Examen final de calcul différentiel

L3 maths

31 mai 2012

Examen final de calcul différentiel Durée 2h. Les appareils électroniques ne sont pas autorisés. Les réponses devront toujours être justifiées, même succinctement.

Exercice 1. On considère Σ le sous-ensemble de R3 donné par l’équation { } Σ = ( x, y, z) ∈ R3 , g( x, y, z) = 1 où g( x, y, z) = 2x2 + 3y2 + z2 . 1. Calculer le gradient de g. 2. Déterminer l’ensemble U des points de Σ où le théorème des fonctions implicites s’applique à la variable z (autrement dit où z peut s’écrire localement comme une fonction z = f ( x, y)). 3. Quand ( x, y, z) ∈ U, calculer le gradient de la fonction f . Peut-il s’annuler ? Si oui pour quelles valeurs de ( x, y) ? Exercice 2. 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F un fermé non vide de E et x ∈ E un point n’appartenant pas à F. Montrer qu’il existe un point y ∈ F tel que

∥ x − y∥ = inf ∥ x − z∥. z∈ F

2. On se place désormais dans l’espace vectoriel M2 (R) des matrices 2 × 2 à coefficients réels, muni de la norme

( )

a c √ 2 2 2 2

b d = a +b +c +d ( ) a c et on considère l’ensemble F = SL2 (R) des matrices de déterminant égal à 1. b d (a) Montrer que F est un fermé de M2 (R). (b) Soit f : M2 (R) → R la fonction qui à une matrice M associe f ( M) = ∥ M∥. On cherche la ou les matrices M réalisant l’infimum de la fonction f sur F = SL2 (R), autrement dit la ou les matrices les plus proches de la matrice nulle. i. Montrer que f | F est minorée et atteint son infimum.

ii. Calculer le gradient de f . Est-il toujours défini ?

iii. Trouver le ou les extrema de f | F . Montrer qu’il s’agit du minimum et en déduire inf

M ∈SL2 (R)

∥ M ∥.

Exercice 3. Soit k > 0 une constante réelle et f : Rn → Rn une application de classe C 1 telle que

∥ f ( x ) − f (y)∥ ≥ k∥ x − y∥

pour tous les x, y ∈ Rn .

On veut montrer que f est un C 1 -difféomorphisme de Rn sur lui-même. 1. Rappeler la définition d’un C 1 -difféomorphisme. 2. Montrer que f est injective, puis que f (Rn ) est fermée dans Rn . 3. Montrer que d f ( x ) est inversible pour tout x ∈ Rn . (Indication : on pourra poser u ∈ ker d f ( x ) et appliquer l’hypothèse à la dérivée directionnelle de f en x dans la direction u.) 4. Montrer que f est un difféomorphisme local et en déduire que f (Rn ) est un ouvert. 5. Conclure en utilisant le fait que f (Rn ) est un ouvert-fermé de Rn .

Correction Exercice 1. 1. ∇ g( x, y, z) = (4x, 6y, 2z). 2. Pour appliquer le TFI avec z comme variable image, il faut que ∂g/∂z ̸= 0, autrement dit z ̸= 0, donc U = Σ ∩ { z ̸ = 0}. 3. Là où le TFI s’applique et z = f ( x, y), on a d f ( x, y) = −(∂z g)−1 ◦ ∂(x,y) g, soit ∂f ∂g/∂x 2x ( x, y) = − ( x, y) = − ∂x ∂g/∂z z

,

∂f ∂g/∂y 3y ( x, y) = − ( x, y) = − ∂y ∂g/∂z z

qui ne s’annule que si x = y = 0. Cela n’est possible sur Σ qu’aux points (0, 0, 1) et (0, 0, −1), les points les plus haut et bas de l’ellipsoïde Σ. Exercice 2. 1. Comme F ̸= ∅, il existe un point y0 ∈ F et posons r = ∥ x − y0 ∥ > 0 par hypothèse. On peut découper F en deux morceaux : F0 = F ∩ B¯ ( x, r ) et F1 = F − F0 . F0 est non vide car il contient y0 . Quant aux points de F1 , ils sont tous à une distance de x strictement supérieure à r donc l’infimum de la distance sur F est l’infimum sur F0 : inf ∥ x − z∥ = inf ∥ x − z∥ ≤ r z∈ F

z∈ F0

Or F0 est fermé et borné, donc compact (car la dimension est finie), et la fonction z 7→ ∥ x − z∥ étant continue, elle est bornée et atteint son minimum en un point y. 2.

(a) On voit que M2 (R) ≃ R4 et que la fonction déterminant est g : ( a, b, c, d) 7→ ad − bc. Cette fonction est continue car polynomiale en les coordonnées donc F = SL2 (R) = g−1 ({1}) est un fermé. (b)

i. C’est une conséquence directe du (1). √ ii. Écrivons f ( M ) = a2 + b2 + c2 + d2 , alors ∇ f ( a, b, c, d) = f (1M) ( a, b, c, d), défini à condition que M ne soit pas la matrice nulle (qui n’appartient pas SL2 (R) donc il n’y a pas de problème). iii. En un extremum on doit avoir ∇ f = λ∇ g donc    a d    1  b  −c = λ  −b ∥ M∥  c  d a

   

ce qui n’est ( implique que ) si λ = ϵ/∥ M ∥ où ϵ ∈ {−1, +1}, et que d = ϵa et c = −ϵb a −ϵb donc M = . Si l’on rajoute la contrainte det M = 1, il vient que ϵ = +1 et b ϵa ( ) cos θ − sin θ 2 2 a + b = 1. Donc les seuls extrema possibles sont de la forme Mθ = sin θ cos θ √ avec θ ∈ R, et pour toutes ces matrices ∥ Mθ ∥ = 2. Or d’après le (i) on sait qu’il y a au moins un minimum atteint, et de plus il doit satisfaire la relation de Lagrange car les gradients sont bien définis. Il y a donc un infinité de minima (les rotations Mθ ) et √ inf ∥ M∥ = min ∥ M∥ = 2. M ∈SL2 (R)

M∈SL2 (R)

Exercice 3. 1. f est un C 1 -difféomorphisme de Rn dans Rn si elle est bijective, de classe C 1 et que sa réciproque est aussi de classe C 1 . Mais par le TIL, il est équivalent de demander que f soit bijective, de classe C 1 et de différentielle est inversible. 2. Injectivité : triviale. Fermeture : soit (yn ) une suite convergente d’éléments de l’image f (Rn ). Il existe par définition des points xn tels que yn = f ( xn ). Comme par hypothèse (yn ) converge, elle satisfait le critère de Cauchy :

∀ϵ > 0, ∃ N ∈ N, ∀n ⩾ N, ∀ p ∈ N, ∥yn+ p − yn ∥ < ϵ par conséquent ∥ xn+ p − xn ∥ ≤ 1k ∥yn+ p − yn ∥ < ϵk . En choisissant ϵ convenablement, on voit que ( xn ) est aussi une suite de Cauchy. Comme Rn est complet, cela suffit à garantir la convergence de ( xn ) vers un élément x∞ ∈ Rn . Par continuité de f , yn = f ( xn ) → f ( x∞ ), la limite de (yn ) appartient donc à f (Rn ), ce qui prouve que f (Rn ) est fermé. 3. Si u ∈ ker d f ( x ), alors 0 = d f ( x ).u = lim t →0

or par hypothèse ∥

f ( x +tu)− f ( x ) ∥ t

f ( x + tu) − f ( x ) t

⩾ k∥ tut ∥ = k∥u∥, ce qui n’est possible que si u = 0.

4. D’après le (3) D f est inversible en tout point, et en appliquant le TIL, c’est un difféomorphisme local (en tout point). Soit y ∈ f (Rn ) et x tel que f ( x ) = y. Alors il existe un ouvert U contenant x et un ouvert V contenant y tels que f soit un difféomorphisme de U dans V. Comme V = f (U ), y ∈ V ⊂ f (Rn ), ce qui prouve que y est intérieur à f (Rn ). C’est vrai pour tout y, ce qui prouve que f (Rn ) est ouvert. 5. L’image f (Rn ) est ouverte et fermée et non vide. Par propriété de connexité, il n’y que deux ouvertsfermés dans Rn : ∅ et Rn . Donc f (Rn ) = Rn , autrement dit f est surjective. On a vu au (2) qu’elle est aussi injective, donc f est bijective. Enfin sa réciproque f −1 coïncide avec la réciproque locale ( f |U →V )−1 donnée par le TIL, qui est de classe C 1 , donc f −1 est C 1 aussi. Ce qui prouve que f est un difféomorphisme de Rn dans lui-même.