limit fungsi.pdf - Staff UNY

100 downloads 377 Views 1MB Size Report
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka: ➁. ➂. ➃. ➄. ➇. ➅ dimana: ; utk n genap. ➆. Kita lihat contoh ...
Disarikan dari Malatuni 2007

Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi

1

Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda.

y = f(x)

Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka:

L

X x=c

Tiang sangkar sebagai garis x = c; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi y = f(x); Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c; Ketinggian burung pada saat tiba dalam sangkar misalkan L;

Ditulis: lim f ( x ) = L x →c

2

Y

f(x)

lim f ( x ) = L x →c

L

Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L. Seberapa dekat?

0

X

c

Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri.

Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh: lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = L dan lim+ f ( x ) = L

x →c

x →c

x →c

3

Grafik fungsi f ( x ) =

x2 + 9 x−3

Contoh 2:

Y

x2 + 9 x→3 x − 3

Tentukan nilai dari lim Penyelesaian:

x2 + 9 tidak terdefinisi pada x−3 x = 3, karena diperoleh bentuk 00 (tak tentu).

40

Fungsi f ( x ) =

20

Lakukan pendekatan seperti pada contoh 1. 0 2

4

X

x mendekati 3 dari kiri x

2

2,99

↓ x mendekati 3 dari kanan

2,999 ... 3 ... 3,001

3,01

4

f(x) −13 −1794,01 −17994 ... ? ... 18006 1806,01 25

-20

f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil



f(x) mendekati bilangan positif yang sangat besar

-40 x=3 Asimtot Tegak

Grafik fungsi f ( x ) =

Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga.

x2 + 9 x−3

Y

lim−

x →3

40

20

0 2

4

-20

X

x2 + 9 = −∞ x−3

Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga. x2 + 9 = +∞ lim+ x→3 x − 3 Karena lim−

x→3

x2 + 9 x2 + 9 ≠ lim+ x→3 x − 3 x−3

maka nilai dari:

-40 x=3 Asimtot Tegak

x2 + 9 tidak ada x→3 x − 3 lim

4

Y

Contoh 3:

Bagaimana dengan lim

1

x →∞ x

?

Penyelesaian:

-∞

0

X

+∞

Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafik. Kita peroleh nilai: 1 lim = 0

x →∞ x

x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x -∞ f(x) 0

x mendekati bilangan positif yang sangat besar

... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ... -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001

f(x) semakin mendekati nol (0)

Flowchart untuk menghitung nilai: lim

x →∞

f( x )

Tidak

Ya Bagi dengan pangkat tertinggi

Hasil

+∞ 0

f(x) semakin mendekati nol (0)

Start

Rasional?

... ...

Rasionalkan/ kalikan akar sekawan kemudian bagi pangkat tertinggi

Flowchart untuk menghitung nilai: Start

lim f ( x )

x →c

Substitusi x = c

Bentuk tak tentu?

Tidak

Ya Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan bentuk akar

Lanjutkan Hitung

Stop Hasil Stop

5

3 x 2 + 4 x − 1 adalah fungsi rasional. 2 x → ∞ 2 x − x + 3 Mengapa?

Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi.

Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat tertinggi ( x 2 )

x →∞

c) lim

2

3x + 4x − 1 3 x + 4 x −1 x2 x2 x2 = lim lim 2 2 x → ∞ 2 x2 − x2 + 32 x →∞ 2 x − x + 3 2

x

= =

x

x

3 + 4x − x12 lim x → ∞ 2 − 1x + 32 x 3+ 0−0 3 = 2− 0 + 0 2

3x 2 + 4 x −1 3 = 2 x →∞ 2x − x + 3 2

∴ lim

d) lim ( x − x 2 + 4 x ) bukan fungsi rasional. Mengapa? x →∞

lim ( x − x 2 + 4 x ) = L = lim ( x − x 2 + 4 x ) × x →∞

Kalikan akar sekawan

x + x 2 + 4x x + x 2 + 4x

− 4x x2 − ( x2 + 4x ) = lim 2 x →∞ x + x + 4 x x →∞ x + x 2 + 4 x

= lim = lim

x →∞ x x

=

− 4xx +

x2 2 x

+ 42x x

−4 x →∞ 1 + 1 + 4 x

= lim

−4 = −2 1+ 1+ 0

∴ lim ( x − x 2 + 4 x ) = −2 x →∞

6

Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

t u dimana:

n

; utk n genap

o p

Kita lihat contoh penerapannya!

q r s

Contoh 5:

Tentukan nilai dari: a) lim (7 x − 4 ) x →1

⎛ x 2 + 3x − 2 ⎞ ⎟⎟ b) lim ⎜⎜ x → 2⎝ 2x 2 + 1 ⎠

lim (f ( x ) ± g ( x ) ) = lim f ( x ) ± lim g( x )

x →c

Penyelesaian:

a) lim (7 x − 4 ) = lim 7 x − lim 4 x →1

x →1

x →c

x →c

lim kf ( x ) = k lim f ( x )

x →c

x →c

x →1

= 7 lim x − lim 4 x →1

x →1

= 7(1) − 4 =3

7

( x 2 + 3 x − 2) ⎛ x 2 + 3 x − 2 ⎞ xlim →2 ⎟⎟ = b) lim ⎜⎜ x → 2⎝ lim 2 x 2 + 1 2x 2 + 1 ⎠ x →2 2

Teorema s lim ⎛⎜ f ( x ) ⎞⎟ = x →c ⎝ g ( x ) ⎠

lim f ( x )

x →c

lim g( x )

x →c

; lim g( x ) ≠ 0 x →c

Teorema p lim (f ( x ) ± g( x ) ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) lim x + lim 3 x − lim 2 x →c x →c x →c → → → x 2 x 2 =x 2 n Teorema u lim f ( x ) = n lim f ( x ) lim ( 2 x 2 + 1) x →c x →c x →2

lim x 2 + lim 3 x − lim 2 x →2 x →2 = x →2 2 lim 2 x + lim 1 x →2

=

x →2

22 + 3( 2) − 2 2( 2)2 + 1

4+6−2 8 +1 8 = 3 =

“Klik pada tombol untuk memilih soal”

8

1. −2 −1 0 2 ∞ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

2.

3 4

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

9

3. −4

x 2 − 16 x 2 − 16 x−4 = lim × x →4 x − 4 x →4 x − 4 x−4 lim

Rasionalkan bentuk akar

−3 0 3 4 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

4. Kalikan akar sekawan

−3 −2

= lim

x →0

1+ x − 1− x 1+ x + 1− x × x 1+ x + 1− x

−1 0 1

= lim

x →0 x (

2x + 1 x + 1− x )

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

10

5. lim

h→ 0

x +h− x = .... h

lim

h→ 0

x +h− x = .... Kalikan akar h sekawan + − x h x x +h+ x = lim × h→0 h x +h+ x ( x + h) − x = lim h→0 h( x + h + x ) h + x h+ x) 1 = lim → h 0 x +h+ x = lim

h→0 h(

1 1 1 = = x+0+ x x+ x 2 x

=

x +h− x 1 = h 2 x

∴ lim

h→ 0

1. lim ( x 2 + 3 x − x ) = .... x →∞

2 3 3 2 4 3 7 3 7 4

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

lim ( x 2 + 3 x − x ) = ....

x →∞

= lim ( x 2 + 3 x − x ) × x →∞

x 2 + 3x − x 2 x →∞ x 2 + 3 x + x 3x = lim x →∞ x 2 + 3 x + x

Kalikan akar sekawan 2

x + 3x + x x 2 + 3x + x

= lim

= lim

x →∞

= lim

x →∞

=

3x x x2 + 3x x2 x2

+ xx

3 1 + 3x + 1

3 3 = 1 + 0 +1 2

∴ lim ( x 2 + 3 x − x ) = x →∞

Bagi pangkat tertinggi

3 2

11

2. lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) = ....

lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) = ....

x →∞

x →∞

−6 −4

x 2 − 4 x + x 2 + 2x x 2 − 4 x + x 2 + 2x

= lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) × x →∞

−3 −2 −1 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

Kalikan akar sekawan

( x 2 − 4 x ) − ( x 2 + 2x ) = lim x →∞ x 2 − 4 x + x 2 + 2 x − 6x = lim x →∞ x 2 − 4 x + x 2 + 2 x = lim

x →∞

−6 x x 2 4 x − 2 + x2 x x x x2 2

+ 22x x

Bagi pangkat tertinggi

−6 = lim x →∞ 1 − 4 + 1 + 2 x x −6 −6 = = = −3 1− 0 + 1+ 0 2 ∴ lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) = −3 x →∞

3. lim x ( x 2 + 1 − x ) = .... x →∞

lim x ( x 2 + 1 − x ) = ....

x →∞

0 1 4 1 3 1 2

2 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

= lim x ( x 2 + 1 − x ) × x →∞

Kalikan akar sekawan 2

x +1 + x x 2 +1 + x

x( x 2 +1 − x 2 ) x →∞ x 2 +1 + x x = lim x →∞ x 2 + 1 + x

= lim

= lim

x →∞

= lim

x →∞

x x x2 x2

+

1 x2

+ xx

1 1 + 12 + 1 x

1 1 = = 1 + 0 +1 2 ∴ lim x ( x 2 + 1 − x ) = x →∞

Bagi pangkat tertinggi

1 2

12

⎛ 3 x − 2x ⎞ = 4. lim ⎜ ⎟ .... → ∞ ⎝ x −1 x +1 ⎠ x 1 2 3 9 ∞ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

⎛ 3 x − 2x ⎞ = lim ⎜ ⎟ .... x −1 x +1 ⎠ 3 x ( x + 1) − 2x ( x − 1) = lim x →∞ ( x − 1)( x + 1) 2 3 x + 3 x − 2x 2 + 2x = lim x →∞ x 2 −1 x 2 + 5x = lim 2 x →∞ x − 1 x2 + 5x 2 2 pangkat = lim x 2 x Bagi tertinggi x → ∞ x 2 − 12

x →∞ ⎝

x

x

1 + 5x 1 + 0 = lim = =1 x → ∞ 1 − 12 1 − 0 x 3x 2x ⎞ ∴ lim ⎛⎜ − ⎟ =1 → ∞ ⎝ x −1 x + 1 ⎠ x

3 x 4 − 2x 3 + 6 = .... 3 2 x →∞ x + x − x + 2

5. lim

−3 −2

3 x 4 − 2x 3 + 6 = .... 3 2 x →∞ x + x − x + 2 lim

= lim

x →∞

−1 0 ∞ Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

3x4 x4

x3 4 x

= lim

+

3

− 2 x4 + x2 4

x



6 x4 x + 2 x4 x4

Bagi pangkat tertinggi

3 − 2x + x64

x → ∞ 1x + 12 x

=

x



1 x3

+

2 x4

3−0+ 0 + 0 0−0+0

3 = =∞ 0 3 x 4 − 2x 3 + 6 (tidak ada) 3 2 x →∞ x + x − x + 2

∴ lim

13

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: ⎛ 2 − 2x + 3 ⎞ a. lim ⎜ ⎟ x → 2⎝ 3 x + 1 x ⎠

⎛ 2 − 2x + 3 ⎞ = 1a. lim ⎜ ⎟ .... → x 2⎝ 3 x + 1 x ⎠ 2 ⎞ ⎛ 2x + 3 ⎞ = lim ⎛⎜ ⎟ − lim ⎜ ⎟ x → 2⎝ 3 x + 1 ⎠ x →2⎝ x ⎠

b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 ) x →5

=

2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1 x →c

x →c

lim 2 x + 3 − x →2 lim 3 x + 1 lim x lim 2

x →2

x →2

buktikan dengan teorema limit bahwa:

x →2

2 2( 2) + 3 − 3( 2) + 1 2

a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10

=

b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3

2 7 45 = − =− 7 2 14

x →c

x →c

c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6 x →c

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: ⎛ 2 − 2x + 3 ⎞ a. lim ⎜ ⎟ x → 2⎝ 3 x + 1 x ⎠

2 2x + 3 ⎞ 45 ∴ lim ⎛⎜ − ⎟=− x →2⎝ 3 x + 1 x ⎠ 14

1b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 ) = .... x →5

= lim ( x + 4 ) ⋅ lim ( 2 x − 5 ) x →5

b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 ) x →5

x →5

= ( lim x + lim 4 ) ⋅ ( lim 2 x − lim 5 ) x →5

2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1 buktikan dengan teorema limit bahwa: 2

a. lim f ( x ) + g ( x ) = 10

= 45

x →c

x →c

c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6

x →5

= 9⋅ 5

2

b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3

x →5

= (5 + 4 ) ⋅ ( 2 ⋅ 5 − 5 )

x →c

x →c

x →5

∴ lim ( x + 4 )( 2x − 5 ) = 45 x →5

x →c

14

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: ⎛ 2 − 2x + 3 ⎞ a. lim ⎜ ⎟ x → 2⎝ 3 x + 1 x ⎠

Bukti: 2a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = .... x →c

b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )

= lim f 2 ( x ) + lim g 2 ( x )

x →5

x →c

2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1 x →c

x →c

= [ lim f ( x )]2 + [ lim g ( x )]2

x →c

x →c

buktikan dengan teorema limit bahwa:

x →c

= 3 2 + [ − 1] 2

a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10 x →c

= 9 +1

b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3

= 10

x →c

(terbukti)

c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6 x →c

∴ lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10 x →c

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: ⎛ 2 − 2x + 3 ⎞ a. lim ⎜ ⎟ x → 2⎝ 3 x + 1 x ⎠

Bukti: 2b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = .... x →c

b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )

= lim f ( x ) + lim ( x − c ) ⋅ lim g( x )

x →5

x →c

x →c

buktikan dengan teorema limit bahwa:

= 3 + 0 ⋅ ( −1 )

a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10

=3

x →c

b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3 x →c

x →c

= 3 + ( c − c ) ⋅ ( −1)

2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1 x →c

x →c

(terbukti)

∴ lim [f ( x ) + ( x − c )g ( x )] = 3 x →c

c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6 x →c

15

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: ⎛ 2 − 2x + 3 ⎞ a. lim ⎜ ⎟ x → 2⎝ 3 x + 1 x ⎠

Bukti: 2c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = .... x →c

b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )

= lim 3 g ( x ) ⋅ lim [f ( x ) + 3]

x →5

x →c

= 3 lim g ( x ) ⋅ ⎡ lim f ( x ) + lim 3⎤ ⎣⎢ x →c ⎦ x →c x →c ⎥

2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1 x →c

x →c

buktikan dengan teorema limit bahwa: 2

= 3 − 1 ⋅ [3 + 3]

2

a. lim f ( x ) + g ( x ) = 10

= −1 ⋅ [6]

x →c

b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3

= −6

x →c

c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6 x →c

x →c

(terbukti)

∴ lim 3 g ( x )[f ( x ) + 3] = −6 x →c

1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. 2. Sebuah perusahaan semen dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 3. Berat (dalam gram) dari suatu benda uji pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertambahan berat benda uji jika t = 10 minggu?

16

17

ƒ Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994. ƒ Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White, CliffsQuickReviewTM Calculus, Pakar Raya, Bandung, 2004. ƒ B.K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 2A, Erlangga, Jakarta, 2004. ƒ Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990. ƒ http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function. ƒ http://www.garizhdizain.com.

Fungsi dari setiap menu dan ikon yang digunakan dalam slide Tampilkan pilihan materi Tampilkan evaluasi Tampilkan referensi Awal presentasi Tampilkan bantuan Ke slide sebelum Lihat jawaban (optional) Jalankan animasi (optional) Play/Pause Musik

Ke slide selanjutnya Ke slide yang aktif terakhir Ke slide terakhir Akhiri presentasi

18

Anda yakin ingin keluar?

Terima kasih!

19