Three Estimators for the Poisson Regression Model with Measurement ...

11 downloads 0 Views 315KB Size Report
In a Poisson regression model the response variable y is Poisson distributed with a parameter λ which depends on one or several covariates x , see,.
Kukush, Schneeweiss, Wolf: Three Estimators for the Poisson Regression Model with Measurement Errors Sonderforschungsbereich 386, Paper 243 (2001) Online unter: http://epub.ub.uni-muenchen.de/

Projektpartner

                  

                     

  

               

   

 

                  



                                                                                      

                    

                 

                 



                   

                                                    ! "                         #          !  

      "                               

                  !       ! "     "             ## $     %&&'(  $    %&&)(# * "          +     #     

   !  ,    -  . %  ( . ,% /  ( "   "     . %   ( # 0              "   1    "       !    ! #     # ##   %   (  .              !   ! ,  2     1      % ( .

 



 %   (  %   ( 3

%(

"               



,%4 / 4  (%  ( . 5

%3(

  !   !   # * " "              "    #   " !    



.  /  

"         "      !  %   (      !   %5  (

       !  "# 0         "     !"  

           # * " ! 

            "      %   (

6       %      (  .        # ## 7        "       8    !  !  #             ! "  " 1 8             ##        #         !   "      # 9

     ! "    1     # :  1           1          "       %;(     !   $1     %&&)(   %&&'(#   ;             # 7       "     !          "              %$(    "            #   $       !                1                   %&'&(



/   /    .



/   /   

% /   ( ,% /   /    ( . % /   ( ,% /   /    ( "        



. % 

 (



.

%&(













/  

 /    % 

 (

%5(

"  "       .  /  #   !  4  "       # 6 !   "1 "   A  4 # 

  

6    "            , F 4 #                       %9(     %4 (# 0     ,      %4 ( .  %( /

 %( 4 %  ( / % 4    ( . 5 

%(

6    "             %(   %(   %(  %5  %(( 

 %( 

 %(

'

7     %(     "   

%4  (  %5 F (

F .   %( %(  %((







%3(

  C 3     "  %3555(# 6       %(   %(# 7      %( .   



,% /   (%  ( 

: %B(  %( . 5    !   $C 

 %( %5  %((

"   %( .

G

"  

 ,%

/  (  H

  .   







%9(



6   8        ,    #      " 8   "     %)(       , 

  -

%

 ( .- %   ( %   (

.  %

 (   .

 ,% / (  

. ,% /  % ( /     ( &

%B(

"  % (

. %  ( .



. %  ( .



  %   (





 %   (



%)( %@(

              -

%  ( .- %  ( .  %  (   /  % . G %  (  H  G %  (  H /  %

 (    (  

%   ( .  %   (%,%   (  ( / %   (

%>(

 ##   %&&>( %&&'(#     "  

G

 ,%

/  (  H . %   ( /

%   (  ,%

/  (

    ! %9(  %( .

G% %  ( / %  (  ,% /  (( H

%'(

(  %&(  %(

. G,% /  ( H /   %  ( / %  ( . %( /   I / %  (

"  "      , I .

%  (

%95(

"         "    %3(  %39( ,      ! 3 #  

  I

"I

 

I

.

#I

. 3% /   /   (

"I

.





"

 "I / 

 / 3  

9

0    "  %3)(    %( .  /  %$

/  I( / %  ( .-  / %  (

%9(

.  / %  (

%93(

<    

< " "     %3)(  %9(          ,

4   %3(  ! ,   " "        "

  %93(F . %   $ (





. %  /   

.

 %   $ ( / %  ( 



$ ( % /   $ ( / %  (

  / 3   $ / %  (

 8   ! %9( F .   /    %$ /  I(  / %  ( 









%99(

         

         4            J K     #                   %3( & % ?  ( .

 ,%

B

/  (% ( 

"       J K      & % ?

G&%?

 (

 (    H . & %  ?   (

   %9B(

       ! & % ?  ( . %   (% (

/   %5  (

%9)(

"    !!   '.

/      . !     

%9B(   8 "     %)(  %@( "   ! #   $    %&&)( $  @#            "  

  





%  ( .



& %4?    ( . 5

,%4 / 4    4  (%   4  ( 

  !   ! 

    8   '  %9)( "     .    /  %  ( .  %  ( ! %3>(  %35(# *  . %  ( / %  (      %3&(     %( / %  (#     %9( 

.  / %  (

%9&(

< " "        ,    F    %9@(# 6  %9>(  %9&( " !  F  . ,%  (%   ( (





. ,%  (%  /   

. ,%  (%



.

 %   ( ( / %  (







(  ( % /   (  ( / %  (

 / 3   (  ( / %  (

  /    / 3   (  / %  (

%B5(

"  %93( "              "  # 6     %9( "      ,  ,  F  .   /    %  / 3(  $ /  I(  / %  ( 

 





%B(

           

6  "             1   -

%  ( . ,% / ( %  ( . ,% /  ( '

:         !!  ! "    " J !1 !K 1   #     ! %B(  %>( "  " 

        #

%  ( . %  ( . ,% / % ( /     ( %  ( . %  ( .  %  (%,%   (  ( / %  (                  $    %&&)(& % ?  (

.

 %   (



.

 %   (



 

%   ( %   ( 

%B3(

%   (%   (% % ( /    ( 

         4                

& %4?    ( . 5

  !   !     "            "   3## * E        1    .  %   ( %   (   . %   ( %   (   . %   (%% ( /    ( %   (#     %&&>(#    % (     "             !   !       %)(  %@( !      - 4 . L 4 . %  L( #

 



&



  

  % (     "  "       1    , 4 %   - %4   (( "    !   !          ,         $    %&&)(#      %B3( M . 

& % ?  (& % ?  (

.  G& % ? . 



 %   (

 (& % ?  (  H

%B9(

%   (% % ( /    ( % % ( /    ( %   ( % % ( /    ( % % ( /    ( .  %   (%,%    (  ( /  







:       !              , 4      ! F . M  / M  %  ( ( / 3 ( ( (M 











"  ( . %&  (  ( . %&    (     "  %3555(    3# * "     ,    !    ! "       ( (  ( (  !  #           &          % (       

. % ( .5

 

     ¾  

 

 ¾  ¾  ¾

35

.  %  ( .   

 %)(  %@(     ( . %  (  .  3# * F  !  ,  ! M  

F . M  / %  (

%BB(





     

6 "      ,    %B9(  %BB(    # 6  "            ,  %B9(# C  !!  %   ( ! # : %@(  %,%   (  ( / 

. .

   / 

/  %  (

     /  %  (

%B)(

< "     ,  %B9(# : %)( %@(  %39( % ( /   

. /  %"  (  /  %  (

  % % ( /    ( % % ( /    ( 

.  /







%

"

  (  5 3   /

 %  (

%B@(

      %B)(  %B@( "    M  !  ,    "M . G   %     (H / %  ( 

3

 . %" 

5   (   3 



6  "   %3>(  %35(    . ,%

/  ( /  %  ( .  /  %  (

   ! %&(  %3)(

% ( . %( / %  ( .    $ / %  ( :  "    %3( "   !     .  % ( / %  (



    5   5   

  3   



. .













"



"

) / %  (

"

"

3% / "







"  )

. 3

5 5   5 

   / ( 



%  (

%B>(

7  !  .  /  %  (  ! %95(

%  ( . I / %  ( $       " !  M .   

$

/ ) /  I / %  ( 33

%B'(

       %BB( F .   /    %$ / ) /  I(  / %  ( 





%B&(

                    6 8               "      #      !        #       F . F  / %  (  - $      A %B&(  %B( %F  F  ( .  %3$ / )     3( ( / %  (

:       8   %3@( %9'(  %B>(    ,  !

 2 # %<    ( .  % /  )(# 0      !  F  F         F .   /  

     

/   % % / ) /  I( 





 / %  (

%)5(

"  %)  I   %3( %3@( %B>(  %95(   "  #

39

 "     %33(  %39(#        ! 

.  







 

 "  / 

"

"



 



< "            4     4  4  #      3 %F  F ( .  ) / %  (

 -     "        A %99(  %B&(# 6     ,   ,      A       F  F . 3

  







 

"

"

"



  /

%  (

%)(

"  #  "   %33(  %39(  #    A  ,       8        #

! "       "       "           8                 3# 6 1           "   .   . 5)   %) (   %5 55)(#   2  . )55 "     3B

      "   !      1     % 1#'>B 1#99

3@

;  # 15#555 15#555 5#&5 5#53) >#5>>& 5#39@ 1#3)@B

. )55

  # 5 5 5#>' 5#533 @#&9B> 5#33B' 1#33&B

$  # 15#553 15#5555 5#&9 5#53B >#335 5#33&> 1#3)&'

$0C  # 5#55)@ 15#555 5#') 5#53B >#53)> 5#33'3 1#3B@&

             

; 1 @(

5 / 6      

 /

6   .  /

          +     

:   @9 3>193# 9