In a polynomial regression with measurement errors in the covariate, which is supposed to be normally distributed, one has (at least) three ways to estimate the ...
Kukush, Schneeweiss, Wolf: Comparison of three estimators in a polynomial regression with measurement errors Sonderforschungsbereich 386, Paper 233 (2001) Online unter: http://epub.ub.uni-muenchen.de/
Projektpartner
! " # $%% & ' ( " # $%% &
" ) ! ! * * + , ! ! ) - . / +01, ! ) * ) ) / + 1, * ) * ! * ) * * +1,2 ( 01 * ! 2 . * 2
3 / / ) / 2
) ! * * ) * /
4
5
+ ,
4 5Æ +6, ++ , 7, ! 7 4 + , 4
! + Æ , 2 ! 4 + ,
* ! +6 ,- 3 1 / + 1, 1 / +1, . 8 ) ! + %%#, + %#%, 1 + %%#, 8 2 + %%9, 12 : * !2 ; * ! * 2 * * ) 1 * Æ 1 1 . * * ! 1 2 ! 1 )2 ! 2 ( Æ 5 Æ Æ5 +#, 45 6 Æ + , 4 5 Æ 5 5 +%, 6 5 Æ ! ! + , 4 6 5 5 + ,
Æ
" !
+ , 4 5 6 5
4 Æ
Æ
* +#, + ,
5 Æ
+ , 4 Æ
E ) * +#, ) +%,
+ ,
4 Æ
+ ,
Æ
5 6
5
Æ
+ 6,
+ @,
5 6 5 Æ
5 Æ
( ! ! * 7 ! 2 E + , + , + 6, ! ) 5 4 + , 5 + A, 6
Æ
Æ
Æ
9
" ) + 4 , !. ! .
= * +? , 4 5 * ) * +? , 4 + 2)2 ! ) %# 2 A ,2 ) +$, ! ; * ) ) +$, ! ) * * + A, 4 +#, Æ 5 Æ 2 ( + , + @, ! )
Æ
Æ
Æ
Æ
7
4
F 5 F
Æ
Æ
6 + , F 5 + 9,
Æ
! ! ** F 4 ( !) ) ! ; * / + 5 , 4 5
3 / +2 2 / , * ) /
?
4
+ ,
! + , 4 + , 4 + , 4 + , 4 ! +, *) ) 4 5 Æ +, 4 + $,
+, +, 4 +, +, + #, ! +, 4 +, 4 22 8 ) ! + %%#,2 * !2 ) * ) / ? * ! 7 4 + , + ,+ , + , + %, ( * + , 4 4 4 F +6 , 1 4 + +, +,, 4 4 5 4 + , + ,+ , 4 + , + , 5 * ! 7 4 F 5 + , + , F +6 ,
Æ
Æ
E + #, ! 5 4 6 * +#, ) ¾ ¾ ! Æ 5 45 Æ5 +66, 6 ! 4 +Æ,5 Æ 5 2 !) ! * 2
Æ
Æ
Æ
Æ
$
Æ
: +, ! ) + , + , Æ 5 Æ5 4 5 6 E +66, ! Æ 5 4 5 Æ5 6
Æ
4
Æ
Æ 5 Æ Æ
5
! / 2 " !
+ , + , 4 Æ
E +66, !
Æ
F
Æ
4 5 5 Æ
5
F 5 +69,
+6@, +6A,
Æ
* ) +6@, +6A, +6 , ! ; ) 7 4 F 5
5
Æ
( + , . * + , 4 ! + , 4
#
( ; ! +, . * * . * * ) ) + , 4 +,
4 "+ ,
+6 ,
! + , 4 5 +# +, +, +, ,
4 $+ , +6$, +, 4 + +, +,, ) +, 4 + , +# +,, 4 +, 4 2 2 = 1 1 3. F & 4 ! ) 2 " 01 1 1 )2 " * * ! 01 * 2
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
@
Æ6 6
" ! *B ! ! +6 , ! * >2 ! * 2 (
! ) ! )) > 22 4 ) +@ , ! ; ) * 2 ( . ? ! +6 ,2
Æ
Æ
Æ
! + 9, Æ ! + 9, ) * * * 2 ( Æ
7 4
F
Æ
F 5
F 5 )
" !
Æ
Æ
$ 4 $ + , 4 5 )
+@$,
! ! 7
7 4 F $ F 5 +@#, ) * +69,2 ) * * / 7 ! * 7 7 4 7 5
A
Æ
Æ
" +@@, ! ; 4 5 +Æ , 5 +@%, +@A, $ * ! * ) ) ** +@$, ! -
Æ
5 4 5
! 4 + , 5 5 2 K/ +@%, +A , $ 4
5 ) Æ $
4
;
$
$
5 +Æ, 5 Æ 5
Æ
Æ
$
5 Æ
5 5
4
4
* +@ , 7
+A ,
Æ
4
$
Æ Æ
$
Æ
4
$
$
Æ
Æ
5
$
Æ
+A ,
* ) > 7 7 = 4 1 * Æ 1 ! +6 , @2 Æ
Æ
9
!
( / ! 4 + 9, * ! 4 + 9 9, 2 > ! * 4 6 4 % 2 ( + ,2 ! / ! * ) ! 2 ) ! ! . = 7 7 ! 7 7 )2
Æ
Æ
Æ
Æ
L - 4 + 9, 4 4 4 6 4 9
Æ
4 6
01 1 1 . 2 69 . 2 A@ . 2 6 6 . 2 %$ . 2 9 . 2 . 2 6 @ . 2 % 2 9 2 996 2 %9 2 ##
4 %
. 2 69 . 2 66@$ 2 2 $ . 2 9 . 2 9@ @ . 2 . 2 9A 2 9 2 A@$9 . 2 @@ . 2 @A
4 6
01 1 1 2@##@ 2@#$A 2@%A@ 2@%@% 2@%A$ 2@ %# 2@ 96 2@6 $ 2@6 2@69 26 @% 26 % 26A @ 26A 6 26@
4 %
2 #@ 2 #@# 2 #$ 2 #$6 2 # 2 A 2 A$$ 2 99@ 2 99@ 2 9@9 2 # 2 # 2 6# 2 69 2 @
$
8 * - 4 + 9 9, 4 4 4 6 4 9
Æ
4 6
01 1 1 . 2 69 . 2 6 2 A# 2 @A 2 69 2 % . 2 $6# . 2 @6 2 9 2 A 9 . 2 6 2 . 2 $9 . 2 @9 2 @ 2 #
4 %
. 2 69 . 2 6%6 . 2 A . 2 A@ 2 69 2 % . 2 %6 . 2 @9 2 9 2 A%9 2 6@ 2 % . 2 $9 . 2 #9 2 # 2
4 6
01 1 1 2@%$6 2A 9 2A69 2A6A 2A @9 29@69 29@96 2 A% 29#A 29 #% 26A6 269 % 26# % 26$$$ 26 % 2 A%$ 2 9#$ 26 A 2 #9# 2 9
4 %
2 #$@ 2 #$ 2 %6 2 % 2 % 6 269 26@$ 26 $A 269$9 26 #6 2 A 2 @$ 2 6$ 2 6A6 2 6@9 2 $ 2 % 2 #6 2 $ % 2 $#
#
L - 4 + 9, 4 4 4 6 4
Æ
4 6
01 1 1 . 2 9 . 2 AA . 2 2 @ . 2 . 2 . 2 $ 2 A 2 2 %9 . 2 . 2 6
4 %
. 2 9 . 2 A# 2 2 6 . 2 . 2 . 2 . 2 2 2 %$ . 2 . 2
4 6
01 1 1 2 6# 2 6@ 2 69 2 %@ 2 A9 2 A@ 2 A9 2 6 2 6A 2 # 2 6 2 %6
4 %
2 2 9% 2 2 A9 2 # 2 9 2 2 9 2 9% 2 9A 2 9 2 A6
%
¾ Æ
¾ Æ
¾ Æ
¾ Æ
+7
+7
7 7
+7
7
+7
7
,
,
,
,
%@ 6 %A @%$ 9# @
46 6 # @ 9# 6A 9
%A @ 6# @ 9 66@
# # # @ % 99A 6#@
4% # $9 $% 99A $ 9A
# $% A 6#@ 9A 6 %
6
8 * - 4 + 9 9, 4 4 4 6 4
Æ
4 6
01 1 1 . 2 9 . 2 A6 . 2 6 2 6 2 9 2 . 2 # . 2 6 2 2 %A 2 6 2 6 . 2 9 . 2 @@ 2 6# 2
4 %
. 2 9 . 2 9A . 2 # 2 6 2 9 2 A% . 2 $ . 2 @ 2 2 @ 2 # . 2 6 . 2 9 . 2 A 2 A 2 9
4 6
01 1 1 2 @% 2 @ # 2 @6A 2 @ 2 % 2 $6 2 %@ 2 6%% 2 966 2 A96 2 A @ 2 69% 2 A 2 @ @ 2 @6A 2 %
4 %
2 #$ 2 $A 2 $# 2 @ 2 A9@ 2 @#A 2 @%# 2 AA 2 6A 2 66$ 2 6@9 2 % 2 % 2 @ 2 % 2 #%
6
¾ Æ
¾ Æ
¾ Æ
¾ Æ
+7
+7
+7
+7
7
7
7
7
,
,
,
,
$%9 A%@ @ 9$
46 A%@ @ 9$ 9$6 % 6 6 % %99 696 6 6 696 A#
$%@ 66 %# 9$ 9 $# A% 6@# @6 $% 6@# 6%A6 A6 @6 $% A6 @$ 9
@66 6 6## A 9$
4% 6## 6 A 9$ %6A @ @ 9 @ @@A% @A @ 9 @A $AA
# A# @ 6 @ $A@# 6@ A #%9A A$$A9 #%9A @ %6$ $#$ A$$A9 $#$ # A$
$ @ # 66 $%@ %# 9 $ 9
69 $ # A# @ 6 @ $ A@#
66
"
( . ) ! - / +01, 3 / + 1, / +1, 2 ) 01 ! ! ! 1 1 * 01 1 1 01 ) * * 2 1 !) ) * + , ! * * 2 1 * * * ) + . , * 12 ! ! * + !
