Wave boundary layer stream ing

!"

#

%

#

)

$' (

&

"

$

%

#

$

%

*

$ ! "

!"" %

# #

& ' )

(

$ # $

* *

$ +

+

( ,-$ . /0 1 2 . 45 . /0 1 2 . "

" * * " *

* *

""

3

* *

$

) 6 0

7 + 8 (

( $# $

! % $ $

9 !

:

8 *

$ $

& ' ( )) )) )) )) )) ))

* +, " " *- +' ) *'+2 " *4+4 " *5+' )

# & .//0 1 23 ) & .//0 1

/ 23

( (

#

$

%

& ! # % "

" #

$

#"

%

" " %' $

&

"

&

& ( ' $ & ) & & & % * # % ! " " # * " % & & " " %) " %% " $ % " # ( & " " "# ' $ ! + $ & " , !./0 1 " ! # $ &" ,2 $ 3 .///1 .!23 " 45 ( * 6 2 " 7 8.///9 : " ' & " % $ ' % " 45 ( * 6 2 " + " ; 8 # %$ ' ' ' # " > %$ $ ' " & & & ! % " & % % ' # $ ' $ * A $ $ ' $ " > & /< %# &' # % & $ ' $ " 8 !./0 9 * $ !A " ! $ ! % " * ! % ' > %$ $ % &# ' $ - ' $ " &' %$ $ &"" & & $ ' $ % & 8* ' ./B 9 ( " " +% % ' # %$ $ % ' $ 6 *

) %

" %%

# #

%%

"

%

$ "

% % #

:

1

" # #

%) $ %

"

"

( # "

%% ' ,# "#

%

# '

# % "

'

$ &

%% !

%

> " " @'

"

&

" #

# ,

" "

%%

*

& &' $

' &

' "

% " '

$

& # &5C 2 8

$

%

"

%%

.1

'

'

"

"#

' $

"I " "# $

,1

! ' $ ' $ # #

. 1

&

'

% '"

&

% &

"

$

& %%

' &

"

' $ 45 ( * 6 2 " #

8.///9 & $

&

4 ( . .1

" *

"

% " %

*

- ' ) - ' ' " I6

-0

"

& %% " " 8./0 9 2 $ " " %%

$

" $ . 1 - '

&

%

" 45 ( * 6 2 "

+ .1 1

' &

#

%% !8.///9 :

7

*

%

#

"

!

" % #

$ 7 % * )

& " # $

$

% I

! ' $ ! &"" &I " I6 ' % " . .1

'

#

I 2 $ ' 4 I &

%% 1 - '

3

I6

& '

8.///9 " ; "

; "#

# & " I

" ,' $ 1 1 - '

"# "

"

'

&

& "

#

"# '

" %

% 23// " "

" I 45 ( * 6 2 "

,1 # & ; % 45 ( * 6 2 "

$ I

/

#

$

%

)) *

$

; & * !

•

*

%

•

•

>

.

#

' # % ' $ # # ' $ # # ' " , ! . 1 * 2 $

##

## #

#

' $

3

( 45 ( * 6 2 " 23// " 7 ' .1 * " ' > " ! $ : & & ; $ 1

*

# . ''

!

" &

$

%'

#

*

•

#

##

%% •

$ % "

!

& % " ' $ ! &"" & , # & #

* ! "# $

%% " ; # % %23// ' " & % ; " -0 4 , ! & " $ "# ' %45 ( * " % $ % , ! 1 " " # " ' % 45 ( * 6 " &$

$

8.///9 &"

$

%

. .1 "

% "# . 1 % , 6 2"

" 2"

!

,

!

'

/,

.
" " %% ! $ & : " " % ' ' " 0 " 0< R=

*

%

&

umax umax − umin

,. 0 .1

" 8

%%

% #

"

' $ #

'

"

! %

$ !

$

7

&"" ' '

8"

9

&8

' #

: ' '

" # '

"

.

#

$

%

) (

#

%

% '

$

$ %

$ % "

' :

# "# %" $ & &

&

# " " ! # & & "

" %

% " ' * &# %

' $ ! ' % '

% #

4# 6 # = $ >!

#

%

&

&

% ' & &

% & * A!

%%

A

" "# ;

$

: #

%

&, . 1

& , . .1 ' , . 1 #

# > "

" "

, . .1

∂u ∂u 2 ∂uw 1 ∂P 1 ∂τ xx 1 ∂τ zx + + =− + + ∂t ∂x ∂z ρ ∂x ρ ∂x ρ ∂z

, . 1

∂w ∂wu ∂w2 1 ∂P 1 ∂τ xz 1 ∂τ zz z: + + = −g − + + ∂t ∂x ∂z ρ ∂z ρ ∂x ρ ∂z 7

& '

%

>#

%

$

>!A $ & "

$ &

∂u ∂w + =0 ∂x ∂z

x:

% '


6

% "# % '

%&

$ " " :

% " "

" " &

' $ %

∂u ∂w + =0 ∂x ∂z

,

.1

∂u 2 ∂u 2 ∂u′2 ∂uw ∂uw ∂u′w′ 1 ∂P ∂ 2u ∂ 2 u + + + + + =− +ν + ∂x ∂x ∂x ∂z ∂z ∂z ρ ∂x ∂x 2 ∂z 2

,

1

∂w2 ∂ w2 ∂ w′2 ∂ wu ∂ wu ∂ w′u′ 1 ∂P ∂2w ∂2w + + + + + = −g − +ν + ∂z ∂z ∂z ∂x ∂x ∂x ρ ∂z ∂x 2 ∂z 2

,

1

x:

z:

" "

, "

# "

1 %

>!

%% %

" "

" A ' $ '

$ "

$

$ &

# )>#

A

"

, &# %

1 %

&, "

% ' %

% %

% " ' $ 1 % " % & & ' #

$

∂uw ∂u′w′ 1 ∂P ∂ 2u + =− +ν ∂z ∂z ρ ∂x ∂z 2 * ##

$

% "

A &

"

$

ρ u′w′ = − ρ υt

& '

∂u ∂u + υt ∂z ∂z

H ,

,

1

,

01

&# 01

.0

#

,

1

"

$

%

$

%

'

+

∂ ∂u ∂ ∂u ∂uw 1 ∂ P =− υt + + (υ + υt ) ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ρ ∂x 3 ,

%, B1 '

@1

,

=1

1 ∂P ∂u ∂u = − υt + uw − uw δ + [ z − h] ∂z ∂z ρ ∂x

,

B1

( )

,

/1

@1 ' A

' "#

A ' $ ! $ uw = 0

,

z=0 %

"

$

& $ $ & ' $ * ' $ ! $ & , /1 '

, *

=1 & $

O

' ' $ ! $

%

∂u =0 ∂z z = h

υt

τ b = τ surf − ρ uw *

#

%

A

&

"

$

%

"

&# % % #

" '

%% ,

% ' ' $ "# ' $ & 8.// 9 ># "

'1 %

"+ %"

%3 "

& & $ 1$

,

&

% %,

% 8./B.9

2

%

' $ &

% $

& 8 & & * " ( ' " % " $

"#

$

%

& & > ' $ " 8 > %" "

8 >?9

32

$


* # % % / %% $ $ % "A , . 1

$

& $ %

' *

: ' % '$ % '$ &7

,

. 1 & , QRS 1.R '$

# ' : % ' % "

& % '

@

u (1) (θ , z ) = U1 cos θ − e− β z cos (θ − β z )

& ,

. 1

,

.01

10

=0° =45° =90° =135° z/

5

=180° =225° =270° =315° =360°

0 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

u1/U1

.

w(1) (θ , z ) = −

@/ .

U 1k

β

β z sin θ +

6

89

7

1.5

86 A9

1 −β z π 1 π e sin θ − β z − − sin θ − 4 4 2 2 10

=0° =45° =90° =135° z/

5

=180° =225° =270° =315° =360°

0 -0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

w1/U1

.

B/ .

7

"

89

0.003

86 A9

.

#

*

#

$

%

"

?L.RP % " % & & ' % ## " & & 6" " % & & U U ' ## & ,.1 V7 8 $ "

$ #

%" #

# " $ '% "A

# $ ' $ %" '

#

H % ' ># & " 7. R " % " $ # % " # % $ &, . 1 ,' $ . 01 ( ' ' $ # ' $ $ % # &# " $ $ ' * " $ % ' $ # $ 7. 6 " # $ " >" " % & & ?A ' # ## - ' $ % " % * %' $ . &

"

$

'

'

%

# % , . .1

* " " $

#

6##

!

#

' ' $ # # " 1 6 " $ ' $ " " % ' $ ' $ ,% % ' $ % ' $ # % ' ' $ # # " $ #

$

# $ ## ' $ #

' $ , ' $ % 7. R * ' $

(

&@

" % "

' $ # ' $ . " # * ' $ ' ! # % " $ < # % ' # * % &> " % % %> " $ < % ' $ %' $ . & ' $ # %' $ "# & & % ' $

"" A % # &# $ " " ' $ # $ & $ % " $ !8./0 9 " & & # % * % " $ # $ # ' &"# $ : " " $ ' # ' ,$ 1 # % # % " " $ ' ' $ ,

" ! ' $ & '% "A ' 6## -

# ! %

' $

#

$

%

0.02

0.015 h=3 z [m]

h=4 h=5

0.01

h=6 h=7 h=8

0.005

0 0

0.03

0.06

0.09

0.12

[m/s]

.

/*

3

=2 %

"

LH-solution for wave occurence 2.5% 0.02

z [m]

0.015

h=6 0.01

h=7 h=8

0.005

0 0

0.1

0.2

0.3

[m/s]

.

/*

3

=2 %

"

0

#

& .// 0 1 +

$

"

(

"

2 $ !& & ## > " " #

3 2 $ &

3

8.///9 ,

&

' $ % ## 6

* %

" ! '

"

%

&

&2 $ 2 $ '

3 3

#

& $

8.///9 8.///9 ' $ # % & "

"

&$ % "# >

$ &! ' " " " % # %$ > & $ & " ' * " & # % &

' ! A " !$ & " " %2 $

3

% 0 6. ##

% " $

$

% % & $

A1 < 2.5 ks A1 > 2.5 ks

, . 1 # " % & &"" & # , . @1+ % W.

ε1 = ε1 exp ( iφ1 )

( # % ' $

& , . 1

, . 01 , . 1 ! $ & "# $ %< . " .//@ 1

%

" & ' "% ' * %% W. &

8.///9

&

K0 = 0.004U1ks 2 K0 = 0.00253U1 A1ks 2

*

"

1 i ωt − kx ) 2 i ωt − kx ) K 0 1 + ε1e ( + ε 2e ( 2

" & , #

1 - ' $

$ &

K=

* $

"

$

23//

%

&

$

#

-0

% "

&A $

&

&

"

%

%

%

))

8.///9 %

$

( $ & "

"

$

!"

$

% '

' "

%

&

6 .R $ , %

, . 1 , . 01

" $ % &"" & & $ % &"" &

, . @1

@

#

* &$ & # $

*

" & ' " &

% $ &$

% &

$

%

%, . 1 # &"" " $ % & % " ' $ % $ ,% % " & !" $ %% # $ %B " %% ' $ % ' + (W.( L (W ( L . X. L !B

% ' # + % 23// 4 $ . ( $ % " "# $ $ & " ' $

, .. 1

∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ =− ; =− ∂x Cw, x ∂t ∂y Cw, y ∂t

, .. 1

% "

% '

8.///9 % ,' $ 1 & '

Cw = ( Cw, x , Cw, y )

%

" & &

"

"

( %% ' .!23 % " ' $ $ ' &

% " # %$ ' A %# " % "# #

*

1

%

"

( # % '

,4 1 & 7 " # % $ & A

$ # "

%

"

45 ( * 6 2 " ! 4 % " #

" 4

"

$

&

" !

!8./0 9 4 % & 6 " & %

2 $

%%

3 .0 %

8.///9 % % #

% "#

# $

' $ & : & " * ! %% % " % > # & !W &# % " % ' " * "% " !% ' % " * " # ' $ # " # % " & " " ! # ! ># & % " ! & # % " " , 4 # %

> 1

.

#

* $ $

45 ( * 6 2 " " ! < ' &Q " ! # # # ! $ &$ & $ $ & ' 6 % " ' ' ,AL ""1 # ' A " " ' A $ , & & 1" >"

' $

$

%

%

% " ' ,7 .///1 * & ' : .0 ' Q< " ! % # ! $ A % " ! &$ & % " * &$ & $ &+ " > " " &$ & & " >" "$ : ' &% " " &$ & " % ' $

2

Vt/V0 z = 3 mm

1

z = 4 mm

/U1

z = 5 mm z = 10 mm z = 20 mm 0 0

1

2

3

4

5



6

-1 wt

.

* % :

(

>/ !

" A % ' ! % ' $ " 4 (

3

7

7

"

' #

%% #

% % ' '

& & !

+ A %%

4

" "

# %

'

#

% $ ' $

% %

!

&

& $

%

' $ ' $

&

45 ( * 6 2 " $ & & # % " ' $ & % " > " , ## > 1 %% % %% " # A " " " ! $ A $ & : " > "# % # % % 45 ( * 6 2 " ' ## > * " %" " " # A % ' " ! $ $ & # & % % : " % ## > % " % " " $ 7 % % ' # " ' : 0 % ## >2 * ! # ! $ $ & & ' : 0= ,' $ 1 % ## >) * ! $ ' % * # % & % %% # " &$ &" %2 $

' &$ &" %2 $ 3 8.///9 ' % # " ' ' ! $ # % & % " 45 ( * 6 2 " : ' $ . $ # % % " 4 ' " &"" & & : " " >" " $ & " %% ' - ' $ % ' $ ' $ # ' $ $ # % % " 4 ' " &"" & " >" " $ &% ' $ & % " %% ' $ 7 % &$ &# % % ' $ # " % " ; ' & " ' $ &# % 23//!" , : .B : ./1 * % " % &$ % $ " & " % &$ & & % ' $ % # " %23//!" +

*

& & & &

%

• •

$ .+ (W.( L < : 7 " $ " $ % ' & 7, 1 $ & & 7, 1 * $ % " $ " & " ' $ & ' % ' $ # & % & " * $ # % % ' $ . ' $ ' % ' : # % " # % & # $ $ ! ' ' &% " *

#

!

& $

"" A " $ %

" $

$ %

; !

' $

$ % &

&

%

$ ' ! " " "

'

" % " $

' & "

*

# %

%$ "

> &

$

## . ##

'

&A * ## >: 6 $ % X. X ' & W. W : "

!

% & %

% " !

" "

%2 $ ' &% " "

## A

%

" % &

7,.1

"+

3

8.///9 ' " & " & % ' $ # % % " * % ' $ % :

"

=

#

$

%

0.1

0.075 h=3 z [m]

h=4 h=5

0.05

h=6 h=7 h=8

0.025

0 0

0.05

0.1

0.15

[m/s]

.

/ CD

8"

9

0.2

z [m]

0.15

h=6 0.1

h=7 h=8

0.05

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

[m/s]

.

/ CD

8"

9

B

#

$

'

( " " "

# $ " ,

" %%

*

( #

. &

%%

"#

,' $ 1 %

"#

% $ %"

> "

"

%

.1 (

$ A, $

' $

"

'

#

"

%

)

# "

$

> " " '

%

& & 1 &A &

%

' % '

%% $

$

&A $ ' $

# % &

% $ & : " $ % % "

+

"# % $ % " " # " # % $ & " # % % ' # , L B" % '1 " $ ' $ < " " * " $ $ & ! A $ & "# 7. ' $ < $ & P ( ' & # % & & % " $ ARPL B ' ' : -0 P $ & , QRS 1.R ' % 23// .R 45 ( * 6 2 " P $ & , " " ! % " >" " ! %% ! "# " # ( ' % %% ! ' # , L ' # # % " .0 : " % # ' # " % ' % & $ AL < " * $ A , 6## >2 : 0 1

"

3

(

%

" %% # %

"

$

% ' & * # "

%

' &

' '

%

8 " " " 6 " $ # 1 %% % " !

% :

#

$ & 8

# ' $

" &

"

'

4

%

# % %

%3

; 8 [Pa]

0.5

0.25

0

-0.25 3

4

.

:@/

5

depth [m]

6

7

8

3

0/

#

$

%

4 PSM N&C2003-original N&C2003-adjusted

bmax [Pa]

3

2

1

0 3

4

.

:B/ # 5

5

depth [m]

6

7

8

3

0

bmin [Pa]

-0.5

-1

-1.5 PSM N&C2003-original N&C2003-adjusted -2 3

4

.

:?/ # 5

5

depth [m]

6

7

8

3

@
" $ & 8 " " ! % ; " % &, > # % ,: 1 ' 4 * &

.1

" % '

% 8 " "

& & " $ %

"

# %

" % 8 # % $ % 4 , " ! # ! # &$ &1 $ " $ % ' & 23// , " ! # &$ &1 -0 , $ &1

@@

#

: o *

: : &

: 7 "

%

M "

%

8 " * %% 0 1

$ &

$

%

' # &

: " % %% " " ! $ " ! $ /!

3

6

7

B


' + ! & C # % " " ' " '

"

/"

# % % " ' >#

"

7

"

"

-

$

%

E:

' "

"

# ` &

$ : # C ' % & /$#

'

' -

" A %

A *

B.

#

&77

5C %I

(

## > & & A & & %

% &

$

%

& % $ %

-0

&

U %

' & 4 23//

'

%% % " " >" " $ : 0 : # $ &

" ' 00

: '

' * "# 0 ' &

0.1

0.075

h=3

z [m]

h=4 h=5 0.05

h=6 h=7 h=8 [m]

0.025

0 0.25

0.5

0.75

1

Oscillating velocity amplitude [m/s]

.

>:/ I

-

"

7

' #

10

7.5

h=3 h=4 h=5

z/

h=6

5

h=7 h=8 2.5

0 0

0.25

0.5

0.75

1

1st order oscillating velocity amplitude [m/s]

.

>;/ I

-

"

7

=2 >:

B

#

$

%

10

7.5

h=3 h=4 h=5

z/

h=6

5

h=7 h=8 2.5

0 0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

2nd order oscillating velocity amplitude [m/s]

.

>>/ I

-

"

7

CD

89

CD

89

B

#

&77

5 %

(

## 1

>: &$

7 0@ : &# % %

0=

$

%

' #

' ' $

# ! $ % "

, $ 45 ( * 6 2 "

& &

1.3

h=3

1.1

h=4

K/K0

h=5 h=6 h=7 h=8

0.9

average

0.7 0

1

2

3

4

5

6

wt

.

>@/

7

7 3

8"

9

2.4

1.6 K/K0

h=6 h=7 h=8 average

0.8

0 0

1

2

3

4

7

7 3

5

6

wt

.

>B/

8"

9

B

#

&77 (

5. %*

## > ' : %23//, 1

"

7

CD % %% $ %

"# $

$

%

89

"

23//, 1 % 23//,

" 1

"#

0B : 0/ ' ! $ % " 7,.1 % ' $ . # $ & "# 7,.1 " % 23//, 1 7,.1 " % 23//, 1 ' " $ " ! ' # * % " $ , 1 , 1 %W % 23// % 23// * % " " $ &$ & # % % 23//, 1 "# 23//, 1 * % % ' $ & $ % $ ## , 1 * ! $ % 7 "% ' $ . ' : @< : @. # $ & 7, 1 " %23//, 1 # $ ! $ ' &% " 7, 1 " % 23//, 1 $ ! # $ ' &% " % ' $ * " ' " " %% % &"" & & ,' $ # %" & 1 $ % ! " : " % ' $ ,: @.1 , 1 # % 7 " " # "# ' $ . ,: @ $ ## ' $ % " " " % " & " :

B0

#

$

%

0.2

0.15 h=3 z [m]

h=4 h=5

0.1

h=6 h=7 h=8

0.05

0 0

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

U(1) [m/s]

.

>?/

89

"

> J 8"

9

0.2

z [m]

0.15

h=6 0.1

h=7 h=8

0.05

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

U(1) [m/s]

.

> /

89

"

$> J 8"

9

B@

#

$

%

0.2

0.15 h=3 z [m]

h=4 h=5

0.1

h=6 h=7 h=8

0.05

0 -0.003

0

0.003

0.006

0.009

0.012

U(2) [m/s]

.

@ /

89

"

> J 8"

9

0.2

z [m]

0.15

h=6 0.1

h=7 h=8

0.05

0 -0.025

0

0.025

0.05

0.075

U(2) [m/s]

.

@ /

89

"

$> J 8"

9

B=

#

$

%

0.2

0.15 h=3 z [m]

h=4 h=5

0.1

h=6 h=7 h=8

0.05

0 0

0.01

.

@ /

0.02 U(3) [m/s]

8:9

0.03

"

0.04

> J 8"

9

0.2

z [m]

0.15

h=6 0.1

h=7 h=8

0.05

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

U(3) [m/s]

.

@:/ 8:9

"

$> J 8"

9

BB