Optimal Algorithms for Detecti g Network Stability ...

         !" #$ %&' ( )!#" #$ *+,-& .&#$ .& # /( %"&! =14>53?1M@NOPQRQQ 373?161S75?4>7>8H 37A BM41C11DE1T1EF781GH 0123456I1757>J8194G>5K:;73H VWYZ[\]^WX_`a_b ^ca W X 9 L8377>73H MNOefRRQ L8377>73H M411E1T 0123456175 89 :862;514 dE>b`1_g7Ea1HVbhI7>JX_i\ 14G>5KVb 8YZb ^WV\ ^ca I7>J14G>5K 89 k3543GH 37A LM479 84635>EGH 0123456175 89 :862;514Mj7?>7 114>7?k3543GH NOlmfQQ bX\a_U\bYZ[\]^WX_`a_b11E^1Tca 1

2

2

3

1

2

{

}

3

‚ ƒ‚ nopqrstqu v 23E‚ w1Œ5OGC>5E F z z  €  |} „x… |‰|Š „x‡x€ >7? xy ;7>J 4G33<   z z  ‰ „€€y€ „ –; ; >7? D 84K { 1 1 1 z|x€ „x‡z‡yzy}zxy€ ˆ„‰~yzz ˆ„zz €’ vŠ€|ƒ zz y „x„‡‹y}€„}… „‡‹y}€„}…‰„x‰|x}y€z}|Š}‰€z ˆ„‰~y  y }„ zy€€ z|| ‚ˆ„‰~y x y‰ ƒ ‘z zzy… ‰|xz„xz}yˆy„zzy‡‚ ‹y}|ŠŠz|{‰y€™x|xƒ|}—€€ˆŠˆŠyy ˆ„ˆ„zz€€ ˜ˆ„˜ˆ„z€€ ‡|‡|9 x|x|z ‰|x‰|xz„„zxx }yˆy„ zy‡y‡ }yˆy„ y‡†y€ ‰y€™’„Šš€z}‰zx}„Š€ˆ„}„y }„y{|}~ y‡†y€„x‡‹y} ‡ y} y 7;6 48 A? G„x‡ y 7;6 4 {y‰|x€ 1 1 1 1 98 J145>Ez 1G„€‚ ‰}‰ ‚ ƒ z z z z  „x‡ „‚|}‰|ˆ}y|‚ |ˆyx€z‹„Šy ‘{yŠz…ˆ}y€yx z{|}~y xxy ‹{|}~ z z ‰|Š„Š†Š|}y‰z|€’x | •x}y€Š„‡‡z€z‚|}|xƒz{yy ‡yy”zzy‰yx‡z|xz|y‚y}€| € „  xyˆ}|ˆ|€y‡ y}€„Š x y z  z  z z z z „Š |} | € |{ „ |„xx € y † ˆ}y€y}‹„ ‚ ‚ ‚ ‘ zy€ |z „zxyzz{|}~ {yx z x‡y}†|y€ zz |}„‡‹y}€„}…› €z„ Šz…|€yˆ}|ˆy}  ‰  | „ „‰~€ | x|z | zxyz}‡y}{ „Š € ˆ|{y} € | }… | „‡‡ Šx~€ ‰„x ‘y ‡yzy‰zy‡ x ‰|x€z„xz zy’ ƒ ƒ ¦ ‘ œzžŸ ƒ§r¡pu ¢¨„‰~yz—£ƒ{zz‰y‡ ¤|x v z z z z z ‰ „  | „  Š   Š†|— x ¥y ¥y x y„} {|}~€ {|}~ … £ } € }„ˆ y|}… •x }€|x ©yzy‰z|xƒ v‡‹y}€„}„Š ªyyx† ¨y|}…’ « ¬­®¯°±²³®´°­ ‚ ‘ w F µz q¶·sq¶‚ ¸¹ºzrs»Ÿ r¼½z v Š|‚z |z‚ }y€y„}‰ O  z zz|x „€ | ‰ „ yyx‡|xy x y¾yŠ ‡ 23E 5 GC>5E A‰|x 1 1 ƒ ˆ„‰~y z z €‰zxyyz{|}~€ € „}} ‰ „Š Š „ xyx|‡y€{|}~€„x‡|}zy…y„}y€ˆy‰}|¾‰„zy‡|xx ‡| €‰}yyzy} ‘zyy„‹€z|yˆ€}’ •x„‰}|€€ y ‡…x„ y ‹ … Œ v z z  €€y }y„„ x„}‘€|x‡y‡ y‡†y€’z€ x z„y xy|}z{|}~ y€ x €‰„z „„ŠŠ€yzzzxy€† „†„ € zx„€zz |„x…‚ ;7>J„‡‹y}€„}… |‚ ˆ„‰~y y x¨‘y}y „x€{y} 14G3< G53>5K„x…¿ {ˆ}|Š zz|‰|ŠÀ z z z z z |  € “y€  |  € }  „ ŠÁ€ ‰y x x|x x ‹ — ‚ ‚ ‘ ˆ}|ˆy}z… | x‹y}€„Š €z„ Šz… | xyz{|}~€ € „ ˆ}y‡‰„zy “„xz¾y‡ |‹y} „ŠŠ ˆ}|z|‰|Š€ „x‡ „‡‹y}€„}y€yƒ Ž

zz„z z € x|z „ z‡y‰‘ ‡z„‘Šy‚ ˆ}|ˆy} z…’ zƒ z€ € x|z zyz‰„€y’ vŠ‹„}y
ƒ‚15 3J3>< ƒz z>5Ky}y  „}yy „ x|Š €…||}z‰|ˆ z— y}z €|Šy}€zz„x‡|x€‘xyz|{|}~€ zz |{y‹y}   „ „‰~€’ yŠ  x ‘Š‡x† ¾}y{„Š‚Š€ |} €x† ‰}…ˆ€z|†}„ˆ ˆ|€€‰Šzyy‰|x‰Š“|y€’€y „ŠvŠ €€y‰} Š | |ˆ |Š €  „ ‰|ˆ €…€ y x y} y … … ƒ z zxz}€|xz ‡y zy‰ zv|x „€ yy}†y‡ „ƒ }y€Š „€ „ ~y… zy‰x“y |} xyz{|}~ ƒ ‘ z z z €}‹ „  Š  „x‡ ‰|x€y“yx Š •x €y‰} y}xy  ’ x „Š†|}z z„z ˆy}‚|}€ xz}€|x ‡yzy‰z|x ‹ … … … y} ‘… „x xz}‡y}’ ¨y  z z z z €x|Š‹y}€„Š  |}‡y} |   „ „ ‰„x € ‡ ‘y€‚z„€„‘zŠyx|† x yŠ  x y y ‡„„†y xy {|}~ ‚ y}€ z| }y„‰ z€ z z z z z z z z | „  € }yŠ „ |  „ „ € xy y‡ y  y ‡yŠ … ˆ}|ˆy} … {|}~ … ˆ„‰~y zŠ¨…ƒ xƒ ‹zy}€„Š €z„‘Šz… €z „Š‚ €|‚}yŠz„zy‡z zz| zy ‚“„Šz… |‚ €y}‹z ‰y zz „z „ xyz{|}~z ‡y€ˆ}|‹zx‡„y€z|z|x’z€yx‡ ¤|x€y“yx „x…‰ „x†y‘… zy‡…x„ € xy {|}~ˆ}|ˆy} € y}y€x„xy‰y€€ ‡y y‰ |x|‘yˆ}|‹|~y‡ …‰|} „‰„€„x†y‰„x … —€y}€’ ‘ z z ‰„xx‡y}†|  ‰  | }‡y}’ ‰ „‡‡  | €„‡‹y}€„}…› x …„„Š £ |‚ Šx~€ |x zy xyz{|}~ z|ˆ|Š|†…’  1E5>J1GT ¨yx‡y}Š…x††|„Š|‚ |}€z‡…€ z|x‹y€z†„zy zy‰|ˆz„z|x„Š‰|ˆŠy”z…|‚ ‡yzy‰zx† ‚ ‘ ‘ Œ z z z  z z z z z „  Š  €„}y • x€z}‰‹y}€„Š€ xy yxˆ„‰~y x y‰ y‡ „…‡yˆyx‡|x yxy …| {|}~€{ …„x„‡‹y}€„}…’ {|}~z ƒ  ‘ z }yz ¨zy zz}„ ‰ ˆ„zzzzy}x ‡y¾xy‡ z z z z „‡‹y}€„}… „x‡ |‰|Š | | }y€|Š y y yˆŠ y … ˆ}| …y‡ ‹ ˆ„‰~y ƒ „x‡ z‚€ „}y xŒy‰zy‡ xz| zy xyz{|}~ ‰ ˆ„ šyy}x‰‰|x||€yz}|Šƒ „€„ € {zy}yy€z „x‡‘y‡ƒz|{y ˆ„‰~y ‡y¾xy€ ‚ z‰|xy}‰ˆ„€’z ˜zz}„y ‘Œ}„y‰z|}…™’ z ‰zy‰„‡‹y}€„} „‰Š„‡‡ |xxz| yŠxx~€|x „ —Š„}ƒ |{‰„€y‚„€z|‰„x‡…x„ ƒ ‘ z z z  Š € „ Š šy „€~   ‰ „x… „x†y x€z„‘‹y}€„Š y xy x y ‡y y‡ y}€„Š … {|}~’ ˆ„} ‹ Šz… ˆ}|ˆy}z… |‚ „ xyz{|}~ x‡y} €‰ „x „‡‹y}€„}„Š›xz}€|x „zz„‰~’ 4361C84w 89 SAJ14G34>3< –;1;1>7? DF 184KT šy ‰|x€‡y} „ ˆ„‰~yz—€{z‰y‡ ‰|x‰„z|x xyz{|}~ z€ „}}‹y ‡…x„ z zy x|‡y€‚ {z ˆ}y‡y‘zy}xy‡ ˆ„z€ƒ „x‡ z‚y… „}y }|z zy‡ „z ‡x€‰}y{z‰yzˆ„‰~y ‰ „Š Š „ … z z € yˆ€x„„‰}|€€ ˜Šx~€™’ šy |‰€x „|xˆ|„xyy}„€x‰†„‡‹y}€„} „Š |}|‡ „}}‹„Š ‡yyzy} y y‡†y€ |‡yŠx 1|}5 33< –; ; >7? D x † 1 1 1 ‘ z z‰y‡ ‰|x‰Œ„zz|x xyzz{|}~ „€ z„€†„y „x‡ z„24858E8< ’ y„‰ z¾y€y yz{yyx „x 3AJ|}y„‰ ˆ„‰~y 14G34K ˆ„‰~y ‚ ƒ z z €„zyˆˆ„ƒzz—€{yz„‡‹y}€„}…„… „€y | | €|yx|‡y€’ „‡‹y}€„}…€ˆy‰ x y‰ x y ˆ„‰~y ƒƒ z € „‘€|}‘Oy‡ ‘… zy z z z z z  z z z z z „ }„‹y}€yÁ „}} |  „  | y € yx y y€ ‡y€ x x ˆ„‰~y { ˆ„‰~y ‹ yx|}y zz„x|xyˆ„‰~yz z€{€zz|‰}|€€„“yy z „†‹yx zy€zyˆ „ E875175>87 41G887z €…€ˆ}|zzy’ š „ ¨ z € yˆŠ|„…y‡ˆ„‰~y|z}y€|Š ‰|x ˜‰‘’ z |xyy ˆ}|ˆ„‰~y|‰|Šz „€z ‰|x€ Šz…yˆ™†}yy‡… ‡‡y}y‡€‰}y„}yzy z€„Š ‹y „ y“yy ¿ |xy€zy}y„   „Š}y€{„…€‡|‰|Š „‡‹„x‰y „‰}|€€  € y„‰  y yxy‹y} { ƒ v ‰}‰„Š ˆ„}„yŒ zzy} |‚ zyz„‡‹y}€„}… z€ z>7 1E5>87 x zy “yy’  €  435 ˆ„‰~yzz yˆ„‰~y 1 ƒ { y}yy€ „zz Šyz„€zz|xy’ v|x† z z zz z z € „}„y‡†y’y„‡‹y}€„}… ‰„xz€ƒ x y‰„Š€Š|x{€„x…‚|}„‡‹y}€„} yx y}‹„Š„Š xŒ„y‰z|€ ‚ z z  „‹y € „ ‰|x „ „x…  ‰ „  | | x Š ‰ |‡yŠ x ˆ„ ˆ„} ˆ„‰~y £
y‡ƒ |‘Š‹|€ ˆ}|‰y€€ ˜‰‚’ Ž ™’ }„zy}zz„x ‚|} ƒxŒy‰z|x‘ „‰‰|}‡x†zz| „ }„x‡| ‚ zy ‚ ˆ„‰z |‚ zy z|ˆ|Š|†‰„Š €z}‰z}y |‚ zƒ y xyz{|}~€ „x‡ •x  € „}~ |x „ € | y ‡… {|}~ {y zxy€€„x‡ˆy} zy€’ |}y€ˆy‰ ‰“y€ ‰„x†y€|x |}„x‰yˆ}|ˆy} ‰„ŠŠ…z{y{ €zy|ˆ|€y ¾‚}| ‚ {zyy‚z} ‰|}}y‰ ‚ ‘ ‘ ‘ zzz€‡…x„ z z z z z z z  | |  Š | € „  Š  ~x|{Š yy †yxy}„Š x y} ‡ y y ‡y y‰ x y}€„Š y {|Š ˆ|€€ ‹ … z |ˆ|Šz |†‰„Š €z}‰z zz}yz |‚ zy xyz‚{|}~’ ¨€ O€‘F¾yŠ‡ |‚ €z‡… {„€ xz„zFy‡ ‘… vx‡}y{€ 15 34  € |} ‰Š | €y‡ „x‡ „ E5 A 2 35 ;7>J 4G35E Axy „ x x y‡ x| {|}~€ { 1 1 ‚ ‚ z z x y ˆ}y€yx‰y | ‡…x„‰ „‡‡ |x€ | Šx~€’ ρ

0G ;7>J 1„Š4G362< F z >5K{ yx4G3|Š5K{Š|{yxG>6262< x| ‰|x235„FGx˜ˆ„}yˆy„z€ ‡|y‡ 1y4G3< ƒ ƒ ‚ z  z „x‡‹y}  ‰  Š }y | y‡†y€ y€™ y} ;7>J { 1 1 x|z ‰|xz„x }yˆy„zy‡ y‡†y€ƒ‘z zy… ‰„x ‰|xz„x }yˆy„zy‡ ‹y}z‰y€™ ’  ¸qr¶oq¶ ¸ ½
}{|}~xzy}y€zx†Š… €|{€ |{xyz{|}~€z}‰z}y ˆ}y‰€yŠ… „y‰z€ zy x‹y}€„Š €z„— ‘Šz…|‚ xyz{|}~€’ •xˆ„}z‰zŠ„}ƒ {y€z z‡…‚ zyx z„‘Šz…ˆ}|ˆy}‚ z…|‚ xyz{|}~€x zy v‡‹y}€„}„Š y}€„Š€ ‹ z ªyyx† |‡yŠ’
} }y€Š € „}y }yy— |Š‡Á y… „}y €„}
y‡ „€ |ŠŠ|{€ zz „x „Š†|}zzƒ z„z ‡yzy‰z€ {zyz‘ y} „ xyzz{|}~ {y}yz ˆ„‰~yz€ „}y „‡‹y}€„} „ Š Ž xŒ}y‰€zzƒy‡{y{ˆ}y€yx … z   €ˆŠyy‡†y€ Š… €‘„y}Šy|‚|}xyx|z{|}~x ‹y}Šxy„}z‰y€’¨y € }y€Šz {ˆ}|‹y€ x|xyz{|}~ y}y zy€ ˆ„ €„x‡€ x€‹zy}€„Šy x ‚ ‘ zy x | y} zz |‚ vŠ‹„}y
15 ‘387 ‰ „‡‹y}€„} „ Šyx‹ } |x > 5K >7 K736>E d 55>7?G 5 E5>87 ©…x„ 0 1 01 1 T — ‘ ‘ z z zz z  z z z z € ‰„x |  }€ | „ „‰~€ „€ „x  }‡y} ‰„x „‹y Š  ~ „x „‡‹y}€„}… „ } € | yx y €y‡ |‡yŠ x x x y y y ƒ z z z z z z €y}‹‰y }„z zyz |} zy €y‡ ‰‰|x„x†y } |xyx ‰|x‰y}x |ˆ|Š | xy yx‹ y}€ x xy {|}~ ˆ„}„y † {|}~ †… ˆ„‰~y ‚ ƒ ‚ zzyxz‚|xz—}y€|Šzzƒ|xˆ}|ƒ z|‰|Š’ z z z z z z •x ‰|x | € |  }€ |  | }y‰y y y‰} y ‡… x x ‡y y‰ x y‡ … … ‹ £ ƒ ƒ ƒ  ƒ

¨ z z z  „ˆ}|Š|z|z|…ˆy€x y}y€ ’ „}y „x ‰|y}‰ „ Š ||Š € „x‡ }y€y„}‰  Ž Ž Ž € y}y |}y ‚|}z xz}€|xƒ ‡y zy‰z|xz ƒ z ’ }zy}|}y ƒ zy}y € „x ‘y}z ‘|‚ zzy‰zx“y€ ‚|} ‚‡yxz‚…x† ‚ ƒ ‚ z z €|}‰y€ |x†x‡…x„ }€|x‰„‡‹y}€„} Ž ’
„xŠ €yzzyx|†€ y}ƒ ŽŽ„x‡ƒ x’ |{y‹y} y ‰|x y}y „}yy‡†y„ zy{€ {|}~€ …y|‘y€£z„|‚Š|}… ~x|{Š ƒ z z ‰|x€ | € zy ‡ y} ¾}€z {|}~ z„z €y€ €z„‘Šz… zy|}… „€ „ z||Š ‚|} ‡yzy‰zx† „x xz}€|x „zz„‰~’
°¯®´³ ¯°¯ ¨y |‡yŠ ‡y¾x z|x€z „}y zˆ„zzy}xy‡ „‚zy} z|€y zx Žƒ £y‰z|x ’ zšy z‰|x€‡y} zO„z „ }|F zx† xyz{|}~ ‘ yx € |‡yŠ y zy} 6; A>?‰432„z|x€€{€y‡z‰{ƒ „x‡ ‡ … „¾x y|{y‡ Š x—‡„†‡}„ˆ†}„ˆ’|x „‰‹y}x|‡y‰y€ „x‡ y‡†y€Á z ˆŠyŠyy‡†y€ „}y „Š Š }yˆ}y€yx € „ ‰|x Š ƒ y} ˜“yy™ ‘ ‘ z z z z   z }yˆ}y€yx € „ Š  ~ €{ ‰ •x  € „ y„‰„€€|‰y‡†y x y y€’ y„‰ x|‡y y}y  {yyx {| zy‡z {zz y„‰z  |zz†|x† Šzx~’ ¨z yƒ ˆ}|‰yy‡€ zy zz y €zyˆ€’z y}€v €z|}yw ˆ„‰~yz€z z„z „  € ‰}y x ‡ Œ   „x „ | ‰ ‚ ‘y}‘{„zz z„‚y}|yx‡ y|‚{„x…‰ €z€yˆ’„ €•z zˆŠ€y ‡z }zzy‰}„‹yŠy‡ ˆ„„Š|x† xˆ„z’ € x23Ezz y15xy€Œz{|}~ zx… y‰z„y‡zz }y€xz |‡y€ y„zxy„ {|}~ }| yx„}yz€zG8;4E ƒ z € z |  € | |  ‰ „}y  š „  €  A G5>735>87H x|‡y€ x y xy yx x y‰ y‡ { {|}~’ ˆ„‰~y 1 1  ‚ ƒ ‘ z }y„‰zy€ z€ ‡y€zx„z|x‚ z{y €„…z z„z x z1A’y ©} |x zz€„…}|z‘y’y €yxšz yx‚}|„ ˆ„‰~y  y}x†| y„‰zy ¾}€€zyˆz ƒŠ„x~ˆ„‰~y ˆŠz „€‰y‡3G84 z  € ‰}}yx „Š | |xy | | x|‡y x† y x †| † ‚ z z y‡†y€ }| „ x|‡y’z z v z  z  z  šy ‰|x€ } „x‡ } € € „x‡  }„ˆ € Š | |ˆ€’ ‡ y} ¾x y ‡ y‰ y‡ x‡ y‰ y‡  y Š ‡ x| ˆŠ †}„ˆ † { — ‚ ƒ z z z z z z }  € „ } ˜}y€ˆ’ } } | €  ‰  ‰ ‡„x‡}y‰z€y‡‡yx|˜}y€ˆ’ x‡ y‰ y‡™ y‡†y ‡ y‰ y‡ x‡ y‰ y‡™ ‡ x y€ ˆ„ ‹y} ‘y} zy”—ˆ„z } |‚ „‡†}„ˆ‚  z ƒ ‡yx|‚ zzy‡ ‘…  ƒƒ z€ zyx ‚|‚ y‡†y€ Œ|zxy‡x‘† z’ y¨‹y}y z6;2zE>5K|x ‚‚ „‹y} ‘  ’ |} „ €y |  ‰ | € y€ y y ‹y} †}„ˆ †}„ˆ ‚ ƒ ‚ ‘ ‘ z z   € Á |} „ €y | € |  € |‡yx|z>7A;E ‡yx| y‡ y‡†y€ y A G2377 A †}„ˆ … … 1 1 vx…y‡ ˆ„‰~y‚ ’z€zz„z {€ zvz| z}„‹yŠ „Šz |x†ƒ „x y‡†y „z „ ˆ„}zz‰Š„} zz‚y €zyˆƒ z‘z v„}y x|z €yxzƒ {„Fz €ˆy‰ ’ € „x „ €y | }y“y€ €’ x „ “yy y„‰ yˆ 3AJ 4G34K y€ 4

;1G5 € „ 235 †yxy}„ 1 1 ‚z…x†z|}y z}|yzy‡†y ‚ ‘ ‘ z z z z z z zy€ „ €yz |‚ „ Š |Š Š | „ ’ šy €„… „ „‡‹y}€„}… y y y { {y‡ … ˆ„‰~y †yxy}„ ‚ z z z z y‡ ˆ„ €’  z z ˆ„‰~yv € {F yx  †yxy}„ y€ „ €y ‚ | }y“y€ ‚ z   € „ €y“yx‰y |  ‰ €‰ „ 235 x y€ ‹y} ‚Á ’ v ˆ„z|}|z’€v‰„Šˆ„Šyz‡ G>62<  {yx|xy€„…|‚zz€„z‹y}zz€‰y€€ „|‰‰}€|}y ˆ„z ‚}| z„xz| |x‰yÁ˜‚|}z €€|}‰„ŠzƒŠy‡ 54>J>3J>3E8771E51A E86287175 ˜|} ‘‰|ˆ|xyxz™ |‚ „x x‡‚ }y‰zy‡ †}„ˆ € € y „>E877 €‰zy‡ z„x‡„z ‰|x„x…z„z{|x€ |xŠy‡†y€… |xyx ‘z‰y|xxy‰ €yz Šzyy‡|x‰|ˆ|xyx „ €ˆŠyz’‰…‰Šy | Ž Á € ‰„ŠŠy‡ „”1E5„Š1A€y‚zz|€y‡†y€ ‰|xxy‰ ‚ „‡}y‰zy‡†}„ˆ vzG5487?<  €z „„” z |z‚ ‹y}z‰y€ z ˜|}€‰‰™| „Š€y K E877 E5 A E86287 75  1 1 1 ‚ ‚ ƒ ‘  z z z z z z €‰ „ |} y‹y}… ˆ„} | ‹y} ‰y€ „x‡ x y €y y}y y”€ € | „ ˜‡}y‰ y‡™ ˆ„ „x‡ „ 100

G

n

m x ∈ V (G)

e ∈ E(G)

G

x, y ∈ V (G)

xy

x

G

C

xy C ⊆ V (G) S ⊆ E(G)

y G G[C]

G

λ(xy) G G

S

GhSi

e

e

G

v0

v0 = vk (v0 , v1 , v0 )

vk

(v0 , v1 , . . . , vk ) v0 −vk

v0 6= vk

vi vi+1 ∈ E(G) k

i = 0, 1, . . . , k − 1

(v0 , v1 , . . . , vk−1 , v0 )

k

G

C ⊆ V (G) G

x, y ∈ C

x−y

G[C]

C

G

G

G

G

x

y

C



C ⊆ V (G)

x−y

z xzzy €‘†}„ˆz  |‚ x‡‰y‡ ‘…¨zy ‹y}z‰y€ x Á zy †}„ˆF  €‚‰„ŠzŠy‡ G5487?EE86287 y‡†}„ˆz |‚ 175?432 ‘ ‘  z   z z €|€ „xz„„‰…‰Š  ‰ }„ˆ | „ ‰|x „Š Š  € }|x†Š ‰|xxy‰ ‡ x y‡ y‡†y€ x y„‰ y‡ † … { … z |xŠ… z„ €x†Šy ‹y}zy”}y„xz€ x‚z y„‰ ‰|ˆ|xyxzz’ ¨y ;7A‚ 1471A ?432z F |‚ zy ‡†z}„ˆ ‡ˆŠ € „x‰x‡ }y‰ y‡ †}„ˆ { ‰ }y€Š € „ y} „~x† „ŠŠ y y‡†y€ | x‡}y‰ y‡ „x‡ ‰|x€|Š‡„ x† „x… zy y‡†y€’ „ ‘z—€‰‰™ |‚ „ ‡}y‰zzy‡ †}„ˆ € „ „” v G5487?E877 z |‘‚ y‡†y€ z „Š €y ˜|}  E5 A E86287 75 1 1 1 z z  €‰ €„ ‰„ŠŠy‡ G5487?< € „ € K}|x†Š „x‡… ‰|xxy‰  € x‡y}Šzy‡x„x‡y‡ †}„ˆ € ‘‰|xxy‰ y‡z †}„ˆ y‡Áy … ‰|xxy‰ ‚ zy †}„ˆ z z ¨ € € }|x†Š ‰|x „ € |xŠ |xy €‰‰’ >E877 E5 A x … 1 1 †}„ˆ |‚ †’ Ž€ €z}|x†Š… ‘‰|xxy‰zy‡ƒ {Š‚y zy †}„ˆ ‰|xz„x€ ‚z{| ‘—€‰‰’ ‚ — ¨yzG;A>J>G>87 |ˆy}„ z  z z z z  | |x „x | „ }„ˆ ‰|x€ € € | „‡‡  | | „ x y‡†y ‡ y x xy{ y” † ‹y} ‚ ‚ ƒ ‘ O z z z  z  z „x‡ }yˆŠ „ ‰yyx | „x‡ Á € „Š Š ‰„Š Š  y y y‡†y€ y}y„ y} A? G;A>J> G >87 … {| {y 1 1 |ˆy}„§ z|x’ }„ˆ„ŠŠ z|xy ‡†‹y}}„ˆz‰y€€ |„x‡ ‡yx|zy€‹zy y‡†y y ‚„€Š…‘‡|‚‹‡€†|}„ˆx€’€ {‰ ‰|xz„x€ ‚}|ƒ ‘… €‰‰y€€ ‘z„xy‡y‡†y€ zy ‡‹†yx}„ˆ„ ‡†„x‡ — ‚ ‘ z  z z z  „x‡ | † ’ Ž „}y x|z x‹y}€„ŠŠ… €z„‘Šy Á zy… „}y • „€ „ }„ˆ € yyx y ‡ ˆ}|‹y‡ † ‚ ‡†}„ˆ€ z‘yz x‚  ‚|}‘‡‡yx €‘ ‘†}„ˆ€ ‰„}„‰zy}
‘x† x‹y}€„Š €z„‘Šzz…’ |}y|‹y}ƒ zz‘y ‚„ Š | … ƒ ƒ z  |x „xy‡ }| „x‡ €  €  | € |x| Š € „ Š ’ ’ }„ˆ € yy‡†y ‡ x€„}y„Š x y}€„Š y y y‡ …€‰‰y€€ ‹ ‹ ‹ … † —   ˜€yy † ’ ™’ ¨y ‚|ŠŠ|{x† }y€Šz |Š‡€  »»s
½½ ˜vŠ‹„}y
ƒ F Šy€„ƒ „x‡ y}x„ ™ S A>?432 F >G ;7>J14G3?432FG >7 T y−x

G

C

G Gscc

G G G

Gu`

G

G

E(G)

S⊆

GhSi

GhSiu`

G

U1

U2

xy

w

xy

G

n

m

wy

E(G) G

G

U1

U1 E(U1 ) ∪ E(U2 )

G

xw

U2

U2

G E(U1 ) ∪ E(U2 )

U1

G

†}y Ž ¥|z x‹y}€„ŠŠ… €z„‘Šy ‡†}„ˆ€’ U2



d `

b a

k

˜„™ ˜‘™ ƒ ƒ ƒ ƒ †}y  „Š… |‚ ‡†}„ˆ€ ‚|}y‡ ‘… y”zyx€|x€ |‚ „x‡ ƒ {y}y „x‡ ’ ˜„™ „ ‡†}„ˆ x Á ˜‘™ „ ‡†}„ˆ x ’ ƒ opr·sq¶ ¸
½½ ¦yz ‘y „ ‡}y‰zy‡ †}„ˆ |‚ zy ‚„Š… ¨ z   z ’ „€ yx y y †}„ˆ ‚|ŠŠ|{x† €z}‰z}y ƒ ƒ „x‡ ˜„™ z ‰|x€€z€ |‚ „ ‰…‰Šy ƒ ˜‘™ „ ˆ„z €‰ z„zƒ „x‡ ’ U1

k≥0

E(U1 )

U2

a≥1 b≥1 d≥0 `≥0

E(U2 )

G

E(U1 ) ∪ E(U2 )

G

C = (x0 , x1 , x2 , . . . , x` , x0 ) ` ≥ 1

P = (xi , y1 , y2 , . . . , yk , xj )

y 1 , y 2 , . . . , yk ∈ / C xi , xj ∈ C



k≥0

ƒ {y}y„€ ‚ € „ ‰Š|€y‡ ˆ„zƒ •’zyƒ€ y„€… z|ƒ z€yyyxz„zƒ ‚ €’„x |ˆyx ˆ„zƒ ’yƒ ƒ zyx ‚ ƒ{‰ |‘z„xy‡ ‘ z z z | šy yyŠ y yx y‡†y€’ ‡yx| y … ‚}|z¦yz ‘…‘y„ˆˆŠ„‡…†x}„ˆ† „x |xy‡†y‹y}—€z‘‰‡y€„x‡ ‘ ’
‹|€Š… „€ ‹€|x |ˆy}„z|x |x y„‰ y‡†y |}y|‹y} ƒ ‡|y€ x|z ‰|xz„x —‰…‰Šy€Á x ˆ„}z‰Š„} ƒ y‹y}… ‰…‰Šy x „€ ‹y}Šyx†z‰y€†}y„„x‡zy} z„xy‡†y€’|} y“„Š z| ’ šy ‰„ŠŠ 871OG;A>J>A1A†}„ˆ |‚ ’ yŠ|{ {y ˆ}y€yxz €|y }y€Šz€ |x {‰ |} „Š†|}z ‚|} ‡yzy‰zx† x‹y}€„Š €z„‘Šz… }yŠ…’ »»s
½
½ 159 1 3 A>419E51A ?432F 37A 5G 871OG;A>J>A1A ?432FT DF1 ?432F >G 785 ;7>J14G341E519A?432F 37A 5G 87F1OG;A>J>A1A?432 9 G5487?< K E877 E5 A E86287 75G 8 37A< 5 37A  5 7;6 4 8 J 45>E G 37A A? G 8 5 G5487? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 9 F F E86287 G;EF 1575F35 H 41G21E5>JH 1G 785 ;7>J14G362J14G3< G53>5Kƒ Šzy„‹x† zzyx zzy zy} ;7>Jz 14G3< G53>< z| }y‚y} z|zzy > 5K ‹y} ƒ‘ zz ‰„€yxzy‡‹y} € |Š€„…Š|{9 84>AA ‰|xz„‘„Šxz…{}yˆy„yxy‡y‡†y€ „ˆŠxy 785G>62< € ‚|ŠŠy…‰„x‰|x { ‰ zˆ„‰~y 1 235 GF˜ˆ„G ‚|}xy€‡|x| z z z }yˆy„ ‰ šy | € y€™’ 7 G;?432 yˆ„‰~y  {|}~€ {x|x 1 — ‚ z  „x… z†}„ˆ€’ šy|‘€„…z„x9 84>AA „ ‰ „x… | € „x‡ ˜€yy †}y Ž™ ‘… y‡ ‘… 1}yˆŠ x y‡†y y ˆ„‡€zŒ|€xz ‡ƒ}y‰Žzy‡ˆ„ † †}„ˆ ‚ ‚ F ‘ z z z  z z |}xy „  Š  € |Š Š | 7 G;?432 G yx yˆ„‰~y  y {|}~€ …{ {€ ˆŠ  ‚ ƒ ƒ ƒ  ‘ ‘  z  z z  „x‡ € „x… | „ }yˆŠ „ ‰ „x… | € ˜€yy   ˆ„„x‡ ™‘… ‡€Œ|†}„ˆxz ‡}y‰zy‡xˆ„y‡z…€’ x† y‡†y y †}„ˆ †}y€ z „€ ‘yyxz ‘ €|{y‡ z z z  • „}y x|z €ˆŠy—ˆ„z x‹y}€„ŠŠ… € „ Šy ’ „ „ŠŠ y ‡†}„ˆ € x »»s
½ ½ ˜vŠ‹„}y
ƒ Šy€„ ƒ „x‡ £y}x„ ™ S A>?432 F >G G>62J14G3?432FG >7 T }„ˆzˆ|xŠ‰z…‹y}|‚zy„‰‰y€„x‡y‡†y y‡†y€’ ‚| šyz| Ž‡yx| ƒ ‚ zy ‘… ‚ z’ y
‡‘‹†}„ˆ|€Š…{ƒ ‰€ €€|ˆŠ‘zy„‡xy‡†}„ˆ‚}| „x‡ ‘¦z…yz€yzz‘xy†„zz‡y†Š  „€ ‹y} ‰y€ „x‡ y‡†y€’ šy ‰„ŠŠ 41A;E1A†}„ˆ | zy †}„ˆ ’ yŠ|{{yˆ}y€yxz €|y}y€Šz€|x{‰ |}„Š†|}z ‚|}‡yzy‰zx†€ˆŠy—ˆ„z x‹y}€„Š€z„‘Šz…}yŠy€’ F1 GEE 89 »»s
½½ 15 1 3 A>4F1E51AO?432F9H F 1 5F1 41A;E1A ?432F 89 H 37A F  5 1 9 91 137A4 8 87E>9 1G 37A F1 >OGEE H 41FG21 1F5E5>J1 >1G 7859 37AG>6287G F141 1>G5G 37 1A?1 >7 OGEE G;EF 5F35 H E8753>7G 3 > > G 3 EKE< H 37A 5 1 F F G;E 5 35  O E8753>7G 3 > GEE G;EF 5F35 37A >G 785 3 EKE7G3415C8EKE1GOGEE 37A G;EF 5F35 H H 37A 85F ?432FG 37A  FC 141 37A T P G ∈ E(U2 )

xi = xj G

xi 6= xj

n

G ∈ E(U1 )

G∗ uv ∈ E(G)

m

G

E(G)

G∗

∗

2m

G

G∗

G∗

G

∗

G

H ∈ E(U1 ) ∪ E(U2 )

G∗

G

∗

Si mi > n i 1 ≤ i ≤ k

n+m G∗

G

G

Si

P

G G

S 1 , S 2 , . . . , Sk

ni

mi

G∗

U1

U2

S1 S2 S3

S4

E(S1 ) ∪ E(S2 ) ∪ E(S3 ) ∪ E(S4 )

G

G

E(S1 ) ∪ E(S2 ) ∪ E(S3 ) ∪ E(S4 )

G

n

m xy

b G

G Si1 , Si2 , . . . , Siki Sij Si

b G

G b G

m0 ≤ m

n

(i) Si GhSij i

(ii) Si

(iii) Si GhSiq iu`

1≤i≤k

b G λ(xy) ≥ 2

G

G

Si

nij

G mij

nij ≥ 3 GhSij iu`

Sij

nij ≥ 3

Sip

S 1 , S 2 , . . . , Sk

b G

G

Sij λ(xy) ≥ 2

b G

xy

GhSij iu`

Siq

nip ≥ 3 niq ≥ 3

1 ≤ j, p, q ≤ ki



GhSip iu`

†}y  ¥|z €ˆŠy—ˆ„z x‹y}€„ŠŠ… €z„‘Šy ‡†}„ˆ€’

S1

S2

S3

S4

 a

s

b

d

`

…

`

k

k

t

˜‰™ ˜‡™ ˜‘™ ƒ ƒ ƒ †}y   „Š… |‚ ‡†}„ˆ€ ‚|}y‡ ‘… y”zyx€|x€ |‚ ƒ ƒ ƒ „x‡ ƒ {y}y ƒ ƒ ƒ „x‡ ’ ˜„™ „ ‡†}„ˆ x Á ˜‘™ „ ‡†}„ˆ x Á ˜‰™ „ ‡†}„ˆ x Á ˜‡™ „ ‡†}„ˆ x ’ … ‡y¾xƒz|xƒ „ ‘ƒ |}—€‰‰„ ‰…‰Š|y‚ zy €‰‰ |‚ zy ‡†}„ˆ ƒ ‰|x€€zƒ€„x‡|‚ y„zˆ„y}z„ ‰…‰Šy ƒ „x‡ ’  z„z €‰ z € y„€… z| €yy z„ƒz z‚ ‰|x‡z z|‘x ˜™ |Š‡€ƒ zyxz z‚y †}„ˆ ‰|xz„x€ „ €‘†}„ˆƒ • ‚ z € € | „ „x‡‰…‰Šy ’ ¨€ƒ zy †}„ˆ ƒ „x‡’ „• ˆ„‰|x‡z‘ |x ˜™ |Š‡€ yx‚ y —€‰‰€‰ z‰|x€ z „ ‰|xz„x€ „ € †}„ˆ’ ’ • ‰|x‡z|x ˜ ™ |Š‡€ƒ zyx zy †}„ˆ ‰|xz„x€ „ €‘†}„ˆ z„‘Šy’ ¨yxƒ ‰|xz„x€ „ ƒ€‘†}„ˆz Š € … £ˆˆ|€y x|{ z„z € x|ƒ „x‡z €ƒzˆŠ€y—ƒˆ„z‰|xxz„‹xy}€„Š € „’‰…‰Š¦yzy ‘y zy ‘ €‰‰ |‚ {‰ ‰|xz„’ x•€ ‚z|ŠŠ|{€ z„z ‘yŠ|x†€ z| ƒ„z€‰‰ ‘ |‚ zy †}„ˆ ƒ  y‰„€y€‰…‰Š y ’ £x‰y y —€‰‰ „€ „z Šy„€z z}yy ‹y}z‰y€ƒ ’y’ƒ — ’ šy ‡€zx†€ z{| ƒ ’ ¨yxƒ „x€yz’ ¨y ‰…‰Š „x‡ „zˆ„|xz˜™ |Š‡€’ „x‡ ¤„€y ˜„™€ x|‰|xz „ z‰…‰Š ƒ€ yzy ‰|x‡ ƒ ’ •‚ zy}yy”€z€„xy‡†y ‘™ z ‰|xz z„x€|xŠ… zy‰…‰Šy ƒ z ¤„€y˜ ƒ z|x ˜™x |Š€‰‡€’ •‚ z„ y}y y”€z€ x| €‰ y‡†yx x yxƒ zyx „x‡ €x‰y ’ ¨€ƒ € ‰|x„ ‰…‰Šz„xy€ƒ z„x|y z‰|x‡ ‰…‰Š y} y ‚ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ‚ ‘ ‘ z z   z yŠ|x†€ | „ —€‰‰€ „€„…‰…‰Šy „x‡| ’ • ’ y¨‰|x‡ ˜˜™™‡||Šx|‡€’z |Š‡ ‚|} zy ‘—€‰‰ ƒ z{yx‰zy †}„ˆ €ƒ z|yx€‰|x‡˜™ z„x‡|x ­´ ¯  ® ´´® ®³®´­ ‚ z xƒ ‹y}€„Š€z„‘Š‚z… •x|x z„ ‡€ †€y‰}„ˆz|x{y’ ˆ}y€yx z| „Š†z|}|ˆzz€„Šz„Š„~y†|}„€z€xˆz|}„ ‡y‡z†y‰}„ˆzx† x|x‹y}€„Š‹y}„x‡€ z‰y€ „x‡ˆŠy—ˆ„y‡†y€ „x‡ ‡y‰‡y  d

˜„™

S1 S2 S3

s≥0 t≥0 `≥1 k≥1 E(S4 )

E(S1 )


   

S4 E(S2 )

a≥1 b≥1 d≥0 E(S3 )

b G Si C = (x0 , x1 , x2 , . . . , xr , x0 ) r ≥ 2 C = (x0 , x1 , x2 , . . . , xr , x0 ) r ≥ 2 y 1 , y 2 , . . . , yr 0 ∈ / C xi 6= xj r0 ≥ 1 (xi , y1 , y2 , . . . , yr0 , xj ) Sij

(⇐=) E(S1 ) 2

Sij

(=⇒) G H ∈ E(S1 ) ∪ E(S2 ) ∪ E(S3 ) ∪ E(S4 ) C Si C r ≥2

H b 1≤i≤k G

P = (xi , y1 , y2 , . . . , yr0 , xj ) H ∈ E(S2 ) H ∈ E(S2 ) ∪ E(S4 )

Sij

GhSij i H ∈ C = (x0 , x1 , x2 , . . . , xr , x0 ) r ≥ r0 ≥ 1 GhSij i GhSij i

xi 6= xj

Sij

G C = (x0 , x1 , x2 , . . . , xr , x0 ) r ≥ 2 Sij Si nij ≥ 3

P = (xi , y1 , y2 , . . . , yr0 , xj ) r0 ≥ 1

C

P =

H ∈ E(S2 )

GhSij iu`

Sij

C = (x0 , x1 , x2 , . . . , xr , x0 ) r ≥ 2 G H ∈ E(S1 ) GhSij iu` C H ∈ E(S3 ) ∪ E(S4 ) H 0 0 0 0 0 0 C = (x0 , x1 , x2 , . . . , xr , x0 ) r ≥ 2 Siq Si Siq GhSiq iu` niq ≥ 3 C



xi xi+1modr

λ(xi xi+1modr ) ≥ 2















G

G



n

m

G

€ x‹y}€„ŠŠ… €z„‘Šy |} €ˆŠy—ˆ„z x‹y}€„ŠŠ… €z„‘Šyƒ }y€ˆ’ƒ x

O(n + m)

zy €x†

O(n + m)

€ˆ„‰y’


  

 

‚ ¦ ‘ ’ Á z  z z z z  z z z z „Š |} |}  € „  Š  |x „ }„ˆ }yŠ  €|x }y€Š € „  }  ‡y y‰ x x y}€„Š ‡ y y y‡ x y„ † † ‹ … † z {|}~€ „€ ‚|ŠŠ|{€ S