.1 & h 2 C[q , q , · · · , q ] DDSk-Æ π 2 Ξ  Ξ /Ξ DPO%? D Z[Ξ ]  Z[Ξ /Ξ ] DÆLD{ h "I)zi ker(π) = Γ . ( { h = q , zi Ξ = Ξ . 7U Z[Ξ /Ξ ] = Z. L,5u` τ − 1, τ − 1, · · · , τ − 1 2 Γ D T',%AÆtF,Y & h "2 Ξ /Ξ "2}Æ)[\n ,Y by 5.2 & h∈C[q , q , · · · , q ].  h DC9 1, . Ξ  Z[Ξ /Ξ ] D  M2 ' ( & φ : Ξ → Z[Ξ /Ξ ] 2 ziQAD σ, τ ∈ Ξ  h

h

y1 1

y2 2

yn n

h

φ(στ ) = φ(σ) + σφ(τ ) = φ(τ ) + τ φ(σ).

h

8



*$/G T& q- (lE.Ya4

1027

7U (1 − σ)φ(τ ) = (1 − τ )φ(σ).

(11)

& σ , σ , · · · , σ 2P V Ξ /Ξ D Tzi Z[Ξ /Ξ ] IEW Z !w σ , σ , · · · , σ D Laurent Sk-ÆT h DC9 1, AÆ r > 1. . 1

2

r

h

1

h

2

r

(1 − σ 1 )φ(σ2 ) = (1 − σ 2 )φ(σ1 ).

T 1 − σ
1 − σ "I) >AÆ8, ω ∈ Z[Ξ /Ξ ] ,C 1

2

h

φ(σ1 ) = (1 − σ1 )ω.

- (11) I:QD σ ∈ Ξ  (1 − σ 1 )φ(σ) = (1 − σ)φ(σ1 ) = (1 − σ)(1 − σ 1 )ω.

T Z[Ξ /Ξ ] 26ÆAÆ h

φ(σ) = (1 − σ)ω.

7U% φ 2 ' ℄qm ath & g, h 2 C[q , q , · · · , q ] DD\l"I)Sk-{8, τ ∈ Ξ ,C ∈ C, . + g F% h, T g ∼ h. 8 ∼ 2F%w℄9U{ g ∼ h, .nnO Ξ ! Ξ hL {^aSk- h 63^aT~: f D`O2`x.+ h 2 f DO Q F DDT~: f U8,fl^Z 5" F%D" I)Skh , h , · · · , h , ,C 6 q-

y1 1

y2 2

gτ h

yn n

g

h

×

1

2

m

Ξm 1 Ξ2 f = hΞ 1 h2 · · · hm ,

(12)

D Ξ ∈ Z[Ξ ] \ Γ , i = 1, 2, · · · , m. [m+- (12) 2 f D q-  6`3>- (12) , Y)Q i = 1, 2, · · · , m, f ! h F%D"I)O{ f = g g · · · g 2 f Db

l q-  6`3zi t = m, ! ;|>L6C h ∼ g , h ∼ g , · · · , h ∼ g . * g IT h , . i

hi

η1 η2 1 2

i

1

i

1

2

ηt t

2

m

m

i

f = h1 ζ1 h2 ζ2 · · · hm ζm .

Q i = 1, 2, · · · , m, - (12) IfrT

Ξi − ζi ∈ Γhi .

!91eISk-`3DS w8ntF 5.1, Ξm 1 Ξ2 f = c hΞ 1 h2 · · · hm ,

(13)

D c ∈ C, Ξ = π(Ξ ) ∈ Z[Ξ /Ξ ]. mM f , h , h , · · · , h ,  π (Ξ ) = π (ζ ) I:- (13) DD Ξ 2S MD[m+ Ξ 2 f w h D q-  = T ν (f ). T\. {^Z"I)Sk- h DF%SDj f DO. ν (f ) F 0. 9 #I8 % ν : F → Z[Ξ /Ξ ] gS`1e i

i

i

hi

i

1

2

m

i

i

h

h

i

hi

h

×

i

i

^ M G { " ; {

1028

B

QAD u, v ∈ F , ν (uv) = ν (u) + ν (v); ii) QAD τ ∈ Ξ
f ∈ F , ν (f ) = τ ν (f ), D τ 2 τ , Ξ /Ξ DDPLD ×

i)

h

h

×

m

32

h

τ

h

h

h

& H 2 F !D q- 'kM% φ: Ξ

→

σ

7→

F× Hσ . H

TQ i = 1, 2, · · · , m O 8 F , AÆ 8 F . 7U φ 2[M & h 2 C[q , q , · · · , q ] DD"I)Sk-M% φ = ν ◦ φ. m σ, τ ∈ Ξ .    H τi H

y1 1

y2 2

Hσ H

×

×

yn n

h

H στ Hσ Hτ = H H H

h

σ

,

Æ ν AgSD\lJ( i)
ii) I: h

φh (στ ) = φh (σ) + σφh (τ ).

AÆ φ 2  & f = , D i = 1, 2, · · · , n. & ν (f ) = Ξ ! {Ξ , Ξ , · · · , Ξ } DA"

l^a%>; f , f , · · · , f D! h F%D"I)O9 #$& h DC9  1. MT 5.2 :  φ 2 ' 8,qsD ω ∈ Z[Ξ /Ξ ] ,CQ σ ∈ Ξ O  φ (σ) = (1 − σ)ω. +% φ DMI: h

H τi H

i

h

1

2

i

1

i

h

h

φh (τi ) = νh

r=h

n

n

h

h

2

−ω

.

 H τi  H

= Ξ i = (1 − τ i )ω,

ziQ i = 1, 2, · · · , n  h νh

 Gτi  G

= νh

 H τi  H

Ξi

− νh

=

rτ i r

 r τi  r

.

i = 1, 2, · · · , n.

G=

H r .

.

= Ξ i − (1 − τ i )ω = 0.

3[m>8r^`T  y 6.1 & C[q , q , · · · , q ] D"I)Sk- h DC9 1, zi q- 'k H IÆ `3T y1 1

y2 2

yn n

H = rG,

D r ∈ F , G 2 q- 'k! Q i = 1, 2, · · · , n, ν
F 0. b  6.2 { q- 'kD q- $ "}C9 1 DO.+e q- 'kT q- . -k *T 6.1  H D q- $ D$` 6`3DklC9 1 D"I)OC `MT by 6.3 & H 2 q- 'kzi8,T~: f ∈ F
q- .-k T ,C H = f T . ×

h

Gτi G

×

8



*$/G T& q- (lE.Ya4

1029

`p[mq9 q- .-kD1t& h 2 C [q , q , · · · , q ] DD^aSk-{ h DC2azi h 2