Data-sparse approximate inverse in elliptic problems: Green's function

0 downloads 0 Views 592KB Size Report
Oct 12, 2001 - Note that the Green's function approach ..... It is worth to note that the complexity of the "geometry responsible ...... Lecture Notes in Math-.
      

       

               

      



                       

          

   

      

                      !              "    

Ê

 

       

    Æ !

#   

          $% &          

'()

   & 

    !



 

   *& Æ             &       &      +&    ! ,  & &  &               -& 

    Æ !

             

         

  

 

   

           ! " # $%   &  

 '  

( )     *)

)       *            * )      + ,) 

  )         &      * ) 

    

   ) - +  )  * )     )  )  )   .  &  & ) *   )     ""%  &    ! $%  )  *  ) 

-       /%+ 0*   

  )  1     &     )   

      *)

)      



  & )         +  )      )     &            )

 & 

 1      + 2    &   )  &     * 

  Æ  + 3   )       )     & 45 & 

  )  &  

         ) &  6  )   )    + ,)         )    &    ) 7  89 -    +  )  & :  '  *    ( Æ   )                &        )   9 )    )

 & + ,   * )    Æ   *  )         )    * )  *    Æ              45 & + Æ  

     )  &  

     )   &    & 

  ) &    

 

 ) 

   * 

                   ! "# 

 

)      ) 

      + ;   -*         )  ) 4 &   

        Æ      ) 

   & )    7     *   )   &             '     ( :     A  '( *)   )        - -     & )  

  ++"+ ,)       & *?  9  " * &   )        1   &    ) *)

)    )      ) 4 &            & )      '   (   +  9   *               ) 

+  

  *    )   

 &      .        )       + 2    )     ) & )         *-      &+ " %+ 2    )   &  6        )    7  89 -    + ,)          +  9  / *      )  )  &  *    Æ   * )  & -  )    * )    Æ  + >          *)    C      

 ' ('(   +







 



 C ' ( *   )         & ) 

      '@(  '@(



 A

' ( '( 



   '@(



?

'"+(



*) ) 4 &  '  (   )  

' (

A Æ '

' ( A 

 (

   @    @   @

'"+"( '"+"(

 ) 4 &          & &   )  )

  )

 &  & ) 

      + ,)           '"+"( 

  '    (   )    ) *     )  



  @ @         )  ) )     ) )    A  ' >   +  )     & '  ((+  )  &   Æ     '(    ) &        * )  )  .  A Æ '(   *) Æ '(  ) <       ' >   +" &    (+ ,)   .    )        & '  (  )    & @     &  '  ( ' ( A  ' (  ' ( '"+(









 



,)    )

             & ) & .  & ) < 

)     '"+"(+   &     ) - &   '  ( * )     )          ) &  6 &+ ,)      )     A     '"+/( * ) )



  





 ?A





 '  (' ( 

  @

*)  ?  '@(   'H(  )        ?  )

   '  (   +    )     



 ?A   ,)   

 A

 

?A





 '  (' ( 

     H  ?    'H(    ?A   A





 '  (' ( 

 'H(

  '@(  )

  @

 'H(

'"+(

   

  H

    *  ) )        + ,     

    & )     '"+/( *    ) 9 )

   )           ) G  )    "%

?A



   





? 



'H(

   '@(    'H(   '@(

'"+ (

 

,)       &    % *)       )      & H  I +  *+  

   )  & I  ) 6   ) )   A " ' %( *)    )       &   + 2  ) 

 

        *-     )                  . 

'( A 

  

 '(

A



 '  ( '( 

 '( A

  '  ( '(  

 

 '( A 



  '  ( '(      '  ( '(   





'"+!(



 

  ) )   A + 4     '@(   '@(     '+(+    '"+"(   ) & *  

   



A







 '









(



'"+(

*) )     )  -  . )  9 )      '    ) 7  89 -    ( * )    ) E   F   -  & ) &   1                 )

&

+ * )       ) ) 4 -   1    .   )       'GC(   

 " %  +" &    +  )        )     & 





?A  B



 

   

  B

   



'"+ (



'"+!(

      * )

       

*)

)   ?A B 







 

A





A





 

 A        )      + ,)     A           ) GC * ) )   )

   * )    " +  

  )           )        )             &   *)    *

,)   

   

        * ) )  & )

%'

(

A '



 ½



      

% ' ( A '

(



 ¾

+



(

 & 

'"+#(



*)  ) )   & )   &  + ,) )        & 

       * ) % '  (+  )  * *      &     

  * ) )        +  )   )           ) GC  +" *    ) & *  

     )   & '"+(  '"+/(





 A

  '



 A   )  *    )    % '





  



(

 



( A '"  "(  '" (+

'"+$( '"+"(

G .  )    &   '"+/(    1   )    &  '  )  ) )  (    )   6    &          )  

     &  @ '  )    ) GC  " %(+ >   *  )  ) )           *)

)             =  )      +/+   * )    ) )    & ) E     

  F      '  (     & )    )    )   & ' (    &   @+  C ' ( *  )   @     & &   )        @  @ A ¼ @ + 

   &   

)  

   +  & + >  

) )   )



        +  ) +    .       )  *         &  * )  )   ;    ) &  )       ?A '& (&  

!

 '@ ! ( ?A

  

 Æ

'@(  (  *    )          ) GC G & &    '@( '& (+

"*

¿

,  % !    ! ) $# - · ¾ % - ¾ 

  . -  ½

½

!

  & * !            ?    A &  

     !     /      "  9    ! *   '@( "*'& (   9  ' (! &    .     9   

&

    ?  

! .

   



'@ (

½

'+//(

¿

  '@ ! (        !     @+ 9   & 

$! G  I + * 

      B          '@(+         ; ;   * ) & A  )     '+( *   

!

    &    ½

  

  & 

'+/(

¾

*)  A B  )      *)

)  * .   ) 9    Q    '@( @ .  '@(

'+/ (

 ! *          

9   )    '+/(      ;

      



½

 ;      @ *   & : A 

  B 

  ½  

º º

 



 $

º

         



  B  & 

'+/#(

½

$ & 

  + $ A &

"

'+/!(

¾

$+ $

$

 

   &  ¿

& 

   º ¿

 

   ¿

-    

 ) " 9      +  )     *  ) .         * )       . '; ( & ; $ ? )  )   * /   ) ) &  ) ; $  ) ) 



!

!

= ;   !$ ? ; " ;  A #  *  C   '+/!( ' )      (  '+/#(     &+  '.  (     ) )     '@( '& (     & -  Æ '@( '& (   )   '+/(+ ,)   

  )            )* )  

  )    &   +

"*



"*





 6 8'      # %   

  )     '+(   ) )   &  &         & C )  + ,) 7  89 -     $ &    . 

$ ?

 ' @(

-

 + 

   ' @(     '+(+

'+/$(

,)      & )    $      " %+ 2  ) & *  ) & )? #

I Æ / "     ) ) 

   '+"(+   ) Æ * )

$   

½ ¾·Æ  

 .Æ   



 Æ ( )    .Æ / 

   Æ ' @(

½ ¾·Æ  

'+(

,) 9 - 7  8     '    )  < 

)   (  . 

 ? 

 ' @(

!

 + 

  ' @(      A 

'+(

* )  A ! + 2   ) )      $   &    )  ) ++   A $ ' )     (+ C   )        * &  " %+ ,)    

$ ? , -

 + 

, $ -

'+"(

 ) 7  8R9 -     $ .    & )     ,  



$ -  A '  (

  , *)          &   A       .   A -  '  ( A     "  '@(   ) @     & +!/>    $ -  $ 1 -   .Æ Æ B 









'+(

 Æ A  Æ Æ !  8 Æ              

$ -  $ 1 -   .Æ  )       2 )  &   *    $ + ,)    2 & )   ?A    ?A  $  



Æ



'+/(

   )     & )        & '"+"(+

    )     & )    7  89 -  & )     $     ' "# " % &    (+

 ?A   . )   4 -      

 ?A  $  ?    

'+(

 ?A  *) )    $  .  '+"(   ?A         '+(+

  . @     & +!/>      Æ %     $   $  1              '@( ½

½

'+ (

$!

  *  )      & )       & )     $  $

    ) &  6     '"+"(+ ,) & *       

 1 ?   '@(    & 

 



  %+  'H( *

$ 1 ?  



'H(



'H(

'+!(

   'H(

'+#(

 &       &  ) 4 -   )      & 1    

  1 C  A   1 C 1  *        *        

½ ¾

½ ¾

$



 1 C 1    1 C   0 *  1   

·½¾ 

 C   ½

*)

) & '+!(+ ,)    '+#(         * -    

 )

         & $ + C   '+!(  '+#(    )   

$  1 ?   '@(   



'H(

'+$(

2 & )  )    

$   $  1 A '$  $ 1 (

 B $ 1 '   1 ( B '    ($       )     + ,) .   )           I +     &  =  '+(  '+ (+  )    *   )      & ) 4 -     1  )    &    & +     1 + ,)     )   *   '+$(  ) ) 4 -    &     &+ ,)      )        & )     +







 6 8'   (     )  9  *   )   & " %  "!%  Æ     &      &  

 +       ) 7  89 -    * &   ) < 

)   +  * )*  " % ) ) < 

)     &   *    ' )    *      )

   " (  ) C4     )    

+ ,) Æ      & )     '"  " (   -    - C) -     *    "!%+      )  1      )     &  *      )  

)+ ,)      * + I    )        )  &   ;         A  * ) '7 A +    .     > A       ) 

 & ;  H  )  & ;         ) )  ?A   H A ' (  +    &   ) )   '  ( A Æ    A  & >  '  ' +  

 

) &  &  ?A & &  : )    *   ) &     )     '@ (+ ,)   )  &  ?A  ' A     = > A       &   A  &  A ' 



    ½ ( '( ? > A    '+ (



  ,



*

!

*) ( ?A

   ,

 

&  ,  &





  

 







 $' (  )  &          * )    ) 4  A  % ++ ) 6 & )     '   (*  *)  A

   ' ( 

  

I       A +  ) )   )  &  &







&  )   ;  *  & ?A '  ' B ((' B '  ((* '(* '(    ' B >     *) )     *  ) I      )    % *)     %+ ,)     &  ?  '@(   '@(  ) )    

& ' & & (

 ' ( A &

"

'+ (



*) & ' (  )  

 &   ;  & A  & A  + ,)      & S   & ; + ,)   &

& ' & & (  &      ) &    ;

& . )    1    &

A ' & ' ((-* 



*)

)    '& (  '& (  +    )    1  

 &      )    1         A & &  ,)       )    1      '" (+ ,)    . /    &   ) ) )  1   

     ) < 

)    ) (    

*



D' (  .  ' B  ( D'





(

'+ "(

 . ' B  (

'+ (

*) A & &    )     

       " %  &  ) +   )  )  A     - '+ "( *   /%+ 9   A  '  " ( ) C4     )   )

     ) + ,) & ' (   &  

       )    ) * ) )   '"  " (  * ) )      '"  " (+ ,)  )     C) -     A * )             "!% &    + ,    )    *    ) 

             )        GC  +"+"+ 2   )    & '"+(  '"+$(+  &  

  )       $ & ) 7  89 -      '"+"(   ) 

   &











 A

 '









(



'+ /(

*) )    -  . )  9 )          ) 7  8 9 -     $    A   





* )              )

& )       ) 4 -   1    .  ) GC    )  & +"+"+ > )     '  4 ( *)   )       ) GC+ 9   =  A '" (       * &      & )    '"  " ( " +    )   C) -     A   *     

   &



 



 A

 '



        





(



'+ (

       )

   * )    " +

!

  " #  

0 *   )            +  ) ' (        &  )      &     )   &   )  +  )  

    '+""( *    )   '"  " ( *) )

     )  & 

       &       '   )       (+    ) .   '+""(   +  )  *      )     & )    &    ) * -



"

           

 "%+ 9          )     '"+( *)   & )        ) 4 -  G &   *  )       & ) 7  89 -    GC+ ,) GC     ) )  

    &   &  +   )  * )  

    & + L.      )  &        & )      +  ) 

 *       6  

    &          + ,)             )    ) )  + ,)    

   )         . )+ K      )   )

        )  #%+ 9   *       1   

 &        ' ++ )        H   ( )       &    )       &     '  * )    )   (+ ,)    )     '" (     )

& + 9 &  )    )             )     1  *)

)      )  Æ         +











       Æ   )  9  *       &   )  )  &  *        Æ  + 2  )   @     & &   )    ¼      @  @ A  @ +   *  )   &  1 4 -   6 "

        )     A







E  E 



    A * T' (   +

,)               )  ) )    + 0 )   & "        ) 

   + 2  ) )         , ?A    )    &  *   &   )   & )+ 2    )       GC  ) )   

 & )        )     )        '@  ( * ) )      '@  ( A ,  + 2  )    " A '7,  *)  .  , ?A  '@ (  + 2 ) )   & )      6  $  ) 7  89 -     $  )          . 



!

!

!

*

*   ?A 

¼ 

$   

  , 



  & )     )  1     ) & '+(   )      @ ' B

( ?A '( '( B

 - 

4 ' ( '(  A  

'/+(











*)   )    &      ' ( A  &  @ ' ( A " &  H   )     * )      H  *) * ) ' ( A 23 + ,)     ?   '@(  '@(      )& )     ?  '@(  '@(  ) & )   & '/+(   + >  ) ) &  '(   ) )     ) - ) )               '/+(  ) )  

   ) - + ,)& *    )    4 -       )   '/+( *)

)     ) )        '@(+ ,)    & )      &   

         )        * )  )     )

+   ) )     &         )     ) +  

  *     )     & )     +  ) ) Æ    & )     B         + 2 &  /% '   &  ) ( *)  1        &   - '/+( )  +













   -

#'  $ . /  0    # 

9   ) &         ) 

& *   )    &  '  (+ 2      )  )    * )  *-    .    * '@( "$%+  )    *&   )  ) &  )          * ) )      &    )    + ,)            1    & ) 

 +  *  "$% &    . ) * )  0    



  *'@( ? =I  *'@( 8  

U '@( ?A   * ) ) 

   A

=I %  ¾



"



  . )

*) = '( A ' ' H(  @+   ,) ++"  % *    )      & '+(  * '@(        

     # 





*) )     . & '+(+ 3    * '@(  . )   J A <  @  )  &        I '@( * '@(+ ,) *      )      & '+(  I '@(+ * )   &  -    'H(            A - & ) &  I '@( *)

)    .  )    I '@(  "$%+  )

 < A  *      )        -    

 ) 

  ?  ½   -  ½¾   *)

)     + ,)      &+ 9    '  (  6 '@( * '@(   '  (  . '&  )  @(







 



 





 ' ( A  ' (   H

' ( A  I +   )  '  (  * '@(  * '@(+ >   )     '+"( * )     ' (   6 '@(  * '@( G /   )  & )     +

-

        # 

>  *    )       &              '+"$(+    *    &     ) & )   )

  + ,)  

   & )       

     ) & &  

    + ,

'

( *     ++ ,)     )          )  &                  ) *      + ,)  -  &     )        +   * )  *    Æ         )  &      =  '

(+ >  * ) )     * )    )  &  &   & & )  &         ) )  )      & )   

  1  + >      &           )       1 + <   )  )  &         )    &  *      * )  GC *    )   )      ) 4   L * " '   (+ #% + 7+ 4 - 2+ 0 - )  G++ Z)- :?    >    & )       * ) 

 + +  )+ '   (+ $% I+ 4  ;+ L-) ? > *   & ) &     ) & ) I      )   + >  

 $$! ""$" $+ % + 4* )  9+>+ 9 ? G     & 9  3 

G ;  7 + 7   7 +  I 6  $$$+ % 7+ 4 ? 

    )  + 7  I $#+ "% +W+ 4   ,+ 0 - ? 7      * )       + 9> W+ 9 + C  + # '$$!( ###+ % 2+ 0 - )? G  $$+

" =6   ! &  #  & + 9 "#+ G -)[

/% 2+ 0 - )? =

  ;  G  $$"+

 2 =6    &  #  & +

% 2+ 0 - )?             ! C   '$$$( #$#+

)

9  

   %   ! $  " "   %

"

 % 2+ 0 - )  G++ Z)- :?   %     + C  

   %     ! $  "" 

   

)" '"( "/!+

!% 2+ 0 - )  G+ + Z)- :?    %       + W+ & C +  > +  )+ " '"( /!$+

   0   

#% 2+ 0 - )  G+ + Z)- :? %            + ,)  ) 

 &        >

  \ >I>7 $$$ W+L+ 2)  '(    >  C)  $ !  "+ $% 2+ 0 - )  G++ Z)- := &  %        

    ! 3   ,)? >   >

   + " G -)[ ;  " $/""+ "% 2+0 - )  G++ Z)- :? F  1       %   + 7   7 9  I 6  "= + I + > + * ) > +   +

 6

"% 2+ 0 - ) G+ + Z)- :  9+ 9 ? .  %   + ? I   >   )

 '0+W+ G 6 L+ 0  C+ ] +( 9   ;  " $"$+ ""% 2+ 0 - )  ]+ 7+ *-? .         + +  )+

       

        

&" '$#$( / R/$+

"% 0+ 0  +   )-  +7+ 9  )?      & )   G &    5   ) '   (+ "/% 4+9+ 0  G++ Z)- :  2+I+ 2 ? 7    &     )        +    >   * ) G    " '"( "#+

.                        W+ + I + >  * ) >

 + '"( $ '$$ (+ G++ Z)- :  W++  -? F       =   7  

"% G++ Z)- :? " %

7 9 / I 6  "  +

"!% G++ Z)- :  W++  -?  Æ 

 , 7   + / 7 9 I 6  "+

         =

"#% G++ Z)- :  9+ 7&?        ) .  &        & ) I    + >   C +  )+ / '$$(  + "$% W+I+ I  + ? )       

  + 9  ;  * ^- $!"+ % + W+ 2 )? $      % 2  =6       + L  $!D 3& K   C + I+ 3  $$!+

 0G

% +   )-  +7+ 9  )? ,)   & )     )  ? >            ' (+

+

7

"% 2+  I? 9   

9   G    + C  K   7 "+ % W++  -+ .     ) &      + 0   )   W+ + > + + " $#  "+ /% + + , ) -?

 % 1      + C    '$$

( /!R!+

/% 0+ ^  ? C      &   * )  

  + 

 >    "?#!$" $$$+

/