Buku Pegangan Guru Matematika SMP Kelas 9 Kurikulum 2013

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2015

Matematika % Kelas IX SMP/MTs

Buku Guru

MATEMATIKA

MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN

ISBN : 978-602-282-095-6 (jilid lengkap) (jilid 3)

SMP/MTs

KELAS

IX

Hak Cipta © 2015 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang.

Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. .DWDORJ'DODP7HUELWDQ.'7 Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 0DWHPDWLNDEXNXJXUX.HPHQWHULDQ3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2015. vi, 586 hlm : ilus. ; 25 cm.

8QWXN60307V.HODV,; ,6%1MLOLGOHQJNDS ,6%1MLOLG

0DWHPDWLND6WXGLGDQ3HQJDMDUDQ II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

,-XGXO

510

.RQWULEXWRU1DVNDK

6XEFKDQ :LQDUQL /XNPDQ +DQD¿ 0 6\LID XO 0X¿G .LVWRVLO )DKLP :DZDQ +D¿G 6\DLIXGLQ GDQ 6DUL Cahyaningtias

3HQHODDK Penyelia Penerbitan

$JXQJ/XNLWR$OL0DKPXGL.XVQDGLGDQ7XUPXGL : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

Cetakan ke-1, 2015 'LVXVXQGHQJDQKXUXI7LPHV1HZ5RPDQSW ii

Kelas IX SMP/MTs

Kata Pengantar 0DWHPDWLND DGDODK EDKDVD XQLYHUVDO GDQ NDUHQDQ\D NHPDPSXDQ PDWHPDWLND VLVZD VXDWX QHJDUD VDQJDW PXGDK GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ QHJDUD ODLQ 6HODLQ LWX PDWHPDWLND MXJD GLSDNDL VHEDJDLDODWXNXUXQWXNPHQHQWXNDQNHPDMXDQSHQGLGLNDQGLVXDWXQHJDUD.LWDPHQJHQDO3,6$ Program for International Student Assessment GDQ 7,066 The International Mathematics and Science Survey \DQJ VHFDUD EHUNDOD PHQJXNXU GDQ PHPEDQGLQJNDQ DQWDUD ODLQ NHPDMXDQ pendidikan matematika dibeberapa negara. 6WDQGDU LQWHUQDVLRQDO VHPDFDP LQL PHPEHULNDQ DUDKDQ GDODP PHUXPXVNDQ SHPEHODMDUDQ 0DWHPDWLND GL 60307V +DVLO SHPEDQGLQJDQ DQWDUD \DQJ NLWD DMDUNDQ VHODPD LQL GHQJDQ \DQJ GLQLODL VHFDUD LQWHUQDVLRQDO PHQXQMXNNDQ DGDQ\D SHUEHGDDQ EDLN WHUNDLW PDWHUL PDXSXQ NRPSHWHQVL3HUEHGDDDQLQLPHQMDGLGDVDUGDODPPHUXPXVNDQSHPEHODMDUDQ0DWHPDWLNDGDODP Kurikulum 2013. Buku Matematika Kelas IX SMP/MTs Kurikulum 2013 ini ditulis berdasarkan pada materi GDQNRPSHWHQVL\DQJGLVHVXDLNDQGHQJDQVWDQGDULQWHUQDVRQDOWHUVHEXW7HUNDLWPDWHULPLVDOQ\D VHEDJDL WDPEDKDQ VHMDN NHODV 9,, WHODK GLDMDUNDQ DQWDUD ODLQ WHQWDQJ GDWD GDQ SHOXDQJ SROD GDQ EDULVDQ ELODQJDQ DOMDEDU GDQ EDQJXQ VHUWD WUDQVIRUPDVL JHRPHWUL .HVHLPEDQJDQ DQWDUD PDWHPDWLNDDQJNDGDQPDWHPDWLNDSRODGDQEDQJXQVHODOXGLMDJD.RPSHWHQVLSHQJHWDKXDQEXNDQ hanya sampai memahami secara konseptual tetapi sampai ke penerapan melalui pengetahuan SURVHGXUDOGDODPSHPHFDKDQPDVDODKPDWHPDWLND.RPSHWHQVLNHWHUDPSLODQEHU¿NLUMXJDGLDVDK untuk dapat memecahkan masalah yang membutuhkan pemikiran order tinggi seperti menalar SHPHFDKDQPDVDODKPHODOXLSHUPRGHODQSHPEXNWLDQGDQSHUNLUDDQSHQGHNDWDQ Walaupun demikian, pembahasan materi selalu didahului dengan pengetahuan konkret \DQJGLMXPSDLVLVZDGDODPNHKLGXSDQVHKDULKDUL3HUPDVDODKDQNRQNUHWWHUVHEXWGLSHUJXQDNDQ VHEDJDL MHPEDWDQ XQWXN PHQXMX NH GXQLD PDWHPDWLND DEVWUDN PHODOXL SHPDQIDDWDQ VLPERO simbol matematika yang sesuai melalui pemodelan. Sesampainya pada ranah abstrak, metodemetode matematika diperkenalkan untuk menyelesaikan model permasalahan yang diperoleh dan mengembalikan hasilnya pada ranah konkret. %XNX LQL PHQMDEDUNDQ XVDKD PLQLPDO \DQJ KDUXV GLODNXNDQ VLVZD XQWXN PHQFDSDL kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum VLVZDGLDMDNEHUDQLXQWXNPHQFDULVXPEHUEHODMDUODLQ\DQJWHUVHGLDGDQWHUEHQWDQJOXDVGL sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka terhadap masukan dan akan terus diperbaiki dan disempurnakan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca untuk memberikan kritik, saran dan masukan guna perbaikan dan penyempurnaan edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami XFDSNDQWHULPDNDVLK0XGDKPXGDKDQNLWDGDSDWPHPEHULNDQ\DQJWHUEDLNEDJLNHPDMXDQGXQLD SHQGLGLNDQGDODPUDQJNDPHPSHUVLDSNDQJHQHUDVLVHUDWXVWDKXQ,QGRQHVLD0HUGHND Jakarta, Januari 2015 0HQWHUL3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ

iii

1... 2... 3...

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .............................................................................................................. Daftar Isi .........................................................................................................................

iii iv

Perpangkatan dan Bentuk Akar .................................................................. 0HQJHQDO7RNRK .............................................................................................. A. Bilangan Berpangkat ............................................................................... Latihan 1.1 Bilangan Berpangkat ............................................................ B. Perkalian pada Perpangkatan ................................................................... Latihan 1.2 Perkalian pada Perpangkatan ............................................... C. Pembagian pada Perpangkatan ................................................................ Latihan 1.3 Pembagian pada Perpangkatan ............................................. ' 1RWDVL,OPLDK%HQWXN%DNX ................................................................... /DWLKDQ0HPEDFDGDQ0HQXOLV1RWDVL,OPLDK .................................. E. Pangkat Bilangan Pecahan ...................................................................... Latihan 1.5 Pangkat Bilangan Pecahan ................................................... Proyek 1 ........................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL .............................................................................................

1 3 4 12 16 26 29 37 40 43 46 49 53 54

Pola, Barisan, dan Deret ............................................................................... 0HQJHQDO7RNRK .............................................................................................. A. Pola Bilangan........................................................................................... 0DWHUL(VHQVL ......................................................................................... Latihan 2.1 Pola Bilangan ....................................................................... B. Barisan Bilangan ..................................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 2.2 Barisan Bilangan .................................................................. C. Deret Bilangan ......................................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 2.3 Deret Bilangan...................................................................... Proyek 2 ........................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL .............................................................................................

59 61 62 72 77 82 94 102 106 117 123 127 128

Bab III Perbandingan Bertingkat ............................................................................. 0HQJHQDO7RNRK .............................................................................................. A. Perbandingan Bertingkat ......................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 3 Perbandingan Bertingkat ......................................................... Proyek 3 ........................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL .............................................................................................

139 141 142 148 151 154 155

Bab I

Bab II

iv

Kelas IX SMP/MTs

Copyright:

Kekongruenan dan Kesebangunan .............................................................. 0HQJHQDO7RNRK .............................................................................................. A. Kekongruenan Bangun Datar .................................................................. 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 4.1 Bangun-bangun yang Kongruen........................................... B. Kekongruenan Dua Segitiga .................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 4.2 Kekongruenan Dua Segitiga................................................. C. Kesebangunan Bangun Datar .................................................................. 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 4.3 Kesebangunan Bangun Datar ............................................... D. Kesebangunan Dua Segitiga .................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 4.4 Kesebangunan Dua Segitiga................................................. Proyek 4 ........................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL .............................................................................................

161 163 164 171 176 182 191 194 200 204 210 215 222 230 238 240

Bangun Ruang Sisi Lengkung ...................................................................... 0HQJHQDO7RNRK .............................................................................................. $ 7DEXQJ ..................................................................................................... /DWLKDQ7DEXQJ .................................................................................. B. Kerucut .................................................................................................... Latihan 5.2 Kerucut ................................................................................. C. Bola.......................................................................................................... Latihan 5.3 Bola ...................................................................................... Proyek 5 ........................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL .............................................................................................

251 253 254 266 271 285 291 300 304 305

Statistika ......................................................................................................... 0HQJHQDO7RNRK .............................................................................................. $ 3HQ\DMLDQ'DWD ......................................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... /DWLKDQ3HQ\DMLDQ'DWD...................................................................... % 0HDQ0HGLDQGDQ0RGXV ...................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... /DWLKDQ0HDQ0HGLDQ0RGXV ......................................................... Proyek 6 ........................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL .............................................................................................

319 321 322 335 339 344 353 358 363 364

Bab VII

Peluang ........................................................................................................... 0HQJHQDO7RNRK.............................................................................................. $ 5XDQJ6DPSHO .......................................................................................... /DWLKDQ5XDQJ6DPSHO ...................................................................... % 3HOXDQJ7HRUHWLNGDQ(PSLULN ................................................................. /DWLKDQ3HOXDQJ(PSLULNGDQ3HOXDQJ7HRUHWLN ................................ 8ML.RPSHWHQVL ............................................................................................

371 373 374 382 384 392 397

MATEMATIKA

v

Bab IV Bab V

Bab VI

Bab VIII Bidang Kartesius ........................................................................................... 0HQJHQDO7RNRK.............................................................................................. A. Pengantar Bidang Kartesius .................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 8.1 Pengantar Bidang Kartesius ................................................. B. Jarak ......................................................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 8.2 Jarak ..................................................................................... Proyek 7 .......................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL ............................................................................................

403 405 406 411 416 421 427 430 433 434

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ..................................................... 0HQJHQDO7RNRK.............................................................................................. $ 0HPRGHONDQ0DVDODKGDODP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO ............... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... /DWLKDQ0HPRGHONDQ0DVDODKGDODP3/'9DWDX63/'9 ............... % 0HQ\HOHVDLNDQ0RGHO63/'9GDULVXDWX3HUPDVDODKDQ ........................ 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... /DWLKDQ 0HQ\HOHVDLNDQ0DVDODK\DQJ%HUNDLWDQGHQJDQ 63/'9 ................................................................................ Proyek 9 ................................................................................................... 8ML.RPSHWHQVL .....................................................................................

445 447 448 453 459 464 471

Fungsi Kuadrat.............................................................................................. 0HQJHQDO7RNRK.............................................................................................. $ *UD¿N)XQJVL.XDGUDW ............................................................................. 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... /DWLKDQ*UD¿N)XQJVL.XDGUDW ........................................................ B. Sumbu Simetri dan Nilai Optimum ......................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... /DWLKDQ0HQHQWXNDQ6XPEX6LPHWULGDQ7LWLN2SWLPXP ............... & 0HQHQWXNDQ)XQJVL.XDGUDW ................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... /DWLKDQ0HQHQWXNDQ)XQJVL.XDGUDW .............................................. D. Aplikasi Fungsi Kuadrat .......................................................................... 0DWHUL(VHQVL ........................................................................................... Latihan 10.4 Aplikasi Fungsi Kuadrat ..................................................... Proyek 10 ........................................................................................................ 8ML.RPSHWHQVL ..........................................................................................

495 497 498 505 508 510 516 520 523 530 537 539 547 551 558 559

Contoh Penilaian Sikap ................................................................................................. Rubrik Penilaian Sikap ................................................................................................. Contoh Penilaian Diri .................................................................................................... Contoh Penilaian Partisipasi Siswa .............................................................................. LembarPartisipasi.......................................................................................................... Contoh Pengolahan Laporan Pencapaian Kompetensi Matematika ........................ Daftar Pustaka................................................................................................................ Glosarium .......................................................................................................................

575 576 575 578 578 579 583 585

Bab IX Bab X

vi

Kelas IX SMP/MTs

480 486 487

Bab I

Perpangkatan dan Bentuk Akar

Kata Kunci x x x x

Sifat-sifat Pangkat Pangkat Negatif Pangkat Pecahan Bentuk Baku

K ompetensi D asar 1.1 2.1

3.1

3.2

4.3

Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik dan kreatif, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah sehari-hari, yang merupakan pencerminan sikap positif dalam bermatematika. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar dalam suatu permasalahan. Memahami operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar. Menyelesaikan permasalahan dengan menaksir besaran yang tidak diketahui menggunakan berbagai teknik manipulasi aljabar dan aritmatika.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Tahukah siswa berapakah jarak planet Jupiter ke matahari? Bagaimana siswa dapat menuliskan jarak tersebut dalam bentuk yang lebih sederhana? Dapatkah siswa melihat seekor bakteri dengan mata telanjang? Mengapa siswa tidak dapat melihatnya tanpa bantuan mikroskop?Berapakah panjang bakteri tersebut?Dapatkah siswa menuliskan dalam bentuk yang lebih sederhana untuk ukuran yang sangat kecil tersebut? Pernahkah siswa mengamati pembelahan sel pada seekor hewan bersel satu di pelajaran biologi? Bagaimanakah pola pembelahan yang terbentuk tiap satuan waktunya? Berapakah jumlah seluruh hewan tersebut pada satuan waktu tertentu? Bagaimanakah siswa dapat mengetahui jumlah tersebut? Bagaimana jika jumlah hewan bersel satu yang kalian amati lebih dari satu ekor? Dapatkah siswa mendapatkan jumlah seluruhnya setelah satu waktuan waktu? Nah, masalah-masalah tersebut di atas dapat diselesaikan dengan konsep perpangkatan. Konsep ini akan kita pelajari bersama di Bab 1 ini.

Pengalaman Belajar 0HQJLGHQWL¿NDVLPHQGHVNULSVLNDQPHQMHODVNDQVLIDWEHQWXNSDQJNDWEHUGDVDUNDQKDVLOSHQJDPDWDQ 2. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan perpangkatan dan operasi matematika. 3. Menggunakan bentuk baku untuk menuliskan bilangan yang sangat besar dan bilangan yang sangat kecil.

MATEMATIKA

1

Peta Konsep Perpangkatan

Bilangan Berpangkat

Pembagian pada Perpangkatan

Perkalian pada Perpangkatan

2

Perpangkatan Bilangan Pecahan

Notasi Ilmiah

Sumber: www.stanford.edu

Julius Wilhelm Richard Dedekind ODKLU SDGD 2NWREHU GDQ ZDIDW pada 12 Februari 1916, pada usia 85 WDKXQ%HOLDXPHUXSDNDQ0DWHPDWLNDZDQ asal Jerman yang sangat diperhitungkan GDODP VHMDUDK PDWHPDWLND VHEDJDL salah satu penemu dibidang matematika. 3HPLNLUDQ 'HGHNLQG EDQ\DN GLMDGLNDQ UXMXNDQ XQWXN PHPEHQWXN NRQVHS EDUX The Man and The Number Dedekind menyebutkan bahwa, angka adalah kreasi pikiran manusia dari sini Beliau menemukan konsep angka secara NXDQWLWDV GDQ PHUXSDNDQ UHSUHVHQWDWLI dari suatu label yang disebut bilangan.

'HGHNLQG PHUXSDNDQ 3URIHVVRU GL Pholytecnic School di Zurich, Jerman. Selama hidupnya, Dedekind banyak menerima penghargaan dalam bidang PDWHPDWLND GLDQWDUDQ\D *|WWLQJHQ $FDGHP\ 7KH %HUOLQ $FDGHP\ $FDGHP\ RI 5RPH 7KH /HRSROGLQR&DOLIRUQLD 1DWXUDH &XULRVRUXP $FDGHPLDDQGWKH$FDGpPLHGHV6FLHQFHVLQ3DULV 3HQJKDUJDDQGDODP ELGDQJGRNWRUDOGLEHULNDQNHSDGDQ\DROHK7KH8QLYHUVLWLHVRI.ULVWLDQLD2VOR =XULFKDQG%UXQVZLFN3DGDWDKXQ'HGHNLQPHQHUELWNDQEXNXEHUMXGXO Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen yang memberikan pengaruh VDQJDWEHVDUWHUKDGDSGDVDUGDVDU0DWHPDWLND Julius Wilhelm Richard Dedekind

Sumber: www.stanford.edu

Hikmah yang bisa diambil 1. Semangat Dedekind untuk merumuskan suatu teori bilangan yang lebih sederhana dan dapat dipahami sekaligus sebagai dasar metodologi konsepNRQVHSPRGHUQSDGDXVLD\DQJUHODWLIPXGD 'HGHNLQGWHWDSUHQGDKKDWLVHKLQJJDGLDVHODOXPHPLOLNLVHPDQJDWEHODMDU \DQJWLQJJLVHNDOLSXQWHODKPHQMDGLVHRUDQJSHQJDMDU 3. Dedekind tidak mudah puas dengan segala penghargaan yang telah GLDQXJHUDKNDQNHSDGDQ\DKDOLQLWHUEXNWLGHQJDQNHDNWLIDQQ\DGDODPKDO SHQHOLWLDQNKXVXVQ\DWHRULDOMDEDU

3

A. Bilangan Berpangkat

Pertanyaan Penting 0HPSHUNHQDONDQGH¿QLVLEHQWXNSDQJNDW 2. Arahkan siswa agar dapat menuliskan bentuk pangkat dan menulis ulang dalam bentuk perkalian angka untuk mendapatkan nilai bentuk pangkat.

Pertanyaan Penting Bagaimana siswa dapat menggunakan bentuk pangkat untuk menyederhanakan penulisan sebuah bilangan?

Kegiatan 1.1

Memahami Konsep Bilangan Berpangkat

$UDKNDQVLVZDXQWXNGDSDWEHNHUMDGDODPNHORPSRNGHQJDQNHUDSLKDQ\DQJ baik sehingga dapat melakukan Kegiatan 1.1 dengan tepat. $MDNVLVZDXQWXNPHQGLVNXVLNDQKDVLONHJLDWDQ\DQJGLGDSDWNDQGDQPHPDKDPL konsep bilangan berpangkat yang didapatkan.

Kegiatan 1.1

Memahami Konsep Bilangan Berpangkat

Lakukan kegiatan ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 siswa dan sediakan satu karton berwarna serta sebuah gunting kertas. /LSDWODK NHUWDV LWX PHQMDGL GXD EDJLDQ VDPD EHVDU\DLWXSDGDVXPEXVLPHWULOLSDWQ\D 3. Guntinglah kertas pada sumbu simetri Sumber: Dokumen Kemdikbud lipatnya. Gambar 1.1 Karton, gunting, dan 7XPSXNODK KDVLO JXQWLQJDQ NHUWDV VHKLQJJD kertas tepat menutupi satu dengan yang lain.

4

Kelas IX SMP/MTs

5. Berikan kertas tersebut kepada siswa berikutnya, lalu lakukan Langkah 2 sampai 4 secara berulang sampai seluruh siswa di kelompokmu mendapat giliran. %DQ\DNNHUWDVKDVLOJXQWLQJDQSDGDWLDSWLDSSHQJJXQWLQJDQVHODQMXWQ\DGLVHEXW GHQJDQEDQ\DNNHUWDV7XOLVNDQEDQ\DNNHUWDVSDGDWDEHOEHULNXW Pengguntingan ke-

Banyak kertas

1

2

2

...

3

...

4

...

5

...

Dari Kegiatan 1.1, diperoleh bahwa banyak kertas hasil pengguntingan ke-2 adalah 2 kali lipat dari banyak kertas hasil pengguntingan ke-1. Banyak kertas hasil pengguntingan ke-3 adalah 2 kali lipat dari banyak kertas hasil pengguntingan ke-2, dan seterusnya. Jika siswa melakukan pengguntingan kertas sebanyak n kali maka banyak kertas hasil pengguntingan adalah 2 u 2 u2 u… u2 = 2n 2 sebanyak n Bentuk di atas merupakan perkalian berulang bilangan 2 yang disebut dengan perpangkatan 2. Secara umum, perkalian berulang dari suatu bilangan x disebut dengan perpangkatan x. Ayo Kita Berbagi /DNXNDQNHPEDOL.HJLDWDQQDPXQNHUWDVGLOLSDWPHQMDGLEDJLDQ\DQJVDPDEHVDU EHUGDVDUNDQ VXPEX VLPHWUL OLSDWQ\D YHUWLNDO GDQ KRULVRQWDO .HPXGLDQ WXOLVNDQ MDZDEDQPX VHSHUWL WDEHO GL DWDV$SDNDK EDQ\DN NHUWDV KDVLO JXQWLQJDQ SDGD WLDS WLDSSHQJJXQWLQJDQMXPODKQ\DVDPDGHQJDQ\DQJWHODKVLVZDODNXNDQVHEHOXPQ\D" 0HQJDSDKDOWHUVHEXWELVDWHUMDGL"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW3DSDUNDQMDZDEDQPXGL depan teman sekelasmu.

MATEMATIKA

5

Kegiatan 1.2

Menggunakan Notasi Pangkat

1. Perkenalkan bentuk perpangkatan, bentuk perkalian dari perpangkatan tersebut serta hasil perkaliannya. 2. Arahkan siswa untuk dapat menganalisis secara mandiri bentuk umum perpangkatan dalam bentuk perkalian, setelah siswa melakukan Kegiatan 1.1.

Kegiatan 1.2

Menggunakan Notasi Pangkat

6HWHODK PHPDKDPL NRQVHS SHUSDQJNDWDQ SDGD .HJLDWDQ VHODQMXWQ\D SDGD kegiatan ini siswa akan menyatakan perpangkatan dalam bentuk perkalian berulang. Ayo Kita Amati Amatilah tabel berikut ini.

Perpangkatan

Bentuk Perkalian

Hasil Perkalian

51

5

5

52

5u5

25

53

5u5u5

125

53 merupakan perpangkatan dari 5. Bilangan 5 merupakan basis atau bilangan pokok sedangkan 3 merupakan eksponen atau pangkat. Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berhubungan dengan kata “basis” dan “eksponen”.

6

Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita Mencoba Setelah mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini. Perpangkatan

Bentuk Perkalian

Nilai

24 33 65 74 107

Ayo Kita Menalar &REDMHODVNDQGHQJDQNDWDNDWDPXVHQGLULDSDNDK\DQJGLPDNVXGGHQJDQEHQWXNn untuk nELODQJDQEXODWSRVLWLI Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.2, apa yang dapat siswa simpulkan berkaitan dengan perpangkatan? Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut ... dan banyaknya bilangan pokok yang digunakan dalam perkalian berulang disebut ... Sehingga bentuk umum dari perpangkatan adalah xn = x u x u x u … u xnELODQJDQEXODWSRVLWLI x sebanyak n

MATEMATIKA

7

Kegiatan 1.3

Menyatakan Perpangkatan dalam Bentuk Bilangan Biasa

%HULNDQVHGLNLWSHQMHODVDQGH¿QLVLELODQJDQEHUSDQJNDWEHUGDVDUNDQLQIRUPDVL yang telah didapatkan dari Kegiatan 1.1. 0LQWD VLVZD XQWXN PHQXOLVNDQ ELODQJDQ EHUSDQJNDW \DQJ GLEHULNDQ GDODP bentuk angka utuh. Lakukan koreksi setelah siswa menyelesaikan Kegiatan 1.2 untuk memastikan pemahaman tiap-tiap siswa.

Kegiatan 1.3

Menyatakan Perpangkatan dalam Bentuk Bilangan Biasa

Ayo Kita Mencoba Berikut ini diberikan suatu besaran yang dituliskan dalam perpangkatan. Untuk PDVLQJPDVLQJREMHNWXOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNELDVDWLGDNGDODPSHUSDQJNDWDQ a. Kisaran luas total daratan Indonesia adalah 1,8 u 1012 m2 = 1.800.000.000.000 m2

Sumber: http://www.biakkab.go.id

Gambar 1.2 Daratan Indonesia

E .LVDUDQ SDQMDQJ WHPERN EHVDU great wall GL7LRQJNRNDGDODKu107 m = ...

Sumber: http://inedwi.blogspot.com

Gambar 1.37HPERNEHVDUGL7LRQJNRN

8

Kelas IX SMP/MTs

c. Kisaran diameter bumi adalah 108 m = ...

Sumber: http://hanifweb.wordpress.com

Gambar 1.4 Bumi

G .LVDUDQOXDVVDPXGHUDSDVL¿NDGDODK13 m2 = ....

Sumber: http://banyakilmunya. blogspot.com/

Gambar 1.56DPXGHUD3DVL¿N

H 'LDPHWHU JDODNVL ELPD VDNWL milky way adalah 9,5 u 1017 = ....

Sumber: http://www.jpnn.com

Gambar 1.6 Galaksi Bima Sakti

I .LVDUDQGLDPHWHUPDWDKDULDGDODK8 km = ....

Ayo Kita Simpulkan

Sumber: https://triwidodo. wordpress.com/

Gambar 1.70DWDKDUL

6HWHODK PHODNXNDQ NHJLDWDQ GL DWDV GDSDWNDK VLVZD PHQMHODVNDQ PDQIDDW GDUL perpangkatan?

MATEMATIKA

9

Contoh 1.1

Menuliskan Perpangkatan

$MDN VLVZD XQWXN PHPDKDPL &RQWRK GDQ &RQWRK VHKLQJJD VLVZD GDSDW menuliskan bentuk bilangan berpangkat dan nilai dari pemangkatan suatu bilangan. 6HODQMXWQ\DSDQWDXVLVZDNHWLNDPHQJHUMDNDQODWLKDQVLQJNDW$MDNXQWXNPHQMDZDE pertanyaan yang disediakan secara bergantian. Contoh 1.1

Menuliskan Perpangkatan

Nyatakan perkalian berikut dalam perpangkatan. D u u

.DUHQD GLNDOLNDQ EHUXODQJ VHEDQ\DN WLJD NDOL PDND u u PHUXSDNDQSHUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLV GDQSDQJNDW -DGL u u 3

b. y uy uy uy uy uy

Karena y dikalikan berulang sebanyak enam kali maka y u y u y u y u y u y merupakan perpangkatan dengan basis y dan pangkat 6. Jadi y uy uy uy uy uy = y6

Contoh 1.2

Menghitung Nilai Perpangkatan

1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ 2 GDQ 2 dalam bentuk bilangan biasa. Alternatif Penyelesaian:

2 u = 0,09

2

u = 0,09

7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Sederhanakan 7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Sederhanakan

1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ 3GDQ 3 dalam bentuk bilangan biasa. Alternatif Penyelesaian:

3 u u = -0,027

10

3 u u = 0,027

Kelas IX SMP/MTs

7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Sederhanakan 7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Sederhanakan

1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ 3GDQ 4 dalam bentuk bilangan biasa. Alternatif Penyelesaian: 3 u u 7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ = -8 Sederhanakan

4

u u u = 16

7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Sederhanakan

Ayo Kita Menalar Berdasarkan Contoh 1.2, tentukan perbedaan: 3HUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLVELODQJDQSRVLWLIGDQQHJDWLI 3HUSDQJNDWDQGHQJDQHNVSRQHQELODQJDQJDQMLOGDQJHQDS -HODVNDQMDZDEDQPX Contoh 1.3

Operasi yang Melibatkan Perpangkatan

0LQWDVLVZDPHQJLQJDWNHPEDOLSHUKLWXQJDQRSHUDVLELODQJDQGLNHODV 2. Arahkan siswa agar dapat menggabungkan perhitungan campuran operasi pada bilangan berpangkat. $MDN VLVZD EHUGLVNXVL NHWLND PHPEDKDV VRDO VLQJNDW \DQJ WHODK GLVHGLDNDQ setelah contoh. Contoh 1.3

Operasi yang Melibatkan Perpangkatan

Hitung nilai pada operasi perpangkatan berikut: a. 3 + 2 u 52

Alternatif Penyelesaian: 3 + 2 u 52 = 3 + 2 u 25 = 3 + 50 = 53 3

Hitung hasil tiap-tiap perpangkatan Lakukan operasi perkalian /DNXNDQRSHUDVLSHQMXPODKDQ

2

b. 4 : 8 + 3

Alternatif Penyelesaian: 43 : 8 + 32 = 64 : 8 + 9 =8+9 = 17

Hitung hasil tiap-tiap perpangkatan Lakukan operasi pembagian Lakukan operasi pengurangan

MATEMATIKA

11

Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Setelah mengamati beberapa contoh yang diberikan. Bimbing siswa untuk lebih memahami operasi perpangkatan. $MDNVLVZDXQWXNGDSDWPHQDODUEHQWXNODLQGDULSHQHUDSDQSHUSDQJNDWDQSDGD VXDWXNHMDGLDQ Ayo Kita Tinjau Ulang Selesaikan soal-soal di bawah ini. 7HQWXNDQKDVLOGDUL a. 9 : 3 u 43

b. § 1 · u 42 + 1 ¨ ¸ 2 ©8¹ 3

7XOLVNDQNHGDODPEHQWXNSHUSDQJNDWDQ a.

§ 2· § 2· § 2· § 2· ¨- ¸u¨- ¸u¨- ¸u¨- ¸ © 3¹ © 3¹ © 3¹ © 3¹

c. -66

b. t u t u 2 u 2 u2

7HQWXNDQQLODLGDUL a. pn-p n untuk p bilangan bulat dan n bilangan asli genap. b. pn-p n untuk p bilangan bulat dan nELODQJDQDVOLJDQMLO

Latihan 1.1

Bilangan Berpangkat

$MDNVLVZDXQWXNPHODNXNDQUHÀHNVLWHUKDGDSNHJLDWDQSHPEHODMDUDQ %HULNDQVRDOWDPEDKDQXQWXNGLNHUMDNDQGLUXPDKELODGLSHUOXNDQ 0LQWDVLVZDXQWXNPHPEHULNDQXVXODQSHUEDLNDQSHPEHODMDUDQ Latihan 1.1

Bilangan Berpangkat

1. Nyatakan perkalian berulang berikut dalam perpangkatan

12

D u u

2 2 2 2 b. §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ 3 3 3 © ¹ © ¹ © ¹ © 3¹ Kelas IX SMP/MTs

c. t ut u t × 2 × 2 × 2 d. t u y ut uy ut

e.

1 1 1 1 1 u u u u 4 4 4 4 4

Penyelesaian: D 3

b. § - 2 · ¨ ¸ © 3¹ c. t3 u 23

5

d. t3y2

e. §¨ 1 ·¸ ©4¹

5

2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk perkalian berulang

1 d. §¨ - ·¸ © 4¹ 4 e. - §¨ 1 ·¸ ©4¹ 4

a. 38

E 4 c. t3 Penyelesaian:

I § 1 · ¨ ¸ ©2¹

5

a. 3 u 3 u 3 u 3 u 3 u 3 u 3 u 3

b. 0,83 u 0,83 u 0,83 u 0,83 c. t u t u t

d. 1 u 1 u 1 u 1 4 4 4 4 e.

1 1 1 1 u u u 4 4 4 4

I 1 u 1 u 1 u 1 u 1 2 2 2 2 2 7HQWXNDQKDVLOGDULSHUSDQJNDWDQEHULNXW a. 54

G 2

e. §¨ 1 ·¸ ©3¹ 4 I - § 1 · ¨ ¸ ©4¹ 3

b. 65 c. 28

MATEMATIKA

13

Penyelesaian:

a. 625

d. 0,0004

b. 7.776

e.

F

1 27

I - 1 256

4. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis 10 a. 1.000

c. 1.000.000

b. 100.000

d. 10.000.000

Penyelesaian: a. 103 b. 105

c. 106 d. 107

5. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis 2 a. 256

c. 512

b. 64

d. 1.048.576


c. 29 d. 220

7XOLVNDQVHEDJDLEHQWXNSHUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLV a. 5

c. 15.625

b. 625

d. 125

Penyelesaian: a. 51 c. 56 4 b. 5 d. 53 7HQWXNDQKDVLOGDULRSHUDVLEHULNXWLQL

1 3 6 42 2

a. 5 + 3 × 24 b.

14

F î 4

Kelas IX SMP/MTs

G 4 – 44

e. §¨ 1 ·¸ u §¨ - 1 ·¸ © 4¹ © 3¹ 4

I § 1 · : - § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 4¹ ©3¹ 4

2

2

Penyelesaian: a. 53

d. 260

b. 100

e.

F

1 2.304 1 I 2.304

7HPXNDQQLODLx pada persamaan matematika di bawah ini. a. 7x = 343

c. 10x = 10.000

b. 2x = 64

d. 5x = 625


c. 4 d. 4

7LPSHQHOLWLGDUL'LQDV.HVHKDWDQVXDWXGDHUDKGL,QGRQHVLD7LPXUPHQHOLWLVXDWX ZDEDK\DQJVHGDQJEHUNHPEDQJGL'HVD;7LPSHQHOLWLWHUVHEXWPHQHPXNDQ IDNWD EDKZD ZDEDK \DQJ EHUNHPEDQJ GLVHEDENDQ ROHK YLUXV \DQJ WHQJDK EHUNHPEDQJ GL $IULND 'DUL KDVLO SHQHOLWLDQ GLGDSDWNDQ EDKZD YLUXV WHUVHEXW GDSDWEHUNHPEDQJGHQJDQFDUDPHPEHODKGLULPHQMDGLYLUXVVHWLDSVHWHQJDK MDPGDQPHQ\HUDQJVLVWHPNHNHEDODQWXEXK%HUDSDEDQ\DNYLUXVGDODPWXEXK PDQXVLDVHWHODKMDP" Alternatif Penyelesaian:

'LNHWDKXL SHPEHODKDQ VXDWX YLUXV DGDODK HNRU VHWLDS VHWHQJDK MDP PDND didapatkan bentuk pembelahan virus tersebut dalam bentuk perpangkatan dengan ELODQJDQSRNRNGDQEDVLVPHQJLNXWLODPDZDNWXQ\D0DNDGLGDSDWNDQIRUPXOD pembelahan virus sebagai: 2n dengan n menyatakan banyak pembelahan. Waktu PLQLPXPMXPODKYLUXVGDSDWWHUGHWHNVLDGDODKMDP-XPODKSHPEHODKDQDGDODK 12 kali. Banyaknya virus adalah 212 = 4.096 ekor.

10. Tantangan. Dalam sebuah penelitian, diketahui seekor Amoeba S berkembang biak dengan membelah diri sebanyak 2 kali tiap 15 menit.

D %HUDSD EDQ\DN DPRHED 6 VHODPD VDWX KDUL MLND GDODP VXDWX SHQJDPDWDQ terdapat 4 ekor amoeba S?

E %HUDSDEDQ\DNMXPODK$PRHED6PXODPXODVHKLQJJDGDODPMDPWHUGDSDW minimal 1.000 Amoeba S?

Alternatif Penyelesaian: Diketahui: - Waktu pembelahan : 15 menit - Banyak pembelahan 2 ekor MATEMATIKA

15

Ditanya: D %DQ\DNDPRHED6GDODPVHKDULGHQJDQMXPODKDPRHED6PXODPXODHNRU E %DQ\DNDPRHED6PXODPXODVHKLQJJDGLSHUROHKMXPODKDNKLUHNRUGDODP ZDNWXVDWXMDP Jawaban: D 3HWXQMXN WLDS VDWX NDOL SHPEHODKDQ GDSDW GLWXQMXNNDQ VHEDJDL EHQWXN SHUSDQJNDWDQ GHQJDQ ELODQJDQ SRNRN -LND PXODPXOD MXPODK DPRHED 6 adalah 4 maka perkembanganbiakan amoeba S adalah 4 u 2n. Sedangkan banyak SHPEHODKDQGLSHUROHKGDULODPDZDNWXSHPEHODKDQWLDSPHQLW 0DNDGLGDSDWNDQEDQ\DN$PRHEDVHWHODKVHKDULDGDODKu 296. E 3HWXQMXN GLGDSDWNDQ ODPD DPRHED 6 PHPEHODK GLUL DGDODK MDP NDOL SHPEHODKDQ GLUL DJDU GLGDSDWNDQ MXPODK PLQLPDO DPRHED 6 VHEDQ\DN maka setidaknya harus terdapat 63 ekor amoeba S.

B. Perkalian pada Perpangkatan Pertanyaan Penting 1. Berikan siswa beberapa studi kasus untuk perkalian dua buah bilangan berpangkat. $MDN VLVZD EHUGLVNXVL SHQ\HOHVDLDQ NDVXVNDVXV WHUVHEXW VHKLQJJD VLVZD akan berpikir kritis dan mencari tahu Bagaimana mengalikan dua bilangan berpangkat dengan basis yang sama.

Pertanyaan Penting Bagaimana hasil perkalian dari dua perpangkatan dengan basis yang sama?

Kegiatan 1.4

Mengalikan Dua Perpangkatan dengan Basis yang Sama

0LQWDVLVZDXQWXNPHOHQJNDSLWDEHO.HJLDWDQVHSHUWL\DQJWHODKGLODNXNDQ pada Kegiatan sebelumnya. 2. Arahkan siswa untuk mendapatkan pola perkalian dua bilangan berpangkat sehingga mendapatkan bentuk umum dari perkalian dua bilangan berpangkat.

16

Kelas IX SMP/MTs

Mengalikan Dua Perpangkatan dengan Basis yang Sama

Kegiatan 1.4

Ayo Kita Amati $PDWLODKWDEHOGLEDZDKLQL+DVLORSHUDVLSHUNDOLDQSDGDSHUSDQJNDWDQVHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan. Operasi Perkalian pada Perpangkatan

Operasi Perkalian

Perpangkatan

32 u 33

3 u3 u3 u3 u3

35

2 u 3

u u u u

5

y5 uy2

yuyuyuyuyuyuy

y7

Operasi Perkalian

Perpangkatan

Ayo Kita Mencoba Lengkapilah tabel di bawah ini. Operasi Perkalian pada Perpangkatan 63 u 62

4,22 u 4,23 74 u 74

§1· §1· ¨ ¸ u¨ ¸ ©3¹ ©3¹ 2

5

§ 1· § 1· ¨- ¸ u¨- ¸ © 3¹ © 3¹ 3

4

53 u 53

6HWHODKPHOHQJNDSLWDEHOGLDWDVLQIRUPDVLDSDNDK\DQJVLVZDGDSDWNDQPHQJHQDL operasi perkalian pada perpangkatan?

MATEMATIKA

17

Ayo Kita Menalar Sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis a di bawah ini. am u an = a ... + ... Apakah aturan yang siswa dapatkan berlaku untuk operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang berbeda? Sebagai contoh, 54 u 23-HODVNDQMDZDEDQPX Ayo Kita Simpulkan Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang sama?

Kegiatan 1.5

Memangkatkan Suatu Perpangkatan

0LQWDVLVZDXQWXNPHOHQJNDSLWDEHO.HJLDWDQGHQJDQPHQHUDSNDQSULQVLS perkalian bilangan berpangkat pada kegiatan sebelumnya sehingga didapatkan bentuk pangkat tunggal. 2. Arahkan siswa untuk menganalisis pola pembentukkan pangkat tunggal pada pemangkatan bilangan berpangkat. Sehingga diperoleh bentuk umum dari pemangkatan bilangan berpangkat. 0LQWDVLVZDPHPSUHVHQWDVLNDQSROD\DQJGLSHUROHKPDVLQJPDVLQJNHORPSRN da saling melengkapi hasil yang didapatkan. Kegiatan 1.5


$PDWL WDEHO EHULNXW LQL +DVLO SHPDQJNDWDQ SDGD VXDWX SHUSDQJNDWDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan. Pemangkatkan Suatu Perpangkatan 2 3

18

Bentuk Perkalian Berulang 42 u 42 u42 u uu uu

Kelas IX SMP/MTs

=4 u4 u4 u4 u4 u4

Perpangkatan

46

Pemangkatkan Suatu Perpangkatan

Bentuk Perkalian Berulang

Perpangkatan

43 u43 u4 u uu4 u

3 2

= 4 u4 u4 u4 u4 u4

46

= s us us us us us us us

s8

s4 u s4 s us us us us us us us

s4 2

s2 u s2 u s2 u s2 s u s us u s us u s us u s =sususususususus

s2 4

s8

Dari tabel di atas, perhatikan kembali kolom pertama dan ketiga. Apa yang dapat siswa simpulkan? Ayo Kita Menanya Setelah mengamati tabel di atas, buatlah pertanyaan yang berhubungan dengan “memangkatkan suatu perpangkatan”. Ayo Kita Mencoba Setelah mengamati tabel di atas, salin dan lengkapilah tabel di bawah ini. Pemangkatkan Suatu Perpangkatan


Perpangkatan

4 3 3 4 t4 3 t3 4

MATEMATIKA

19

6HFDUDXPXPEHQWXNam nGDSDWGLXEDKPHQMDGL am n an m = am u n

Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.5 tersebut. Apa yang dapat siswa simpulkan berkaitan dengan memangkatkan bentuk perpangkatan? Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil dari perpangkatan yang dipangkatkan?

Kegiatan 1.6

Memangkatkan Suatu Perkalian Bilangan

1. Ingatkan kembali materi perkalian dua bilangan pada materi yang didapatkan di kelas sebelumnya. $MDN VLVZD EHUGLVNXVL EHUVDPD NHWLND PHQJDQDOLVLV KDVLO \DQJ GLGDSDW GDUL Kegiatan 1.6. Sehingga siswa dapat memahami konsep perkalian dalam bilangan berpangkat.

Kegiatan 1.6

Memangkatkan Suatu Perkalian Bilangan

Ayo Kita Amati $PDWL WDEHO GL EDZDK LQL +DVLO SHPDQJNDWDQ SDGD SHUNDOLDQ ELODQJDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan Pemangkatan Pada Perkalian Bilangan

Bentuk Perkalian Berulang u uu uu

î

3

20

= 2 u 3 u2 u3 u2 u3

= 2 u2 u2 u3 u3 u3

Kelas IX SMP/MTs

Perpangkatan

23 u 3 3

Pemangkatan Pada Perkalian Bilangan

Bentuk Perkalian Berulang u uu uu uu

î 4

= 2 u5 u2 u5 u2 u5 u2 u5

b u y 2

=buyubuy

= 2 u 2 u 2 u 2 u5 u 5 u 5 u 5 b u y ub u y

=bubuyuy

Perpangkatan

25 u 55

b2 u y2

Ayo Kita Mencoba Lengkapi tabel di bawah ini. Pemangkatan Pada Perkalian Bilangan


Perpangkatan

u 3

u 5 n u y 2 u t 3

u 4 6HFDUDXPXPEHQWXNa u b mGDSDWGLXEDKPHQMDGL a u b m = am u bm

MATEMATIKA

21

Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.6 tersebut, kesimpulan apakah yang siswa dapatkan? Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil pemangkatan pada perkalian bilangan?

Kegiatan 1.7

Permainan Menuliskan Perpangkatan

0LQWD VLVZD PHQJDQDOLVLV EDJDLPDQD PHQGDSDWNDQ MXPODK NRLQ SDGD SRVLVL \DQJGLPLQWDWDQSDPHQJKLWXQJMXPODKNRLQ\DQJDGDGLSRVLVLWHUVHEXW 8MLMDZDEDQ\DQJGLEHULNDQVLVZDGHQJDQSHUKLWXQJDQNHJLDWDQ\DQJVHEHQDUQ\D Kegiatan 1.7

Permainan Menuliskan Perpangkatan

Lakukan kegiatan ini secara berkelompok yang terdiri atas 4 - 5 siswa, kemudian lakukan langkah-langkah berikut ini. Ayo Kita Mencoba 1. Siapkan 1 lembar kertas karton, penggaris, pensil, serta uang koin 2. Buatlah tabel seperti gambar di bawah ini

1

2

3 1

2

3

7XPSXNODKNRLQSDGDWLDSWLDSNRWDNGHQJDQNHWHQWXDQEHULNXW

22

Kelas IX SMP/MTs

%DQ\DNQ\DNRLQSDGDNRWDNGHQJDQSRVLVLx, y DGDODKx u 2y

&RQWRKSDGDNRWDNGHQJDQSRVLVL EDQ\DNQ\DNRLQDGDODK1 u22 = 23 = 8 koin

'DULSHUFREDDQGLDWDVMDZDEODKSHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL D %HUDSDEDQ\DNNRLQSDGDSRVLVL " b. Pada posisi mana terdapat koin sebanyak 32? c. Pada posisi mana terdapat koin paling banyak dan berapa banyaknya? Ayo Kita Menalar -LNDWDEHO\DQJVLVZDEXDWGLSHUOXDVPHQMDGLEHUXNXUDQu 5, berapa banyak koin SDGDSRVLVL " %HUDSDWLQJJLWXPSXNDQNRLQSDGDSRVLVL MLNDVHEXDKNRLQPHPLOLNLWHEDO 0,2 cm?

Contoh 1.5

Menyederhanakan Operasi Perkalian Pada Perpangkatan

Siswa diminta memahami bagaimana cara menyederhanakan perkalian pada perpangkatan dari Contoh 1.5. Pastikan siswa dapat melakukan operasi perkalian dalam bilangan berpangkat. Menyederhanakan Operasi Perkalian Pada Perpangkatan

Contoh 1.5

Sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan berikut ini. a. 43 u 42 = 43 + 2 =4

Jumlahkan pangkatnya

5

b. 16 u 3 2 u 3

Sederhanakan 6DPDNDQEHQWXNEDVLVPHQMDGL

2 + 3

-XPODKNDQSDQJNDWGDULEDVLV

Sederhanakan

c. m3 × m5 = m3 + 5 = m8

5

Jumlahkan pangkat dari basis m Sederhanakan

MATEMATIKA

23

Contoh 1.6


Siswa diminta memahami pemangkatan pada suatu perpangkatan di Contoh 1.6. Pastikan siswa dapat melakukan operasi pemangkatan pada suatu perpangkatan.


Contoh 1.6

Sederhanakan operasi pemangkatan pada perpangkatan berikut ini D 3 2 = 43 u 43

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

= 43 + 3 =4


6

E x3 4 = x3 u x3 u x3 u x3 3+3+3+3

Sederhanakan 8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

=x


= x12

Sederhanakan

Contoh 1.7

Mendapatkan Hasil Perpangkatan dari Hasil Kali

Siswa diminta memahami perpangkatan pada perkalian bilangan di Contoh 1.7. Pastikan siswa dapat melakukan operasi perpangkatan pada perkalian bilangan.

Mendapatkan Hasil Perpangkatan dari Hasil Kali

Contoh 1.7

Sederhanakan perpangkatan pada perkalian bilangan berikut ini D y 2 = 4y u 4y

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

=4 uy

Kelompokkan basis yang sama

= 16y2

Sederhanakan

u uy u y

2

2

E wy = wy u wy u wy 3

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHQJXODQJDQSHUNDOLDQ

w u w u w uy u y u y Kelompokkan yang sama

= w3y3

24

Jumlahkan tiap-tiap pangkatnya

Kelas IX SMP/MTs

Sederhanakan

Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Setelah mengamati beberapa contoh yang diberikan. Bimbing siswa untuk lebih memahami perkalian pada perpangkatan. $MDN VLVZD XQWXN GDSDW PHQDODU EHQWXN ODLQ GDUL SHQHUDSDQ SHUNDOLDQ SDGD SHUSDQJNDWDQGDODPVXDWXNHMDGLDQ Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut: a. 73 u 72

b. §¨ 1 ·¸ × §¨ 1 ·¸ ©3¹ ©9¹ c. t u t-1 6

4

2. Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut:

D 4 3

E ]3 6 c.

§ § 2 ·3 · ¨¨ ¨ ¸ ¸¸ ©© 3 ¹ ¹

2

3. Sederhanakan operasi berikut ini. a. 72 u 73

E 3 4

%DQGLQJNDQMDZDEDQVRDOQRPRUD GHQJDQVRDOQRPRUD GDQVRDOQRPRU E GHQJDQVRDOQRPRUD $SDNDKMDZDEDQ\DQJVLVZDGDSDWEHUQLODLVDPD" 0HQJDSDGHPLNLDQ"-HODVNDQ

Latihan 1.2


$MDNVLVZDXQWXNPHODNXNDQUHÀHNVLWHUKDGDSNHJLDWDQSHPEHODMDUDQ %HULNDQVRDOWDPEDKDQXQWXNGLNHUMDNDQGLUXPDKELODGLSHUOXNDQ 0LQWDVLVZDXQWXNPHPEHULNDQXVXODQSHUEDLNDQSHPEHODMDUDQ

MATEMATIKA

25

Latihan 1.2


1. Berpikir Kritis. Nyatakan hasil kali perpangkatan berikut dalam satu bentuk pangkat Jelaskan. Gunakan cara yang lebih mudah 43 u 56

Penyelesaian: Alternatif 1. Dengan mengalikan hasil operasi perpangkatan 4 3 u 56

= 64 u 15.625 = 1.000.000

Alternatif 2. Dengan menyamakan pangkat tiap-tiap bentuk perpangkatan 4 3 u 56

2 3 u 56

= 2 6 u 56

u 6 = 106 = 1.000.000

2. Sederhanakan perpangkatan berikut ini. a. 46 u 43

G 2 3

E 3 u 2

e. 52 u § 2 · u § 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ ©5¹ ©5¹ 3

F 4 u 3

5

Penyelesaian: a. 49

d. 56

2 e. 52 u §¨ ·¸ 5 © ¹

E 5

c. 22 u 7

8

6HGHUKDQDNDQRSHUDVLDOMDEDUEHULNXWLQL a. y3 u 2y7 uy 2

b. b u 2y × b × y 7

3

c. 3m3 umn 4

26

2

Kelas IX SMP/MTs

G tn3 4 u 4t3

H x3 ux2y2 3 u 5y4

Penyelesaian: a. 18y12 b. 2b4y9 c. 3m7n4

d. 4t7n12 e. 30x9y10

7HQWXNDQQLODLGDULSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL a. 33 u 2 u 37

3 3 1 §§ 1 · · u¨¨- ¸ ¸ 2 ¨© © 2 ¹ ¸¹ G 4 u 4 u 23

4

c.

E 2 u 16

Penyelesaian:

1 1 = 215 32.768

a. 118.098

c.

b. 54

d. 512

5. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk paling sederhana: a. 43 u 26

c. 4 u 34 + 5 u 34

E 2 5 u 35

G u 6


c. 9 u 34 = 32 u 34 = 36 G 9

6. Nyatakan bilangan di bawah ini dalam bentuk yang memuat perpangkatan dengan basis 2. a. 64

c. 100

b. 20

d.

Penyelesaian: a. 26

b. 5 u 22

128 3

c. 25 u 22 1 d. u 27 3

7HQWXNDQQLODLx yang memenuhi persamaan berikut ini.

D x x = 81 b.

1 u 4 x u 2 x = 64 64

MATEMATIKA

27

Alternatif Penyelesaian: D 3HQMDEDUDQ SDQJNDW SDGD EHQWXN SHUSDQJNDWDQ GDQ PHQ\DPDNDQ ELODQJDQ pokok pada kedua ruas bentuk perpangkatan. Sehingga, didapatkan persamaan dari kedua pangkatnya. 3x × x = 34 x2 = 4 x1 = 2 dan x2 = -2 b.

2 x u 2x = 64 u 64

22x u2x =26 u26 23x = 212

dengan melihat pangkat dari basis 2, maka didapatkan persamaan baru 3x = 12 x=4 8. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam menyederhanakan hasil perkalian bentuk pangkat berikut ini. a. 36 u 34 u 6 + 4 = 910

E t-3 6 = t-3 + 6 = t3 Alternatif Penyelesaian: a. 36 + 4 = 310 b. t-3 6 = t-3 + 6 = t3 perpangkatan bentuk perpangkatan adalah dengan mengalikan pangkat masing-masing, sehingga t-3 u6 = t-18

9. Tantangan 3DGD VHEXDK SDVDU WUDGLVLRQDO SHUSXWDUDQ XDQJ \DQJ WHUMDGL VHWLDS PHQLWQ\D DGDODK 5S 3DGD KDUL 6HQLQ-XPDWSURVHV SHUGDJDQJDQ WHUMDGL UDWDUDWD MDP WLDS KDUL 6HGDQJNDQ XQWXN 6DEWX0LQJJX SURVHV MXDO EHOL WHUMDGL UDWDUDWD MDP WLDS KDUL %HUDSD MXPODK SHUSXWDUDQ XDQJ GL SDVDU WUDGLVLRQDO WHUVHEXW VHODPD PLQJJX Q\DWDNDQ MDZDEDQPX GDODP EHQWXN SHUSDQJNDWDQ Alternatif Penyelesaian: /DPDSHUGDJDQJDQGDODPVDWXPLQJJXMDP u u MDP /DPDSHUGDJDQJDQGDODPVDWXPLQJJXPHQLW u 60 = 5.760 menit Banyak perputaran uang dalam satu minggu: 81.000.000 u 5.760 = 466.560.000.000

28

Kelas IX SMP/MTs

Jadi banyak perputaran uang dalam satu minggu di pasar tersebut adalah 5S 10. Tantangan. Sebuah bola karet dengan diameter 7 cm direndam dalam sebuah EHMDQD EHULVL PLQ\DN WDQDK VHODPD MDP -LND SHUWDPEDKDQ GLDPHWHU EROD NDUHW WHUVHEXW PPGHWLN %HUDSDNDK YROXPH EROD NDUHW VHWHODK SURVHV perendaman.


Gambar 1.8%HMDQDEHULVLPLQ\DNWDQDKGDQERODNDUHW

Alternatif Penyelesaian:

/DPDSHUHQGDPDQGHWLN u 60 u 60 = 10.800 detik Pertambahan diameter bola karet: 10.800 u 0,002 = 21,6 mm = 2,16 cm Diameter bola karet setelah perendaman: 7 + 2,16 = 9,16 cm 4 9ROXPHERODNDUHWVHWHODKSHUHQGDPDQ u3,14 u 3 = 3.217,768 cm 3

C. Pembagian pada Perpangkatan Pertanyaan Penting 1. Berikan siswa beberapa studi kasus untuk pembagian pada perpangkatan. $MDNVLVZDEHUGLVNXVLSHQ\HOHVDLDQNDVXVNDVXVWHUVHEXWVHKLQJJDVLVZDDNDQ berpikir kritis dan mencari tahu bagaimana cara melakukan pembagian pada perpangkatan dan mendapatkan hasilnya. Pertanyaan Penting Bagaimana hasil pembagian dari dua perpangkatan yang memiliki basis sama?

MATEMATIKA

29

Kegiatan 1.8

Membagi Dua Bentuk Perpangkatan

0LQWD VLVZD XQWXN PHOHQJNDSL WDEHO .HJLDWDQ VHWHODK VLVZD PHODNXNDQ pengamatan mengenai pembagian pada perpangkatan terlebih dahulu. 2. Arahkan siswa untuk mendapatkan bentuk umum pembagian dua perpangkatan dengan basis sama. Kemudian minta mereka untuk menyimpulkan hasil dari Kegiatan 1.8. Kegiatan 1.8

Membagi Dua Bentuk Perpangkatan

Ayo Kita Amati $PDWL WDEHO GL EDZDK LQL +DVLO SHPEDJLDQ SDGD VXDWX SHUSDQJNDWDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan. Pembagian Bentuk Perpangkatan

39 34

Pengulangan Bentuk Perkalian

Bentuk Perpangkatan

3u 3u 3u 3u 3u 3u 3u 3u 3 3u 3u 3u 3

35

-2 3 -2

-2 u -2 u -2 u -2 u -2 u -2 -2 u -2 u -2

68 64

6u6u6u6u6u6u6u6 6u6u6u6

6

3

64

Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan “pembagian pada perpangkatan”.

30

Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita Mencoba Setelah siswa mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini. Pembagian pada Perpangkatan


Perpangkatan

4, 210 4, 25

-7 5 -7 7

27 21

-2,5 2 -2,5 4

109 103

Secara umum bentuk

am GDSDWGLXEDKPHQMDGL an am = am n an

Ayo Kita Simpulkan

Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil pemangkatan pada perkalian bilangan?

MATEMATIKA

31

Membandingkan Volume

Kegiatan 1.9

0LQWDVLVZDXQWXNPHQJLQJDWUXPXVYROXPHOLPDVVHJLHPSDWSDGDPDWHULGLNHODV sebalumnya, Kemudian siswa diminta membandingkan volume tiap-tiap limas dalam Kegiatan 1.9.

Membandingkan Volume

Kegiatan 1.9

%HQWXNODKNHORPSRNGDQEDQGLQJNDQYROXPHGDULREMHN\DQJGLEHULNDQGLEDZDKLQL Ayo Kita Mencoba Pada gambar di bawah ini, diberikan berbagai ukuran wadah dengan bentuk limas yang diputar 180o terhadap sumbu-y. Hitung volume tiap-tiap limas. Bandingkan YROXPHOLPDVEHVDUWHUKDGDSYROXPHOLPDVNHFLOGHQJDQXNXUDQSDQMDQJDODVOLPDV s GDQ WLQJJL OLPDV h GLEHULNDQ VHEDJDL EHULNXW &DWDW KDVLO \DQJ VLVZD SHUROHK dalam tabel. a. limas kecil s = 3, h = 9 B A O

b. limas kecil s = 4, h = 8 B A O C

D

C

D

T

T

limas besar s =32, h = 18 B A O

A C

D

T

32

limas besar s = 42, h = 12 B

Kelas IX SMP/MTs

O C

D

T

c. limas kecil s = 2, h = 5 B A O

d. limas kecil s = 10, h = 15 B A O C

D

T

T

limas besar s = 23, h = 53 B A O

limas besar s = 102, h = 200 B A O C

D

C

D

T

a.

C

D

T

Volume limas kecil

Volume limas besar

1 2 u3 u9 3

1 2 2 3 u 18 3

Volume limas besar Volume limas kecil

3

2 2

u 2 u 32

3 u 32 2

= 2 u 32

b.

c.

d.

MATEMATIKA

33

Diskusi 1. Bagaimana siswa dapat membagi dua perpangkatan dengan basis yang sama? %HULNDQGXDFRQWRKVHEDJDLSHQGXNXQJMDZDEDQPX

Contoh 1.8


$MDN VLVZD OHELK PHPDKDPL NRQVHS SHPEDJLDQ GXD ELODQJDQ EHUSDQJNDW GDUL &RQWRK6HODQMXWQ\DXMLSHPDKDPDQVLVZDPHODOXLSHUPDVDODKDQVLQJNDWGDUL 7LQMDX8ODQJGDQODNXNDQGLVNXVLWHUEXNDGHQJDQVLVZDGLUXDQJNHODV Contoh 1.8

1.

43 42


= 43 – 2

Kurangkan pangkat dari basis 4

=4

Sederhanakan

-4 2 -4 7

2.

7 – 2

.XUDQJNDQSDQJNDWGDULEDVLV

5

Sederhanakan

5

3.

x = x5 – 2 x2 = x3

Contoh 1.9

Kurangkan pangkat dari basis x Sederhanakan

Menyederhanakan Operasi pada Perpangkatan

Setelah siswa memahami pembagian dua bilangan berpangkat. Arahkan siswa untuk memahami penyederhanaan dari operasi bilangan berpangkat dari contoh GDQ PHQGDSDWNDQ QLODL RSHUDVL SHPEDJLDQ ELODQJDQ EHUSDQJNDW 6HODQMXWQ\D untuk memantapkan pemahaman siswa, lakukan diskusi terbuka untuk membahas SHUPDVDODKDQVLQJNDWGDUL7LQMDX8ODQJDJDUVLVZDOHELKPHPDKDPLSHQ\HGHUKDQDDQ ekspresi bilangan berpangkat. Contoh 1.9 Sederhanakan bentuk

34

Menyederhanakan Operasi pada Perpangkatan 43 u 48 7XOLVNDQMDZDEDQGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDW 45

Kelas IX SMP/MTs

43+8 43 u 48 = 5 5 4 4 411 = 5 4 = 411 – 5

Jumlahkan pangkat dari pembilang Sederhanakan Kurangkan pangkat dari basis 4

6

=4

Sederhanakan

Contoh 1.10

Operasi Perkalian dan Pembagian pada Perpangkatan

Sederhanakan bentuk

b4 b6 u 7XOLVNDQMDZDEDQGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDW b 2 b3

b4 b6 u = b4 – 2 × b6 – 3 b 2 b3 = b2 u b3 2+3

Kurangkan pangkat Sederhanakan

=b

Jumlahkan pangkat

= b5

Sederhanakan

Contoh 1.11

Penerapan Pembagian pada Perpangkatan dalam Kehidupan Nyata

Pada Contoh 1.11, arahkan siswa untuk dapat memahami penerapan pembagian bilangan berpangkat dalam kehidupan nyata. Kemampuan dasar siswa dalam mengoperasikan pembagian bilangan berpangkat dibutuhkan dalam menyelesaikan SHUPDVDODKDQ\DQJDGD6HODQMXWQ\DDMDNVLVZDEHUGLVNXVLSHQHUDSDQODLQGDODP kehidupan nyata dari pembagian bilangan berpangkat. Contoh 1.11

Penerapan Pembagian pada Perpangkatan dalam Kehidupan Nyata Berdasarkan data BPS tahun ZZZESVJRLG MXPODK penduduk pulau Jawa mencapai MXWD MLZD PHODOXL SURVHV SHPEXODWDQ 6HGDQJNDQ OXDV pulau Jawa 130 u 103 km2. Berapakah kepadatan penduduk pulau Jawa tahun 2010?

Sumber: www. http://geospasial.bnpb.go.id

Gambar 1.9 Kepadatan penduduk Jawa

MATEMATIKA

35

Jawaban:

Luas area = 1,3 u 105 km2 Jumlah penduduk Kepadatan penduduk = Luas area = =

1,3 u 108 1,3 u 105

1,3 108 × 1,3 105

= 1 u 108 – 5 = 1 u 103

Subtitusikan populasi penduduk dan luas area

7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHPEDJLDQWHUSLVDK Kurangkan pangkat Sederhanakan

-DGLNHSDGDWDQSHQGXGXN3XODX-DZDWDKXQDGDODKMLZDNP2 Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut: a.

84 81

b.

2,37 2,33

-8 3 -8 9

c.

2. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut: a.

84 u 82 83

–2,3 3 2 -2,3 u -2,3 10

b.

c.

b9 b 7 u b3 b 4

3DGD&RQWRKMLNDSRSXODVLSHQGXGXNSXODX-DZDEHUWDPEDKVHWLDS tahun, hitung kepadatan penduduk pulau Jawa pada tahun 2020 dan 2030. Latihan 1.3


$MDNVLVZDXQWXNPHODNXNDQUHÀHNVLWHUKDGDSNHJLDWDQSHPEHODMDUDQ %HULNDQVRDOWDPEDKDQXQWXNGLNHUMDNDQGLUXPDKELODGLSHUOXNDQ 0LQWDVLVZDXQWXNPHPEHULNDQXVXODQSHUEDLNDQSHPEHODMDUDQ

36

Kelas IX SMP/MTs

Latihan 1.3


5m = 54 5n D 7HQWXNDQ GXD ELODQJDQ m dan n yang bernilai antara 1 sampai dengan 9 sehingga dapat memenuhi persamaan di atas.

1. Berpikir Kritis. Diberikan persamaan

E 7HQWXNDQEDQ\DNQ\DSHQ\HOHVDLDQGDULSHUVDPDDQWHUVHEXW-HODVNDQMDZDEDQPX Alternatif Penyelesaian: 5m – n = 54 m–n=4 a. Pasangan bilangan yang mungkin adalah 5 dan 1, 6 dan 2, 7 dan 3, 8 dan 4, serta 9 dan 5. E 7HUGDSDW SDVDQJDQ ELODQJDQ \DQJ PHUXSDNDQ SHQ\HOHVDLDQ SHUVDPDDQ tersebut.

6HGHUKDQDNDQ SHPEDJLDQ SDGD SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL 7XOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk bilangan berpangkat

-4 2 -4 5

a.

-4 2 -4

c.

d.

Penyelesaian: D 3 E 4

§2· ¨ ¸ ©5¹ 5 §2· ¨ ¸ ©5¹ 9

6

b.

0,37 0,33

c. 4

§2· d. ¨ ¸ ©5¹

4

6HGHUKDQDNDQHNVSUHVLEHQWXNDOMDEDUEHULNXWLQL a.

- y5 - y2

§1· ¨ ¸ ©t¹ 3 §1· ¨ ¸ ©t¹

c.

3m7 m3

d.

42 y 8 12 y 5

7

b.

MATEMATIKA

37

Penyelesaian: D y 3

1 b. §¨ ·¸ ©t¹

c. 3m4

4

7 3 y 2

d.

6HGHUKDQDNDQRSHUDVLEHULNXWLQL7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPSDQJNDW

a.

b.

c.

§1· §1· ¨ ¸ ¨ ¸ ©t ¹ u©t ¹ 3 2 §1· §1· ¨ ¸ ¨ ¸ ©t¹ ©t¹

d.

3w4 u 5w3 w2

7

3 u3 33 7

2

55 5 u 53 2

Penyelesaian:

c. §¨ 1 ·¸ ©t¹

a. 36

5

d. 15 u w5

b. 1

5. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a. b.

3

0, 24 u 0, 22 0, 25 -55

-5 u -5 2

d. e.

2

3 u 54 15 53

45 2 4 u6 4 4 23

7

c. 12 + 4 46 Penyelesaian: a. 0,2 b. -5 c. 12 + 4 = 16

d. 3 u 5 – 15 = 0 e. 4 – 2 u 6 = 4 – 12 = -8

6. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a. b. c.

38

5 8 32 20 45 6

Kelas IX SMP/MTs

d. e.

50 625 49 686

Penyelesaian: 5 8 8 b. 5 15 c. 2

2 25 e. 1 14

a.

d.

7XOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNSHPEDJLDQSHUSDQJNDWDQ a. 25 b. p3 Alternatif Penyelesaian: Siswa diminta membuat 3 buah operasi pembagian dari bentuk perpangkatan VHKLQJJDPHQGDSDWNDQKDVLOSDGDQRPRUD GDQE a. 25 =

210 26 210 27 = = 2 = 2 2 25 2 2

b. p3 =

p6 p3

p5 p2

p10 p7

8. Dapatkan nilai n dari pembagian bilangan berpangkat di bawah ini: a.

s 2 s9 × = sn s 4 s3

b.

36 = nu9 32

Alternatif Penyelesaian: a.

s11 = s4 = sn maka n = 4 s7

b. n =

36 1 u 32 9

36 1 u 32 32

36 3 u 32 2

36 34

32

9. Analisa Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam menyederhanakan ekspresi berikut 13 713 = 7 5 = 78 5 7


713 = 713 – 5 = 78 75

MATEMATIKA

39

10.


Tantangan. Intensitas bunyi percakapan manusia adalah 106 lebih besar dari intensitas suara manusia berbisik. Sedangkan intensitas bunyi pesawat lepas landas adalah 1014 lebih besar dari pada suara bisikan manusia yang dapat terdengar. Berapa kali intensitas bunyi pesawat lepas landas dibandingkan dengan bunyi percakapan manusia?

Gambar 1.10

Alternatif Penyelesaian: Intensitas bunyi percakapan: 106 kali lebih besar dari bisikan Intensitas bunyi pesawat lepas landas 1014 lebih besar dari bisikan Intensitas bunyi lepas landas pesawat dengan percakapan manusia

1014 = 108 106

D. Notasi Ilmiah (Bentuk Baku) Pertanyaan Penting $MDN VLVZD PHQJDQDOLVLV GHQJDQ PHPEHULNDQ EHEHUDSD NDVXV EHUXSD ELODQJDQ yang memiliki digit yang sangat banyak sehingga menyulitkan siswa untuk menuliskannya secara utuh. Sehingga dibutuhkan cara untuk menuliskan secara lebih singkat. Pertanyaan Penting Bagaimana membaca dan menuliskan notasi ilmiah? Kegiatan 1.10

Menggunakan Kalkulator

Ayo Kita Amati Pada kegiatan ini, siswa diminta melakukan pengamatan secara berkelompok. /DNXNDQODQJNDKNHUMDVHSHUWL\DQJWHODKGLVDMLNDQ 40

Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita Mencoba 1. Dengan menggunakan kalkulator VDLQWL¿N NDOLNDQ GXD ELODQJDQ besar. Sebagai contoh 2.000.000.000 u 3.000.000.000

Berapa nilai yang muncul di layar kalkulator? 7HQWXNDQ KDVLO SHUNDOLDQ 2.000.000.000 dengan 3.000.000.000 tanpa menggunakan kalkulator. Berapa hasilnya? 3. Apa yang dapat siswa simpulkan GDULKDVLO GDQ "

Sumber: www.studentcalculators.co.uk/acatalog/ 6FLHQWL¿FB&DOFXODWRUVKWPO

Gambar 1.11 Kalkulator

3HULNVD NHPEDOL SHQMHODVDQPX GHQJDQ PHQJJXQDNDQ KDVLO NDOL ELODQJDQ EHVDU yang lain. Ayo Kita Menanya Setelah melakukan percobaan di atas, buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan pola SHQXOLVDQSHUSDQJNDWDQ\DQJGLWXQMXNNDQNDONXODWRU Ayo Kita Menalar 1. Lakukan percobaan dengan mengalikan dua bilangan yang sangat kecil, sebagai FRQWRKGLNDOLNDQGHQJDQEDJDLPDQDKDVLO\DQJGLWXQMXNNDQ oleh kalkulatormu? $SD\DQJGLWXQMXNNDQGLOD\DUNDONXODWRU"-HODVNDQ 3. Lakukan percobaan untuk menentukan angka maksimum yang dapat ditampilkan di layar kalkulator. Sebagai contoh, ketika siswa mengalikan 1.000 dengan 1.000 PDNDNDONXODWRUPXDNDQPHQXQMXNNDQ

MATEMATIKA

41

Diskusi 1. Bagaimana siswa dapat menuliskan sebuah bilangan dalam bentuk notasi ilmiah? 2. Coba siswa buat penelitian secara mandiri seperti pada Kegiatan 1.10, dengan menggunakan angka yang sangat kecil. Bagaimanakah hasil penelitian siswa? Jelaskan. Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.10 tersebut, kesimpulan apakah yang dapat VLVZDWDULNEHUNHQDDQGHQJDQQRWDVLLOPLDKEHQWXNEDNX VXDWXELODQJDQ" 6HEXDKELODQJDQGLNDWDNDQWHUWXOLVGDODPEHQWXNQRWDVLLOPLDKEDNX NHWLND x )DNWRUSHQJDOLEHUDGDGLDQWDUDt x

Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat ... Faktor pengali lebih besar dari 1 dan kurang dari 10

2,3 u 103

Pemangkatan 10 harus memiliki pangkat bilangan bulat

Bilangan lebih besar atau sama dengan 10 *XQDNDQVHEXDKSDQJNDWSRVLWLINHWLNDVLVZDPHPLQGDKNDQWLWLNGHVLPDONHNLUL Bilangan antara 0 dan 1 *XQDNDQVHEXDKSDQJNDWQHJDWLINHWLNDVLVZDPHPLQGDKNDQWLWLNGHVLPDONHNDQDQ

Contoh 1.12

Menulis Notasi Ilmiah dalam Bentuk Biasa

1\DWDNDQEHQWXNLOPLDKEHULNXWLQLPHQMDGLEHQWXNELDVD

a. 2,16× 105 = 2,16 u 100.000 Dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dari basis 10 = 216.000 b. 0,16 u 10 = 0,16 u0,001 -3

= 0,00016

Lakukan operasi perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 5 tempat ke kanan 'DSDWNDQKDVLOGDULSHUSDQJNDWDQ GDULEDVLV Lakukan perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 3 tempat ke kiri

42

Kelas IX SMP/MTs

Ayo Kita Tinjau Ulang 7XOLVNDQEHQWXNEDNXGDUL a. 12 u 105

b. 123 u 10-7

Latihan 1.4

Membaca dan Menulis Notasi Ilmiah

$MDNVLVZDXQWXNPHODNXNDQUHÀHNVLWHUKDGDSNHJLDWDQSHPEHODMDUDQ %HULNDQVRDOWDPEDKDQXQWXNGLNHUMDNDQGLUXPDKELODGLSHUOXNDQ 0LQWDVLVZDXQWXNPHPEHULNDQXVXODQSHUEDLNDQSHPEHODMDUDQ Latihan 1.4

Membaca dan Menulis Notasi Ilmiah

1. Berpikir Kritis7HEDOVHEXDKELVNXLWDGDODKFP sedangkan dalam satu kemasan 600 gr berisi 100 EXDKELVNXLW%HUDSDNDKSDQMDQJELVNXLW\DQJGDSDW GLVXVXQPHPDQMDQJGDODPVDWXNDUGXV\DQJEHULVL NHPDVDQJU7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXN biasa kemudian sederhanakan dalam bentuk baku. Sumber: http://food.detik.com


Gambar 1.12 Biskuit

'LFDULSDQMDQJWRWDOELVNXLWXQWXNNHPDVDQJU u 100 = 10 cm 6HODQMXWQ\DGLKLWXQJWRWDOSDQMDQJELVNXLWGDODPNDUGXV\DQJWHUGDSDWu 10 = 250 cm. Jawaban: 250 cm

7HQWXNDQMDZDEDQVLVZDGDODPEHQWXNEDNX%HULSHQMHODVDQVLQJNDWEDJDLPDQD VLVZDPHQGDSDWNDQMDZDEDQWHUVHEXW a. 10,5 u 103

d. 0,455 u 10-6

b. 1,5 u 10-5

e. 5 u 1012


d. 4,55 u 10-7 e. 5 u 1012

c. 7.125 u 10-16 a. 1,05 u 104 b. 1,5 u 10-5 c. 7,125 u 10-13

MATEMATIKA

43

7XOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNELDVD a. 7 u 103

b. 2,7 u 10

d. 9,95 u 1015 e. 3,1 u 103

-12

c. 3,25 u105

Penyelesaian: a. 7.000 b. 0,0000000000027 c. 325.000

d. 9.950.000.000.000.000 e. 3.100

7XOLVNDQGDODPEHQWXNEDNX a. 0,00000056

d. 880

b. 120.000.000.000

e. 0,000123

c. 1.000.000.000.000.000 Penyelesaian: a. 5,6 u 10-7 b. 1,2 u 1011 c. 1015

d. 8,8 u 102 e. 1,23 u 10-4

1, 25 u 10

6HGHUKDQDNDQGDQWXOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXNEDNX

5 u 10

16

D u 102 îu 102

G

E u 10-3 uu 105

F u106 u-12

-3 H 1,6 u 104 2 u 10

Penyelesaian:

a. 1,5 u 105 b. 2,88 u 103 c. 5,25 u 10-6

6

d. 2,5 u 108 e. 8 u 10-8

6. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penulisan bilangan bentuk baku berikut. a. 125.000.000 = 12,5 u 107

b. 0,0000055 = 5,5 u 106 c. 1,3 u 10-4 =13.000

Penyelesaian:

a. 125.000.000 = 1,25 u 108

44

Kelas IX SMP/MTs

b. 0,0000055 = 5,5 u 10-6 c. 1,3 u 10-4 = 0,00013

0DVVD SODQHW -XSLWHU DGDODK u 108 kg, VHGDQJNDQ EHUDW SODQHW %XPL DGDODK GDUL -XSLWHU%HUDSDNDKPDVVDSODQHW%XPL"7XOLVNDQ MDZDEDQPX GDODP EHQWXN EDNX DWDX QRWDVL ilmiah. Alternatif Penyelesaian: 30 u 1,9 u 108 = 5,7 u 107 0DVVDSODQHWEXPL 100

Sumber: http://teknologi.news. viva.co.id

Gambar 1.13 Planet Jupiter

0DVVD%XPLDGDODK NJ7XOLVNDQGDODPEHQWXNEDNX Alternatif Penyelesaian:

5.972.190.000.000.000.000.000 = 5,97219 u 1021

Sumber: indonesiaindonesia. com/

Gambar 1.14 Planet Bumi

9. Tantangan 'LQGD PHPEHOL ÀDVKGLVN EDUX VHKDUJD 5S GHQJDQ NDSDVLWDV *% %HUDSD E\WH NDSDVLWDV ÀDVKGLVN 'LQGD \DQJ ELVD GLJXQDNDQ MLND GDODP VXDWX ÀDVK GLVN NDSDVLWDV \DQJ GDSDW GLJXQDNDQDGDODKGDULNDSDVLWDVWRWDOQ\D Alternatif Penyelesaian:

Diketahui 16 GB = 16 u 109 B 16 GB u


Gambar 1.15 Flashdisk

95 95 = 16 u 109 B u = 16 u 95 u 107 B 100 100 = 1.520 u 107 B = 1,52 u 1010 Byte

10. Tantangan. Pada soal nomor 9. Berapakah kisaran harga memori yang dapat GLJXQDNDQWLDSE\WHQ\D7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXNEDNX Penyelesaian:

85.000 = 5,592 u 10-6 1,52 u 1010 -DGLKDUJDPHPRUWLWLDSE\WHQ\DDGDODK5Su 10-6 MATEMATIKA

45

E. Pangkat Bilangan Pecahan Pertanyaan Penting Bagaimana siswa dapat menggunakan bilangan berpangkat pecahan untuk menuliskan sebuah angka? Kegiatan 1.11

Pangkat Bilangan Pecahan

Ayo Kita Amati Pada kegiatan ini, siswa diminta untuk mengamati suatu rumusan matematika yaitu 7HRUHPD 3\WKDJRUDV7HRUHPD 3\WKDJRUDV EHUODNX SDGD VHEXDK VHJLWLJD \DQJ VDODK satu sudutnya adalah siku-siku. Perhatikan dengan seksama langkah-langkah aturan Pythagoras berikut ini. 5XPXVXPXPDWXUDQS\WKDJRUDV

c2 = a2 + b2 2

2

c = a +b

c

2

$NDUNDQNHGXDUXDVXQWXNPHQGDSDWNDQSDQMDQJ sisi miring segita siku-siku

b

cc == a + b 2

a

2

2

Didapatkan persamaan umum untuk mencari SDQMDQJVLVLPLULQJVHJLWLJDVLNXVLNX

Ayo Kita Menanya Setelah siswa mengamati proses untuk mendapatkan sisi miring pada segitiga siku-siku dengan menerapkan aturan pythagoras pada kegiatan di atas. Susunlah pertanyaan yang menyatakan hubungan antara pangkat kuadrat dan akar pangkat dua. Kegiatan 1.12

Mendapatkan Sisi Kubus

Ayo Kita Mencoba %HULNXWLQLGLVDMLNDQEHEHUDSDPDFDPNXEXVGHQJDQXNXUDQ\DQJEHUEHGDGHQJDQ PHQJJXQDNDQGH¿QLVL\DQJGLGDSDWNDQGL.HJLDWDQ7HQWXNDQPDVLQJPDVLQJ luas permukaan dan sisi kubus yang ada. 46

Kelas IX SMP/MTs

Volume

Panjang sisi

(s u s u s = s3)

(s)

Luas Permukaan

(6 u s u s)

Metode 1:

4u 4u 4

=

3

=

3

4u3 4u3 4

§ 1· = ¨ 43 ¸ © ¹ 3 = 4 3 = 41 = 4 =

3

3

3

4

64 cm3

6 u 4 u 4 = 96

Metode 2: =

3

4u 4u 4

= 2 =

3

43 = 1 6 3

3

26 6

= 23

= 22 = 4 Metode 1: =

3

=

3

5u5u5

5u 3 5u 3 5

5 = §¨ 5 3

© 3 = 5 3 = 51 = 5 =

3

1 3

· ¸ ¹

3

6 u 5 u 5 = 150

125 cm3 Metode 2: =

3

5u5u5

3 53 = 5 3 1

=

3

3

= 5 3 = 51 = 5

MATEMATIKA

47

Metode 1:

9u9u9

=

3

=

9

729 m3 = =

3

9u3 9u3 9

§ 1· = ¨ 93 ¸ © ¹ = 91 = 9

3

3

93

3

3

6 u 9 u 9 = 486

Metode 2: =

3

9u9u9

3

93 =

= 3 =

1 6 3

3

36 6

=

33

= 33 = 9

Diskusi dan Berbagi ,QIRUPDVLDSDNDK\DQJVLVZDGDSDWNDQVHWHODKPHOHQJNDSLWDEHOGLDWDV"'DSDWNDK siswa mendapatkan hubungan antara bentuk perpangkatan dengan bentuk akar? Diskusikan hasil yang siswa dapatkan dengan teman siswa. Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.11 dan Kegiatan 1.12 tersebut. Kesimpulan apakah yang dapat siswa tarik berkenaan dengan pangkat pecahan pada bentuk perpangkatan? Dari kegiatan-kegiatan yang telah siswa lakukan, maka didapatkan: xJika mempertimbangkan

a

48

n

am

n

sebagai a m n VHODQMXWQ\D a n 1

m n

am ,

m m § 1· n sebagai ¨ a n ¸ VHODQMXWQ\D a n a © ¹ m a , dengan a > 0, dan m, nELODQJDQEXODWSRVLWLI

xJika mempertimbangkan m n

m

an

Kelas IX SMP/MTs

m

m

an

Menghitung Bentuk Pangkat Pecahan

Contoh 1.13

Hitung bentuk pangkat pecahan di bawah ini: a.

1

92

b.

2

83

Alternatif Penyelesaian: a.

1

92

Metode 1

1

92

=

9

= 3

=3 Metode 2

9

1 2

Bentuk dalam bentuk akar

Hitung hasil akarnya

1 2 2

2u

=3

Bentuk dalam bentuk kuadrat

1 2

Kalikan pangkat

= 31

Hitung hasil pangkatnya

=3 Alternatif Penyelesaian: b.

2

83

Metode 1

§ 1· = ¨ 83 ¸ 8 © ¹ 2 3

=

2

8 3

Bentuk dalam bentuk perkalian pangkat 2

Bentuk ke dalam akar pangkat tiga

= 22 = 4 Metode 2

2

83

Hitung hasil pangkatnya

= 82 3 1

Bentuk dalam bentuk kuadrat

1

= 64 3 = Metode 3

2

83

3

Kalikan pangkat

64

= 23 3

4

Hitung hasil akarnya

2

=

2

2 3u 3

= 22 = 4

Bentuk dalam bentuk perkalian pangkat Bentuk ke dalam akar pangkat tiga Hitung hasil pangkatnya

MATEMATIKA

49

Ayo Kita Tinjau Ulang 7XOLVNDQEHQWXNEDNXGDUL a.

2

1

b. 27 3

64 2

7XOLVNDQEHQWXNSHUSDQJNDWDQSHFDKDQGDUL a.

3

b.

25

Latihan 1.5

125

Pangkat Bilangan Pecahan

1. Berpikir Kritis 7RQR GDSDW PHQJLVL SHQXK VHEXDK NHUDQMDQJ EXDK ZDNWX PHQLW -LND 7RQR PHQJLVL NHUDQMDQJ WHUVHEXW GHQJDQ NHFHSDWDQ GXD NDOL GDUL ELDVDQ\D%HUDSDPHQLWNDKZDNWX\DQJGLEXWXKNDQ7RQRXQWXNPHQJLVLSHQXK NHUDQMDQJEXDKWHUVHEXW" 2. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan persamaan berikut.

x

2 3

1 x3

2

Penyelesaian: Seharusnya x

2 3

1 3

x

2

atau x

3 2

1 2

x3

3. Nyatakan perpangkatandi bawah ini dalam bentuk lain b. § 1 · 2 ¨ ¸ ©5¹

c. § 27 · 3 ¨ ¸ © 8 ¹

1

a.

-

3

1 3

1

Penyelesaian: a.

3

1 3

3

2 b. § 1 · ¨ ¸ ©5¹ 1

1 3

c. § 27 · 3 ¨ ¸ © 8 ¹ 1

1 5

4. Nyatakan perpangkatandi bawah ini dalam bentuk lain a.

6 3 u6 3 u6 3 -

1

-

1

-

1

b.

Penyelesaian:

1 1 1 § -1 · 1 6 3 u 6 3 u 6 3 = ¨ 6 3 ¸ = 6-1 = 6 © ¹ 3

a.

50

625

Kelas IX SMP/MTs

3 2

b.

25

1 2 2

252

625

251

25

5. Sederhanakan bentuk perpangkatan di bawah ini a.

3y4 u 2 y 6 1

b.

-

1

m 2 : 2m 2

Penyelesaian: a.

3y u 2 y = 6 y 1 6

4

5 1 5 2 b. m 2 : 2m- 2 = m = m 2 2

25 6

6. Hitung operasi bilangan berpangkat di bawah ini: 2

a.

4 u 32 + 4 1 2

b.

535 3 5

c.

1 3

1,96 u 1024

Penyelesaian: a.

4 2 u 32 4 2 u 9 4 22 1

2

b.

535 3 5

1 3

53 u 5 3 2

5

1 3

1,96 u 1024

c.

53 u 5 3 u 5 2

1, 4

2

2 1 3 3 3

1 3

5

u 1024

10

53

3

510

1, 4 u 1012

6HWLDSNDOLSHUD\DDQ+875,60317DPDQPHQJDGDNDQORPED³NHODVEHUKLDV´ 6HOXUXK VLVZD GLZDMLENDQ PHQJKLDV NHODV PHUHND VHPHQDULN PXQJNLQ GHQJDQ tema kemerdekaan. Kelas 9A berencana menghias langit-langit kelas dengan deretan bendera merah-putih pada benang wool. Sesuai kesepakatan, benang bendera tersebut akan dihiaskan memutari langit-langit kelas dan menyilang SDGD GLDJRQDOQ\D %HUDSD SDQMDQJ EHQDQJ EHQGHUD \DQJ GLEXWXKNDQ NHODV $ MLNDNHODVQ\DEHUXNXUDQPu 8 m?

Penyelesaian: 3DQMDQJEHQGHUD u u 62 82 = 2 u14 + 2 u10 = 48 m

6HGHUKDQDNDQ EHQWXN RSHUDVL SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk akar: a.

xyz 3

x 2 yz 3

b.

Penyelesaian: 2 1 xyz a. xyz u x 3 y 3 z 1 3 2 x yz 3

ab3 u a 2 b-2 1

x3 u y 3 u z0 1

2

xy

1 2 3

3

xy 2

MATEMATIKA

51

b. ab3 u a 2 b 2 1

3

a 2b

a b

1 3 2 2

a 3b 2

6HGHUKDQDNDQ EHQWXN RSHUDVL SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk pangkat: 3 xyz a. b. a 3 bc u 5 abc 3 2 x yz 3 Penyelesaian:

a 3 bc u 5 abc =

a.

a u b3 u c3 u a5 u b5 u c5 1

1

1

1

6 8 8 2 = § a 5 u b15 u c 15 · ¨ ¸ © ¹ 1

3

b. 3

2

x yz

x 3 y 3 z 3 u x 3 y 3 z 1 1

xyz 3

1

1

2

1

6

8

8

a 5 u b15 u c 15 3

4

x 3 u y0 u z

a 5 u b15 u c 15

1

1

4

2 3

x 3 uz

1

2 3

10. Gunakan kalkulator untuk mendapatkan nilai perpangkatan di bawah ini: a.

1

1.234 3

1

b. 125 4

c.

1

1.024 2

Proyek 1 Proyek 1. 0LQWDVLVZDXQWXNPHODNXNDQ3UR\HN'DODPSUR\HNWHUVHEXWVLVZD GLPLQWDPHQGDSDWQHJDUDGHQJDQSRSXODVLWHUSDGDWGLGXQLDGHQJDQPHPDQIDDWNDQ IDVLOLWDVLQWHUQHW7XMXDQGDULSUR\HNWHUVHEXWDGDODKVLVZDGDSDWPHQXOLVNDQGHQJDQ EDLNEHQWXNEDNXQRWDVLLOPLDK GDQEHQWXNELDVD6LVZDMXJDGDSDWPHQHUDSNDQ konsep operasi perpangkatan yang didapatkan pada sub bab sebelumnya. Proyek 2. 0LQWDVLVZDXQWXNPHODNXNDQSUR\HNGDODPNHORPSRNGLVNXVL$MDN siswa untuk menganalisis bilangan berpangkat dalam suatu kegiatan sederhana. Arahkan siswa untuk menuliskan laporan hasil yang didapatkan dari proyek ini GDODPEHQWXNWDEHOKLWXQJ0V([FHO \DQJPHQXQMXNNDQMXPODKELMLMDJXQJGDQ EHUDWELMLMDJXQJSDGDWLDSWLDSSRVLVLGLSDSDQFDWXUWHUVHEXW0LQWDPDVLQJPDVLQJ NHORPSRNXQWXNPHPSUHVHQWDVLNDQSHQ\HOHVDLDQ\DQJGLGDSDWNDQVHKLQJJDWHUMDGL diskusi terbuka dalam kelas.

52

Kelas IX SMP/MTs

Proyek 1 1. Gunakan akses internet untuk mendapatkan populasi penduduk di 5 negara dengan penduduk terpadat di dunia. D 1\DWDNDQ MXPODK PDVLQJPDVLQJ SRSXODVL SHQGXGXN WHUVHEXW GDODP bentuk notasi ilmiah E 'DSDWNDQ MXJD OXDV ZLOD\DK GL QHJDUD WHUVHEXW 6HODQMXWQ\D GDSDWNDQ NHSDGDWDQSHQGXGXNPDVLQJPDVLQJQHJDUD1\DWDNDQMDZDEDQPXGDODP bentuk baku. F 0HODOXL FDUD \DQJ VDPD FDUL WDKX MXJD WHQWDQJ SHUWXPEXKDQ SHQGXGXN WLDSWDKXQQ\D.HPXGLDQGDSDWNDQMXPODKSHQGXGXNWDKXQNHGHSDQNH depan di masing-masing negara. G 'DUL LQIRUPDVL \DQJ VLVZD GDSDWNDQ SDGD SRLQ EXWLU F +LWXQJ MXJD kepadatan penduduk 10 tahun kedepanke depan. 2. Seorang ayah memberikan sebuah tantangan kepada anaknya untuk PHQJKLWXQJMXPODKELMLMDJXQJ\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHPHQXKLSDSDQFDWXU -LNDSDGDNRWDNSHUWDPDGLEHULELMLMDJXQJNRWDNNHGXDELMLMDJXQJELML MDJXQJXQWXNNRWDNNHWLJDELMLXQWXNNRWDNNHHPSDWGHPLPLNLDQEHUODQMXW sampai memenuhi ke enampuluh kotak. D %DQWXDQDNWHUVHEXWPHQHQWXNDQVXVXQDQMXPODKELMLSDGDPDVLQJPDVLQJ kotak papan catur tersebut. E -LNDEHUDWWLDSWLDSELMLMDJXQJDGDODKJU'DSDWNDQEHUDWELMLMDJXQJ pada masing-masing kotak. F *DEXQJNDQLQIRUPDVL\DQJVLVZDGDSDWNDQGDODPEHQWXNWDEHOSHUKLWXQJDQ \DQJPHPXDWNHGXDLQIRUPDVLWHUVHEXW G %HUDSDNDK XDQJ \DQJ KDUXV GLNHOXDUNDQ DQDN WHUVHEXW MLND KDUJD ELML MDJXQJWLDSNLORJUDPQ\DDGDODK5S

MATEMATIKA

53

Uji Kompetensi 1

Perpangkatan dan Bentuk Akar

1. Dapatkan hasil dari operasi perpangkatan berikut ini.

32 +164 64 Penyelesaian:

2.073 2 'L VHEXDK GHVD GL .DEXSDWHQ /DUDQWXND .XSDQJ 177 terdapat sebuah lapangan seukuran lapangan sepak bola 120m u 90m. Pemerintah daerah setempat berencana menanami lapangan dengan rumput. Hitung luas rumput yang disediakan untuk menanami seluruh permukaan ODSDQJDQVHSDNERODWHUVHEXW-HODVNDQMDZDEDQPXGDODP SHUSDQJNDWDQ\DQJSDOLQJVHGHUKDQD/XDVSHUVHJLSDQMDQJ DGDODKSDQMDQJuOHEDU Penyelesaian:

22 u 33 u 102 m2

3. Dapatkan bentuk perpangkatan yang ekivalen dengan bilangan di bawah ini -DZDEDQGDSDWOHELKGDULVDWXEHQWXNSHUSDQJNDWDQ a.

2

8

b.

3

27

Penyelesaian: a.

3

22 2

b. 3

22 9

4. Diketahui

x

n 1 2n

yn

x y

3

6 n

adalah senilai dengan xayb. Dapatkan nilai

Penyelesaian: 2 6HGHUKDQDNDQRSHUDVLSHUSDQJNDWDQDOMDEDUEHULNXWLQL a. y3 u\ 2

b.

54

b 2 y 5 u b3 6 y 2

Kelas IX SMP/MTs

F tn3 4 u 4t3

G x3 îx2y2 3 × 5y4

b . a

Penyelesaian: a. 9y5 b. 12y7

c. 4t7 n12

b

d. 30 u x9 u y10

3 2

7XOLVNDQELODQJDQGLEDZDKLQLGDODPQRWDVLLOPLDK a. 0,00000056

c. 0,98

b. 2.500.000

d. 10.000.000.000.000

Penyelesaian:

c. 9,8 u10-1

a. 5,6 u 10-11

b. 2,5 u 106

d. 1012

+LWXQJ KDVLO SDGD SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL7XOLVNDQ MDZDEDQPX GDODP QRWDVL ilmiah. a. 12 u 23

b. 7,27 u 102 – 0,5 u 103 F u 104 u 10-6 d. 3,7 u 103 u5,2 u 10-3

Penyelesaian: a. 96

c. 20.800.000.000

b. 227

d. 19,24

8. Diberikan x = 24 dan y 7HQWXNDQ KDVLO RSHUDVL GL EDZDK LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPXGDODPEHQWXNSHUSDQJNDWDQ\DQJSDOLQJVHGHUKDQD a. ... b. ... Penyelesaian: a. 25 u 34

b. 23 u 3-2 %HUDSDNDKKDVLORSHUDVLSHUSDQJNDWDQEHULNXW5 – 2465 Penyelesaian: 31 u5

%HUDSDEDQ\DNGHWLNGDODPNXUXQZDNWXWDKXQ"7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODP notasi ilmiah. Penyelesaian:

1,89 u 1012 detik MATEMATIKA

55

7XOLVNDQKDVLORSHUDVLSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL a. -8 u 26

16 24 d. 983 7 c.

b. 54 u 50 Penyelesaian: a. -29 = -512

c. 1

b. 2 u 56 = 31.250

d.

2 7 12. Tantangan. Pada acara lomba 17 Agustus GL6'17DPDQGLDGDNDQORPEDPHQJLVL air pada topi ulang tahun berbentuk NHUXFXW GHQJDQ PHOHZDWL SHUMDODQDQ VHMDXK P 6HWLDS PHWHU \DQJ GLWHPSXK 1 maka air akan berkurang sebanyak 10 bagian. Berapakah air yang terkumpul GDODP VDWX NDOL SHUMDODQDQ" 'LPHQVL WRSL


XODQJWDKXQGLDPHWHU FPGHQJDQWLQJJLFP9kerucut =

1 2 ʌr . 3

13. Urutkan bilangan berikut ini, dari yang terbesar ke terkecil a. 7 d. 0,98 u 104 b. 0,89

c. 5,2 u 10

e. 0,0045 3

I

Penyelesaian: GFIDEH

14. Cahaya bergerak dengan kecepatan 3 u 108 PV %HUDSD MDXK FDKD\D EHUJHUDN GDODPVDWXWDKXQ"7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODPQRWDVLLOPLDK Penyelesaian: 9,46 u 1014

7XOLVNDQKDVLOSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL a.

1 3 6 42 2

b. 8 + 3 u 4

56

Kelas IX SMP/MTs

F 4 – 44

d. § 1 · u § - 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 4 ¹ © 16 ¹ 4

2

Perlu diingat bahwa operasi perkalian dan pembagian lebih didahulukan GDULSDGD RSHUDVL SHQMXPODKDQSHQJXUDQJDQ NHFXDOL GDODP NDVXV NKXVXV VHSHUWLEHUDGDGDODPWDQGDNXUXQJVHKLQJJDKDUXVPHQMDGLSULRULWDV Penyelesaian: a. 100

c. 1.040 : 3

b. 251

d.

1 65.536

16. Dapatkan nilai n dari persamaan berikut ini: a. 3n = 243

1 16 Penyelesaian:

b. 2n + 1 =

c. 4n 0 d. 48 : 3 = n4

a. n = 5

c. n = 0

b. n = -5

d. n = 2

1\DWDNDQ SHUQ\DWDDQ PDWHPDWLND EHULNXW VHEDJDL SHUQ\DWDDQ %HQDU % DWDX 6DODK6 %HULNDQDODVDQPX a.

63 63

27 c. §¨ 2 ·¸ 7 ©5¹ 5 3 7 d. 4 × 4 = 220 7

0

E u 5 = 25 u 65 Penyelesaian: a. S

c. S

b. B

d. B

18. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a. b. c.

§ a 5b3c3 · § 8ac · ¨ ¸u¨ 3 ¸ © 4bc ¹ © 3bc ¹ 2m0 u m 3 2

m3

4 m 3

MATEMATIKA

57

Penyelesaian: a. b. c.

2 6 7 a bc 3 2

2m 3 m3

4 m 3

19. Diberikan x = 27 dan y 7HQWXNDQKDVLOGDULRSHUDVLGLEDZDKLQLWXOLVNDQ MDZDEDQPXGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDWSDOLQJVHGHUKDQD a. x3y

b.

x y

Penyelesaian: a. 7 u 311 b.

1 7 3 7

7XOLVNDQGDODPEHQWXNSDQJNDWSDOLQJVHGHUKDQD a.

243 20

c.

b.

500 9

d.

50 625 49 686

Penyelesaian: a.

c. 2 u 5-2

35 22 5

5 b. §¨ ·¸ 20 ©3¹ 2

58

Kelas IX SMP/MTs

d.

1 7

Bab II Pola, Barisan, dan Deret

Kata Kunci x x x x x

Pola Bilangan Genap Pola Bilangan Segitiga Pola Bilangan Persegi Pola Bilangan Persegi Panjang Pola Bilangan Segitiga Pascal

K ompetensi D asar 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.10 Menerapkan pola dan generalisasi untuk membuat prediksi. 4.4 Mengenal pola bilangan, barisan, deret, dan semacam, dan memperumumnya; menggunakan untuk menyelesaikan masalah nyata serta menemukan masalah baru.


Pada hari pertama dalam suatu pengamatan di lab biologi, diketahui terdapat 8.000 bakteri. Setelah 4 hari pengamatan jumlah bakteri bertambah menjadi 32.000. Jumlah bakteri tersebut terus bertambah, sehingga kita bisa menghitung jumlah pertumbuhan bakteri tiap harinya. Apakah siswa dapat menentukan jumlah bakteri setelah 6, 8 dan 10 hari pengamatan? Bagaimana caramu menentukannya? Pelajarilah lebih lanjut pada bab ini!

Pengalaman Belajar 1. 2. 3.

Menentukan pola berikutnya dari suatu susunan bilangan. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan aritmetika dan geometri. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan deret aritmetika dan geometri.

MATEMATIKA

59

Peta Konsep Pola, Barisan, dan Deret

Pola Bilangan

Deret Bilangan

Pola Bilangan Ganjil

Aritmetika

Aritmetika

Pola Bilangan Genap

Geometri

Geometri

Pola Bilangan Segitiga

Pola Bilangan Persegi

Pola Bilangan Persegi Panjang

Pola Bilangan Segitiga Pascal

60

Barisan Bilangan

Leonardo dari Pisa atau lebih dikenal dengan QDPD /HRQDUGR )LERQDFFL OHELK VLQJNDWQ\D )LERQDFFL DGDODKVHRUDQJDKOLPDWHPDWLND,WDOLD Ia terkenal karena penelitiannya dalam Deret Fibonacci dan perannya mengenalkan tentang algorisme di wilayah Eropa. Algorisme merupakan sistem Arab modern dalam penempatan bilangan desimal untuk menulis dan memanipulasi angka.

Sumber: www.edulens.org

Leonardo Fibonacci

Ayah Leonardo bernama Guglielmo :LOOLDP GHQJDQ QDPD SDQJJLODQ %RQDFFLR William bertugas mengatur pos perdagangan SDGD VHEXDK SHODEXKDQ GL $OLJLHUV SDGD ]DPDQ dinasti kesultanan Almohad di Barbaresque, $IULND8WDUD/HRQDUGR)LERQDFFLSHUJLNHVDQD XQWXN PHPEDQWX D\DKQ\D 'L VDQDODK LD EHODMDU tentang sistem bilangan Arab.

Setelah melihat bahwa aritmetika dengan bilangan Arab lebih mudah GDQ OHELK H¿VLHQ GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ DQJND URPDZL )LERQDFFL PHODNXNDQ SHUMDODQDQ GL VHSDQMDQJ 0HGLWHUDQLD XQWXN EHODMDU GLEDZDK ELPELQJDQ DKOL PDWHPDWLND$UDEWHUNHPXNDVDDWLWXGDQNHPEDOLVHNLWDUWDKXQ03DGD WDKXQ0SDGDVDDWLDEHUXPXUWDKXQLDPHQHUELWNDQEXNXEHULVLDSD \DQJWHODKLDSHODMDUL\DLWXLiber Abaci atau "Book of Calculation". /HRQDUGR PHQMDGL VHRUDQJ WDPX GDUL (PSHURU )UHGHULFN ,, \DQJ MXJD PHUXSDNDQVHRUDQJSHFLQWD0DWHPDWLNDGDQ6DLQV3DGDWDKXQ5HSXEOLN 3LVD PHQJDQXJHUDKL /HRQDUGR GHQJDQ PHPDNDL QDPD DOWHUQDWLIQ\D /HRQDUGL Bigollo. Sumber: www.edulens.org

Hikmah yang bisa diambil 1. Fibonacci adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. 6HNDOLSXQ DQJND 5RPDZL VXGDK GLNHQDO PDV\DUDNDW (URSD SDGD XPXQ\D WDSLGLDWHUXVPHQJJDOLLQIRUPDVLPHQJHQDLSHQXOLVDQELODQJDQ$UDE\DQJ OHELKPXGDKGDQOHELKH¿VLHQGDULDQJND5RPDZL 7LGDNPXGDKSXDVWHUKDGDSVHVXDWX\DQJVXGDKGLGDSDWNDQVHKLQJJDWHUXV EHU¿NLUPHODNXNDQLQRYDVLXQWXNPHQHPXNDQVHVXDWX\DQJEDUX 0DWHPDWLND DGDODK LOPX \DQJ PHQDULN XQWXN NLWD SHODMDUL .DUHQD WHODK EDQ\DN VHMDUDK \DQJ PHQFHULWDNDQ WHQWDQJ SHUDQ PDWHPDWLND GDODP PHPDMXNDQSHUDGDEDQPDQXVLDVDODKVDWXQ\DDGDODKGHUHW¿ERQDFFL\DQJ PHQMDGLSHORSRUSHUNHPEDQJDQLOPXEDULVDQGDQGHUHW

61

A. Pola Bilangan Pertanyaan Penting x

Berikan pengantar kepada siswa tentang contoh pola dalam kehidupan seharihari. Seperti misalnya nomor bangku di bioskop, susunan angka pada kalender, dan lainnya.

x 0LQWD VLVZD XQWXN PHQMHODVNDQ VHFDUD VHGHUKDQD EDJDLPDQD FDUD XQWXN menentukan aturan pada tiap-tiap susunan tersebut.

x 0LQWDVLVZDXQWXNPHPEHULNDQFRQWRKVHGHUKDQDSRODSDGDVXVXQDQELODQJDQ GDODPNHKLGXSDQVHKDULKDULGDQPHQMHODVNDQFDUDXQWXNPHQHQWXNDQELODQJDQ berikutnya dari susunan bilangan tersebut.

Pertanyaan Penting Bagaimana cara untuk menentukan bilangan berikutnya dari suatu susunan bilangan? $JDUVLVZDGDSDWPHQJHWDKXLGDQPHPDKDPLMDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDVODNXNDQODK kegiatan-kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 2.1

Menentukan Gambar Berikutnya

1. Pada kegiatan ini siswa diminta untuk mengamati pola gambar yang ada pada PDVLQJPDVLQJ QRPRU 7LDS QRPRU WHUGLUL GDUL JDPEDU GDQ VLVZD GLPLQWD untuk menentukan gambar kelima pada tiap-tiap nomor. 0LQWD VLVZD XQWXN PHQDODU VHFDUD PDQGLUL DJDU GDSDW PHQHQWXNDQ JDPEDU kelima dengan mengamati susunan gambar yang ada pada tiap nomor. 6HWHODKPHQJHUMDNDQVRDOPLQWDVLVZDXQWXNPHQFRFRNNDQMDZDEDQPHUHND dengan teman sebangku. /DNXNDQSHQLODLDQNRJQLWLIWHUKDGDSMDZDEDQVLVZD 3HUZDNLODQVLVZDGDSDWPHQ\DPSDLNDQMDZDEDQQ\DGLSDSDQWXOLV 6. Guru dapat memberikan variasi lain dari soal pada kegiatan ini melalui soal-soal penentuan gambar berikutnya dari suatu susunan gambar yang bisa didapatkan melalui berbagai literatur yang ada.

62

Buku Guru Kelas IX SMP/MTs

Kegiatan 2.1

Menentukan Gambar Berikutnya

3HUKDWLNDQVXVXQDQJDPEDU\DQJDGDGLEDZDKLQL7LDSVRDOWHUGLULGDULJDPEDU dengan aturan tertentu, tentukanlah gambar kelima dari setiap soal di bawah ini. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

MATEMATIKA

63

10.


Gambar 2.10HQHQWXNDQJDPEDUEHULNXWQ\D

Kegiatan 2.2

Menentukan Nomor Rumah di Suatu Perumahan

1. Pada kegiatan ini siswa diminta untuk mengamati nomor rumah di suatu SHUXPDKDQ 3DGD VXDWX SHUXPDKDQ VLVL VHEHODK NLUL MDODQ PHPLOLNL QRPRU UXPDKJDQMLOGDQVLVLVHEHODKNDQDQMDODQPHPLOLNLQRPRUUXPDKJHQDSDWDX MXJDVHEDOLNQ\D 0LQWDVLVZDXQWXNPHQFDWDWQRPRUQRPRUSDGDVHSXOXKUXPDKSHUWDPDGDUL SRVLVLXMXQJMDODQ 0LQWDVLVZDXQWXNPHODNXNDQNHJLDWDQSDGDEDJLDQD\RNLWDPHQFRED 3DGDEDJLDQD\RNLWDPHQDODUPLQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVHFDUDPDQGLUL 5. Berikan pendampingan untuk siswa yang masih kurang mampu. *XUXGDSDWPHPEHULNDQNHJLDWDQODLQ\DQJNUHDWLIGDQLQRYDWLI Kegiatan 2.2

Menentukan Nomor Rumah di Suatu Perumahan

Ayo Kita Amati

Sumber: http://www.rumahku.com

Gambar 2.21RPRUUXPDKSDGDVXDWX3HUXPDKDQ;

64


3DGD VXDWX MDODQ GL SHUXPDKDQ ; QRPRU SDGD VHWLDS UXPDK PHQJLNXWL VXDWX DWXUDQ WHUWHQWX 3DGD VLVL NLUL MDODQ UXPDK EHUQRPRU WHUOHWDN SDGD SRVLVL SDOLQJ XMXQJVHGDQJNDQSDGDVLVLNDQDQMDODQUXPDK\DQJWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJ EHUQRPRU5XPDKEHUQRPRUWHUOHWDNWHSDWGLVDPSLQJUXPDKEHUQRPRUGDQ UXPDKEHUQRPRUWHUOHWDNWHSDWGLVHEHODKUXPDKEHUQRPRU5XPDKEHUQRPRU terletak di antara rumah bernomor 3 dan 7, sedangkan rumah bernomor 6 terletak di antara rumah bernomor 4 dan 8, begitu seterusnya Ayo Kita Mencoba Buatlah sebuah denah sederhana yang menggambarkan sepuluh rumah pertama \DQJ WHUOHWDN SDGD SRVLVL XMXQJ MDODQ GL SHUXPDKDQ ; WHUVHEXW EDLN SDGD VLVL NLUL MDODQPDXSXQVLVLNDQDQMDODQ6HVXDLLQIRUPDVL\DQJWHODKVLVZDGDSDWNDQGLDWDV UXPDK\DQJEHUQRPRUWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJVLVLNLULMDODQGDQUXPDK \DQJEHUQRPRUWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJVLVLNDQDQMDODQ%HULNDQQRPRU SDGDVHWLDSUXPDKVHVXDLGHQJDQLQIRUPDVL\DQJDGD'DULGHQDK\DQJWHODKGLEXDW UXPDKQRPRUEHUDSD\DQJWHUOHWDNSDGDSRVLVLNHVHSXOXKGDULXMXQJGLVHEHODKNDQDQ MDODQ" Ayo Kita Menalar D -LNDGDODPVDWXMDODQWHUVHEXWWHUGDSDWUXPDKEDQ\DNQ\DUXPDKSDGDVLVL NLULGDQNDQDQMDODQPDVLQJPDVLQJDGDODK EHUDSDNDKQRPRUUXPDKWHUEHVDU \DQJWHUOHWDNSDGDVLVLNLULMDODQ" E 0HQXUXWPX EDJDLPDQD DWXUDQ XQWXN PHQHQWXNDQ QRPRU UXPDK \DQJ WHUOHWDN SDGDVLVLNLULPDXSXQNDQDQMDODQGLSHUXPDKDQ;WHUVHEXW" c. Carilah contoh benda-benda di sekitarmu yang memiliki suatu pola tertentu. 7XOLVNDQPLQLPDOFRQWRKGDQDWXUDQ\DQJWHUGDSDWSDGDWLDSWLDSEHQGDWHUVHEXW Kegiatan 2.3

Menata Tutup Botol

1. Pada kegiatan ini, guru membagi siswa ke dalam beberapa kelompok. Satu NHORPSRNWHUGLULDWDVVLVZD7LDSVLVZDGLPLQWDXQWXNPHPEDZDVHGLNLWQ\D 10 tutup botol dan kemudian digabungkan dengan milik anggota kelompoknya. 2. Peralatan yang dibutuhkan: tutup botol, selotip, kertas karton, gunting, kertas untuk mencatat hasil pengamatan. 3. Siswa pertama diminta untuk melakukan Kegiatan 2.3.1, setelah selesai siswa WHUVHEXWGLPLQWDPHQFDWDWKDVLOQ\DVHVXDL7DEHO.HPXGLDQVLVZDNHGXD

MATEMATIKA

65

GLPLQWDXQWXNPHODNXNDQ.HJLDWDQGDQMXJDGLPLQWDPHQFDWDWKDVLOQ\D VHVXDL7DEHOEHJLWXVHWHUXVQ\DVDPSDLVLVZDNHOLPD 4. Pada bagian ayo kita amati, minta siswa untuk mengamati susunan tutup botol SDGDPDVLQJPDVLQJNHJLDWDQGDQPHQFDWDWNDQKDVLOQ\DSDGD7DEHO6HODLQ LWXVLVZDGLPLQWDPHQMDZDEEHEHUDSDSHUWDQ\DDQ 3DGD EDJLDQ D\R NLWD PHQDODU PLQWD VLVZD XQWXN PHQMDZDE SHUWDQ\DDQ \DQJDGD0LQWDPHUHNDPHQMHODVNDQVHFDUDVHGHUKDQDPHQJHQDLFDUDXQWXN mendapatkan pola bilangan berikutnya 6. Pada bagian diskusi dan berbagi, minta siswa berdiskusi dengan teman VHEDQJNXQ\D XQWXN PHQMDZDE EHEHUDSD SHUWDQ\DDQ 0LQWD SHUZDNLODQ GDUL VLVZDXQWXNPHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQNHODV'LVNXVLNDQKDVLOMDZDEDQ siswa di depan kelas agar semua siswa memiliki persepsi yang sama 7. Pada bagian ayo kita simpulkan minta siswa menyimpulkan hasil dari kegiatan yang telah mereka lakukan. 8. Berikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan mengemukakan pendapatnya. Kegiatan 2.3

Menata Tutup Botol

Ayo Kita Mencoba Buatlah kelompok yang terdiri dari 5 siswa. Setiap anak membawa 20 tutup botol air mineral. Kumpulkan tutup botol tersebut dalam satu kelompok. Siapkan kertas karton berukuran 2 uPHWHUSHUVHJL6HODQMXWQ\DEHULNDQOHPSDGDEDJLDQEHODNDQJ dari tutup botol sehingga tutup botol tersebut dapat ditempelkan pada kertas karton. 7LDSWLDS VLVZD VHFDUD EHUJDQWLDQ GLEHULNDQ WXJDV XQWXN PHPEXDW VXVXQDQ WXWXS botol berdasarkan urutan berikut: siswa pertama melakukan Kegiatan 2.3.1, siswa kedua melakukan Kegiatan 2.3.2, begitu seterusnya sampai anak kelima. Kegiatan 2.3.1 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini


Gambar 2.3 Susunan tutup botol pada Kegiatan 2.3.1

66


Amatilah dan catat banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5. Kegiatan 2.3.2 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini



Kegiatan 2.3.3 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini






MATEMATIKA

67




Amatilah dan catat banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5. Ayo Kita Amati Pada Kegiatan 2.3.1 di atas, dapat diketahui banyak tutup botol yang digunakan untuk membuat susunan ke-1 adalah 1, susunan ke-2 adalah 3, dan seterusnya. Jumlah tutup botol yang digunakan untuk membuat tiap-tiap susunan pada setiap kegiatan EHUEHGD+DOLQLWHUMDGLNDUHQDDWXUDQXQWXNPHPEXDWVXVXQDQSDGDVHWLDSNHJLDWDQ MXJDEHUEHGD Dari kegiatan pengamatan yang telah dilakukan siswa dalam kelompok, hitunglah banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat tiap-tiap susunan pada setiap NHJLDWDQ7XOLVNDQKDVLOQ\DSDGDWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQSDGDNHJLDWDQPHQDWDWXWXSERWRO Pola ke1 2 3 4 5

68


Banyak Tutup Botol

3HUKDWLNDQKDVLO\DQJWHODKVLVZDGDSDWNDQSDGD7DEHOEHUGDVDUNDQNHJLDWDQ yang telah dilakukan pada Kegiatan 2.3.1 sampai dengan Kegiatan 2.3.5. Jawablah pertanyaan di bawah ini. a. Berapa banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-5 pada Kegiatan 2.3.2, susunan ke-4 pada Kegiatan 2.3.3, dan susunan ke-3 pada Kegiatan 2.3.4? E 3HUKDWLNDQ NHPEDOL ELODQJDQELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D WXWXS ERWRO SDGD NRORP VHEHODK NDQDQ7DEHO 7HQWXNDQ MXPODK WXWXS ERWRO \DQJ digunakan untuk membuat susunan ke-6, ke-7, dan ke-8 pada tiap-tiap kegiatan GDUL.HJLDWDQVDPSDLGHQJDQ.HJLDWDQ Ayo Kita Menalar 0HQXUXWVLVZDDSDNDKELODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DWXWXSERWRO SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ GL PDVLQJPDVLQJ NHJLDWDQ PHPLOLNL DWXUDQSROD WHUWHQWX" Bagaimanakah cara untuk mendapatkan susunan berikutnya? Diskusi dan Berbagi Setelah siswa melakukan Kegiatan 2.3, kini siswa telah mengetahui beberapa MHQLVSRODELODQJDQ6HNDUDQJPLQWDVLVZDPHQGLVNXVLNDQGHQJDQWHPDQNHORPSRN XQWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQEHULNXWLQL D 7XOLVNDQ ELODQJDQ SHUWDPD GDUL WLDSWLDS SROD ELODQJDQ \DQJ WHODK VLVZD SHODMDULSDGD.HJLDWDQ b. Bagaimana aturan untuk untuk menentukan bilangan berikutnya pada tiap-tiap pola bilangan tersebut? 7XOLVNDQKDVLOGLVNXVLWHUVHEXWVHFDUDUDSLPLQWDVLVZDXQWXNGLVNXVLGLGHSDQ NHODVGDQPHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQNHODV Ayo Kita Simpulkan x 7XOLVNDQ ELODQJDQ SHUWDPD GDUL WLDSWLDS SROD ELODQJDQ \DQJ WHODK VLVZD SHODMDULSDGD.HJLDWDQ

x 7XOLVNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D GDUL VHWLDS SROD bilangan tersebut.

MATEMATIKA

69

Kegiatan 2.4

Segitiga Pascal

3DGD NHJLDWDQ LQL JXUX PHQMHODVNDQ WHUOHELK GDKXOX NHSDGD VLVZD PHQJHQDL VHMDUDKVHJLWLJDSDVFDOGDQEHULNDQSHQMHODVDQVLQJNDWPHQJHQDLVHJLWLJDSDVFDO 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJDPDWLVHWLDSDQJND\DQJDGDSDGDVHJLWLJDSDVFDO 3DGDEDJLDQD\RNLWDDPDWLPLQWDVLVZDXQWXNPHMXPODKNDQELODQJDQELODQJDQ SDGDWLDSEDULVVHJLWLJDSDVFDOGDQPHQFDWDWNDQKDVLOQ\DSDGD7DEHO 3DGD EDJLDQ D\R NLWD PHQDODU PLQWD VLVZD GHQJDQ FDUD PHQJDPDWL MXPODK baris pada segitiga pascal dan minta mereka menentukan aturannya. 0LQWDSHUZDNLODQGDULVLVZDXQWXNPHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQNHODV 6. Berikan pendampingan untuk siswa yang masih kurang mampu. Kegiatan 2.4

Segitiga Pascal

6XVXQDQELODQJDQVHJLWLJDSDVFDOWHODKGLNHQDOGL7LRQJNRNVHMDNNLUDNLUDWDKXQ 1300. Kemudian susunan ini dinamakan dengan segitiga pascal, karena diperkenalkan oleh seorang ilmuwan Prancis bernama Blaise Pascal pada tahun 1653. Gambar berikut ini merupakan susunan bilangan segitiga pascal. Ayo Kita Amati


Gambar 2.8 Segitiga Pascal

70


0LQWD VLVZD XQWXN PHQJDPDWL VXVXQDQ ELODQJDQ \DQJ WHUGDSDW SDGD VHJLWLJD pascal tersebut. Susunan bilangan 1 merupakan baris ke-1, susunan bilangan-bilangan 1 1 merupakan baris ke-2, susunan bilangan-bilangan 1 2 1 merupakan baris ke-3, GDQVHWHUXVQ\D,VLODKWDEHOEHULNXWLQL\DQJPHQ\DWDNDQKDVLOSHQMXPODKDQELODQJDQ ELODQJDQSDGDWLDSEDULVVHJLWLJDSDVFDO+DVLOSHQMXPODKDQELODQJDQELODQJDQSDGD WLDSEDULVVHJLWLJDSDVFDOVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQMXPODKEDULV 7DEHO3HQMXPODKDQ%LODQJDQ3DGD6HWLDS%DULV6HJLWLJD3DVFDO Baris ke-

Bentuk Penjumlahan

Jumlah Baris

1

1

1

2

1+1

2

3

1+2+1

4

4

...

...

5

...

...

6

...

...

7

...

...

8

...

...

D %HUGDVDUNDQ7DEHOEHUDSDMXPODKEDULVNHGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJD Pascal? E 7HQWXNDQMXPODKEDULVNHNHNHGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJD3DVFDO WDQSDPHQXOLVNDQEHQWXNMXPODKDQVHSHUWL\DQJWHUGDSDWSDGDNRORPNH7DEHO 2.2 di atas. Ayo Kita Menanya Berdasarkan kegiatan yang telah siswa lakukan di atas, coba buatlah pertanyaan \DQJPHPXDWNDWDNDWDEHULNXW³MXPODKEDULVVHJLWLJD3DVFDO´GDQ³SRODELODQJDQ´" 7XOLVODKSHUWDQ\DDQGLEXNXWXOLV

MATEMATIKA

71

Ayo Kita Menalar 0LQWDVLVZDPHQJDPDWLMXPODKEDULVGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJDSDVFDO\DQJ WHUGDSDWSDGDNRORP7DEHO.HPXGLDQMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXWLQL D $SDNDKELODQJDQELODQJDQ\DQJPHQ\DWDNDQMXPODKEDULVWHUVHEXWPHPEHQWXN suatu pola tertentu? E %DJDLPDQDNDKDWXUDQXQWXNPHQGDSDWNDQMXPODKEDULVEHULNXWQ\D"

Materi Esensi

Pola Bilangan

0DWHUL HVHQVL PHQJHQDL SROD ELODQJDQ PHPEDKDV WHQWDQJ EHEHUDSD MHQLV pola bilangan berdasarkan hasil kegiatan yang telah dilakukan sebelumnya. Pola bilangan yang dibahas di dalam bab ini antara lain adalah pola bilangan JDQMLOSRODELODQJDQJHQDSSRODELODQJDQVHJLWLJDSRODELODQJDQSHUVHJLSROD ELODQJDQSHUVHJLSDQMDQJGDQSRODELODQJDQVHJLWLJDSDVFDO

-

Berikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya pada materi yang belum dipahami dan berikan bantuan pada siswa yang masih mengalami kesulitan dalam memahami materi pola bilangan. Materi Esensi

Pola Bilangan

3DGDEHEHUDSDNHJLDWDQ\DQJWHODKVLVZDODNXNDQGLDWDVVLVZDWHODKPHPSHODMDUL EHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ%HULNXWLQLDGDODKEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQWHUVHEXW A. Pola Bilangan Ganjil Bilangan 1, 3, 5, 7, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan ganjil. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua adalah 3, urutan ketiga adalah 5, dan seterusnya. Bilangan berikutnya diperoleh GHQJDQPHQDPEDKNDQSDGDELODQJDQVHEHOXPQ\D&RQWRKGDULSRODELODQJDQJDQMLO bisa dilihat pada Kegiatan 3.1. B. Pola Bilangan Genap Bilangan 2, 4, 6, 8, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan genap. Urutan pertama adalah 2, urutan kedua adalah 4, urutan ketiga adalah 6, dan seterusnya. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya. Contoh dari pola bilangan genap bisa dilihat pada Kegiatan 3.2.

72


C. Pola Bilangan Segitiga Bilangan 1, 3, 6, 10, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan segitiga. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua adalah 3, urutan ketiga adalah 6, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut berasal GDULSHQMXPODKDQELODQJDQFDFDK\DLWX GDQ seterusnya. Contoh dari pola bilangan segitiga bisa dilihat pada Kegiatan 3.3. D. Pola Bilangan Persegi Bilangan 1, 4, 9, 16, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan persegi. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua adalah 4, urutan ketiga adalah 9, dan seterusnya. Pola bilangan tersebut dinamakan SROD ELODQJDQ SHUVHJL DWDX GLVHEXW MXJD SROD ELODQJDQ NXDGUDW NDUHQD XQWXN mendapatkannya berasal dari kuadrat bilangan asli, yaitu 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, dan seterusnya. Contoh dari pola bilangan persegi bisa dilihat pada Kegiatan 3.4. E. Pola Bilangan Persegi Panjang Bilangan 2, 6, 12, 20, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan persegi panjang. Urutan pertama adalah 2, urutan kedua adalah 6, urutan ketiga adalah 12, dan seterusnya. Bilangan-bilangan WHUVHEXWGLSHUROHKGHQJDQFDUDPHQJDOLNDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDULVGHQJDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQNRORPVHEDJDLEHULNXW baris 1 2 3 4

kolom u

hasil

u

2

=

2

3

=

6

u

4

=

12

4

=

20

u

$WXUDQQ\DDGDODKELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQNRORPQLODLQ\DVHODOXVDWXOHELK EDQ\DNGDULELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDULV&RQWRKGDULSRODELODQJDQSHUVHJL SDQMDQJELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ F. Pola Bilangan Segitiga Pascal Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal memiliki suatu pola tertentu, yaitu DSDELODGXDELODQJDQ\DQJVDOLQJEHUGHNDWDQGLMXPODKNDQPDNDDNDQPHQJKDVLONDQ ELODQJDQELODQJDQ SDGD EDULV VHODQMXWQ\D NHFXDOL 6HGDQJNDQ KDVLO SHQMXPODKDQ ELODQJDQSDGDWLDSWLDSEDULVVHJLWLJD3DVFDOMXJDPHPLOLNLVXDWXSRODGHQJDQUXPXV 2n – 1, dengan nPHQXQMXNNDQSRVLVLEDULVSDGDVHJLWLJDSDVFDO

MATEMATIKA

73

Tahukah Kamu? Salah satu kegunaan dari susunan bilangan pada segitiga pascal adalah untuk PHQHQWXNDQNRH¿VLHQNRH¿VLHQVXNXVXNXKDVLOSHUSDQJNDWDQa + b n, dengan n adalah bilangan asli. a + b 0 = 1

1

a + b 1 = a + b

1

a + b = a + 2ab + b 2

2

2

1

a + b = a3 + 3a b + 3ab + b 3

2

2

3

1

1 2

3

1 3

1

# 3HUKDWLNDQKDVLOSHQMDEDUDQGDULa + b 3GLDWDV.RH¿VLHQa3DGDODKNRH¿VLHQa2 b DGDODKNRH¿VLHQab2DGDODKGDQNRH¿VLHQb3 adalah 1.

Contoh 2.1

Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan

x 3DGD&RQWRKGLEHULNDQVDODKMHQLVVRDOPHQJHQDLVXVXQDQELODQJDQ6LVZD diminta untuk menentukan empat bilangan berikutnya setelah mengamati susunan bilangan yang diberikan sebelumnya. x

Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan menentukan aturan pada suatu susunan bilangan. Contoh 2.1

Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan

7HQWXNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ ELODQJDQEHULNXWLQLGDQWHQWXNDQHPSDWELODQJDQEHULNXWQ\D a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Alternatif Penyelesaian: a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 3 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 13, 16, 19, dan 22.

74


b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengalikan 4 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 256, 1.024, 4.096, dan 16.384. c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1 = 13, bilangan kedua adalah 1 = 23, bilangan ketiga adalah 27 = 33, bilangan keempat adalah 64 = 43. Bilangan berikutnya diperoleh dengan melakukan pemangkatan tiga terhadap urutan bilangan tersebut. Empat bilangan berikutnya adalah 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, dan 83 = 512. d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 2000. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengurangkan 200 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 1.200, 1.000, 800, 600.

Contoh 2.2 x x

Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus

Pada Contoh 2.2, siswa diminta untuk mengamati susunan kardus yang ada pada gambar. Kemudian siswa diminta untuk menentukan pola bilangan yang terbentuk dari susunan kardus tersebut. Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan aplikasi dari pola bilangan dalam kehidupan sehari-hari. Contoh 2.2

Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus

Perhatikan susunan kardus yang dibentuk menurut aturan seperti pada gambar di bawah ini:

Gambar 2.9 Susunan Kardus

D %XDWODK WDEHO \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDWVXVXQDQNHNHNHGDQNH b. Pola bilangan apa yang didapatkan? F %HUDSDNDKMXPODKNDUGXV\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHPEXDWVXVXQDQNH"

MATEMATIKA

75

Alternatif Penyelesaian: D 7DEHO EHULNXW PHQXQMXNNDQ EDQ\DN NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW susunan ke-1 sampai pola ke-4. Susunan ke-

1

2

3

4

Jumlah Kardus

2

4

6

8

b. Susunan berikutnya diperoleh dengan menambahkan satu buah kardus pada bagian atas, serta satu buah kardus pada bagian kanan. Sehingga untuk mendapatkan MXPODKNDUGXV\DQJGLEXWXKNDQDJDUGDSDWPHPEXDWVXVXQDQEHULNXWQ\DDGDODK dengan menambahkan dua buah kardus pada susunan sebelumnya. Jika siswa perhatikan, pola bilangan yang terbentuk merupakan pola bilangan genap. Bilangan pertama adalah dua, dan untuk mendapatkan bilangan berikutnya dapat diperoleh dengan menambahkan dua pada bilangan sebelumnya. c. Jumlah kardus yang diperlukan untuk membuat susunan ke-100 sama dengan ELODQJDQ JHQDS \DQJ NH 6HKLQJJD MXPODK NDUGXV \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN membuat susunan ke-100 adalah 200 buah kardus.

Ayo Kita Tinjau Ulang x 3DGD EDJLDQ WLQMDX XODQJ VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQJLQJDW GDQ PHQJXODQJ NHPEDOLPDWHUL\DQJWHODKGLSHODMDULSDGDEDESRODELODQJDQ x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDOVHFDUDPDQGLULGHQJDQPHQJDPDWLSROD bilangan yang ada pada tiap soal serta melengkapi bagian yang kosong. Setelah LWX VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQMHODVNDQ VHFDUD VLQJNDW PHQJHQDL DWXUDQ XQWXN mendapatkan pola berikutnya pada masing-masing susunan bilangan.

x 0LQWD VLVZD XQWXN PHQXNDUNDQ MDZDEDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNX GDQ PHQFRFRNNDQVHPXDMDZDEDQ x %HULNDQSHQLODLDQSDGDWLDSVLVZDEHUGDVDUNDQMDZDEDQPHUHNDPDVLQJPDVLQJ Ayo Kita Tinjau Ulang

6HEXWNDQEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ\DQJWHODKVLVZDSHODMDULSDGDEDELQLGDQ sebutkan aturan untuk tiap-tiap pola bilangan tersebut. 2. Salinlah urutan bilangan berikut ini, kemudian isilah bagian yang kosong VHKLQJJD PHPEHQWXN VXVXQDQ ELODQJDQ GHQJDQ SROD WHUWHQWX 7HQWXNDQ DWXUDQ untuk mendapatkan pola berikutnya.

76


a. 3, … , 11, 15, …, 23, …, 31 b. 85, 78, … , 64, 57, …, 43, … c. 32, -16, 8, …, 2, …, 1 , …, … 2 d. …, 1 , 1, …, 9, 27, …, 243, … 3 Latihan 2.1

Pola Bilangan

1. Lakukan penilaian sikap saat siswa melakukan kegiatan Diskusi dan Berbagi. /DNXNDQ SHQLODLDQ SHQJHWDKXDQ VDDW VLVZD PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQ $\R .LWD 0HQDODU 3. Indikator semua siswa sudah menguasai konsep adalah ketika siswa kelompok rendah sudah mampu menguasai konsep. 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDO/DWLKDQGHQJDQPDQGLUL /DNXNDQNHJLDWDQSHPEHODMDUDQSHQJD\DDQGDQUHPHGLDO Latihan 2.1

Pola Bilangan

7HQWXNDQELODQJDQEHULNXWQ\DGDULVXVXQDQELODQJDQ\DQJDGDGLEDZDKLQL a. 2, 10, 50, 250, …, …, … b. 192, 96, 48, 24, …, …, …

3 , 1, 4 , 16 , …, …, … 4 3 9 e. 243, 81, 27, 9, …, …, …

d.

c. 164, 172, 180, 188, …, …, … Penyelesaian: a. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK b. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya GHQJDQò7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK c. Bilangan berikutnya didapatkan dengan menambahkan bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK d. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya 4 64 256 1.024 dengan 7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK , . , 3 27 81 243

MATEMATIKA

77

e. Bilangan berikutnya didapatkan dengan membagi bilangan sebelumnya 1 GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK . 3 2. Lengkapilah susunan gambar yang ada di bawah ini pada bagian yang kosong. +

+ +

+

+ +


Gambar 2.100HOHQJNDSLVXVXQDQJDPEDU

Penyelesaian: Guru bisa melihat contoh soal pada Kegiatan 2.1 bab A. Guru dapat memberikan variasi soal lainnya yang berkaitan dengan pola pada suatu susunan gambar. 3. Lengkapilah susunan bilangan di bawah ini berdasarkan pola yang ada pada tiapWLDSVXVXQDQELODQJDQ a. 3, 5, 9, 15, 23, ..., 45, ..., ...

d. 1, 4, 20, 80, ..., 1.600, 8.000, ..., ...

b. 5, 10, 8, 14, 11, 18, ..., ..., ...

e. 5, 6, 9, 14, 21, ..., ..., 54, ...

c. 99, 94, 97, 92, 95, ..., ..., 88, ... Penyelesaian: a. 33; 59; 75

d. 400; 32.000; 160.000

b. 14; 22; 17

e. 30; 41; 69

c. 90; 93; 91 4. Susunan Lantai. Perhatikan susunan lantai dari beberapa buah persegi yang diarsir seperti pada gambar di samping ini. Susunan persegi tersebut membentuk suatu pola tertentu. Berapakah banyak persegi yang diarsir pada pola ke-7? Gambar 2.11 Susunan lantai

78


Penyelesaian: Banyaknya persegi yang diarsir pada susunan pertama adalah 1. Banyaknya persegi yang diarsir pada susunan berikutnya didapatkan dengan menambahkan 4 buah persegi pada susunan sebelumnya. Jadi banyaknya persegi yang diarsir pada susunan ke-7 adalah 25. 5. Perhatikan susunan segitiga pada gambar di bawah ini:

Gambar 2.12 Susunan segitiga

D 7XOLVNDQODKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHVDPSDLVXVXQDQNH

E %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNH"

F %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHn? Penyelesaian: a. Susunan ke-1 sampai ke-6 berturut-turut adalah 1, 3, 5, 7, 9, dan 11. Susunan berikutnya didapatkan dengan menambahkan dua segitiga pada susunan sebelumnya. b. Jumlah segitiga pada susunan ke-10 adalah 19. F 6XVXQDQELODQJDQ\DQJPHQ\DWDNDQMXPODKVHJLWLJDSDGDWLDSWLDSVXVXQDQ PHQJLNXWL DWXUDQ SDGD ELODQJDQ JDQMLO -XPODK VHJLWLJD SDGD VXVXQDQ NHQ DGDODKELODQJDQJDQMLONHn yaitu 2n – 1.

6. Amir mencoba membuat sebuah menara yang disusun dari batang korek api. Berikut adalah susunan menara korek api yang dibuat oleh Amir. 3 tingkat 2 tingkat 1 tingkat


Gambar 2.13 Susunan Batang Korek Api

D %XDWODKWDEHO\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNRUHNDSL\DQJGLJXQDNDQXQWXN PHPEXDWPHQDUDWLQJNDWWLQJNDWVDPSDLGHQJDQWLQJNDW

MATEMATIKA

79

E %HUDSDNDK EDQ\DN NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ MLND $PLU LQJLQ PHPEXDW susunan 10 tingkat? c. Berapa banyak batang korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat? -HODVNDQMDZDEDQ Penyelesaian: a. Jumlah batang korek api yang dibutuhkan untuk membuat menara tingkat 1 sampai tingkat 8 berturut-turut adalah 3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, dan 108. b. Banyaknya korek api yang digunakan untuk membuat susunan 10 tingkat adalah 165. c. Bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api yang digunakan untuk membuat tiap-tiap susunan merupakan pola bilangan bertingkat. Susunan bilangan tersebut memiliki selisih tetap sebesar 3 pada tingkat 2. Dengan menggunakan aturan ini, maka akan diperoleh banyaknya batang 3 korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat yaitu nn 2 :DZDQ PHPLOLNL EXDK NRWDN GHQJDQ XNXUDQ \DQJ EHUEHGDEHGD 0DVLQJ masing kotak berbentuk kubus. Wawan harus mengisi tiap kotak tersebut dengan NXEXVNXEXV NHFLO \DQJ PHPLOLNL SDQMDQJ VLVL FP :DZDQ WHODK PHQJLVL kotak. Jumlah kubus kecil yang tepat masuk ke dalam tiap-tiap kotak adalah sebagai berikut: 343, 216, 125, ..., ..., ..., ...

/HQJNDSLODK MXPODK NXEXV NHFLO \DQJ GLEXWXKNDQ XQWXN NHHPSDW NRWDN VHODQMXWQ\D Penyelesaian:

3DGDNRWDNSHUWDPDMXPODKNXEXVNHFLO\DQJWHSDWPDVXNNHGDODPQ\DDGDODK .RWDNLQLEHUEHQWXNNXEXVGHQJDQSDQMDQJVLVLDGDODKVDWXDQNXEXVNHFLO .RWDNNHGXDPHPLOLNLSDQMDQJVLVLVDWXDQNXEXVNHFLO.RWDNNHWLJDVDPSDL NRWDNNHWXMXKEHUWXUXWWXUXWPHPLOLNLSDQMDQJVLVLGDQVDWXDQNXEXV NHFLO 'HQJDQ GHPLNLDQ MXPODK NXEXV NHFLO \DQJ WHSDW PDVXN NH GDODP NRWDN NHHPSDWVDPSDLNHWXMXKEHUWXUXWWXUXWDGDODKGDQ

8. Lengkapilah bagian-bagian yang kosong dalam pola bilangan di bawah ini:

u

u

u

u

u

u

80


Penyelesaian: u u u u u u 9. Perhatikan pola bilangan di bawah ini: a. 1

b. 1

2 3

2 3 4

4 5 6

5 6 7 8 9

7 8 9 10

10 11 12 13 14 15 16

11 12 13 14 15

17 18 19 20 21 22 23 24 25

#

#

7HQWXNDQ ELODQJDQ SHUWDPD SDGD EDULV NH GDQ GDUL PDVLQJPDVLQJ VXVXQDQELODQJDQGLDWDV%DJDLPDQDFDUDPHQGDSDWNDQQ\D"$SDNDKVLVZDGDSDW menentukan bilangan pertama pada baris ke-n untuk masing-masing susunan ELODQJDQGLDWDV"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW Penyelesaian: a. Perhatikan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Bilangan-bilangan tersebut membentuk pola bilangan bertingkat dengan selisih tetap sebesar 1 pada tingkat kedua. 1

2

+1

4

+2 +1

7

+3 +1

+4 +1

...

11

Dengan menggunakan aturan ini, dapatkan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Dengan demikian diperoleh bilangan pertama pada baris ke-40, ke-60, dan ke-100 berturut-turut adalah 781, 1.771, GDQ%LODQJDQSHUWDPDSDGDEDULVNHQDGDODKnn± GHQJDQ n adalah bilangan asli.

MATEMATIKA

81

b. Perhatikan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Bilangan-bilangan tersebut membentuk pola bilangan bertingkat dengan selisih tetap sebesar 2 pada tingkat kedua. 1

2

+1

5

+3 +2

10

+5 +2

+7 +2

...

17

Dengan menggunakan aturan ini, dapatkan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Dengan demikian diperoleh bilangan pertama pada baris ke-40, ke-60, dan ke-100 berturut-turut adalah 1.522, 3.482, dan 9.802. Bilangan pertama pada baris ke-n adalah nn ± dengan n adalah bilangan asli.

B. Barisan Bilangan Pertanyaan Penting x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJDPDWLNHPEDOLFRQWRKFRQWRKVXVXQDQELODQJDQ\DQJ WHODKGLSHODMDULSDGD%DE$

x %HULNDQVHGLNLWSHQMHODVDQEDKZDELODQJDQ\DQJPHPLOLNLVXDWXSRODWHUWHQWX akan membentuk barisan bilangan.

Pertanyaan Penting 3HUKDWLNDQNHPEDOLFRQWRKFRQWRKVXVXQDQELODQJDQ\DQJWHODKVLVZDSHODMDULSDGD Bab A. Susunan bilangan tersebut memiliki suatu pola atau aturan tertentu. Apa yang GLPDNVXGEDULVDQELODQJDQ"8QWXNPHQJHWDKXLMDZDEDQQ\DFREDODNXNDQNHJLDWDQ kegiatan berikut ini. Kegiatan 2.5

Menentukan Urutan dalam Barisan Berdasarkan Tinggi Badan

.HJLDWDQ LQL EHUWXMXDQ XQWXN PHQJDUDKNDQ VLVZD DJDU OHELK PHPDKDPL GH¿QLVLGDULEDULVDQELODQJDQ

82


0LQWDVLVZDXQWXNPHQJDPDWLGDWDWLQJJLEDGDQVLVZDSDGD7DEHO 3. Pada bagian ayo kita amati, minta siswa untuk mengamati data tinggi badan VLVZDNHODV,;$603&HULDEHUGDVDUNDQ7DEHO 4. Pada bagian ayo kita menalar minta siswa untuk mengurutkan tinggi badan dari yang terpendek hingga yang tertinggi, serta menuliskan hasil pengurutannya ke GDODP7DEHO 5. Pada bagian ayo kita menalar, minta siswa untuk mendiskusikan soal yang DGD GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNXQ\D 0LQWD VDODK VDWX SHUZDNLODQ VLVZD XQWXN PHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQNHODV 3DGD EDJLDQ D\R NLWD VLPSXONDQ PLQWD VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ GH¿QLVL dari barisan bilangan dan suku dari keterangan yang mereka dapat pada .HJLDWDQ%HULNDQSHQMHODVDQVHFXNXSQ\DMLNDPDVLKDGDVLVZD\DQJEHOXP PHPDKDPLGH¿QLVLGDULEDULVDQELODQJDQGDQVXNX Kegiatan 2.5

Menentukan Urutan dalam Barisan Berdasarkan Tinggi Badan

Ayo Kita Amati 3DGD VHWLDS KDUL 6HQLQ SDJL VHOXUXK VLVZD 603 &HULD VHODOX PHODNVDQDNDQ XSDFDUDEHQGHUD0HUHNDVHPXDEHUEDULVVHFDUDUDSLDJDUGDSDWPHQJLNXWLXSDFDUD EHQGHUDVHFDUDNKLGPDW6HWLDSNHODVGL603&HULDWHUGLULGDULRUDQJVLVZD3DGD NHODV ,;$ MXPODK VLVZD ODNLODNL DGDODK RUDQJ GDQ MXPODK VLVZD SHUHPSXDQ MXJD RUDQJ )RUPDVL EDULVDQ \DQJ GLEHQWXN ROHK WLDSWLDS NHODV DGDODK WHUGLUL GDULEDULV\DQJVHMDMDUGLPDQDEDULVSHUWDPDGLLVLROHKVLVZDODNLODNLGDQEDULV kedua diisi oleh siswa perempuan. Berikut adalah data siswa laki-laki beserta tinggi EDGDQQ\DGLNHODV,;$ 7DEHO'DWD7LQJJL%DGDQ6LVZD.HODV,;$603&HULDGDODPFP Nama Siswa

Tinggi Badan

Fahim

157

0X¿G

154

Wawan

163

+D¿G

169

MATEMATIKA

83

Nama Siswa

Tinggi Badan

Budi

173

Aldo

176

Stevan

151

Andika

165

Andre

160

5XGL

179

Ayo Kita Mencoba 0LQWD VLVZD PHPSHUKDWLNDQ GDWD WLQJJL EDGDQ GDUL VLVZD NHODV ,;$ 603 &HULDVHSHUWL\DQJWHUOLKDWSDGD7DEHO a. Siapakah siswa tertinggi dan siswa terpendek dalam kelas tersebut? E 0LQWD VLVZD PHQFRED PHQJXUXWNDQ VLVZDVLVZD WHUVHEXW GDODP VXDWX EDULVDQ sesuai dengan tinggi badan tiap-tiap siswa dari yang terpendek sampai yang WHUWLQJJL7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODPWDEHOEHULNXWLQL 7DEHO+DVLO3HQJXUXWDQ6LVZD%HUGDVDUNDQ7LQJJL%DGDQGDODPFP Urutan ke-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nama Siswa Tinggi Badan c. Siapakah siswa yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-8, dan berapa tinggi siswa tersebut? Ayo Kita Menalar 0HQXUXWVLVZDEDJDLPDQDDWXUDQXQWXNPHQJXUXWNDQNHVHSXOXKVLVZDWHUVHEXW dalam satu barisan berdasarkan tinggi badannya?

84


Informasi Utama Susunan bilangan yang menyatakan tinggi badan kesepuluh siswa tersebut membentuk suatu barisan bilanganGHQJDQDWXUDQSRODWHUWHQWX%LODQJDQELODQJDQ yang terdapat dalam barisan bilangan tersebut dikenal dengan nama suku. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U1, U2, U3, …, Un . Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.5 di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Apa yang dimaksud dengan barisan bilangan? Apa yang dimaksud suku dari barisan bilangan?

Kegiatan 2.6

Menyusun Batang Korek Api

1. Pada kegiatan ini, guru membagi siswa ke dalam beberapa kelompok. Satu kelompok terdiri atas 3 sampai 4 siswa. 7LDS NHORPSRN GLZDMLENDQ PHPEDZD SHUDODWDQ EHULNXW NRWDN NRUHN DSL kertas karton, lem, kertas untuk mencatat hasil pengamatan. 7LDSNHORPSRNVLVZDGLPLQWDXQWXNPHODNXNDQNHJLDWDQGDQPHQFDWDWKDVLO SHQJDPDWDQSDGD7DEHO 4. Pada bagian ayo kita menalar, minta siswa untuk mendiskusikan soal di yang DGDGHQJDQWHPDQVHNHORPSRNQ\D0LQWDVDODKVDWXSHUZDNLODQVLVZDXQWXN PHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQNHODV %HULNDQSHQMHODVDQVHFXNXSQ\DNHSDGDVLVZD\DQJEHOXPPHPDKDPLPDWHUL dengan baik. Kegiatan 2.6

Menyusun Batang Korek Api

Ayo Kita Mencoba Buatlah kelompok yang terdiri dari 3 atau 4 anak. Sediakan 2 kotak korek api dan kertas karton. Pada tiap-tiap batang korek api oleskan lem sehingga batang korek api

MATEMATIKA

85

WHUVHEXWGDSDWGLWHPSHONDQSDGDNHUWDVNDUWRQ7HPSHONDQEDWDQJNRUHNDSLWHUVHEXW pada kertas karton dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini:


Gambar 2.14 Susunan batang korek api

Ayo Kita Amati 0LQWD VLVZD PHQJDPDWL VXVXQDQ \DQJ GLEHQWXN GDUL EDWDQJ NRUHN DSL VHSHUWL pada gambar di atas. Pada kegiatan tersebut, dapat dilihat bahwa untuk membuat susunan ke-1 dan ke-2 masing-masing diperlukan 4 dan 7 batang korek api. Berapa banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan ke-3, ke-4, dan NH"7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQSDGDWDEHOEHULNXW 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQEDQ\DNEDWDQJNRUHNDSLSDGDWLDSVXVXQDQ

86

Susunan ke-

Banyak batang korek api

1

4

2

7

3

…

4

…

5

…


0HQXUXWVLVZDEHUDSDNDKMXPODKWXWXSEDWDQJNRUHNDSL\DQJGLSHUOXNDQXQWXN membuat pola ke-6 dan ke-7? Ayo Kita Menalar 3HUKDWLNDQNHPEDOLELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DEDWDQJNRUHNDSLGDUL KDVLOSHQJDPDWDQVLVZDSDGDNRORPNHGXD7DEHOVHWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQ di bawah ini. D $SDNDKELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DEDWDQJNRUHNDSL\DQJGLEXWXKNDQ untuk membuat setiap susunan membentuk suatu barisan bilangan? E %HUGDVDUNDQ7DEHOEDJLDQPDQD\DQJPHQXQMXNNDQVXNXVXNXGDULEDULVDQ bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G $SDNDKVHOLVLKDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS" Informasi Utama Dari Kegiatan 2.6 yang telah siswa lakukan, dapat siswa lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api untuk membuat tiaptiap susunan membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan aritmetika. Selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap dan disebut beda. Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.6 di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan aritmetika? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Ayo Kita Mencoba 3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHO%LODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan pertama sampai kelima dapat dituliskan dalam bentuk 4, 7, 10, 13, 16. Apakah siswa dapat menentukan banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan NHGDQNH"'DSDWNDKVLVZDPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D"

MATEMATIKA

87

8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQL%DQ\DNQ\D EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW WLDSWLDS VXVXQDQ VHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan aritmetika yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini: Susunan ke-

Suku

Pola Bilangan dengan Beda 3

1

4

± u 3

2

7

± u 3

3

10

± u 3

4

13

± u 3

5

…

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 4 menyatakan suku ke-1 dari barisan aritmetika tersebut. Bilangan 7 menyatakan suku ke-2 dari barisan aritmetika tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku kedua adalah 7, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan GHQJDQ EHGD DGDODK ± u 3. Angka 4 pada bagian pertama ruas NDQDQ SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ suku pertama dari barisan aritmetika \DQJWHUEHQWXN$QJNDPHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQsuku ke-2. Sedangkan DQJNDPHQXQMXNNDQbeda dari barisan aritmetika tersebut. Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatan di atas, minta siswa membuat pertanyaan yang berkaitan dengan kegiatan tersebut. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Apakah hubungan antara suku pertama dengan suku-suku berikutya pada barisan DULWPHWLND"7XOLVNDQSHUWDQ\DDQGDODPEXNXWXOLV 88


Ayo Kita Menalar a. Bagaimana cara siswa menentukan suku ke-9, 10, dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? E 0HQXUXWVLVZDDSDKXEXQJDQDQWDUDVXNXSHUWDPDEHGDGHQJDQQLODLWLDSWLDS suku dari barisan aritmetika tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan aritmetika tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas. b. Jika suku pertama dari suatu barisan aritmetika disimbolkan dengan a¸ beda dari barisan aritmetika disimbolkan dengan b, dan suku ke-n dari barisan aritmetika disimbolkan dengan Un, tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan b. 7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQGLGHSDQWHPDQPX Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Bagaimana rumus suku ke-nGLVRPERONDQGHQJDQUn GDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan beda dalam barisan aritmetika adalah b?

Kegiatan 2.7

Melipat dan Menghitung Potongan Kertas

.HJLDWDQLQLGLODNXNDQVHFDUDLQGLYLGX7LDSVLVZDGLPLQWDXQWXNPHPEDZD satu lembar kertas hvs. 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJLNXWLWLDSODQJNDKSDGD.HJLDWDQGDQPHQMDZDE pertanyaan yang ada berdasarkan hasil pengamatan. 3DGD EDJLDQ D\R NLWD DPDWL PLQWD VLVZD XQWXN PHQJDPDWL MXPODK SRWRQJDQ kertas yang ada pada setiap lipatan dan menuliskan hasil pengamatan pada 7DEHO

MATEMATIKA

89

3DGDEDJLDQD\RNLWDPHQDODUPLQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVHFDUDPDQGLUL GDQPLQWDVDODKVDWXSHUZDNLODQVLVZDXQWXNPHPDSDUNDQMDZDEDQQ\DGLGHSDQ kelas. %HULNDQ NHVHPSDWDQ NHSDGD VLVZD XQWXN EHUWDQ\D GDQ EHULNDQ SHQMHODVDQ secukupnya bagi siswa yang belum memahami materi dengan baik.

Melipat dan Menghitung Potongan Kertas

Kegiatan 2.7

Ayo Kita Mencoba 3DGDNHJLDWDQLQLVLVZDGLZDMLENDQXQWXNPHPEDZDVDWXOHPEDUNHUWDVKYV,NXWL langkah-langkah kegiatan di bawah ini: /LSDWODKVDWXOHPEDUNHUWDV\DQJGLEDZDVHKLQJJDPHQMDGLEDJLDQ\DQJVDPD Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah VXVXQDQ NHUWDV WHUVHEXW PHQMDGL EDJLDQ \DQJ VDPD NHPXGLDQ JXQWLQJODK menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? /DNXNDQNHJLDWDQWHUVHEXWVDPSDLNDOL Ayo Kita Amati 0LQWD VLVZD PHQJDPDWL MXPODK SRWRQJDQ NHUWDV \DQJ DGD VHWLDS NDOL VLVZD melakukan kegiatan melipat dan menggunting kertas. Setelah melakukan kegiatan ini sebanyak 1 dan 2 kali, diperoleh banyak potongan kertas yang ada masing-masing VHEDQ\DNGDQ7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQSDGDWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQMXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXN

90

Kegiatan Melipat dan Menggunting Kertas ke-

Banyak Potongan Kertas

1

2

2

4

3

…


Kegiatan Melipat dan Menggunting Kertas ke-

Banyak Potongan Kertas

4

…

5

…

6

…

7

…

a. Berapakah banyak potongan kertas setelah siswa melakukan kegiatan tersebut sampai 8 kali? E 7HQWXNDQ EDQ\DN SRWRQJDQ NHUWDV MLND VLVZD PHODNXNDQ NHJLDWDQ PHOLSDW GDQ menggunting kertas tersebut sampai 10 kali? Ayo Kita Menalar Perhatikan kembali bilangan-bilangan pada pengamatan terhadap banyak SRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXNVHVXDL7DEHO6HWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQGL bawah ini: a. Apakah bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas membentuk suatu barisan bilangan? E %HUGDVDUNDQ 7DEHO EDJLDQ PDQDNDK \DQJ PHQXQMXNNDQ VXNXVXNX GDUL barisan bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G $SDNDKSHUEDQGLQJDQDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS" Informasi Utama Dari Kegiatan 2.7 yang telah dilakukan siswa, siswa dapat melihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya potongan kertas pada tiap-tiap kegiatan melipat dan menggunting kertas membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan geometri. Perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu bernilai tetap dan disebut rasio.

MATEMATIKA

91

Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.7 di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan geometri? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri.

Ayo Kita Amati 3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHO%LODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ MXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJDGDSDGDNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHPRWRQJNHUWDVNH sampai ke-7 dapat dituliskan dalam bentuk 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Apakah siswa dapat menentukan banyak potongan kertas yang terbentuk pada kegiatan ke-8 dan NHJLDWDQNH"'DSDWNDKVLVZDPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D" 8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQL%DQ\DNQ\D SRWRQJDQNHUWDVSDGDWLDSWLDSNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHQJJXQWLQJNHUWDVVHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan geometri yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini.

92

Susunan ke-

Suku

Pola Bilangan dengan Rasio 2

1

2

2 = 2 u 21 – 1

2

4

4 = 2 u 22 – 1

3

8

8 = 2 u 23 – 1

4

16

16 = 2 u 24 – 1

5

…

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…


Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 2 menyatakan suku ke-1 dari barisan geometri tersebut. Bilangan 4 menyatakan suku ke-2 dari barisan geometri tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku ketiga adalah 8, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan dengan rasio 2 adalah 8 = 2 u 23 – 1. Angka 2 pada bagian pertama ruas kanan SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL \DQJ terbentuk. Pada bagian perpangkatan, angka 2 yang merupakan basis dari SHUSDQJNDWDQWHUVHEXWPHQXQMXNNDQUDVLRGDULEDULVDQJHRPHWUL6HGDQJNDQDQJND PHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQVXNXNHGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW

Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatan siswa di atas, coba buatlah pertanyaan yang EHUNDLWDQGHQJDQEDULVDQJHRPHWUL7XOLVNDQSHUWDQ\DDQNDOLDQGLEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar a. Bagaimana cara siswa menentukan suku ke-9, 10, dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? E 0HQXUXWVLVZDDSDKXEXQJDQDQWDUDVXNXSHUWDPDUDVLRGHQJDQQLODLWLDSWLDS suku dari barisan geometri tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan geometri tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas? b. Jika suku pertama dari barisan geometri tersebut disimbolkan dengan a¸ rasio dari barisan geometri disimbolkan dengan r, dan suku ke-n dari barisan geometri disimbolkan dengan Un, tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan r. 7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQGLGHSDQWHPDQPX

MATEMATIKA

93

Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang siswa peroleh? Bagaimana rumus suku ke-n GLVRPERONDQGHQJDQUn GDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan rasio dalam barisan geometri adalah r?

Materi Esensi

Barisan Bilangan

x 0DWHUL HVHQVL PHQJHQDL EDULVDQ ELODQJDQ PHPEDKDV EDULVDQ DULWPDWLND GDQ barisan geometri beserta rumusnya.

x

x

Berikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya pada materi yang belum dipahami. Berikan bantuan pada siswa yang masih mengalami kesulitan dalam memahami materi barisan bilangan. Materi Esensi

Barisan Bilangan

Susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu disebut barisan bilangan. Kedudukan tiap-tiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku-suku dari barisan bilangan tersebut. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U1, U2, U3, …, Un . A. Barisan Aritmetika &REDVLVZDSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKVLVZDGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini. 4

7

+3

10

+3

13

+3

...

16

+3

+3

7HUOLKDW EDKZD VHOLVLK DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK DWDX ELVD GLWXOLVNDQ sebagai berikut U2 – U 1 = 3 U3 – U 2 = 3

94


U4 – U 3 = 3 # Un – U n – 1 = 3 Suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan 3 pada suku sebelumnya. $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQbeda. Pada barisan aritmetika tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 4, dan beda barisan aritmetika tersebut adalah 3, sehingga rumus suku ke-n adalah Un = 4 + n± u 3. Barisan bilangan U1, U2, U3, …, Un disebut barisan aritmetikaMLNDVHOLVLKDQWDUD dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih antara dua suku yang berurutan disebut dengan beda. Secara umum, suatu barisan aritmetika dengan suku pertama U1 = a , dan beda antara dua suku yang berurutan adalah b, maka suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah Un = a + (n – 1) u b. Tahukah Kamu? %DULVDQ DULWPHWLND GLVHEXW EDULVDQ DULWPHWLND QDLN MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ EHVDUGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKSRVLWLI %DULVDQDULWPHWLNDGLVHEXWEDULVDQDULWPHWLNDWXUXQMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQ NHFLOGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKQHJDWLI B. Barisan Geometri &REDVLVZDSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKVLVZDGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini 2

4 u2

8 u2

16 u2

...

32 u2

u2

7HUOLKDW EDKZD SHUEDQGLQJDQ DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK DWDX ELVD dituliskan: U2 =2 U1

U3 =2 U2

MATEMATIKA

95

U4 =2 U3 #

Un =2 Un 1 Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 2. $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQSHPEDQGLQJUDVLR Pada barisan geometri tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 2, dan rasio dari barisan tersebut adalah 2 , maka rumus suku ke-n adalah Un = 2 u 2n – 1 Barisan bilangan U1, U2, U3, …, Un disebut barisan geometriMLNDSHUEDQGLQJDQ antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Nilai perbandingan antara dua suku yang berurutan pada barisan geometri disebut dengan pembanding/rasio. Secara umum, suatu barisan geometri dengan suku pertama U1 = a, dan SHUEDQGLQJDQUDVLRDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQDGDODKr, maka suku ke-n barisan geometri tersebut adalah Un = a × rn – 1 Tahukah Kamu? %DULVDQJHRPHWULGLVHEXWEDULVDQJHRPHWULQDLNMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQEHVDU dengan kata lain rasio pada barisan geometri lebih dari 1. %DULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW EDULVDQ JHRPHWUL WXUXQ MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ kecil, dengan kata lain rasio pada barisan geometri kurang dari 1.

Contoh 2.3 x x

Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap

Pada Contoh 2.3, siswa diminta untuk mengamati barisan bilangan genap. Kemudian siswa diminta untuk menuliskan 5 suku pertama pada barisan bilangan genap dan menentukan suku ke-57 dengan menggunakan rumus yang ada. Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan EDULVDQELODQJDQ\DQJWHODKGLSHODMDULVHEHOXPQ\D Contoh 2.3


7XOLVNDQVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDSGDQWHQWXNDQVXNXNH Alternatif Penyelesaian: Diketahui: Suatu barisan bilangan genap dengan 96


x suku pertama a = 2 x beda b = 2 Ditanya: 5 suku pertama dan suku ke-57 Jawab: Suku pertama pada barisan bilangan genap adalah 2, atau bisa ditulis dengan U1 = 2. Suku berikutnya pada barisan bilangan genap dapat diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya, sehingga beda pada barisan tersebut adalah 2. Sehingga keempat suku berikutnya adalah U2 = 4, U3 = 6, U4 = 8, U5 = 10. Dari a = 2 dan b = 2, maka kita bisa dapatkan nilai dari U57 yaitu Un = an± ub U57 = a± ub

± u 2

= 2 + 56 u 2 = 2 + 112 = 114

Jadi suku ke-57 pada barisan bilangan genap adalah 114. Contoh 2.4


x 3DGD&RQWRKVLVZDGLPLQWDPHQHQWXNDQSDQMDQJVLVLVLNXVLNXWHUSHQGHN GDULVXDWXVHJLWLJDVLNXVLNX\DQJGLNHWDKXLSDQMDQJVLVLPLULQJQ\DVDMD6RDO ini merupakan salah satu aplikasi dari barisan aritmatika. x

Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan aplikasi barisan aritmatika dalam kehidupan sehari-hari. Contoh 2.4

Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku

Sisi-sisi dari suatu segitiga siku-siku membentuk barisan DULWPHWLND -LND SDQMDQJ VLVL PLULQJQ\D DGDODK FP PDNDWHQWXNDQSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHN

40 cm

Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

x Suatu segitiga siku-siku memiliki sisi miring GHQJDQSDQMDQJFP

Gambar 2.15 Sisi-sisi segitiga siku-siku

MATEMATIKA

97

x Ketiga sisi segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika dengan beda sebesar b.

Ditanya:

3DQMDQJVLVLVLNXVLNXWHUSHQGHN

Jawab: /DQJNDK 7XOLVNDQVLVLVLVLVHJLWLJDGDODPEHQWXNEDULVDQDULWPHWLND Coba siswa perhatikan gambar segitiga siku-siku di samping. Kita bisa tuliskan SDQMDQJ VLVLVLVLQ\D VHVXDL GHQJDQ EHQWXN barisan aritmetika sebagai berikut:

40 cm 40 – 2b

U1 = 40 – 2b U2 = 40 – b

40 – b Sisi-sisi segitiga siku-siku

U3 = 40 Langkah 2: Gunakan teorema Phytagoras

Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh persamaan berikut: 402 ±b 2±b 2 ±b + 4b2 ±b + b2 1.600 = 3.200 – 240b + 5b2 Langkah 3: Selesaikan bentuk persamaan kuadrat untuk memperoleh nilai b Selesaikan bentuk persamaan kuadrat yang telah kita peroleh dengan cara mengurangkan kedua ruas dengan 1.600, sehingga didapatkan: 0 = 5b2 – 240 + 1.600 3HUVDPDDQGLDWDVELVDNLWDMDEDUNDQGDQWXOLVNDQNHPEDOLPHQMDGL b± b± Didapatkan penyelesaiannya adalah b = 8 atau b = 40, akan tetapi nilai b = 40 tidak memenuhi, karena ketika substitusikan nilai ini ke dalam barisan aritmetika DNDQGLSHUROHKQLODLGDQSDGDSDQMDQJVLVLVHJLWLJDVHGDQJNDQSDQMDQJGDUL VHJLWLJDWLGDNPXQJNLQEHUQLODLQHJDWLIPDXSXQ 'DULSHQMHODVDQWHUVHEXWNLWDGDSDWNDQQLODLEHGDb = 8. Langkah 4: Substitusikan nilai b ke dalam tiap suku barisan aritmetika 6XEVWLWXVLNDQQLODLLQLSDGDEDULVDQDULWPHWLND\DQJWHODKNLWDGH¿QLVLNDQGLDWDV sehingga diperoleh:

98


U1 = 40 – 2b ± ± U2 = 40 – b = 40 – 8 = 32 U3 = 40 -DGLSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHNSDGDVHJLWLJDVLNXVLNXWHUVHEXWDGDODK 24 cm. Ayo Kita Menalar Dengan prosedur yang hampir sama dengan Contoh 2.4 di atas, dapatkan SDQMDQJ VLVL PLULQJ GDUL VXDWX VHJLWLJD VLNXVLNX MLND GLNHWDKXL SDQMDQJ VLVL WHJDN \DQJPHUXSDNDQVLVLWHUSHQGHNDGDODKFPGDQVLVLVLVLGDULVHJLWLJDWHUVHEXWMXJD PHPEHQWXN VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND -HODVNDQ VHFDUD VLQJNDW ODQJNDKODQJNDK SHQ\HOHVDLDQQ\D Contoh 2.5

Pertumbuhan Jumlah Penduduk

x 3DGD&RQWRKVLVZDGLPLQWDPHQHQWXNDQMXPODKSHQGXGXNGLNRWD$SDGD tiap tahun, mulai tahun 2015 hingga tahun 2020 dari data yang diketahui. x

Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan aplikasi barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari. Contoh 2.5

Pertumbuhan Jumlah Penduduk

Kota A memiliki populasi sebanyak 100.000 MLZD SDGD EXODQ -DQXDUL 3HPHULQWDK NRWD tersebut bertekad untuk meningkatkan semua sarana GDQSUDVDUDQDGLNRWD$VHKLQJJDMXPODKSHQGXGXN di kota A bisa mengalami peningkatan tetap sebesar VHWLDSWDKXQQ\D %HUDSDNDKMXPODKSHQGXGXNNRWD$SDGDEXODQ Sumber: http://saly-enjoy.blogspot. Januari 2020? com Gambar 2.16 Pertumbuhan

%XDWODKJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$ MXPODKSHQGXGXN GDULEXODQ-DQXDULVDPSDLGHQJDQ-DQXDUL Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

x Populasi awal kota A pada Januari 2015 adalah a = 100.000

x 3HQLQJNDWDQSHQGXGXNNRWD$WLDSWDKXQDGDODKWHWDSVHEHVDU MATEMATIKA

99

Ditanya:

-XPODKSHQGXGXNNRWD$SDGD-DQXDULGDQJUD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXN

Jawab:

/DQJNDK7HQWXNDQUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNr

3HUWXPEXKDQ MXPODK SHQGXGXN PHUXSDNDQ VDODK VDWX DSOLNDVL GDUL EDULVDQ JHRPHWULQDLN'LNHWDKXLEDKZDVHWLDSWDKXQQ\DWHUMDGLSHQLQJNDWDQWHWDSSDGD MXPODKSHQGXGXNNRWD$VHEHVDUVHKLQJJDSDGDWDKXQEHULNXWQ\DMXPODK VHOXUXKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGLGDULSRSXODVL\DQJDGDSDGDWDKXQ saat ini.

'HQJDQGHPLNLDQPDNDWLDSWDKXQQ\DMXPODKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGL NDOLMXPODKSHQGXGXNSDGDWDKXQLQLVHKLQJJDUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD A adalah r = 1,2. Langkah 2: Gunakan r untuk mendapatkan suku berikutnya Populasi awal penduduk pada Januari 2015 adalah a = 100.000, dengan menggunakan perhitungan maka didapatkan: Populasi penduduk kota A pada bulan Januari 2016 hingga bulan Januari 2020 masing-masing dinyatakan dengan U2, U3, U4, U5, dan U6. U2 = ar U3 = ar2 2 U4 = ar3 3 U5 = ar4 4 U6 = ar5 5

%HULNXW LQL DGDODK WDEHO \DQJ PHQXQMXQMXNNDQ SHUWXPEXKDQ SHQGXGXN NRWD$ dari Januari 2015 sampai dengan Januari 2020: Bulan/ Tahun

Jumlah Penduduk

100

Januari

Januari

Januari

Januari

Januari

Januari

2015

2016

2017

2018

2019

2020

100.000

120.000

144.000

172.800

207.360

248.832

*DPEDUGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$ dari bulan Januari 2015 sampai dengan Januari 2020:


Ja n 20 uar 18 i Ja n 20 uar 18 i Ja n 20 uar 20 i

172.800 144.000 120.000 100.000

Ja n 20 uar 15 i Ja n 20 uar 16 i Ja n 20 uar 17 i

Jumlah Penduduk

248.832 207.360

Tahun Sumber: Dokumentasi Kemdikbud

Gambar 2.17*UD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD$

Ayo Kita Tinjau Ulang x 3DGD EDJLDQ WLQMDX XODQJ VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQJLQJDW GDQ PHQJXODQJ NHPEDOLPDWHUL\DQJWHODKGLSHODMDULSDGDEDEEDULVDQELODQJDQ x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDOVHFDUDPDQGLUL x 0LQWDSHUZDNLODQVLVZDXQWXNPHQXOLVNDQMDZDEDQQ\DGLSDSDQWXOLV x 0LQWD VLVZD XQWXN PHQXNDUNDQ MDZDEDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNX GDQ PHQFRFRNNDQVHPXDMDZDEDQ x Berikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya. Berikan SHQMHODVDQVLQJNDWMLNDDGDVLVZD\DQJEHOXPPHPDKDPLPDWHUL x %HULNDQSHQLODLDQSDGDWLDSVLVZDEHUGDVDUNDQMDZDEDQPHUHNDPDVLQJPDVLQJ Ayo Kita Tinjau Ulang Perhatikan kembali konsep mengenai suku ke-n pada barisan aritmetika dan EDULVDQJHRPHWUL\DQJWHODKGLMHODVNDQVHEHOXPQ\D0LQWDVLVZDPHPDKDPLODJL 1. Sebutkan ciri utama dari barisan aritmetika dan barisan geometri. 'LNHWDKXLEDULVDQELODQJDQ«7HQWXNDQ

a. Suku ke-10 dan suku ke-25 E 5XPXVVXNXNHn c. Suku ke berapa yang nilainya adalah 131? MATEMATIKA

101

Latihan 2.2

Barisan Bilangan

1. Lakukan penilaian sikap saat siswa melakukan kegiatan Diskusi dan Berbagi. /DNXNDQ SHQLODLDQ SHQJHWDKXDQ VDDW VLVZD PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQ $\R .LWD 0HQDODU 3. Indikator semua siswa sudah menguasai konsep adalah ketika siswa kelompok rendah sudah mampu menguasai konsep. 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDO/DWLKDQGHQJDQPDQGLUL /DNXNDQNHJLDWDQSHPEHODMDUDQSHQJD\DDQGDQUHPHGLDO Latihan 2.2

Barisan Bilangan

7HQWXNDQODKOLPDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXWLQL a. Un = n2 + 2 b. Un = 3n – 2

1 2 n ± 2 d. Un = n +5

c. Un =

Penyelesaian: a. 3, 6, 11, 18, 27 b. 1, 4, 7, 10, 13

3 15 , 4, , 12 2 2 d. 6, 7, 8, 9, 10

c. 0,

2. Dapatkan selisih antar suku yang berurutan dan suku ke–15 dari tiap-tiap barisan bilangan berikut ini: a. 1, 8, 15, 22, …

c. 2, 5, 8, 11, …

b. 9, 7, 5, 3, …

d. 6, 3, 0, -3, -6, …

Penyelesaian: a. b. c. d.

Selisih antar suku adalah 7, suku ke-15 adalah 99 Selisih antar suku adalah -2, suku ke-15 adalah -19 Selisih antar suku adalah 3, suku ke-15 adalah 44 Selisih antar suku adalah -3, suku ke-15 adalah -36

3. Dapatkan perbandingan antar suku berurutan dan suku ke–8 dari tiap-tiap barisan bilangan berikut ini: a. 64, -96, 144, -216, … b.

102

2, 1, 1 , 1 ,… 3 3 6 12

c. xy, x2y, x3y, x4y, … d.


7 , 1, 3 , 9 , … 3 7 49

Penyelesaian:

2.187 3 . a. Perbandingan antar suku adalah - , suku ke-8 adalah 2 2 1 1 . b. Perbandingan antar suku adalah , suku ke-8 adalah 192 2 c. Perbandingan antar suku adalah x, suku ke-8 adalah x8y. d. Perbandingan antar suku adalah

3 3 , suku ke-8 adalah 6 . 7 7

7HQWXNDQVXNXNHGDQVXNXNHnUn GDULEDULVDQELODQJDQEHULNXW a. 2, 11, 20, 29, …

c. 19, 13, 7, 1, …

b. 2, 8, 32, 128, …

d. ab2, a2b3, a3b4, a4b5,…

Penyelesaian: a. Suku ke-10 adalah 83, suku ke-n adalah 9n – 7. E6XNXNHDGDODK 9, suku ke-nDGDODK n – 1. c. Suku ke-10 adalah -35, suku ke-n adalah 25 – 6n. d. Suku ke-10 adalah a10 b11, suku ke-n adalah an bn + 1. 5. Perkembangbiakan Bakteri. Seorang peneliti melakukan pengamatan pada perkembangbiakan sebuah bakteri di dalam sebuah preparat. Pada hari awal pengamatan, GLNHWDKXLEDKZDMXPODKEDNWHUL\DQJWHUGDSDW GL GDODP SUHSDUDW DGDODK 6HWLDS MDP PDVLQJPDVLQJEDNWHULPHPEHODKGLULPHQMDGL GXD$SDELODVHWLDSMDPVHNDOLVHWHQJDK dari seluruh bakteri yang ada dibunuh, maka tentukan banyaknya virus setelah 12 hari dari DZDOSHQJDPDWDQ Penyelesaian:

Sumber: Sumber: http://www. artikelbiologi.com

Banyaknya bakteri pada awal pengamatan Gambar 2.18 Perkembangbiakan DGDODK 6HWLDS MDP KDUL WLDSWLDS Bakteri EDNWHUL PHPEHODK PHQMDGL VHKLQJJD banyaknya bakteri tiap harinya adalah 2 kali lipat dari hari sebelumnya. Banyaknya bakteri pada hari kelima dari awal pengamatan adalah 320 bakteri. Akan tetapi setengah dari total bakteri tersebut dimatikan, sehingga pada hari kelima banyaknya bakteri yang masih tersisa DGDODKEDNWHUL6HWHODKKDULGDULDZDOSHQJDPDWDQMXPODKEDNWHULPHQMDGL 5.120 bakteri. Akan tetapi setengah dari total bakteri trsebut dimatikan, sehingga pada hari kesepuluh banyaknya bakteri yang masih tersisa adalah 2.560 bakteri. MATEMATIKA

103

Setelah hari keduabelas dari awal pengamatan, banyaknya bakteri yang ada di dalam preparat adalah 10.240 bakteri. 6. Usia Anak.HOXDUJD3DN5KRPDPHPSXQ\DLRUDQJDQDN\DQJXVLDQ\DSDGD saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 10 tahun dan XVLDDQDNNHDGDODKWDKXQPDNDMXPODKXVLDHQDPDQDN3DN5KRPDWHUVHEXW adalah … tahun. Penyelesaian: Anak pertama merupakan anak bungsu dan anak keenam merupakan anak sulung. Dengan menggunakan rumusan pada barisan bilangan, didapatkan usia anak pertama sampai anak keenam berturut-turut adalah 4, 7, 10, 13, 16, dan 19 WDKXQ-XPODKXVLDHQDPDQDN3DN5KRPDDGDODKWDKXQ 7. Membagi Uang ,EX &DWK\ LQJLQ PHPEDJLNDQ XDQJ VHEHVDU 5S kepada 5 orang anaknya. Semakin tua usia anak, maka semakin banyak uang yang akan dia terima. Jika selisih uang yang diterima oleh setiap dua orang anak \DQJ XVLDQ\D EHUGHNDWDQ DGDODK 5S GDQ VL EXQJVX PHQHULPD XDQJ SDOLQJVHGLNLWPDNDWHQWXNDQXDQJ\DQJGLWHULPDROHKDQDNNHWLJD Penyelesaian:

0LVDONDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWHULPD DQDN \DQJ SDOLQJ NHFLO DGDODK [ -XPODK XDQJ \DQJ GLWHULPD DQDN \DQJ XVLDQ\D EHUGHNDWDQ DGDODK 5S Lakukan perhitungan dengan menggunakan rumusan pada barisan bilangan, PDNDGLGDSDWNDQMXPODKXDQJ\DQJGLSHUROHKDQDNWHUNHFLODGDODK5S -XPODKXDQJ\DQJGLSHUROHKDQDNNHWLJDDGDODK5S

8. Gaji Karyawan. Pada suatu perusahaan, VHPXD NDU\DZDQQ\D PHPSHUROHK JDML DZDO yang besarnya sama ketika pertama kali PDVXN NH GDODP SHUXVDKDDQ *DML WHUVHEXW akan meningkat dengan persentase yang tetap setiap tahunnya, sehingga karyawan \DQJ OHELK GDKXOX EHNHUMD SDGD SHUXVDKDDQ WHUVHEXWDNDQPHQHULPDJDML\DQJOHELKEHVDU daripada karyawan yang baru masuk. Apabila JDML 6DVKD \DQJ WHODK EHNHUMD VHODPD GXD WDKXQ DGDODK 5S GDQ JDML:LQGD Sumber: http://www.jobstreet.co.id \DQJ WHODK EHNHUMD VHODPD WLJD WDKXQ DGDODK Gambar 2.19*DMLNDU\DZDQ 5SEHUDSDNDKJDMLNDU\DZDQGL perusahaan tersebut saat pertama kali masuk? Penyelesaian:

104

0LVDONDQJDMLVDDWSHUWDPDNDOLPDVXNSHUXVDKDDQWHUVHEXWDGDODKx, dan misalkan EHVDU SHUVHQWDVH NHQDLNDQ JDML WLDS WDKXQQ\D DGDODK y. Lakukan perhitungan dengan menggunakan rumusan pada barisan bilangan, diperoleh nilai x adalah


5 'HQJDQGHPLNLDQEHVDUJDMLNDU\DZDQVDDWSHUWDPD 4 NDOLPDVXNDGDODK5S

2.560.000 dan y adalah

9. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQDULWPHWLNDGLEDZDKLQL a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, maka akan berlaku : 2v = u + w b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, PDNDEHUODNXVLIDWu + v = t + w Penyelesaian: D 0LVDONDQEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXWPHPSXQ\DLEHGDb maka v = u + b dan w = u + 2b sehingga 2v = u + w u + b uu + 2b 2u + 2b = 2u + 2b E 0LVDONDQEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXWPHPSXQ\DLEHGDEPDNDu = t + b, v = t + 2b dan w = t + 3b sehingga u+v= +w t + b t + 2b + 3b 2t + 3b = 2 + 3b 10. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQJHRPHWULGLEDZDKLQL a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDDNDQEHUODNXVLIDWv2 = uw b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDEHUODNXVLIDWuv = tw Penyelesaian: D 0LVDONDQEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXWPHPSXQ\DLUDVLRr maka v = ur dan w = ur2 sehingga v2 = uw ur 2 = u.ur2 u2r2 = u2r2 E 0LVDONDQEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXWPHPSXQ\DLUDVLRr maka u = tr, v = tr2dan w = tr3 sehingga u.v = t.w tr tr2 ttr3 t2r3 = t2r3 MATEMATIKA

105

C. Deret Bilangan Pertanyaan Penting x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJDPDWLNHPEDOLFRQWRKFRQWRKEDULVDQELODQJDQ\DQJ WHODKGLSHODMDULSDGDVXEEDE% x

Pancing siswa dengan memberikan pertanyaan tentang rumus untuk menentukan MXPODKEHEHUDSDVXNXSHUWDPDGDULVXDWXEDULVDQELODQJDQ

Pertanyaan Penting $SD \DQJ GLPDNVXG GHQJDQ GHUHW ELODQJDQ" 8QWXN PHQJHWDKXL MDZDEDQQ\D FRED lakukan kegiatan-kegiatan berikut ini.

Kegiatan 2.8

Menabung

1. Kegiatan ini dilakukan secara mandiri oleh tiap-tiap siswa. 0LQWDVLVZDXQWXNPHPEDFDGDQPHPDKDPLNHWHUDQJDQ\DQJGLEHULNDQSDGD Kegiatan 2.8. .HJLDWDQLQLEHUWXMXDQXQWXNPHPSHUPXGDKVLVZDPHPDKDPLGH¿QLVLGDULGHUHW ELODQJDQ*XUXGDSDWPHPEHULNDQNHJLDWDQODLQQ\D\DQJNUHDWLIGDQLQRYDWLI 3DGD EDJLDQ D\R NLWD PHQFRED PLQWD VLVZD XQWXN PHQJDPDWL MXPODK XDQJ \DQJGLWDEXQJROHK1LWDWLDSPLQJJXQ\DGDQMXPODKWRWDOXDQJWDEXQJDQ1LWD WLDSPLQJJXQ\DNHPXGLDQPHQXOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQSDGD7DEHO 3DGDEDJLDQD\RNLWDPHQDODUPLQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVHFDUDPDQGLUL soal-soal yang ada. 6. Pada bagian diskusi dan berbagi, minta siswa berdiskusi dengan teman VHEDQJNXQ\DXQWXNPHQMDZDEVRDOGLEDJLDQGLVNXVLGDQEHUEDJL 0LQWD VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ KDVLO GDUL NHJLDWDQ \DQJ WHODK PHUHND lakukan pada bagian ayo kita simpulkan. 0LQWD VDODK VDWX SHUZDNLODQ VLVZD XQWXN PHPDSDUNDQ MDZDEDQQ\D GL GHSDQ kelas. %HULNDQ NHVHPSDWDQ NHSDGD VLVZD XQWXN EHUWDQ\D GDQ EHULNDQ SHQMHODVDQ secukupnya bagi siswa yang belum memahami materi dengan baik.

106


Kegiatan 2.8

Menabung

Ayo Kita Amati Setiap akhir minggu Nita selalu menyisihkan uang saku yang ia dapatkan untuk ditabung. Ia bertekad untuk dapat menabung uang lebih banyak pada minggu-minggu berikutnya. Pada akhir minggu pertama Nita menabung VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHGXD LD PHQDEXQJ VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHWLJD LD PHQDEXQJ VHEHVDU5SEHJLWXVHWHUXVQ\DLDVHODOXPHQDEXQJ 5S OHELK EDQ\DN GDUL PLQJJX VHEHOXPQ\D 3HUKDWLNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ ROHK 1LWD VHWLDS akhir minggunya. Sumber: http://stdiis.ac.id

Gambar 2.200HQDEXQJ

Ayo Kita Mencoba

0LQWD VLVZD PHQXOLVNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ VHUWD MXPODK WRWDO XDQJ WDEXQJDQ1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO-XPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJGDQWRWDOWDEXQJDQ1LWD Akhir Minggu ke-

Uang yang Ditabung

Total Tabungan

1

1.000

1.000

2

2.000

3.000

3

3.000

6.000

4

4.000

10.000

5

5.000

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

9

…

…

10

…

…

MATEMATIKA

107

Ayo Kita Menalar D 'DSDWNDKVLVZDPHQJKLWXQJMXPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX NHGDQDNKLUPLQJJXNH"%HUDSDNDKMXPODKQ\D" b. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-20? F %DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQKDVLOSDGDE "-HODVNDQ d. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-25? H %DJDLPDQDFDUDPXXQWXNPHQGDSDWNDQKDVLOSDGDG MLNDPHOLEDWNDQE " Ayo Kita Menanya 0LQWD VLVZD PHPEXDW SHUWDQ\DDQ \DQJ EHUNDLWDQ GHQJDQ NHJLDWDQ \DQJ WHODK dilakukan di atas. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Bagaimana hubungan antara uang yang ditabung oleh Nita dengan uang total tabungan Nita pada tiap akhir minggu? Diskusi dan Berbagi 0HQXUXWPXDSDNDKPXQJNLQNLWDGDSDWPHQHQWXNDQMXPODKWRWDOWDEXQJDQ1LWDSDGD DNKLUPLQJJXNHMLNDKDQ\DGLNHWDKXLXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX ke-3, ke-4, dan ke-5? Bagaimanakah caranya? Berapakah banyak uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-n? Diskusikan dengan teman sebangkumu dan paparkan hasilnya di depan kelas. Informasi Utama 6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDEDEEDULVDQELODQJDQGDSDWGLOLKDWEDKZDXDQJ yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu membentuk suatu barisan bilangan. Banyaknya uang yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu menyatakan VXNXGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW7RWDOXDQJWDEXQJDQ1LWDWLDSDNKLUPLQJJX PHQ\DWDNDQMXPODKDQGDULEHEHUDSDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW \DQJVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQderet bilangan. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan Sn. Dalam hal ini S2 = 3.000 menyatakan MXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXWS3 = 6.000 dan S4 = 10.000 PDVLQJPDVLQJPHQ\DWDNDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDUL barisan bilangan tersebut

108


Ayo Kita Simpulkan x x

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan … Apakah yang dimaksud dengan deret bilangan? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri.

Kegiatan 2.9

Penjumlahan Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap

1. Kegiatan ini dilakukan secara mandiri oleh tiap-tiap siswa. .HJLDWDQLQLEHUWXMXDQXQWXNPHPSHUPXGDKVLVZDPHPDKDPLGHUHWDULWPDWLND *XUXGDSDWPHPEHULNDQNHJLDWDQODLQQ\D\DQJNUHDWLIGDQLQRYDWLI 0LQWD VLVZD XQWXN PHQJDPDWL NHPEDOL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS \DQJ WHODK GLSHODMDUL SDGD EDE VHEHOXPQ\D 0LQWD PHUHND XQWXN PHQMXPODKNDQ Q VXNX SHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSGHQJDQPHOHQJNDSL7DEHO 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVHFDUDPDQGLULVRDOSDGDD\RNLWDPHQDODU 0LQWDVLVZDXQWXNPHQMXPODKNDQVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS dengan mengikuti alur yang terdapat pada bagian ayo kita menalar. 0LQWD VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ KDVLO NHJLDWDQ SDGD EDJLDQ D\R NLWD simpulkan. 0LQWD VLVZD EHUGLVNXVL GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNXQ\D XQWXN PHQMDZDE VRDO GL bagian diskusi dan berbagi. 0LQWD VDODK VDWX SHUZDNLODQ VLVZD XQWXN PHPDSDUNDQ MDZDEDQQ\D GL GHSDQ kelas. %HULNDQ NHVHPSDWDQ NHSDGD VLVZD XQWXN EHUWDQ\D GDQ EHULNDQ SHQMHODVDQ secukupnya bagi siswa yang belum memahami materi dengan baik. Kegiatan 2.9

Penjumlahan Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap

Ayo Kita Mencoba 0LQWD VLVZD PHQXOLVNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ VHUWD MXPODK WRWDO XDQJ WDEXQJDQ1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL

MATEMATIKA

109

7DEHO-XPODKEHEHUDSDVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS Suku ke-

Nilai

Jumlah Suku

1

2

2

2

4

2+4=6

3

6

2 + 4 + 6 = 12

4

8

2 + 4 + 6 + 8 = 20

5

10

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

9

…

…

10

…

…

D %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW" E %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW" F %DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQE GHQJDQPHOLEDWNDQD " Ayo Kita Mencoba -LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S4PHQ\DWDNDQMXPODK VXNXSHUWDPDGDULVXDWXEDULVDQ6HNDUDQJPLQWDVLVZDPHQMXPODKNDQVXNXSHUWDPD dari barisan bilangan genap. S4

L

%HULNXWQ\DMXPODKNDQVXNXSHUWDPDGDULELODQJDQJHQDSGLDWDVGHQJDQFDUD PHQXOLVNDQEHQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVGDODPXUXWDQWHUEDOLN S4

LL

&RED MXPODKNDQ L GDQ LL PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD mengisi bagian yang kosong

110


S4 = 2 + ... + ... + ... S4 = ... + ... + ... + 2

+

2S4 = 10 + ... + ... + ... 4 suku

2S4 = ... u S4 =

} u } 2

LLL

Ayo Kita Menalar 0LQWD VLVZD PHPSHUKDWLNDQ NHPEDOL ODQJNDKODQJNDK GDODP PHQJKLWXQJ 6 pada barisan bilangan genap di atas sehingga didapatkan hasilnya seperti pada LLL 3HUKDWLNDQ QLODL \DQJ WHUGDSDW SDGD EDJLDQ GL GDODP WDQGD NXUXQJ -DZDEODK pertanyaan di bawah ini: a. Berapakah dari suku pertama pada barisan bilangan genap? E -LND PHQJKLWXQJ MXPODK VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS VXNX PDQDNDK\DQJPHQMDGLVXNXWHUDNKLUGDODPSHUKLWXQJDQWHUVHEXW" F %HUDSDNDKVXNXWHUDNKLUGDODPSHQMXPODKDQVXNXSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS" G 6LVZD WHODK PHQMXPODKNDQ VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS PHQXUXWPXDQJNDSDGDEDJLDQLLL PHQXQMXNNDQLQIRUPDVLDSD" Ayo Kita Simpulkan Jumlah 4 suku pertama pada barisan bilangan genap disimbolkan dengan … %LODQJDQ « SDGD EDJLDQ LLL PHQXQMXNNDQ VXNX NH GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDSVHGDQJNDQDQJND«PHQXQMXNNDQVXNXNHGDULEDULVDQELODQJDQJHQDS 3HQMXPODKDQVXNXVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQEHODQJDQJHQDSVHODQMXWQ\DGLVHEXW dengan deret bilangan genap. Diskusi dan Berbagi %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW"7HPXNDQ FDUD WHUFHSDW WDQSD SHUOX PHQMXPODKNDQ VDWX SHUVDWX VHPXD VXNXQ\D 3HUKDWLNDQ MATEMATIKA

111

NHPEDOLODQJNDKODQJNDK\DQJWHODKVLVZDODNXNDQGDODPPHQJKLWXQJMXPODKVXNX pertama barisan bilangan genap di atas. Diskusikan dengan teman sebangkumu agar GDSDWPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWGDQSDSDUNDQMDZDEDQGLGHSDQNHODV Informasi Utama 0LVDONDQ GDODP VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND VXNX SHUWDPD U1 = a, dan beda pada barisan aritmetika tersebut adalah b0DNDVXNXNHNHNHNHNHGDQ ke-n dapat dituliskan dalam bentuk: U2 = a + b U3 = a + 2b U4 = a + 3b U5 = a + 4b U6 = a + 5b ‫ڭ‬

Un = an± b 6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut : Sn = aa + b a + 2b an± îb an± îb L %HQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVMLNDGLWXOLVGDODPXUXWDQWHUEDOLNGLPDQDVXNXWHUDNKLU \DQJEHUDGDSDGDSRVLVLSDOLQJGHSDQGDQVHEDOLNQ\DPDNDL DNDQPHQMDGLEHQWXN di bawah ini: Sn an± îb an± îb «a + 2b a + b aLL %HULNXWQ\DMXPODKNDQL GDQLL VHKLQJJDGLGDSDWNDQEHQWXNGLEDZDKLQL Sn = aa + b a + 2b an± îb an± îb Sn an± îb aQ± îb «a + 2b a + b a + 2Sn a + an± îb a + an± îb a + an± îb n suku 2Sn a + Un a + Un a + Un 4 suku 2Sn

= nîDUn)

Sn =

112

n u a U n 2


Ayo Kita Simpulkan 'DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJVLVZDSHUROHK" -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND«PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD « PHQXQMXNNDQ VXNX NHn dari barisan aritmetika, maka rumus MXPODKn suku pertama dari barisan aritmetika yang disimbolkan dengan … adalah …

Ayo Kita Menalar Dengan menggunakan rumus Un = a n ± b EXNWLNDQ EDKZD MXPODK n suku pertama dari deret aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut

n a n± b 2

Kegiatan 2.10

Koleksi Kelereng

1. Kegiatan ini dilakukan secara mandiri oleh tiap-tiap siswa. 0LQWDVLVZDXQWXNPHPEDFDGDQPHPDKDPLNHWHUDQJDQ\DQJGLEHULNDQSDGD Kegiatan 2.10. .HJLDWDQLQLEHUWXMXDQXQWXNPHPSHUPXGDKVLVZDPHPDKDPLGHUHWJHRPHWUL *XUXGDSDWPHPEHULNDQNHJLDWDQODLQQ\D\DQJNUHDWLIGDQLQRYDWLI 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVHFDUDPDQGLULVRDOSDGDD\RNLWDPHQDODU 0LQWD VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ KDVLO GDUL NHJLDWDQ \DQJ WHODK PHUHND lakukan pada bagian ayo kita simpulkan. 0LQWD VDODK VDWX SHUZDNLODQ VLVZD XQWXN PHPDSDUNDQ MDZDEDQQ\D GL GHSDQ NHODV 'LVNXVLNDQ KDVLO MDZDEDQ VLVZD GL GHSDQ NHODV DJDU VHPXD VLVZD memiliki persepsi yang sama. %HULNDQ NHVHPSDWDQ NHSDGD VLVZD XQWXN EHUWDQ\D GDQ EHULNDQ SHQMHODVDQ secukupnya bagi siswa yang belum memahami materi dengan baik.

MATEMATIKA

113

Kegiatan 2.10

Koleksi Kelereng

Ayo Kita Amati Amin memiliki hobi mengumpulkan NHOHUHQJ7LDSDNKLUPLQJJXLDVHODOXPHPEHOL kelereng untuk dikoleksi. Pada akhir minggu pertama, ia membeli sebanyak 3 buah kelereng. Pada akhir minggu kedua ia membeli lagi sebanyak 6 buah kelereng, dan pada akhir minggu ketiga ia membeli sebanyak 12 buah kelereng. Begitu seterusnya, tiap akhir minggu ia selalu membeli kelereng sebanyak 2 kali lipat dari akhir minggu sebelumnya.

Sumber: http://www.bimbingan.org

Gambar 2.21 Kelereng

Ayo Kita Mencoba 3HUKDWLNDQODKMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLROHK$PLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\D&RED VLVZD WXOLVNDQ MXPODK NHOHUHQJ \DQJ GLEHOL VHUWD MXPODK WRWDO WRWDO NHOHUHQJ \DQJ dimiliki oleh Amin setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah LQL7RWDONHOHUHQJ\DQJGLPLOLNL$PLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DVHODQMXWQ\DGLVHEXW GHQJDQMXPODKNHOHUHQJ 7DEHO-XPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLVHUWDWRWDONHOHUHQJPLOLN$PLQ Minggu ke-

Kelereng yang dibeli

Jumlah Kelereng

1

3

3

2

6

3+6=9

3

12

3 + 6 + 12 = 21

4

24

3 + 6 + 12 + 24 = 45

5

48

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

a. Berapakah banyak total kelereng yang dimiliki oleh Amin pada akhir minggu ke-6 dan akhir minggu ke-8?

114


b. Apakah siswa dapat menebak banyak total kelereng Amin pada akhir minggu ke"%HUDSDMXPODKQ\D" c. Apakah banyaknya kelereng yang dibeli Amin antara dua minggu yang berurutan memiliki perbandingan yang tetap? Ayo Kita Mencoba -LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S5PHQ\DWDNDQMXPODK VXNXSHUWDPDGDULVXDWXEDULVDQ6HNDUDQJMXPODKNDQVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\D S5

L

Berikutnya coba siswa kalikan masing-masing suku di dalam barisan bilangan tersebut dengan 2, sehingga didapatkan 2S5 = 2 u 3 + 2 u … + 2 u … + 2 u … + 2 u …

2S5

LL

&RED NXUDQJNDQ LL GHQJDQ L PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD mengisi bagian yang kosong 2S5 =

6 + ... + ... + ... + ...

S5= 3 + ... + ... + ... + ... 2S5 – S5 = … – 3

–

&RED SHUKDWLNDQ WLDSWLDS DQJND SDGD UXDV NDQDQ GDUL SHQJXUDQJDQ S5 terhadap S5MLNDWHUGDSDWQLODL\DQJVDPDPDNDVLVZDGDSDWPHQJXUDQJNDQVHFDUDODQJVXQJ VHKLQJJDKDVLOSHQJXUDQJDQQ\DPHQMDGL S5± «± S5± î – 3 …

S5± î ± …

S5 =

u }

LLL

Ayo Kita Menalar 0LQWDVLVZDPHPSHUKDWLNDQNHPEDOLODQJNDKODQJNDKGDODPPHQJKLWXQJS5 di DWDVVHKLQJJDGLGDSDWNDQKDVLOQ\DVHSHUWLSDGDLLL 3HUKDWLNDQQLODLQLODLELODQJDQ \DQJWHUGDSDWSDGDUXDVNDQDQGDULLLL -DZDEODKSHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL

MATEMATIKA

115

D 3HUKDWLNDQELODQJDQSDGDLLL %HUDSDNDKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ MXPODK NHOHUHQJ \DQJ GLEHOL $PLQ WLDS PLQJJXQ\D" $SD siswa dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini? E 3HUKDWLNDQ ELODQJDQ SDGD EDJLDQ DWDV LLL 3HUKDWLNDQ SXOD ELODQJDQ SDGD EDJLDQ EDZDK LLL %HUDSDNDK SHUEDQGLQJDQ DQWDU VXNX GDUL EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ MXPODK NHOHUHQJ \DQJ GLEHOL $PLQ WLDS PLQJJXQ\D" $SD siswa dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini? Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.10 di atas, kesimpulan apa yang diperoleh siswa? -XPODK VXNX SHUWDPD SDGD EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D kelereng yang dibeli oleh Amin tiap minggunya disimbolkan dengan … Bilangan « SDGD EDJLDQ LLL PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD EDULVDQ ELODQJDQ VHGDQJNDQ ELODQJDQ « PHQXQMXNNDQ SHUEDQGLQJDQ UDVLR DQWDU VXNX \DQJ EHUXUXWDQ GDUL barisan bilangan tersebut. Informasi Utama 0LVDONDQGDODPVXDWXEDULVDQJHRPHWULVXNXSHUWDPDU1 = a, dan rasio pada barisan geometri tersebut adalah r0DNDVXNXNHNHNHNHNHGDQNHn dapat dituliskan dalam bentuk: U2 = ar U3 = ar2 U4 = ar3 U5 = ar4 U6 = ar5 Un = ar

‫ڭ‬

n–1

6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn – 1

L

.HPXGLDQNDOLNDQL GHQJDQr, sehingga didapatkan hasil berikut ini. rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn – 1 + arnLL .XUDQJNDQ LL GHQJDQ L GDQ GHQJDQ FDUD \DQJ KDPSLU VDPD GHQJDQ ODQJNDK ODQJNDKNHWLNDVLVZDPHQJKLWXQJMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQ\DQJ PHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\DPDNDGLGDSDWNDQ 116


rSn =

ar + ar2 + ar3 + ... + arn – 1 + arn

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn – 1

–

rSn – Sn = arn – a Snr± arn± Sn =

a r n r 1

Ayo Kita Simpulkan 'DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJVLVZDSHUROHK" -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL«PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD « PHQXQMXNNDQ UDVLR GDUL EDULVDQ JHRPHWUL PDND UXPXV MXPODK Q VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW GHQJDQ GHUHW JHRPHWUL \DQJ disimbolkan dengan … adalah …

Materi Esensi

Deret Bilangan

x 0DWHULHVHQVLPHQJHQDLGHUHWPHPEDKDVGHUHWDULWPDWLNDGDQGHUHWJHRPHWHUL beserta rumusnya. x Berikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya pada materi yang belum dipahami. x Berikan bantuan pada siswa yang masih mengalami kesulitan dalam memahami materi deret bilangan. Materi Esensi

Deret Bilangan

6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDSHPEDKDVDQVHEHOXPQ\DNLWDGDSDWPHQXOLVNDQ suku-suku pada barisan bilangan sebagai U1, U2, U3, …, Un. Jika suku-suku pada EDULVDQWHUVHEXWNLWDMXPODKNDQPDNDEHQWXNSHQMXPODKDQQ\DGLVHEXWGHQJDQGHUHW bilangan, dan dapat dituliskan sebagai U1 + U2 + U3 + …+ Un . A. Deret Aritmetika Coba siswa perhatikan hasil yang telah siswa dapatkan pada Kegiatan 2.9. Deret bilangan genap tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk sebagai berikut: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … MATEMATIKA

117

-LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn , maka S4 dari deret di atas adalah S4 = 2 + 4 + 6 + 8 S4 + 2S4 = 10 + 10 + 10 + 10

GLWXOLVGDODPXUXWDQWHUEDOLN

4 suku 2S4

2 3HUKDWLNDQMXPODKVXNXSHUWDPDSDGDGHUHWELODQJDQJHQDS\DQJGLVLPERONDQ dengan S4. Angka 2 pada perhitungan tersebut menyatakan suku pertama dari barisan bilangan tersebut, sedangkan angka 8 merupakan suku ke-4. Deret bilangan genap termasuk ke dalam deret aritmetika. S4 =

6HFDUDXPXPMXPODKn suku pertama pada barisan aritmetika adalah:

n a U n 2 dengan n adalah banyak suku, a adalah suku pertama, dan Un adalah suku ke-n. Sn =

B. Deret Geometri Coba siswa perhatikan hasil yang telah siswa dapatkan pada Kegiatan 2.10. Jumlah dari kelereng Amin pada akhir minggu ke-n dapat dituliskan dalam bentuk deret sebagai berikut: 3 + 6 + 12+ 24 + … Deret bilangan tersebut termasuk ke dalam deret geometri. Suku pertama dari GHUHWWHUVHEXWDGDODKGDQUDVLRQ\DDGDODK-LNDMXPODKQVXNXSHUWDPDGLQRWDVLNDQ dengan Sn , maka S5 dari deret di atas adalah: S5

L

%HULNXWQ\DNDOLNDQL GHQJDQSDGDPDVLQJPDVLQJUXDVVHKLQJJDNLWDSHUROHK hasil sebagai berikut: 2S5

6HODQMXWQ\DNXUDQJNDQLL WHUKDGDSL VHKLQJJDGLGDSDWNDQ 2S5 = 6 + 12 + 24 + 48 + 96 S5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 2S5 – S5 = 96 – 3

118

LL

–


S5± î5 – 3 S5± î5± S5 =

u 5

3HUKDWLNDQMXPODKVXNXSHUWDPDSDGDGHUHWELODQJDQGLDWDV\DQJGLVLPERONDQ dengan S5. Angka 3 di bagian depan dari pembilang pada perhitungan tersebut merupakan suku pertama deret geometri, sedangkan angka 2 pada perpangkatan di dalam tanda kurung dan pada penyebut merupakan rasio dari deret geometri tersebut. $QJNDPHQXQMXNNDQSHQMXPODKDQSDGDVXNXSHUWDPD

6HFDUDXPXPMXPODKn suku pertama pada barisan geometri adalah: Sn =

a r n a r n MLNDr > 1 dan Sn = MLNDr < 1 1 r r 1

dengan n adalah banyak suku, a adalah suku pertama, dan r adalah rasio dari deret geometri. Contoh 2.6

Produksi Mobil

x 3DGD &RQWRK VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQHQWXNDQ MXPODK PRELO \DQJ diproduksi oleh sebuah pabrik dengan keterangan yang ada pada soal.

x &RQWRKVRDOLQLEHUWXMXDQXQWXNPHPSHUPXGDKVLVZDGDODKPHPDKDPLDSOLNDVL deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari. Guru dapat memberikan variasi FRQWRKVRDOODLQQ\D\DQJNUHDWLIGDQLQRYDWLI Contoh 2.6

Produksi Mobil

Pertambahan hasil produksi mobil pada suatu pabrik tiap bulannya mengikuti barisan aritmetika. Jika produksi mobil pada bulan pertama adalah 100 unit dan pada bulan ke- 4 adalah 160 unit, berapa MXPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLROHKSDEULN pada tahun tersebut? Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

x SURGXNVL EXODQ SHUWDPD VXNX SHUWDPD a = 100

Sumber: http://teknologi.inilah.com

Gambar 2.22 Produksi mobil

x SURGXNVLEXODQNHHPSDWVXNXNHHPSDW U4 = 160 MATEMATIKA

119

Ditanya:

-XPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLSDEULNGDODPVDWXWDKXQEXODQ S12

Jawab: Langkah 1: Dari a dan U4, hitung nilai b U4 = a + 3b =160, substitusikan nilai a = 100 ke dalam U4 didapatkan 100 + 3b = 160 3b = 60 b = 20 Langkah 2: Dari a dan b hitung S12 Sn = S n

n a n b 2

12 ± 2 = 2.520 -DGLMXPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLSDEULNSDGDWDKXQWHUVHEXWDGDODKVHEDQ\DN 2.520 unit. S12 =

Ayo Kita Menalar a. Pada Contoh 2.6 di atas, siswa dapat menghitung S12 tanpa menghitung U12. Apakah nilai U12 memang tidak dipergunakan untuk menghitung S12"-HODVNDQ b. Pada Contoh 2.6 di atas, U1 dari deret telah diketahui. Apakah mungkin mencari S12 apabila U1 tidak diketahui, tetapi sebagai gantinya yang diketahui adalah U2 dan suku U4? Jelaskan alasanmu dan tuliskan secara detail bagaimana langkahODQJNDKQ\D Contoh 2.7

Potongan Kayu

x 3DGD &RQWRK VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQHQWXNDQ SDQMDQJ SRWRQJDQ ND\X PXODPXODMLNDGLNHWDKXLMXPODKSRWRQJDQVHUWDSDQMDQJSRWRQJDQWHUSHQGHN GDQWHUSDQMDQJ x &RQWRKVRDOLQLEHUWXMXDQXQWXNPHPSHUPXGDKVLVZDGDODKPHPDKDPLDSOLNDVL deret geometri dalam kehidupan sehari-hari. Guru dapat memberikan variasi FRQWRKVRDOODLQQ\D\DQJNUHDWLIGDQLQRYDWLI

120


Contoh 2.7

Potongan Kayu

Pak Seno memiliki sepotong kayu. Kemudian ia PHPRWRQJQ\D PHQMDGL EDJLDQ GHQJDQ PHQJLNXWL aturan deret geometri. Apabila potongan yang WHUSHQGHNDGDODKFPGDQSRWRQJDQ\DQJWHUSDQMDQJ DGDODK FP EHUDSDNDK SDQMDQJ ND\X 3DN 6HQR mula-mula? Alternatif Penyelesaian:

Sumber: http://liriklaguanak.com

Gambar 2.23 Potongan kayu

Diketahui:

6HSRWRQJND\XGLSRWRQJPHQMDGLEDJLDQGHQJDQGHQJDQ x SRWRQJDQWHUSHQGHNVXNXSHUWDPD a = 3 x SRWRQJDQWHUSDQMDQJVXNXNHHQDP U6 = ar5 = 96

Ditanya:

3DQMDQJND\XPXODPXOD S6

Jawab: Langkah 1: Dari a dan U6, hitung nilai r

U6 96 ar 5 = = r5 = = 32 3 U1 a dengan demikian didapatkan nilai r = 2 Langkah 2: Dari a dan r hitung S6 Sn = S6 = =

a r n r 1

6 1

= 189 cm -DGLSDQMDQJND\X3DN6HQRPXODPXODDGDODKFP Ayo Kita Menalar

3DGD&RQWRKGLDWDVWHODKGLNHWDKXLEDKZDSDQMDQJND\X3DN6HQRPXODPXOD sebelum dipotong adalah 189 cm. Di lain pihak, Pak Badu yang merupakan tetangga MATEMATIKA

121

3DN6HQRMXJDPHPLOLNLVHSRWRQJND\XGHQJDQSDQMDQJDGDODKFPOHELKSDQMDQJ dari potongan kayu Pak Seno mula-mula. Apabila Pak Badu ingin memotong kayu PLOLNQ\DVHMXPODKEDJLDQGHQJDQPHQJLNXWLDWXUDQGHUHWDULWPHWLNDGDQSRWRQJDQ ND\XWHUSHQGHNQ\DDGDODKFP0HQXUXWVLVZDOHELKSDQMDQJPDQDDQWDUDSRWRQJDQ ND\X WHUSDQMDQJ PLOLN 3DN 6HQR DWDX SRWRQJDQ ND\X WHUSDQMDQJ PLOLN 3DN %DGX" -HODVNDQMDZDEDQQ\D Ayo Kita Tinjau Ulang 3DGD EDJLDQ WLQMDX XODQJ VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQJLQJDW GDQ PHQJXODQJ NHPEDOLPDWHUL\DQJWHODKGLSHODMDULSDGDEDEGHUHWELODQJDQ 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDOVHFDUDPDQGLULXQWXNPHPEXNWLNDQVLIDW yang berlaku pada barisan aritmatika dan geometri. 0LQWDSHUZDNLODQVLVZDXQWXNPHQXOLVNDQMDZDEDQQ\DGLSDSDQWXOLV 0LQWD VLVZD XQWXN PHQXNDUNDQ MDZDEDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNX GDQ PHQFRFRNNDQVHPXDMDZDEDQ 5. Berikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya. Berikan SHQMHODVDQVLQJNDWMLNDDGDVLVZD\DQJEHOXPPHPDKDPLPDWHUL %HULNDQSHQLODLDQSDGDWLDSVLVZDEHUGDVDUNDQMDZDEDQPHUHNDPDVLQJPDVLQJ Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Jika Un adalah suku ke-n dari barisan bilangan, dengan n adalah bilangan asli , buktikanlah bahwa: Sn – Sn – 1 = Un 2. Buatlah langkah-langkah sederhana untuk mendapatkan S20 pada suatu deret bilangan apabila diketahui U1 = a, U8 = a + 7b dan U10 = a + 9b, dengan a dan b adalah bilangan asli dan b menyatakan beda pada barisan bilangan tersebut. -HODVNDQDODVDQPX

Latihan 2.3

Deret Bilangan

1. Lakukan penilaian sikap saat siswa melakukan kegiatan Diskusi dan Berbagi. /DNXNDQ SHQLODLDQ SHQJHWDKXDQ VDDW VLVZD PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQ $\R .LWD 0HQDODU

122


3. Indikator semua siswa sudah menguasai konsep adalah ketika siswa kelompok rendah sudah mampu menguasai konsep. 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDO/DWLKDQGHQJDQPDQGLUL /DNXNDQNHJLDWDQSHPEHODMDUDQSHQJD\DDQGDQUHPHGLDO Latihan 2.3

Deret Bilangan

7HQWXNDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXWLQL 1 + 1 + 2 + 4 + ... a. 3 + 10 + 17 + 24 + ... d. 2 8 4 b. 38 + 33 + 28 + 23 + ... e. 3 + 2 + + +... 9 3 27 + ... F I 2 Penyelesaian: a. 345

d. 511½

§ § 2 ·10 · e. 9 ¨1 - ¨ ¸ ¸ ¨ ©3¹ ¸ © ¹

b. 155

§ 3 10 · I 8 ¨ ¨§ ¸· 1¸ ¨© 2 ¹ ¸ © ¹ n–1 2. Hitunglah nMLND = 127 F

Penyelesaian: n=7 -LNDGLNHWDKXLMXPODKn suku pertama bilangan asli adalah 5.050, berapakah nilai n"7HQWXNDQUXPXVXQWXNn bilangan asli pertama. Penyelesaian: Suku pertama adalah 1, selisih antar 2 suku berurutan adalah 1. Gunakan rumus pada deret bilangan, diperoleh n 5XPXV XQWXN MXPODK n bilangan asli n pertama adalah Sn = n 2 -LNDMXPODKn suku pertama suatu barisan adalah 4n2n PDNDWHQWXNDQU4. Penyelesaian: U4 = S4 – S3

MATEMATIKA

123

S4 = 320 dan S3 = 144 U4 = 176 1RPRUUXPDKSDGDVDODKVDWXVLVL-DODQ0DNPXUGL3HUXPDKDQ$VULGLPXODLGDUL nomor 143, 145, 147, dan seterusnya.

D 3DGDVLVLMDODQ\DQJVDPDXUXWDQNHEHUDSDNDKUXPDKQRPRU"

E 3DGDVLVLMDODQ\DQJVDPDUXPDKQRPRUEHUDSDNDK\DQJWHUOHWDNSDGDXUXWDQ ke-25? Penyelesaian: a. 9 b. 191

7HQWXNDQMXPODKVHPXDELODQJDQELODQJDQEXODWGLDQWDUDGDQ\DQJKDELV GLEDJLWHWDSLWLGDNKDELVGLEDJL Penyelesaian: Jumlah bilangan bulat yang lebih besar dari 100 dan kurang dari 300, serta habis dibagi 5 adalah 7.800. Jumlah bilangan bulat yang lebih besar dari 100 dan kurang dari 300, serta habis dibagi 5 dan 7 adalah 1.155.

'HQJDQGHPLNLDQMXPODKELODQJDQEXODW\DQJOHELKEHVDUGDULGDQNXUDQJ dari 300, serta habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah 6.645.

7. Menjatuhkan Bola 6HEXDK EROD GLMDWXKNDQ dari ketinggian 4 meter. Bola tersebut kemudian memantul dengan ketinggian sebesar 3 meter pada pantulan pertama. Setelah itu bola tersebut terus memantul dengan ketinggian sebesar ¾ dari tinggi sebelumnya. Berapakah meter tinggi bola pada pantulan kedua, ketiga, keempat, dan kelima? EXODWNDQVDPSDLDQJNDGHVLPDO Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.24 Pantulan bola

a. Lengkapi tabel di bawah ini: Pantulan ke-

1

2

3

4

5

Tinggi pantulan (meter)

124

E *DPEDUNDQKDVLO\DQJVLVZDGDSDWNDQGLDWDVNHGDODPEHQWXNJUD¿N c.

Berapakah tinggi pantulan bola pada pantulan ke-6?

d.

Berapa meter total lintasan yang dilalui oleh bola tersebut apabila bola tersebut berhenti tepat saat pantulan keenam?


Penyelesaian: D 7LQJJL EROD SDGD SDQWXODQ NH VDPSDL NH EHUWXUXWWXUXW DGDODK 729 9 27 81 243 , dan . , , , 1.024 4 16 64 256 b.

2.187 meter 4.096

F

9 27 81 243 729 2.187 + + + + + PHWHU 4 16 64 256 1.024 4.096

8. Menabung. Ibu memiliki uang sebesar 5S GDQ LQJLQ PHPEHULNDQ XDQJ tersebut kepada Andi untuk ditabung. Namun ibu tidak memberikan uang tersebut secara langsung, melainkan secara bertahap. Pada hari pertama ibu PHPEHUL$QGLXDQJVHEHVDU5SSDGDKDUL NHGXDLEXPHPEHUL5LQDXDQJVHEHVDU5S begitu seterusnya uang yang diberikan oleh ibu EHUWDPEDK VHEHVDU 5S VHWLDS KDULQ\D Sumber: http://diketiknews. blogspot.com Jika ibu ingin memberikan seluruh uang yang Gambar 2.240HQDEXQJ dipunyai kepada Andi, maka berapa hari Andi akan PHQGDSDWNDQVHOXUXKXDQJWHUVHEXW Penyelesaian: 20 hari 9. Turnamen Tennis 3DGD VXDWX NHMXDUDDQ GXQLD tennis total ada 2.048 peserta mengikuti turnamen WHUVHEXWXQWXNPHPSHUHEXWNDQJHODUMXDUDSHULQJNDW GXQLD 6LVWHP \DQJ GLJXQDNDQ GDODP NHMXDUDDQ tersebut adalah sistem cup, dimana pemenang dari tiap pertandingan akan lolos ke babak berikutnya dan peserta yang kalah akan langsung tereliminasi secara otomatis. Sumber: http://www.portalkbr. com

a.

Berapakah total pertandingan yang dimainkan GDULDZDOWXUQDPHQVDPSDLSDGDEDEDN¿QDO"

b.

Jika diasumsikan bahwa pada tiap pertandingan MXPODKWLNHW\DQJWHUMXDODGDODKEXDKEHUDSDMXPODKWLNHW\DQJWHUMXDO VHODPDNHMXDUDDQWHQQLVWHUVHEXW"

Gambar 2.26 Pertandingan tennis

Penyelesaian:

3DGDEDEDNDZDOSHUWDPDNHMXDUDDQWHUVHEXWGLLNXWLROHKSHVHUWDVHKLQJJD WHUGDSDWSHUWDQGLQJDQ%DEDN¿QDOKDQ\DPHPDLQNDQSHUWDQGLQJDQ\DQJ diikuti oleh 2 peserta yang terus lolos dari babak awal. Jumlah pertandingan pada MATEMATIKA

125

WLDSWLDSEDEDNGDULEDEDNDZDOVDPSDLGHQJDQEDEDN¿QDOEHUWXUXWWXUXWDGDODK 1.024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, dan 1. D 7RWDO SHUWDQGLQJDQ GDUL EDEDN DZDO WXUQDPHQ VDPSDL GHQJDQ EDEDN ¿QDO adalah 2.047 pertandingan. b. 1.023.500 tiket 10. Robot Mobil. Suatu robot mobil yang digerakkan dengan tenaga baterai memiliki NHFHSDWDQ DZDO FPGHWLN (QHUJL \DQJ tersimpan di dalam baterai mobil tersebut terus EHUNXUDQJ VHSDQMDQJ ZDNWX VHKLQJJD VHWHODK EHUMDODQ VHODPD VHWHQJDK PHQLW GDUL SRVLVL DZDONHFHSDWDQURERWPRELOEHUNXUDQJPHQMDGL FPGHWLN GDQ NHFHSDWDQQ\D EHUNXUDQJ ODJL PHQMDGL FPGHWLN VHWHODK EHUMDODQ PHQLW dari posisi awal, begitu seterusnya kecepatan URERWPRELOVHODOXEHUNXUDQJVHEHVDUFPGHWLN VHWLDSVHWHQJDKPHQLW5RERWPRELOWLGDNGDSDW EHUMDODQ NHWLND NHFHSDWDQQ\D PHQFDSDL FP Sumber: http://nibiru-world. blogspot.com detik. D 3DGDMDUDNEHUDSDPHWHUGDULSRVLVLDZDOGDQ setelah berapa menit robot mobil tersebut akan berhenti?

Gambar 2.27 5RERWPRELO

b. Jika lintasan robot mobil berupa lingkaran dengan diameter 56 cm, apakah URERWPRELOWHUVHEXWGDSDWEHUMDODQVHSDQMDQJVDWXSXWDUDQSHQXK"%HULNDQ SHQMHODVDQPX Penyelesaian:

D -DUDN \DQJ GLWHPSXK SDGD VHWHQJDK PHQLW SHUWDPD DGDODK FPGHWLN u 30 detik = 630 cm. Jarak yang ditempuh pada setengah menit kedua adalah FPGHWLN u GHWLN FP +LWXQJ MDUDN \DQJ GLWHPSXK ROHK URERW mobil setiap setengah menit, sampai robot mobil tersebut berhenti. Dengan GHPLNLDQGLSHUROHKMDUDNWRWDOGDULSRVLVLDZDOVDPSDLURERWPRELOWHUVHEXW berhenti adalah 2.520 cm. E .HOLOLQJ OLQJNDUDQ \DQJ PHQMDGL OLQWDVDQ URERW PRELO DGDODK FP 'HQJDQGHPLNLDQURERWPRELOWLGDNEHUMDODQVDPSDLVDWXSXWDUDQSHQXK

126


Proyek 2 3DGD SUR\HN LQL WLDSWLDS VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQFDUL LQIRUPDVL PHQJHQDL barisan bilangan yanag diberikan. Barisan bilangan yang dimaksud adalah Barisan Fibonacci. 0DVLQJPDVLQJ VLVZD GLEHULNDQ ZDNWX VHODPD VHPLQJJX XQWXN PHQFDUL LQIRUPDVLVHEDQ\DNEDQ\DNQ\DWHUNDLWEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW 7XJDV GLWXOLVNDQ VHFDUD UDSL SDGD NHUWDV GDQ GLVHUDKNDQ NHSDGD JXUX XQWXN diberikan penilaian. *XUXPHPEHULNDQSHQLODLDQSDGDWXJDVWLDSVLVZD6HPDNLQGHWDLOLQIRUPDVL yang diberikan semakin besar nilai yang didapatkan siswa. 0LQWD EHEHUDSD RUDQJ VLVZD XQWXN PHQFHULWDNDQ WXJDV \DQJ WHODK PHUHND NHUMDNDQGLGHSDQNHODV

Proyek 2 Perhatikan barisan bilangan di bawah ini: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Bagaimana cara untuk mendapatkan suku-suku berikutnya dari barisan bilangan di atas? Dapatkan rumus matematika untuk mendapatkan suku ke-n dari barisan di atas? Barisan bilangan di atas telah secara umum dikenal oleh PDWHPDWLNDZDQ 7XJDV NDOLDQ DGDODK WXOLVNDQ VHMDUDK VLQJNDW GDUL EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ GLPDNVXG VHUWD SHQHUDSDQQ\D GDODP NHKLGXSDQ NLWD VHKDULKDUL Carilah pada beberapa literatur, baik pada buku, internet, maupun sumber lainnya. 7XOLVNDQVHFDUDUDSLGDQFHULWDNDQNHSDGDWHPDQWHPDQPXGLGHSDQNHODV

MATEMATIKA

127

Uji Kompetensi 2

Pola, Barisan, dan Deret

8ML NRPSHWHQVL GLJXQDNDQ XQWXN PHQJHWDKXL NRPSHWHQVL \DQJ WHODK GLFDSDL siswa tentang pola, barisan, dan deret. 2. Jika memungkinkan guru dapat membuat soal lain yang lebih bervariasi untuk 8ML.RPSHWHQVL 3. Siswa sudah tuntas apabila sudah mencapai nilai diatas 75 dan siswa diberi soal tambahan yang lebih menantang, dan apabila masih kurang dari 75 maka guru PHODNXNDQSHPEHODMDUDQUHPHGLDOVHEHOXPPHODQMXWNDQNHPDWHULEHULNXWQ\D Uji Kompetensi 2

Pola, Barisan, dan Deret

7HQWXNDQVXNXVXNXGDULELODQJDQELODQJDQGLEDZDKLQL a. Suku ke-30 dari barisan bilangan 50, 56, 62, 68, ... b. Suku ke-8 dari barisan bilangan 6, 12, 24, 48, ... c. Suku ke-2015 dari barisan bilangan 2, 7, 12, 17, ... d. Suku ke-10 dari barisan bilangan 15, 10, 20 , 40 , ... 3 9 Penyelesaian: a. 224 b. 768 c. 10.072

2 d. 10 3 7HQWXNDQVXNXNHGDQVXNXNHnUn GDULEDULVDQELODQJDQEHULNXW a. 1, 6, 11, 16, ... b. 2, 6, 18, 54, ... c. 100, 95, 90, 85, ...

1 5 7 , 1, , , ... 3 3 3 Penyelesaian:

d.

a. U8 = 36, Un = 5n – 4

128


b. U8 = 4.374, Un n – 1 c. U8 = 65, Un = 105 – 5n d. U8 = 5, Un =

2 1 5 7 n – , 1, , 3 3 3 3

3. Lengkapilah bagian-bagian yang kosong dalam pola bilangan di bawah ini: u u u u u u u u u Penyelesaian: u u u u u u u u u 4. Perhatikan pola bilangan di bawah ini: 1 + 2 = 3 4 + 5 + 6 = 7 + 8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24 dan seterusnya

MATEMATIKA

129

7HQWXNDQ ELODQJDQ WHUDNKLU SDGD EDULV NH %DJDLPDQD FDUDPX PHQGDSDWNDQQ\D"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW Penyelesaian: Perhatikan bilangan pertama pada ruas kiri tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat. Bilangan pertama pada pada ruas kiri baris ke-n adalah n2. Bilangan pertama pada ruas NLULEDULVNHDGDODK 2 = 676. Dengan demikian bilangan terakhir pada ruas kanan dari baris ke-25 adalah 675.

5. Pada papan catur di bawah terdapat 64 kotak. Kotak pertama diisi 6 butir padi, kotak kedua diisi 12 butir padi, kotak ketiga diisi 18 butir padi, demikian VHWHUXVQ\D VHWLDS NDOL SHQJLVLDQ EHUVHOLVLK EXWLU +LWXQJODK MXPODK ELML EHUDV SDGDSDSDQFDWXUEHULNXW 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

Gambar 2.28 Papan catur yang diisi butir padi

Penyelesaian: Lakukan perhitungan dengan menggunakan rumusan pada deret bilangan. 'LGDSDWNDQMXPODKVHOXUXKEXWLUEHUDVSDGDSDSDQFDWXUWHUVHEXWDGDODK butir beras. 6. Panjang Sisi Segitiga. Diketahui keliling dari segitiga sama sisi ABC di bawah ini adalah wFP7LWLNWHQJDKGDUL masing-masing sisi segitiga tersebut kemudian dibubungkan satu dengan yang lainnya sehingga membentuk suatu segitiga baru yang lebih kecil. Proses ini berlangsung secara terusmenerus seperti yang terlihat pada gambar. Apabila keliling dari segitiga ke-8 yang terbentuk adalah 1,5 cm, tentukan nilai dari w

C

A

B Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.29 Segitiga sama sisi

130


Penyelesaian:

.HOLOLQJVHJLWLJDNHGHODSDQDGDODKFP.HOLOLQJVHJLWLJDNHWXMXKDGDODKGXD kali lipat segitiga kedelapan yaitu 3 cm. Keliling segitiga keenam adalah dua NDOLOLSDWVHJLWLJDNHWXMXK\DLWXFP.HOLOLQJVHJLWLJDSDGDEDJLDQOXDUDGDODK kali lipat dari segitiga yang tepat berada di dalamnya. Dengan demikian keliling segitiga pertama yaitu segitiga ABC adalah 192 cm.

7. Kota YPHUXSDNDQNRWD\DQJWHUOHWDNGLWHSLSDQWDLQDPXQNRWDLQLMXJDGLNHOLOLQJL ROHKJXQXQJJXQXQJ7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQVXKXXGDUDGLNRWDY pada tiap ketinggian wilayahnya. Ketinggian (m)

100

200

300

400

500

600

Suhu (oC)

32

30

28

26

24

22

Suhu di kota tersebut akan turun dengan nilai tetap dengan semakin tingginya wilayah kota yang diukur dari permukaan laut. a. Berapakah suhu di walayah kota Y yang memiliki ketinggian 1.000 m di atas permukaan laut? b. Berapakah suhu di wilayah kota Y yang berada pada wilayah pantai? NHWLQJJLDQZLOD\DKSDQWDLGLDVXPVLNDQVDPDGHQJDQNHWLQJJLDQSHUPXNDDQ DLUODXW c. Berapakah suhu terendah di kota YMLNDNHWLQJJLDQPDNVLPXPZLOD\DKNRWD Y adalah 1.300 m di atas permukaan laut? G 0HQXUXWVLVZDEHUDSDNDKVXKXGLZLOD\DKNRWDY yang memiliki ketinggian PGLDWDVSHUPXNDDQODXW"%HULNDQDODVDQPX Penyelesaian: a. 20oC b. 14oC

c. 34oC d. 8oC

8. Gaji Manajer 3DN +D¿G DGDODK VHRUDQJ PDQDMHU GL VHEXDK SHUXVDKDDQ DVXUDQVL 7DKXQ ODX GLD PHQGDSDWNDQ JDML VHEHVDU 5S SHU bulan. Karena prestasinya, tahun ini dia mendapatkan NHQDLNDQ JDML VHEHVDU 5S VHKLQJJD SDGD WDKXQ LQL GLD PHQGDSDWNDQ JDML VHEHVDU 5SSHUEXODQ3DGDWDKXQGHSDQJDMLQ\D QDLNODJLPHQMDGL5SSHUEXODQEHJLWX VHWHUXVQ\D GLD PHQGDSDWNDQ NHQDLNDQ JDML VHEHVDU Sumber: http://www. 5SVHWLDSWDKXQQ\D bimbingan.org D -LND WDKXQ LQL XVLD 3DN +D¿G DGDODK WDKXQ Gambar 2.300DQJHU perusahaan EHUDSDEHVDUJDMLSHUEXODQ\DQJDNDQGLGDSDWNDQ 3DN+D¿GNHWLNDXVLDQ\DDGDODKWDKXQ" MATEMATIKA

131

b. Apabila batas pensiun di perusahaan asuransi tersebut adalah 60 tahun dan GLDVXPVLNDQ3DN+D¿GDNDQPHQMDEDWVHEDJDLPDQDMHUVDPSDLGLDSHQVLXQ DSDNDK3DN+D¿GSHUQDKPHQGDSDWNDQJDMLPLQLPDOVHEHVDU5S tiap bulannya? Jika iya pada usia berapa dia mendapatkannya? Berikan SHQMHODVDQPX Penyelesaian:

*DML3DN+D¿GSDGDWDKXQLQLDGDODK5S*DML3DN+D¿GSDGDn WDKXQPHQGDWDQJDGDODK5S

9. Pada sebuah segitiga sembarang diketahui bahwa besar salah satu sudutnya adalah 600. Ketiga sudut segitiga tersebut membentuk suatu barisan DULWPHWLND +DVLO SHQMXPODKDQ DQWDUD VXGXW pertama dengan sudut kedua adalah 1.000, hasil SHQMXPODKDQ DQWDUD VXGXW NHGXD GHQJDQ VXGXW NHWLJDDGDODKVHGDQJNDQKDVLOSHQMXPODKDQ antara sudut pertama dengan sudut ketiga adalah 1.200. Berapakah besar kedua sudut lain dari segitiga tersebut?

Gambar 2.31 Segitiga sembarang

Penyelesaian:

0LVDONDQVXGXWNHVHEHVDUx, sudut ke-2 sebesar y, dan sudut ke-3 sebesar z. Gunakan perhitungan pada barisan aritmetika, dan dari keterangan yang ada tersebut, didapatkan besar sudut lainnya adalah 40o dan 80o.

10. Jumlah dari deret bilangan 1 + 8 + 15 + … adalah 396. Berapa banyak suku pada deret bilangan tersebut? Penyelesaian: Banyak suku pada deret bilangan tersebut adalah 11. 11. Pabrik Sepeda. Sebuah pabrik memproduksi sepeda gunung. Permintaan pasar terhadap sepeda gunung tersebut terus meningkat tiap bulannya. Agar tetap bisa memenuhi kebutuhan pasar, maka SDEULNWHUXVPHQLQJNDWNDQMXPODKSURGXNVLVHSHGD gunung tiap bulannya. Jumlah sepeda gunung yang diproduksi tiap bulannya membentuk suatu EDULVDQ DULWPHWLND -LND MXPODK VHSHGD JXQXQJ yang diproduksi pada bulan ke-3 adalah 1.500 unit Sumber: http://sumutpos.co GDQSDGDEXODQNHMXPODKVHSHGDJXQXQJ\DQJ Gambar 2.32 Pabrik sepeda GLSURGXNVLDGDODKXQLW7HQWXNDQ a. Banyaknya produksi pada bulan pertama b. Pertambahan produksi tiap bulan

132


c. Jumlah produksi pada tahun pertama G 3DGD EXODQ NH EHUDSD VHWHODK SDEULN WHUVHEXW EHURSHUDVL MXPODK SURGXNVL sepeda melebihi 10.000 unit tiap bulannya? Penyelesaian: a. 1.000 unit b. 250

c. 28.500 unit d. Bulan ke-38

$QGUH GLNRQWUDN XQWXN EHNHUMD SDGD VXDWX SHUXVDKDDQ VHODPD KDUL 6HEHOXP EHNHUMD GLD GLPLQWD PHPLOLK DQWDUD GLEHUL JDML VHEHVDU 5S SHU KDUL VHODPD VHPLQJJX DWDX GLEHULNDQ JDML VHEHVDU 5S SDGD KDUL pertama dan bertambah dua kali lipat tiap harinya VHODPD VHPLQJJX 0DQDNDK SLOLKDQ WHUEDLN \DQJ KDUXVGLSLOLK$QGUHDJDUGLDPHQGDSDWNDQJDML\DQJ Sumber: http://h4rry5450ngko. PDNVLPDO"-HODVNDQMDZDEDQ blogdetik.com Penyelesaian:

Gambar 2.333HNHUMD kantoran

2SVL SHUWDPD DGDODK $QGUH DNDQ GLJDML VHEHVDU 5SWLDSKDULVHODPDWXMXKKDUL2SVLNHGXD DGDODK$QGUH DNDQ GLJDML 5S SDGD KDUL SHUWDPD GDQ DNDQ PHQLQJNDW PHQMDGL GXD NDOL OLSDW SDGD KDUL EHULNXWQ\D EHJLWX VHWHUXVQ\D VDPSDL KDUL -LND PHPLOLK RSVL SHUWDPD PDND WRWDO JDML $QGUH VHODPD KDUL NHUMD DGDODK 5S-LNDPHPLOLKRSVLNHGXDPDNDWRWDOJDMLQ\DVHODPDKDULNHUMD DGDODK 5S 'HQJDQ GHPLNLDQ SLOLKDQ WHUEDLN \DQJ KDUXV GLSLOLK Andre adalah opsi kedua.

13. Toko Kue. Pak Udin mempunyai VHEXDKWRNRNXH.DUHQDNXH\DQJGLMXDO VDQJDWOH]DWPDNDEDQ\DNSHPEHOLEDUX yang berdatangan setiap harinya untuk membeli kuenya. Dengan semakin larisnya usaha kue yang dimiliki oleh Pak Udin, maka keuntungan yang GLGDSDWNDQSXQMXJDVHPDNLQEHUWDPEDK VHWLDS KDULQ\D GHQJDQ MXPODK \DQJ tetap. Bila total keuntungan sampai KDUL NHHPSDW DGDODK 5S GDQ total keuntungan sampai hari kesepuluh Sumber: http://ipnuralam.wordpress.com DGDODK 5S PDND WHQWXNDQ Gambar 2.347RNRNXH WRWDONHXQWXQJDQVDPSDLKDULNH

MATEMATIKA

133

Penyelesaian: Hitung menggunakan rumusan pada deret bilangan, sehingga didapatkan NHXQWXQJDQSDGDKDULSHUWDPDDGDODK5S3HUWDPEDKDQNHXQWXQJDQ WLDS KDULQ\D DGDODK 5S 7RWDO NHXQWXQJDQ VDPSDL KDUL NH DGDODK 5S 14. Tantangan3HUKDWLNDQJDPEDUGLEDZDKLQL


Gambar 2.35 Susunan segitiga

Aturan untuk mendapatkan gambar berikutnya adalah dengan menambah gambar segitiga sama sisi berwarna hitam dengan ukuran sisinya adalah setengah dari masing-masing segitiga berwarna putih yang tersisa pada gambar berikutnya. Jika diketahui luas segitiga sama sisi pada gambar pertama adalah 10 satuan luas, tentukan luas daerah yang dibentuk oleh segitiga berwarna hitam pada gambar ke-5. Jika siswa diminta untuk menentukan luas daerah yang dibentuk oleh segitiga berwarna hitam pada gambar ke-8, bagaimana caramu menentukannya? Berapakah luas daerahnya? Penyelesaian: Langkah pertama adalah hitung luas satu buah segitiga sama sisi berwarna putih pada tiap-tiap gambar. Pada gambar pertama, luas satu buah segitiga putih adalah 1 10 satuan. Pada gambar kedua luas satu buah segitiga putih adalah u 10. Pada 4 12 u 10. Dengan menggunakan gambar ketiga luas satu buah segitiga putih adalah 4 1 pola ini, maka luas satu buah segitiga putih pada gambar ke-n adalah n – 1 u10. 4 Langkah kedua adalah hitung luas daerah yang dibentuk oleh segitiga hitam pada tiap-tiap gambar. Pada gambar kedua luas daerah yang dibentuk oleh 1 u 10. Pada gambar ketiga luas daerah yang dibentuk segitiga hitam adalah 4 3 1 1 oleh segitiga hitam adalah u 10 + u 10. Dengan menggunakan pola ini, 4 4 4 maka luas daerah yang dibentuk oleh segitiga hitam pada gambar ke-n adalah 0 1 2 n2 1 §§ 3 · § 3 · § 3 · §3· · u ¨ ¨ ¸ + ¨ ¸ + ¨ ¸ + … + ¨ ¸ ¸ u10. 4 ¨© 4 ¹ © 4 ¹ © 4 ¹ © 4 ¹ ¸¹ ©

134


Dengan demikian luas daerah yang dibentuk oleh segitiga berwarna hitam pada 0 1 2 3 1 §§ 3 · § 3 · § 3 · § 3 · · gambar kelima adalah u ¨ ¨ ¸ + ¨ ¸ + ¨ ¸ + ¨ ¸ ¸ u10. 4 ¨© © 4 ¹ © 4 ¹ © 4 ¹ © 4 ¹ ¸¹ Luas daerah yang dibentuk oleh segitiga berwarna hitam pada gambar ke-8 0 1 2 6 §3· · 1 §§ 3 · § 3 · § 3 · adalah u ¨¨ ¨ ¸ + ¨ ¸ + ¨ ¸ + …+ ¨ ¸ ¸¸ u10. 4 ©© 4 ¹ © 4 ¹ © 4 ¹ ©4¹ ¹ 15. Tantangan 7LJD ELODQJDQ PHPEHQWXN VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND$SDELOD VXNX pertama dikurangi dengan suku ketiga, hasilnya adalah 8. Ketika suku pertama, kedua dan ketiga barisan aritmetika tersebut masing-masing ditambah dengan 3, 5, dan 8 maka bilangan-bilangan yang dihasilkan akan membentuk suatu barisan JHRPHWUL&DULODKEHGDGDQVXNXSHUWDPDEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW%LODQJDQ EHUDSDVDMD\DQJWHUPDVXNGDODPEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW" Penyelesaian:

0LVDONDQ WLJD ELODQJDQ \DQJ EHUXUXWDQ WHUVHEXW DGDODK a, b, dan c. Dari soal diketahui bahwa a – c = 8, atau bisa dituliskan a = c + 8. Beda pada barisan aritmetika tersebut adalah -4. Dengan menggunakan perbandingan pada barisan geometri diperoleh:

a +3 c +8 = b+5 b+5 a+3 a = a4+5 a4+5 a+3 a = a +1 a +1 a2 + 4a + 3 = a2 + a diperoleh nilai a = -1 Dengan demikian bilangan yang termasuk ke dalam barisan aritmetika adalah -1, -5, dan -9.

MATEMATIKA

135

Soal Pengayaan 1. Data Nilai Ekspor Perusahaan 'DWD EHULNXW PHQXQMXNNDQ QLODL HNVSRU GDUL sebuah perusahaan tekstil

Tahun

Nilai ekspor (dalam milyar rupiah)

2010

3

2011

6

2012

9

2013

12

2014

…

2015

…

2016

…

1LODL HNVSRU SHUXVDKDDQ WHNVWLO WHUVHEXW WHUXV PHQLQJNDW GHQJDQ MXPODK \DQJ WHWDSWLDSWDKXQQ\D%HUGDVDUNDQGLDWDVMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXWLQL a. Berapakah nilai ekspor perusahaan tekstil tersebut pada tahun 2014, 2015, dan 2016? (15, 18 dan 21 milyar) b. Prediksilah nilai ekspor perusahaan tekstil tersebut pada tahun 2017 dan (24 dan 33 milyar) c. Berapa total nilai ekspor perusahaan tekstil tersebut dari tahun 2010 hingga tahun 2020? (198 milyar)

2. Menabung. Udin membuka rekening tabungan di sebuah Bank. Pada bulan SHUWDPDLDPHQ\HWRUXDQJVHEHVDU5S-XPODKVHWRUDQWLDSEXODQQ\D DNDQLDQDLNNDQVHEHVDU5SGDULEXODQVHEHOXPQ\D7HQWXNDQ D %HVDUVHWRUDQ8GLQSDGDEXODQNH(Rp280.000,00) E 3DGDEXODQNHEHUDSDNDKMXPODKXDQJ\DQJGLVHWRUNDQ8GLQNHEDQNDGDODK VHEHVDU5S"(bulan ke-16) F %HUDSDMXPODKWRWDOXDQJ8GLQGLEDQNVHWHODKWDKXQ"(Rp7.920.000,00) 3. Surat Lamaran Kerja. Sari adalah seorang pegawai di sebuah perusahaan PRELO ,D PHQGDSDW WXJDV GDUL PDQDMHUQ\D XQWXN PHPEXDW ODSRUDQ PHQJHQDL MXPODKVXUDWODPDUDQ\DQJPDVXNNHSHUXVDKDDQWHUVHEXWGDULWDKXQVDPSDL tahun 2014. Akan tetapi, catatan tersebut hilang. Ia hanya mengingat bahwa MXPODK VXUDW ODPDUDQ VHWLDS WDKXQ GDUL WDKXQ VDPSDL WDKXQ WHUXV EHUWDPEDKWLDSWDKXQQ\DGHQJDQMXPODK\DQJWHWDSMXPODKSHODPDUSDGDWDKXQ 136


2009 dan tahun 2013 besarnya masing-masing adalah 110 dan 210. Berdasarkan NHWHUDQJDQWHUVHEXWWHQWXNDQMXPODKWRWDOSHODPDUGLSHUXVDKDDQPRELOWHUVHEXW GDULWDKXQVDPSDLGHQJDQWDKXQ(1.180) 4. Data Karyawan Baru 'LSHUROHK GDWD PHQJHQDL MXPODK NDU\DZDQ EDUX \DQJ GLWHULPDROHKVXDWXSHUXVDKDDQGDULWDKXQVDPSDLWDKXQ7HUQ\DWDGDWD WHUVHEXWPHPEHQWXNVXDWXEDULVDQDULWPHWLND'LNHWDKXLMXPODKVHOXUXKNDU\DZDQ \DQJGLWHULPDVHODPDNXUXQZDNWXGDULWDKXQVDPSDLWDKXQEHUMXPODK RUDQJGDQMXPODKNDU\DZDQ\DQJGLWHULPDSDGDWDKXQDGDODKRUDQJ 7HQWXNDQODK D -XPODKNDU\DZDQ\DQJGLWHULPDSHUXVDKDDQWHUVHEXWSDGDWDKXQ(45) b. Jumlah seluruh karyawan yang diterima perusahaan tersebut dalam kurun ZDNWXWDKXQKLQJJD(280) 5. Angka Kemiskinan Penduduk. Berdasarkan data sensus dari Departemen Sosial \DQJGLODNXNDQGL.RWD;EHUKDVLOGLNHWDKXLEDKZDMXPODKVHOXUXKSHQGXGXN yang hidup di bawah garis kemiskinan pada bulan Januari 2010 adalah 676.000 MLZD 6HWHODK SHUEDLNDQ HNRQRPL QDVLRQDO SDGD EXODQ -DQXDUL GLNHWDKXL MXPODKSHQGXGXNPLVNLQEHUNXUDQJVHEDQ\DNRUDQJ3DGDEXODQ-DQXDUL MXPODKSHQGXGXNPLVNLQEHUNXUDQJODJLVHEDQ\DNRUDQJ3DGDEXODQ -DQXDUL MXPODK SHQGXGXN PLVNLQ EHUNXUDQJ ODJL VHEDQ\DN RUDQJ Pada bulan Januari tiap tahunnya dilakukan sensus dan didapatkan data bahwa pengurangan penduduk miskin setiap tahun akan meningkat secara tetap sebesar RUDQJGDULWDKXQVHEHOXPQ\D.DSDQNDKVHOXUXKSHQGXGXNNRWD;DNDQ hidup di atas garis kemiskinan? (bulan Januari 2026) 6. Minat Baca. Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan di kota A melakukan sebuah penelitian mengenai kecenderungan minat baca suatu penduduk di Kecamatan 6XNDPDMX 3HQHOLWLDQ GLODNXNDQ GDUL WDKXQ KLQJJD WDKXQ GDQ PHQXQMXNNDQEDKZDNHFHQGHUXQJDQPLQDWEDFDSHQGXGXNNHFDPDWDQ6XNDPDMX selalu meningkat dari tahun ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap. -LNDMXPODKWRWDOSHQGXGXN\DQJPHPLOLNLPLQDWEDFDGDULWDKXQVDPSDL WDKXQDGDODKRUDQJGDQMXPODKWRWDOSHQGXGXN\DQJPHPLOLNLPLQDW baca dari tahun 2007 sampai dengan tahun 2010 besarnya adalah 600 orang. 7HQWXNDQODKMXPODKSHQGXGXN\DQJPHPLOLNLPLQDWEDFDGL.HFDPDWDQ6XNDPDMX SDGDWDKXQ(1.280) 7. Perusahaan Cokelat. Sebuah perusahaan coklat pada bulan Januari 2014 PHQFDWDWODEDEHUVLKVHEHVDUMXWDUXSLDK.DUHQDSHUWXPEXKDQHNRQRPLGDQ SHUPLQWDDQ FRNODW WHUKDGDS SHUXVDKDDQ WHUVHEXW WHUXV PHQLQJNDW MXPODK ODED EHUVLK\DQJGLGDSDWNDQSHUXVDKDDQWHUVHEXWWHUXVPHQLQJNDWPHQMDGLNDOLOLSDW dari bulan sebelumnya. D 7HQWXNDQ UXPXV VXNX NHn dari laba bersih yang didapatkan perusahaan WHUVHEXWGDODPMXWDUXSLDK (32 u 2n –1)

MATEMATIKA

137

b. Pada bulan apakah perusahaan mebel tersebut mendapatkan laba bersih VHEHVDUMXWDUXSLDK"(Mei 2014) F 7HQWXNDQ MXPODK WRWDO ODED EHUVLK SHUXVDKDDQ WHUVHEXW GDUL EXODQ -DQXDUL VDPSDLGHQJDQEXODQ-XOL(4.064 juta / 4,064 milyar rupiah) 7HQWXNDQMXPODKVXNXSHUWDPDEDULVDQELODQJDQGLEDZDKLQL a. 640, 320, 160, 80, … b. 14, 25, 36, 47, … c. 100, 85, 70, 55, … d. 6, 12, 24, 48, … 9. Jika barisan 40, x«PHUXSDNDQEDULVDQJHRPHWULWHQWXNDQMXPODKVXNX SHUWDPDQ\D(77,5) 10. Badak Bercula Satu. Berdasarkan data yang DGD MXPODK EDGDN EHUFXOD VDWX GL 7DPDQ 1DVLRQDO8MXQJ.XORQSDGDWDKXQDGDODK HNRU7LDSWDKXQSRSXODVLEDGDNEHUFXODVDWX semakin menurun, hal ini dikarenakan beberapa hal, diantaranya adalah kematian alami dan perburuan terhadap binatang tersebut. Jika pada tahun 2014 ada 2 ekor badak yang mati, lalu pada tahun 2015 terdapat 4 ekor badak yang mati, GHPLNLDQVHWHUXVQ\DVHKLQJJDWLDSWDKXQMXPODK Sumber: http://fotohewan.info badak yang mati selalu bertambah sebanyak 2 Gambar 2.36 Badak Bercula Satu ekor secara konstan. Jika diasumsikan tidak ada kelahiran badak baru, pada tahun berapa badak bercula satu tersebut akan punah?

138


Bab III Perbandingan Bertingkat

Kata Kunci x x x

Perbandingan Bertingkat Perbandingan Variabel Persen

K ompetensi D asar 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik dan kreatif, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah sehari-hari, yang merupakan pencerminan sikap positif dalam bermatematika. 3.4 Memahami perbandingan bertingkat dan persentase, serta mendeskripsikan permasalahan PHQJJXQDNDQWDEHOJUD¿NGDQ persamaan. 4.2 Menggunakan konsep perbandingan untuk menyelesaikan masalah nyata mencakup perbandingan bertingkat dan persentase dengan PHQJJXQDNDQWDEHOJUD¿NGDQ persamaan.

Pengalaman Belajar 1. 2.

Sumber: Dokumen Kemdikbud Tentunya siswa sering membandingkan dua atau lebih benda karena perbedaan yang dimiliki benda-benda tersebut. Umumnya, membandingkan benda/obyek didasarkan pada kuantitas benda tersebut. Dapatkah siswa menjelaskan dengan katakatamu bagaimanakah aturan membandingkan dua benda atau lebih? Pernahkah siswa memeriksa kandungan dari makanan ringan atau minuman ringan yang siswa konsumsi? Bagaimanakah zat-zat yang terkandung dalam makanan/minuman tersebut disajikan? Tepat sekali, kandungan yang tertera di dalam suatu kemasan makanan/minuman umumnya dalam bentuk persen (%). Kamu tentu juga sering mengamati diskon/ potongan harga ketika sedang berbelanja. Potongan harga di pusat perbelanjaan adalah juga contoh nyata dari penerapan persen. Masih ingatkah siswa cara mendapatkan persentase dari suatu kondisi? Kamu akan memahami konsep perbandingan dan persen di Bab 3 ini.

Menentukan perbandingan antara dua kuantitas atau lebih. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan perbandingan dan persen.

MATEMATIKA

139

Peta Konsep

Perbandingan Bertingkat

Perbandingan Tiga Variabel

140

Perbandingan Bertingkat pada Kehidupan Nyata

Abul Wafa adalah seorang saintis serba bisa. Selain ahli di bidang matematika, ia pun terkenal sebagai insinyur dan astronom terkenal SDGD]DPDQQ\D%HOLDXWHUODKLUEHUQDPD$EXDO :DID0XKDPPDG,EQ0XKDPPDG,EQ 0 PDND JHUDNNDQ _a_ VDWXDQ NHNDQDQ GDQ MLND a < 0 maka JHUDNNDQ_a_VDWXDQNHNLUL Langkah 3. Jika b >PDNDJHUDNNDQ_b_VDWXDQNHDWDVGDQMLNDb < 0 maka gerakkan _b_VDWXDQNHNLUL /DQJNDK 7LWLNDNKLUGDUL/DQJNDKVDPSDLGHQJDQ/DQJNDKPHUXSDNDQSRVLVL titik koordinat Ide Kunci: %LGDQJNRRUGLQDWGLEHQWXNROHKLULVDQGDULJDULVELODQJDQKRUL]RQWDOGDQYHUWLFDO Bilangan garis ini berimpitan pada di titik yang disebut titik asal dan membagi bidang kartesius kedalam empat bagian yang disebut dengan kuadran. Y 5

Kuadran II

4

Kuadran I Koordinat -X

Q

3

(2, 3)

2

(-2, 1) -5

-4

-3

P

-2

Koordinat -Y

1

X -1

0 -1 -2

1

2

3

4

5

-3 -4

Kuadran III

-5

Kuadran IV Titik asal (0, 0)

Gambar 8.3 Pembagian koordinat dari bidang koordinat

MATEMATIKA

411

Pasangan bilangan digunakan untuk menyatakan letak dari titik dalam bidang NDUWHVLXV0LVDOQ\D VHSHUWL\DQJWHUOLKDWSDGDJDPEDUGLDWDV

Contoh 8.1

,GHQWL¿NDVL3DVDQJDQ%LODQJDQ

Pada contoh siswa diharapkan dapat merepresentasikan suatu titik pada bidang kartesius ke pasangan bilangan. Contoh 8.1

,GHQWL¿NDVL3DVDQJDQ%LODQJDQ

Pasangan bilangan yang mana yang berhubungan dengan titik C? $ % & ' Y 6 D

F

5 4 3 2 1 0

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1

u 2

3

4

5

-2 -3 -4 E

-5 -6

Gambar 8.2 Gambar titik koordinat

Alternatif Penyelesaian: Diketahui : Gambar titik koordinat Ditanya

: Posisi titik C

Jawab

:

412


C

6

7

8

9 10

X

7LWLNC adalah 4 satuan ke kanan dari titik asal dan 5 satuan kebawah. Jadi koordinat-x adalah 4 dan koordinat-y DGDODK -DGL SDVDQJDQ ELODQJDQ EHUKXEXQJDQ dengan titik C'HQJDQGHPLNLDQMDZDEDQ\DQJEHQDUDGDODK&

Contoh 8.2

Menggambarkan Pasangan Bilangan

Pada contoh siswa diharapkan dapat merepresentasikan pasangan bilangan kedalam bidang kartesius. Contoh 8.2

Menggambarkan Pasangan Bilangan

*DPEDUNDQ WLWLN D GDQ E 4 1 SDGD ELGDQJ NDUWHVLXV 'HVNULSVLNDQ 2 letak dari setiap titik. Alternatif Penyelesaian: 'LNHWDKXL WLWLND GDQE 4 1 2 Ditanya : Deskripsikan letak setiap titik Jawab

:

D /DQJNDK0XODLGHQJDQWLWLNDVDO Langkah 2. Gerakkan 1 satuan ke kiri Langkah 3. Gerakkan 2 satuan keatas. b. Lalu gambar titiknya. Jadi titik berada pada kuadran II.

/DQJNDK0XODLGHQJDQWLWLNDVDO Langkah 2. Gerakkan 0 satuan ke kanan Langkah 3. Gerakkan 4

1 satuan ke bawah 2

Lalu gambar titiknya. Jadi titiknya pada Sumbu-Y.

Contoh 8.3

Aplikasi Kehidupan Nyata

3DGDEDJLDQLQLVLVZDGLKDUDSNDQGDSDWPHQJJDOLLQIRUPDVLGDULGDWDGHQJDQFDUD menggambarkan data tersebut tersebut kedalam bidang kartesius.

MATEMATIKA

413

Aplikasi Kehidupan Nyata

Contoh 8.3

Ayo Kita Gali Informasi 7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQSHUXEDKDQNHGDODPDQVXDWXVXQJDLWLDSMDPPXODL GDULWHQJDKPDODPKLQJJDMDPSDJL Jam, x Kedalaman dikurangi 100 cm, y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 cm

60 cm

70 cm

50 cm

40 cm

30 cm

20 cm

40 cm

60 cm

D *DPEDUODKGDWDGLDWDVGDODPVXDWXJUD¿N E %XDWWLJDSHQJDPDWDQGDULJUD¿NWHUVHEXW Alternatif Penyelesaian: 'LNHWDKXL 7DEHOGLDWDV Ditanya : D *DPEDUODKGDWDGLDWDVGDODPVXDWXJUD¿N E %XDWWLJDSHQJDPDWDQDWDVJUD¿NWHUVHEXW Jawab : D 7XOLVGDWDGLDWDVPHQMDGLSDVDQJDQELODQJDQ\DLWX GDQ *DPEDUGDQEHUL label untuk setiap pasangan bilangan. Kemudian hubungkan pasangan bilangan dengan garis. Kedalaman sungai - 100(cm)

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1

2 3 4 5 6 7 8 -DP6HWHODK7HQJDK0DODP

Gambar 8.3 Gambar titik koordinat untuk data

414


9

10

b. Berikut tiga kemungkinan pengamatan:

x .HGDODPDQVXQJDLEHUNXUDQJGDULMDPPDODPKLQJJDMDPSDJL

x .HGDODPDQVXQJDLEHUWDPEDKGDULMDPVDPSDLGHQJDQMDPSDJL GDQMDPVDPSDLGHQJDQMDPSDJL

x 3HUWDPEDKDQ NHGDODPDQ VXQJDL WHUEHVDU WHUMDGL SDGD KLQJJD pagi.

Ayo Kita Tinjau Ulang Pada bagian ini siswa diharapkan lebih mengerti mengenai contoh-contoh yang telah diberikan diatas dengan cara melakukan latihan-latihan ini. Pada soal nomor 1 siswa diharapkan lebih mengerti mengenai letak titik pada kuadran. Pada soal QRPRUVLVZDGLODWLKXQWXNPHQJJDOLLQIRUPDVLGDULGDWD Ayo Kita Tinjau Ulang %HUGDVDUNDQ &RQWRK GLGDSDWNDQ NRRUGLQDW WLWLN & PLVDONDQ MDZDEDQPX DGDODKa, b *DPEDUNDQWLWLNWLWLNa, -b a, -b GDQa, b 'HVNULSVLNDQOHWDN WLWLNWLWLN WHUVHEXW %XDWODK JDULV \DQJ PHQJKXEXQJNDQ WLWLNWLWLN WHUVHEXW 'L koordinat manakah garis-garis tersebut memotong Sumbu-X dan Sumbu-Y? 7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQSHUXEDKDQVXKXWLDSMDPPXODLGDULWHQJDKKDUL KLQJJDMDPPDODP Jam setelah tengah malam, x Temperatur, y

0

1

2

3

4

5

6

40F

60F

5 0F

10F

0 0F

00F

-60F

D *DPEDUODKGDWDGLDWDVSDGDVXDWXJUD¿N

E %XDWWLJDSHQJDPDWDQDWDVJUD¿NWHUVHEXW

Latihan 8.1

Pengantar Bidang Kartesius

0LQWDODK VLVZD XQWXN PHQ\HOHVDLNDQ VRDO ODWLKDQ GDQ GL EDKDV GL NHODV GHQJDQ PHQXQMXNVDODKVDWXVLVZDVHGDQJVLVZD\DQJODLQGLPLQWDPHQDQJJDSLGHQJDQ santun. Begitu seterusnya untuk nomor soal lainnya.

MATEMATIKA

415

Latihan 8.1

Pengantar Bidang Kartesius

7LJD GDUL (PSDW WLWLN \DQJ GLQ\DWDNDQ GDODP NRRUGLQDW EHULNXW PHPLOLNL VLIDW \DQJVDPD7HQWXNDQWLWLN\DQJPHPLOLNLVLIDW\DQJEHUEHGDGHQJDQ\DQJODLQQ\D GDQEHULNDQDODVDQPX

L GDQ

LLL GDQ

LL GDQ

LY GDQ

L WLJDWLWLNODLQQ\DEHUDGDSDGDNXDGUDQ,,

LL WLJDWLWLNODLQQ\DWHUOHWDNSDGDNXDGUDQ,

LLL WLJDWLWLNODLQQ\DWHUOHWDNSDGDNXDGUDQ,9

LY WLJDWLWLNODLQQ\DWHUOHWDNSDGDNXDGUDQ,,,

Penyelesaian:

2. Gambarkan dan hubungkan titik-titik di bawah ini untuk membentuk suatu bangun. 1

2 3 4

6 7 8

9

5 10

7XOLVNRRUGLQDW\DQJEHUKXEXQJDQWHUKDGDSWLWLNGLEDZDKLQL i.

titik A

vi.

titik B

ii. titik C

vii. titik D

iii. titik E

viii. titik F

iv. titik G

ix.

titik H

v. titik I

x.

titik J Y E

6 5 A

B

4 3

F

I

2 1 0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 C -2 H

-3 -4 -5

416


2

3

4 5

6

J

7

8 9 10 G

D

X

Penyelesaian:

L YL

LL YLL

LLL YLLL

LY L[

Y [

4. Gambarkan segi banyak dengan titik sudut yang diberikan. i.

A B C

1 ii. D 1 E F 2 1 1 iii. G H J K 2 2 iv. L M N P v. Q R S T U

1 1 vi. V W X Y Z 2 2 5. Deskripsikan kesalahan dari solusi berikut

L 0HQJJDPEDUNDQ SDGDELGDQJNDUWHVLXVPXODLGDUL GDQEHUJHUDN 7 satuan kekanan dan 6 satuan keatas.

LL 0HQJJDPEDUNDQ SDGDELGDQJNDUWHVLXVPXODLGDUL GDQEHUJHUDN 7 satuan kekanan dan 5 satuan kebawah. Penyelesaian:

L 7LGDNDGD\DQJHUURU

LL 0 dan nilai a semakin besar PDNDJUD¿NQ\DDNDQVHPDNLQ³NXUXV´ 4. Jika a < 0 dan nilai a semakin kecilPDNDPDNDJUD¿NQ\DDNDQVHPDNLQ³JHPXN´

Kegiatan 10.2

0HQJJDPEDU*UD¿N)XQJVLy = ax2 + c

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ PHQJHQDL JUD¿N IXQJVLNXDGUDWy = x2 + c dan pengaruh nilai cWHUKDGDSJUD¿Ny = x2 + c. $MDN VLVZD PHQJLVL WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo Kita Gali Informasi $MDN VLVZD XQWXN PHQJJDPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo Kita Amati .HPXGLDQ DMDN VLVZD XQWXN PHQ\LPSXONDQ SDGD EDJLDQ Ayo Kita Simpulkan.

500


Diharapkan siswa dapat menyimpulkan bahwa nilai cSDGDIXQJVLy = x2 + c akan PHPSHQJDUXKLSHUJHVHUDQGDULJUD¿Ny = x2, yakni 1. Jika cPDNDJUD¿Ny = x2 + cPHUXSDNDQSHUJHVHUDQJUD¿Ny = x2VHSDQMDQJ c satuan ke bawah. 2. Jika c!PDNDJUD¿Ny = x2 + cPHUXSDNDQSHUJHVHUDQJUD¿Ny = x2VHSDQMDQJ c satuan ke atas. Kegiatan 10.2

0HQJJDPEDU*UD¿N)XQJVLy = ax2 + c

3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD GLPLQWD PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL NXDGUDW NHWLND b = 0 dan c .HJLDWDQ LQL GLEDJL PHQMDGL GXD VXENHJLDWDQ 3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD PHQJDPEDUJUD¿NIXQJVLy = x2 + c sebanyak tiga kali, yakni untuk c = 0, c = 1 dan c = -1. Ayo Kita Gali Informasi a. Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah. y = x2 + 1

x, y

y = x2 – 1

x, y

-3

2 + 1 = 10

-3

2 – 1= 8

-2

2 + 1 = 5

-2

2 – 1= 3

-1

2 + 1 = 2

-1

2 – 1= 0

0

02 + 1 = 1

0

02 – 1 = -1

1

12 + 1 = 2

1

12 – 1 = 0

2

22 + 1 = 5

2

22 – 1 = 3

3

32 + 1 = 10

3

32 – 1 = 8

E 7HPSDWNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWGDODPWDEHOSDGDELGDQJNRRUGLQDW F 6NHWVDJUD¿NGHQJDQPHQJKXEXQJNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWWHUVHEXWVHVXDLZDUQD G *DPEDUODKNHPEDOLJUD¿Ny = x2 seperti pada Kegiatan 10.2. MATEMATIKA

501

Ayo Kita Amati *DPEDUNDQ NHWLJD JUD¿N WHUVHEXW PHQJJXQDNDQ ELGDQJ NRRUGLQDW EHULNXW LQL GDQ DPDWLWLDSWLDSJUD¿N Y

X

Keterangan: *UD¿NIXQJVLy = x2 berwarna hitam, y = x2 + 1 berwarna biru, y = x2 – 1 berwarna merah.

Berdasarkan hasil pengamatanmu, lengkapi kalimat-kalimat berikut. *UD¿NIXQJVLy = x2 memotong sumbu-YGLWLWLNNRRUGLQDW *UD¿NIXQJVLy = x2 + 1 memotong sumbu-Y GLWLWLNNRRUGLQDW *UD¿NIXQJVLy = x2 – 1 memotong sumbu-YGLWLWLNNRRUGLQDW *UD¿NIXQJVLy = x2PHUXSDNDQJHVHUDQJUD¿Ny = x2 VHSDQMDQJVDWXDQNHNDQDQ *UD¿NIXQJVLy = x2±PHUXSDNDQJHVHUDQJUD¿Ny = x2 VHSDQMDQJVDWXDQNHNDQDQ Ayo Kita Simpulkan a. Nilai cSDGDIXQJVLy = x2 + c DNDQPHPSHQJDUXKLJHVHUDQJUD¿Ny = x2, yaitu bergeser cVDWXDQNHDWDVMLNDc > 0 dan bergeser cVDWXDQNHEDZDKMLNDc < 0. E *UD¿NIXQJVLy = x2 + c memotong sumbu-Y GLWLWLNNRRUGLQDWc 502


Kegiatan 10.3

0HQJJDPEDU*UD¿N)XQJVLy = x2 + bx

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ PHQJHQDL JUD¿N IXQJVLNXDGUDWy = x2 + bx dan pengaruh nilai cWHUKDGDSJUD¿Ny = x2 + bx . Serta mengenai titik puncak. $MDN VLVZD PHQJLVL WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo Kita Gali Informasi $MDN VLVZD XQWXN PHQJJDPEDUNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ WDEHO SDGD EDJLDQ Ayo Kita Amati.HPXGLDQDMDNVLVZDXQWXNPHQ\LPSXONDQSDGDEDJLDQ$yo Kita Simpulkan. Diharapkan siswa dapat menyimpulkan bahwa titik puncak adalah titik koordinat x, y GHQJDQQLODLySDOLQJPDNVLPXPPLQLPXPWHUJDQWXQJQLODLb. 1. Jika bPDNDQLODLJUD¿Ny = x2 + bx memiliki titik puncak maksimum. 2. Jika b!PDNDQLODLJUD¿Ny = x2 + bx memiliki titik puncak minimum. b 7LWLNSXQFDNWHUMDGLSDGDNRRUGLQDWxp, yp GHQJDQxp = dan yp = fxp 2 Kegiatan 10.3

0HQJJDPEDU*UD¿N)XQJVLy = x2 + bx

3DGDNHJLDWDQLQLVLVZDGLPLQWDPHQJJDPEDUJUD¿NIXQJVLNXDGUDWNHWLNDc = 0 dan b z.HJLDWDQLQLGLEDJLPHQMDGLWLJDVXENHJLDWDQ\DNQLNHWLNDb = 1, b = -1 dan b 3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD DNDQ PHQJHQDO WLWLN SXQFDN GDUL VXDWX JUD¿N IXQJVL kuadrat. 0LQWDVLVZDPHQJHUMDNDQNHJLDWDQLQLEHUVDPDWHPDQVHEDQJNXQ\D Ayo Kita Gali Informasi Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah. y = x2 + 2x

x, y

-3

2

-3 2±

-2

2

-2

2±

-1

-1

±

0

0

±

1

1

±

2

2

±

3

2

3

2±

2

2

2

2

x, y

y = x2 – 2x

2

2

2

2

MATEMATIKA

503

y = -x2 + 2x -3 2

x, y

-2

-1

2

0

2

1

2

3

2

2

2

2

E 7HPSDWNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWGDODPWDEHOSDGDELGDQJNRRUGLQDWJXQDNDQWLJD ZDUQDEHUEHGDXQWXNWDEHO F 6NHWVDJUD¿NGHQJDQPHQJKXEXQJNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWWHUVHEXWVHVXDLZDUQD d. Pada tiap-tiap tabel tentukan nilai y yang paling kecil. Apakah ada hubungannya dengan nilai b? Ayo Kita Amati *DPEDUNDQNHWLJDJUD¿NWHUVHEXWPHQJJXQDNDQELGDQJNRRUGLQDWGLEDZDKLQLGDQ DPDWLWLDSWLDSJUD¿N3DGDWLDSWLDSJUD¿NWHQWXNDQNRRUGLQDWWLWLN\DQJSDOLQJEDZDK WLWLNNRRUGLQDWLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWWLWLNSXQFDN Y

X

504


Keterangan:

*UD¿NIXQJVLy = x2 + 2x berwarna hitam, y = x2 – 2[ berwarna biru, y = -x2 + 2x berwarna merah.

H 8ODQJL NHJLDWDQ LQL GHQJDQ IXQJVL NXDGUDW y = -x2 + x, y = -x2 - x, y = -x2 + 3x6HODQMXWQ\DWHQWXNDQWLWLN\DQJSDOLQJDWDVWLWLNNRRUGLQDWLQLMXJDGLVHEXW GHQJDQWLWLNSXQFDN I 3DGDWLDSJUD¿NWHQWXNDQVXDWXJDULVYHUWLNDO\DQJPHUXSDNDQVXPEXVLPHWUL Ayo Kita Simpulkan 7LWLNSXQFDNDGDODKWLWLNNRRUGLQDW\DQJPHUXSDNDQWLWLNSDOLQJDWDVDWDXSDOLQJ bawah. 2. Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melalui titik puncak. 3. Pengaruh nilai bSDGDJUD¿NIXQJVLy = x2 + bx adalah titik puncaknya berada di -b NRRUGLQDWxp, yp GHQJDQxp = dan yp = fxp 2a Ayo Kita Menanya %XDWODKSHUWDQ\DDQPHQJHQDLVHPXDNHJLDWDQ\DQJWHODKVLVZDNHUMDNDQGLDWDV

Materi Esensi

*UD¿N)XQJVL.XDGUDW

6HWHODK PHODNXNDQ VHPXD NHJLDWDQ JXUX PHQMHODVNDQ PDWHUL PHQJHQDL JUD¿N IXQJVLNXDGUDWy = ax2 + bx + c*XUXMXJDPHQMHODVNDQSHQJDUXKQLODLa, b, dan c WHUKDGDSJUD¿NIXQJVLNXDGUDW

Materi Esensi

*UD¿N)XQJVL.XDGUDW

)XQJVLNXDGUDWPHUXSDNDQIXQJVL\DQJEHUEHQWXNy = ax2 + bx + c, dengan a z 0. *UD¿N GDUL IXQJVL NXDGUDW PHQ\HUXSDL SDUDEORD VHKLQJJD GDSDW GLNDWDNDQ MXJD VHEDJDLIXQJVLSDUDEROD

MATEMATIKA

505

Y 5

y = 2x2

y = x2

4 3 2 1 X -3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 y íx2

-4 -5

Gambar 3HUEDQGLQJDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2, y = -x2 dan y = 2x2

Nilai aSDGDIXQJVLy = ax2 + bx + c DNDQPHPSHQJDUXKLEHQWXNJUD¿NQ\D-LND a SRVLWLI PDND JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NHDWDV 6HEDOLNQ\D MLND a QHJDWLI PDND JUD¿NQ\DDNDQWHUEXNDNHEDZDK-LNDQLODLDVHPDNLQEHVDUPDNDJUD¿NQ\DPHQMDGL lebih “kurus”. Y 5

y = x2 í 2x

4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

y = x2 í 3x + 2 1

2

3

4

X

5

-1 -2 -3 y = x í 5x í 2

-4 -5

Gambar 3HUEDQGLQJDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2 + 2x, y = -x2 – 3x + 2 dan y = -x2 – 5x – 4

506


Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinat yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu-Y. Nilai bSDGDJUD¿Ny = ax2 + bx + c PHQXQMXNNDQGLPDQDNRRUGLQDWWLWLNSXQFDN GDQVXPEXVLPHWULEHUDGDWLWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWULGLEDKDVOHELKODQMXWSDGD VXEEDEVHODQMXWQ\D -LNDa!PDNDJUD¿Ny = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minumum. Jika aPDNDJUD¿Ny = ax2 + bx + c memiliki titik puncak maksimum 1LODLFSDGDJUD¿Ny = ax2 + bx + c PHQXQMXNNDQWLWLNSHUSRWRQJDQJUD¿NIXQJVL kuadrat tersebut dengan sumbu-Y\DNQLSDGDNRRUGLQDWc Contoh 10.1

*UD¿N)XQJVL.XDGUDW

%HULNXWLQLDGDODKJUD¿NOLPDIXQJVLNXDGUDW\DQJEHUEHGD Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

X 1

2

3

4

5

6 7

8

9 10

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

1. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD KLWDP PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2 – x + 2. *UD¿Ny = x2 – x + 2 memotong sumbu-YSDGDNRRUGLQDW GDQPHPLOLNLWLWLN puncak minimum. 2. *UD¿N\DQJEHUZDUQDPHUDKPHUXSDNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = 2x2 – 6x + 4. *UD¿Ny = 2x2 – 6x + 4 memotong sumbu-YSDGDNRRUGLQDW GDQPHPLOLNL titik puncak minimum. MATEMATIKA

507

3. *UD¿N\DQJEHUZDUQDELUXPHUXSDNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = -2x2*UD¿N y = -2x2PHPRWRQJVXPEX b maka a = 10 + b sehingga fb a u b ±b u b = 30b – b2 Karena diminta nilai minimum maka

b -

10 -5 2 1

Sehingga didapatkan a = 10 – 5 = 5 522


C. Menentukan Fungsi Kuadrat 6LVZDVXGDKPHQJHWDKXLEDJDLPDQDFDUDPHQJJDPEDUJUD¿NVXDWXIXQJVLNXDGUDW 6LVZD MXJD VXGDK PHQJHWDKXL EDJDLPDQD PHQGDSDWNDQ WLWLN SXQFDN WLWLN SRWRQJ dan sumbu simetri. Pada sub-bab ini siswa akan mengetahui cara untuk menentukan IXQJVLNXDGUDWGDULLQIRUPDVL\DQJDGD Pertanyaan Penting 7DQ\DNDQNHSDGDVLVZD D %DJDLPDQDFDUDPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDVXGDKGLNHWDKXLJUD¿NQ\D E %DJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SXQFDN WLWLN potong atau sumbu simetri.

Pertanyaan Penting D %DJDLPDQDFDUDPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDVXGDKGLNHWDKXLJUD¿NQ\D E %DJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SXQFDN WLWLN potong atau sumbu simetri. Kegiatan 10.7

0HQHQWXNDQ)XQJVL.XDGUDW%HUGDVDUNDQ*UD¿NQ\D

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ NHSDGD VLVZD EDJDLPDQDFDUDPHQGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDVXGDKGLNHWDKXLJUD¿NQ\D3DGD WDKDSLQLVLVZDGLDMDNXQWXNPHQJDQDOLVDGDULLQIRUPDVLWLWLNSRWRQJVXPEXY. Pada bagian Ayo Kita Gali Informasi DMDN VLVZD XQWXN PHQFDUL LQIRUPDVL WLWLN potong dengan sumbu-Y. Pada bagian Diskusi minta siswa berdiskusi dengan teman sebangkunya: $SDNDK PXQJNLQ PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW KDQ\D EHUGDVDUNDQ LQIRUPDVL titik potong sumbu-Y? 0LQLPDOEHUDSDNRRUGLQDW\DQJKDUXVGLNHWDKXLDJDUELVDPHQHQWXNDQIXQJVL NXDGUDWEHUGDVDUNDQJUD¿N" 3DGDDNKLUNHJLDWDQJXUXPHQMHODVNDQMDZDEDQGDULGXDSHUWDQ\DDQGLDWDV 7LGDNPXQJNLQPHQGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWKDQ\DEHUGDVDUNDQLQIRUPDVLWLWLN potong sumbu-Y.

MATEMATIKA

523

0LQLPDO GLNHWDKXL WLJD NRRUGLQDW DJDU ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ JUD¿N +DO LQL GLNDUHQDNDQ WHUGDSDW WLJD YDULDEHO SDGD IXQJVL kuadrat fx ax2 + bx + c, yakni a, b dan c. Kegiatan 10.7

0HQHQWXNDQ)XQJVL.XDGUDW%HUGDVDUNDQ*UD¿NQ\D

Ayo Kita Gali Informasi *DPEDU GL VDPSLQJ PHUXSDNDQ JUD¿N VXDWX IXQJVL NXDGUDW 'DSDWNDK VLVZD PHQHQWXNDQ VXDWX IXQJVL \DQJJUD¿NQ\DVHSHUWLJDPEDUGLVDPSLQJ"

Y 5 4

D ,QIRUPDVLDSDNDK\DQJVLVZDSHUROHKGDULJUD¿N di samping?

3

E $SDNDKJUD¿NGLVDPSLQJPHPRWRQJVXPEXX?

2

F 3DGD NRRUGLQDW PDQD JUD¿N GL VDPSLQJ memotong sumbu-Y.

1 X -4

-3 -2

-1

1 -1

Diskusi Diskusikan dengan temanmu tiga pertanyaan di atas. Kemudian diskusikan pertanyaan berikut. D 'DUL MDZDEDQ WLJD SHUWDQ\DDQ GL DWDV DSDNDK VLVZD ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDWVHVXDLJUD¿NGLDWDV" E 0LQLPDO EHUDSD NRRUGLQDW \DQJ KDUXV GLNHWDKXL DJDU VLVZD ELVD PHQHQWXNDQ WHSDWVDWXIXQJVLNXDGUDWEHUGDVDUNDQJUD¿N"

Kegiatan 10.8

Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Titik Potong Sumbu-X

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ NHSDGD VLVZD EDJDLPDQDFDUDPHQGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDVXGDKGLNHWDKXLJUD¿NQ\D3DGD WDKDSLQLVLVZDGLDMDNXQWXNPHQJDQDOLVDGDULLQIRUPDVLWLWLNSRWRQJVXPEXX. Pada bagian Ayo Kita Gali Informasi DMDN VLVZD XQWXN PHQFDUL LQIRUPDVL WLWLN potong dengan sumbu-X. Serta hubungan titik potong sumbu-X dan akar-akar IXQJVL NXDGUDW 3DGD EDJLDQ Diskusi DMDN VLVZD XQWXN PHQGLVNXVLNDQ PHQJHQDL GXDIXQJVLNXDGUDW 524


y = x2 + 3x + 2 dan y = 2x2 + 6x x2 + 3x 'LKDUDSNDVLVZDGDSDWPHQ\LPSXONDQEDKZDMLNDIXQJVLNXDGUDWfx ax2 + bx + c memiliki akar-akar x = p dan x = qPDNDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDNDQ memotong sumbu-XSDGDNRRUGLQDWp GDQq 6HUWDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW GDSDWGLXEDKPHQMDGL fx ax2 + bx + c = ax – p x – q Kegiatan 10.8

Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Titik Potong Sumbu-X

6LVZDVXGDKPHQJHWDKXLEDJDLPDQDFDUDPHQGDSDWNDQDNDUDNDUIXQJVLNXDGUDWGL .HODV'LEHULNDQIXQJVLNXDGUDWEHULNXW i.

y = x2 + 3x + 4

ii. y = x2 + 4x + 4 iii. y = x2íx + 5 Ayo Kita Gali Informasi D 7HQWXNDQDNDUDNDUWLDSWLDSIXQJVLNXDGUDW7HQWXNDQIXQJVL\DQJWLGDNPHPLOLNL DNDUIXQJVL\DQJPHPLOLNLVDWXDNDUGDQIXQJVL\DQJPHPLOLNLGXDDNDU E *DPEDUNDQJUD¿NWLDSWLDSIXQJVLNXDGUDW F 7HQWXNDQ PDQD IXQJVL NXDGUDW \DQJ WLGDN PHPRWRQJ VXPEXX IXQJVL \DQJ memotong sumbu-X di satu titik dan yang memotong sumbu-X di dua titik. G $SD\DQJGDSDWVLVZDVLPSXONDQPHQJHQDLKXEXQJDQDNDUDNDUIXQJVLNXDGUDW dengan titik potong sumbu-X?

Diskusi 0LVDONDQWHUGDSDWGXDIXQJVLNXDGUDW y = x2 + 3x + 2 dan y = 2x2 + 6x x2 + 3x Diskusikan beberapa pertanyaan berikut. D 7HQWXNDQ DNDUDNDU WLDSWLDS IXQJVL NXDGUDW $SDNDK NHGXD IXQJVL NXDGUDW tersebut memiliki akar-akar yang sama?

MATEMATIKA

525

E *DPEDUNDQJUD¿NWLDSWLDSIXQJVLNXDGUDW$SDNDKNHGXDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW PHPLOLNLJUD¿N\DQJVDPD" c. Apa yang dapat siswa simpulkan? G -LND GLNHWDKXL DNDUDNDUQ\D DSDNDK VLVZD SDVWL VHODOX ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL kuadratnya? Ayo Kita Simpulkan -LNDIXQJVLNXDGUDWy = ax2 + bx + c memiliki akar-akar x = p dan x = q dengan p z qPDNDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDNDQPHPRWRQJVXPEXXSDGDNRRUGLQDWp, GDQq %HQWXNXPXPQ\DDGDODKfx ax – p x – q

Kegiatan 10.9

Menentukan Fungsi Kuadrat Dari Beberapa Informasi

7XMXDQ GDUL NHJLDWDQ LQL DGDODK XQWXN PHPEHULNDQ SHPDKDPDQ NHSDGD VLVZD EDJDLPDQD FDUD PHQGDSDWNDQ IXQJVL NXDGUDW EHUGDVDUNDQ EHEHUDSD LQIRUPDVL ,QIRUPDVLQ\DDGDODKWLWLNSRWRQJGHQJDQVXPEXX dan sumbu-Y, titik puncak dan sumbu-simetri serta titik koordinat lainnya. .HJLDWDQLQLGLEDJLPHQMDGL 0HQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDGLNHWDKXLWLJDNRRUGLQDWEHUEHGD 0HQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDGLNHWDKXLWLWLNSRWRQJVXPEXX dan sumbu-Y. 0HQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SRWRQJ VXPEXX dan titik puncak. 0HQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SRWRQJ VXPEXY dan titik puncak.

Kegiatan 10.9

Menentukan Fungsi Kuadrat Dari Beberapa Informasi

3DGD NHJLDWDQ LQL VLVZD DNDQ PHPSHODMDUL GDQ PHQJDQDOLVLV EDJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW GDUL EHEHUDSD LQIRUPDVL ,QIRUPDVLQ\D DGDODK VHEDJDL berikut:

D 7LWLNSRWRQJGHQJDQVXPEXX.

E 7LWLNSRWRQJGHQJDQVXPEXY.

F 7LWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWUL

G %HEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW

526


%HUGDVDUNDQ .HJLDWDQ GDQ VLVZD PDVLK EHOXP ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDWMLNDKDQ\DGLNHWDKXLVDWXLQIRUPDVLGDULHPSDWLQIRUPDVLGLDWDV 1. Jika diketahu tiga koordinat berbeda 3HUKDWLNDQJDPEDUGLVDPSLQJ0LVDONDQWHUGDSDWVXDWX IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL WLJD NRRUGLQDW EHUEHGD\DNQL GDQ

Y

$SDNDK VLVZD ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW berdasarkan tiga koordinat yang diketahui dan bagaimana caranya?

6

Perhatikan langkah-langkah berikut:

4

D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax + bx + c.

E .DUHQD PHOHZDWL NRRUGLQDW GDQ GLSHUROHKI f GDQf

7

5

2

x

x x

3 2

f a 2 + b c = 1 o c = 1. Diperoleh 2

f(x) = ax + bx + 1 f a 2 + b o a + b + 1 = 3. Diperoleh persamaan

1 X -1

1

2

3

-1

a + b = 2 ... (1) f a 2 + b o 4a + 2b + 1 = 7. Diperoleh persamaan 4a + 2b = 6 ... (2)

c. Dengan mensubstitusi a = 2 – b NHSHUVDPDDQ GLSHUROHKb = 1 d. Dari hasil diperoleh a = 1

H 6HKLQJJDIXQJVLNXDGUDW\DQJPHPHQXKLDGDODK fx ax2 + bx + c = x2 + x + 1 Ayo Kita Simpulkan

-LNDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWfx ax2 + bx + c PHODOXLWLWLNNRRUGLQDWp, q GLSHUROHK hubungan fp q.

MATEMATIKA

527

2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu-X dan sumbu-Y 3HUKDWLNDQ JDPEDU GL VDPSLQJ 0LVDONDQ WHUGDSDW VXDWX JUD¿N IXQJVL NXDGUDW \DQJ memotong sumbu-XGL GDQ )XQJVL NXDGUDWWHUVHEXWMXJDPHPRWRQJVXPEXY GL $SDNDK VLVZD VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL kuadratnya dan bagaimana caranya?

Y 3 2 1 X -2 -1


1

2

3

4

5

-1 -2

D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK fx ax2 + bx + c. b. Karena memotong sumbu-XSDGDGL GDQ GDSDWGLWXOLVNDQ

-3 -4

fx ax2 + bx + c = ax í xí c. Karena memotong sumbu-YGL GLSHUROHKf f aí í -4 = a u

Diperoleh a GDQIXQJVLNXDGUDWfx ax2 + bx + c = x2 – 4x. Ayo Kita Simpulkan

-LNDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWfx ax2 + bx + c memotong sumbu-X pada titik koordinat p GDQq PDNDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGDSDWGLWXOLVNDQPHQMDGL fx ax – p x – q -LNDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWfx ax2 + bx + c memotong sumbu-Y pada titik koordinat r PDNDGLSHUROHK f r Dengan mensubstitusikan nilai x SDGDIXQJVLNXDGUDWy = ax2 + bx + c diperoleh f c yang berakibat r = c

528


3. Jika diketahui titik potong sumbu-X dan titik puncak 3HUKDWLNDQJDPEDUGLVDPSLQJ7HUGDSDWVXDWXIXQJVL kuadrat yang memotong sumbu-X GL 7LWLN SXQFDN IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXWEHUDGD GL NRRUGLQDW

Y 4 3

$SDNDK VLVZD VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL kuadratnya dan bagaimana caranya?

2 1


X

D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax2 + bx + c.

-3

-2

E 'DUL JUD¿N GLVDPSLQJ GLSHUROHKVXPEX VLPHWUL x %HUGDVDUNDQVLIDWVLPHWULWLWLNSRWRQJGL sumbu-X yang lain adalah hasil pencerminan NRRRUGLQDW WHUKDGDS JDULV x = 1, yakni pada koordinat x

-1

1

2

3

-1 -2 -3 -4

F 6HKLQJJD IXQJVL NXDGUDWQ\D GDSDW GLQ\DWDNDQ dengan fx ax2 + bx + c = ax xí G .DUHQDWLWLNSXQFDNEHUDGDGL PDNDGLSHUROHKf f a ± -4 = a u

diperoleh a GDQIXQJVLNXDGUDWfx x x± x2 – 2x – 3. Ayo Kita Simpulkan

-LNDIXQJVLNXDGUDWy = ax2 + bx + cPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDWLWLNNRRUGLQDWs, t PDNDVXPEXVLPHWULIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDGDODKJDULV x=s

4. Jika diketahui titik potong sumbu-Y dan titik puncak 3HUKDWLNDQ JDPEDU GL VDPSLQJ 7HUGDSDW VXDWX IXQJVL NXDGUDW \DQJ PHPRWRQJ sumbu-YGL 7LWLNSXQFDNIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWEHUDGDGLNRRUGLQDW $SDNDKVLVZDVXGDKELVDPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWQ\DGDQEDJDLPDQDFDUDQ\D" Perhatikan langkah-langkah berikut:

MATEMATIKA

529

D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax2 + bx + c.

Y 5

E 'DULJUD¿NGLVDPSLQJGLSHUROHKVXPEXVLPHWUL x %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQWHUKDGDSJDUXVx = -2 diperoleh NRRUGLQDW

4 3

F 6HKLQJJDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHODOXL tiga titik koordinat yaitu

2

GDQ

1

d. Dengan menggunakan cara seperti pada SubKegiatan 3.1, diperoleh a=

X -3

-2

-1

1 1 , b = , dan c = 3 8 4

1 -1

1 1 H 6HKLQJJDGLGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWfx x2 – x + 3. 8 4

Materi Esensi

Menentukan Fungsi Kuadrat

6HWHODK PHODNXNDQ VHPXD NHJLDWDQ JXUX PHQMHODVNDQ PDWHUL EDJDLPDQD PHQGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWEHUGDVDUNDQEHEHUDSDLQIRUPDVL,QIRUPDVLQ\DDGDODK sebagai berikut: D 7LWLNSRWRQJGHQJDQVXPEXX. E 7LWLNSRWRQJGHQJDQVXPEXY. F 7LWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWUL G %HEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW Materi Esensi

Menentukan Fungsi Kuadrat

8QWXNPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWGLSHUOXNDQEHEHUDSDLQIRUPDVLGLDQWDUDQ\D

%HEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW

7LWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEXX.

7LWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEXY.

7LWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWUL

530


/DQJNDKSHUWDPDXQWXNPHQGDSDWNDQQ\DDGDODKGHQJDQPHPLVDONDQIXQJVLNXDGUDW tersebut dengan fx ax2 + bx + c%HULNXWLQLDGDODKODQJNDKVHODQMXWQ\DEHUGDVDUNDQ LQIRUPDVLLQIRUPDVLGLDWDV 1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.

-LNDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHODOXLNRRUGLQDWp, q PDNDGLSHUROHKfp q.

-LNDGLNHWDKXLWLWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEXX.

-LNDGLNHWDKXLWLWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEX

Buku Pegangan Guru Matematika SMP Kelas 9 Kurikulum 2013

Buku Pegangan Guru Matematika SMP Kelas 9 Kurikulum 2013

Suggest Documents

buku-pegangan-siswa-matematika-smp-kelas-9-kurikulum-2013 ...

buku-pegangan-siswa-matematika-smp-kelas-9-kurikulum-2013 ...

Buku Pegangan Guru Matematika SMA Kelas 11 Kurikulum 2013

Buku Pegangan Guru Matematika SMA Kelas 10 Kurikulum 2013

Buku Siswa Matematika SMP Kelas 9 Kurikulum 2013 Semester 1

buku-guru-matematika-smp-kelas-VII - WordPress.com

Buku Pegangan Siswa Matematika SMP Kelas 8 Semester 2 ...

Buku Pegangan Siswa Matematika SMA Kelas 11 Kurikulum 201 ...

Buku Pegangan Siswa Matematika SMP Kelas 7 Semester 1

Silabus Terbaru Matematika SMP Kelas 9 Kurikulum 2013

Buku Pegangan Siswa Matematika SMP Kelas 8 Semester 1

buku-pegangan-guru-penjas-kelas-12 - goeroendeso

Buku Pegangan Siswa Matematika SMA Kelas 10 Semester 2

Contoh RPP Matematika SMP Kelas 9 - WordPress.com

Buku Pegangan Siswa Matematika SMA Kelas 11 Semester 1

Buku Pegangan Siswa Matematika SMA Kelas 10 Semester 1

Buku IPA Kelas 9 SMP - Buku Sekolah Elektronik

Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX - Buku Sekolah Elektronik

Buku-Guru-Bahasa-Indonesia-SMP-Kelas-VII.pdf - Google Drive

25 Soal Matematika SMP Kelas 9 Persiapan Ujian ... - Istiyanto.Com

Soal OSN Guru Matematika SMP Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi

Kumpulan Soal Matematika SMP Kelas 9.pdf - UMM Directory

pelatihan kurikulum 2013 bagi guru mapel matematika Provinsi DIY

Buku Tematik Terpadu Kurikulum 2013