Subspace Methods for Eigenvalue Problems

23 downloads 0 Views 2MB Size Report
May 3, 2017 - P. van Blokland, L. Booth, K. Hiremath, M.E. Hochstenbach, G. ... Hans Duistermaat en Dr. Joop Kolk met de sciptie "De Hankel transformatie ...
      

  

              

                                         

        

  ! "#  "$$%     &"'(  

 )  

  "'  &*+%  



                  

         !"#"$ !""%$ !"&"$ #" #'$ #" !($ (&)*+   $  ) ,    )-        .      -   /  0/ (%1&(&1&&"&12

 

  

## 0 -                      #*   -  ,            #*# 3    -  ,     #** 3  -   ,        #*& 3 -  4 -  ,    #*+ 3 ,5   -  ,    #*" 3 ,   -  , #*! 6                    #& ,                   #&# ,  7              #&* ,  7,              #&& 381 ,          #&+ 5,  -           #+                       #+#   : .          #+*   5             #+& /  7,            #" ;  8                       #! /                        #9                  *"#  7  81 6@                         *"*  7  81 = .>                   *"& 6  8  7  81 =>   7  81 6@ *!   - = .>                           *9 )7                                     



#" #! #( *# ** ** *" *" *9 *' &% &#





*9# 3 -  4 - ,         *9* 3 ,7 5 -  , *9& 3 ,5   - ,         *'                         *'# 3 ,75                *'* >A                      *'& ,  8 81 < 4      *'+ 0 8                   *( /  7,                  *#%                                

         

         

         

         

         

         

         

         

         

!

&#                                  &*                                 && 3 =>>  ?                      &+    :                       &+# 3                           &+* ;, 5                        &+& ;                            &" =>>     7  /8              &!  -                                 &!# )7  =>>                           &!*  7  =>>                          &9                                  &9#   -   ?                  &9* 6                                &9& >A                               &9+  ?  8     :      &9" ,  8 = .>    -   7 &9! 6   ,                      &99    -   ?              &9'    -                        &9( =>>  ,7                    &9#% 3 ,75                         &' /  7,                           &(                                  

                                 

                                 

                                 

&# && &" &9 &9 &9 &' &' &' +* "

+" +9 +( "% "% "# "" "! "' "' !% !# !# !* !& !& !& !+ !" !! !! !! !9 9*

" #    $ %  ! & !      ' !      (   )

+#                      +*    7                 +&   7                 +&# 1     1   7  +&* >    7        ++ 6  7                

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

9+ 9" 9' 9( '# '+



+" +! +9 +' +(



6 5- ?     -   ,    -                 / ?    -             < 4  - 4             

,,                       +(# 3   ?  ,         +(* 3    >             +#% /  7,                +##                       

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

'! '9 '' '( (# (# (& (+ ((

        

! & !  ! $     

+      

! & !       

"#                            "* ,    64 ,               "& = .>  5,                "&#  ?   8 -  ,  "&*  ?  8 ? ,     "+   64                     "+# )7 -                  "+*   -                   "+&   6 5-.64               "++ 6  64                  "" , -  - ,                  "! 3 ,75                       "9 :  4   ,   ,         "' /  7,                     "(                             !# !* !& !+ !"

!! !9 !' !(

              

              

                            

-       ,           ,     ,             

= .>  5,                   ?                         !"#      ?            !"*         ?   !"&       ?          , -  - ,                    3 ,75                         /  7 ,                                                     

                          

                          

                          

                          

                          

                          

                          

*

#%# #%& #%+ #%9 #%' ##% ##% ### ##* ##* ##& ##+ ##" ##9 #*#



#*& #*" #*' #*' #&% #&# #&& #&+ #&" #&! #&! #+#





) ,-  '     '        

9#                 9*                9& 0 8               9+              9+# )-      9+* )-     9" ,              9! /  7,          99                 

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

& !

        

        

        

        

        

        



        

        

        

"

#+& #+! #+! #+' #+' #"% #"& #"" #"(

.    ! / ! (  & ! (      +

'#                       '* ,,7     ?   - , '*# ; 1   :          '** 381   :          '*& ; 1          '*+ 381          '& )7                        '&# ,,7    ,       '&* 3 ,5   -  ,    '+ /  7,                '"                       

          

          

          

          

          

          

          

          

          

0         & %    &    ! ! 12 !

          

          

          

          

          

#!# #!& #!& #!+ #!! #!9 #!' #!' #!( #9% #9"

 

                                                                       ,     -  < 4 ,5                  ,     - 64 ,5                      ,     - 5 ,5                  ,,       < 4 ,                (!# 0     3 ("#                    (!* 0      < 4 ,      -  (9 /  7,                              ('                                     

))

(# (* (& (+ (" (!

#99 #9( #'# #'& #'" #'9 #'9 #'' #'( #(&

%

*

3 

*)

  

*0

-  4 -  





%

1  &   



 

)

 

1  &  ! 

%

     *&# ;8B 81 6 5- ?    C""D            *+* 01-  81 = .>                    *+& ;-  81 = .>                     *!+ B   - 6 5- ?    C!%D             *!"   - = .>                           *9! = .>    ,7 5 -  ,      &+# 3    =>> -    -   ,       "&# = .>  5,    -   81,   - 1  ,                                  !*#

-     -  81,   -  ,    !+* 381 = .>      -  81,   -  ,                                     '*# 3 81   :   81                                            '&* 6    ,,7  - ,    ?   - , 

#( *& *+ &# &* &! "# #%" #*9 #*( #!' #!(



     3      ,  ,     -  ,1     8   -  -  ,$ 8  7  -                      #9      ,  - -  E ? F    $  -1

 -$   5   7 -  ,    -    $    5 E    $  -5    F$    E-   ?     -F  5   5 E 5$   5  5 ,  -  , 1  F$       E  5     ,F$   - 155 $   - ,5$   $  -    - , -$    5$  ,  -  $     )-   -  -            ,,1    7G    5   , -   -  ,       5          5$ , 5      7

       >,  -   ,,  $           -        ,$     -        ,$      -        -  ,       8  - 3   -5$       @61    1 1 ? $   E  5F   -     5   E 5  #% F  



! 5  

-  ,,  8     8 5$ 5       5  E F -     -  7   , 3   Æ $    5 -     ? 8    5 ,,   8 $      5$ -    -  , 8  4    7  5 7     3 ,    4 ,   H   ?  G 5, 5  5   ,   -     $       $        7       5  5   8  4 3$    ,  71  ,   5$   $ ?5$    -      $   ,,       $   5     ,  I 5$     E  F , 0       $     $   ,    ,        $          - ,     ,  $   7  ,   81   , G  ,  7     5     8 5$ 8 - ,,7  - ,   81   ,    - ,  ,$       -  J  K 3     5 ,  ,   ,,    7 E$ 4F$       E8 $  8  5F$    ,   E ,    7$ ,  F$         $ 8 ,  -        -      ,    -  ,  5  -  ,$ 5   E  F -  ,$   -  4 -  ,$    -   ,$   ,5   -  ,$    ,   -  ,

3     -  4 - ,      $ -    ,,   3  -   , , 5 ,    ,,     -    - , -$   5$ ,  -  $  $     -       0        ,  

     - $         ?  ,$        7$ - 8 , $    5 E  F        5$  ,,$   E) F    7 3 ,5   -  ,    5       1    5   5 7   E H   8   -F$        $   A  

7 ,   -   ,   -  ,     1   ,5 8    ,             5  ,

  8         8 8   #"

5 5      



        8 A5           H  5,  -  ,          8   C"D        #9   ,, 7   #!        

         3          E) F          E$  $   %F   L  E#*#F 8   ,7     7     $     $  E  F         %  5 -   L           E  L  F$  7       -     $ - -     -  ,  -     -       E L  F$  $   $   $     - $           E    $  L  F     ,          -   7           L   -      -     $ 5    ,,5      -  ,  -  , - $     ,  -  -        

-        E F       8 J- K$   5     E  F - , :       7 $   -   ,         E  F$ 8   %$     %   %  5  L    L 

$         $      $       3  -   , -    8 H  ?    -  , $   4 -        7         7    ?     4  -     3 -    -    -    $ , 5  $  -    

 



%   %  ,      -    $  8  7     -  -     -  5   -      ,  E  &*F 3  -   ,    5   , &  +

"

! 5  



         

3  

   

E:) F  L 

 -  4    )     ) $  - $  L %  E-F - $    L %  5 -   L    -      - $  ,         -  , 5  ,5 - 5     $ - ,  5$          3$      -     8 ,,  ?   -  4 -  ,$  , 5    8    3 :) 8      *9#



        

3       E ) F     M   M M  M   L %

 -  4    )   :)  3  ,  -     - -      5    ,  ,  $ L * -          E@) F$  L # 5  :)  ,   ,5   -  ,     , '    *9&



        

3         E) F   -  4    )   :)    ,    1,  L E     F     4      L #     



   

  

 L %

 L #  

8             L #$  5  :)  3 1,             ,  L      ,  -     -       5 3 ,   ,$   ,    81,   -  ,$      , "$ !$  9



  

6   8   -  ,   4  3  ##  #* EJ K    J   K$  JK   J ,    KF

55 

!



 

       

                                                                                  !          

  "    #        

  



  







!

       8       -  , E#*#F       ##$ ,    5         -  , 3   ,     ,   - ,   81    ,  3 ,,   ,     5  -          - ,     7,       8     , 

,     - ,  8  8    8 -    ,   8 ,,7    - ,   ,     7  8  5        -  ,     5,   -       , 8 7,   ,  5 8       $   $  7,  ,  ,   ,,7   3    $     ,  -8$  - ,  ,,7   8  -  - ,    -  ,    , ,   8$ 8  5   7,     ,    8 ,    ,    -        $        8 8  ,,7        8   ,       - ,     5   $  8 8     , $ 8      ?    -    ,  -     8 -   8   ,  ,      8  ,    C"D       #9

+

! 5  

       3    ,,     $  ,7 5$  -  4$   ,5   -  ,  , &   = .>  5,         

   , * 8   8   , $       -$        -   3 -     8   -  8   ?     7 5  , $  ?  8      7 5$ 1  -      -  3         7  /8 ,      7  6 5- ?       , +$ ,     -    ,,7                 $     :  ,  7     -   5 =       -  ,$       ,,    ,1  -    ,,          ?  ,   ,,7    7 5        -   ,   , "  !   = .>  5,        %   $  ,        8 ,     , " 8    1   ! ,   -  ,      8 , 1  $ 8   -  8   , $        ,     1 ,    3 7      ,     5 -  4    6 5-.64 $         -    7 -    ,  7,  $ 8 ,  8 H   ?     8 -   1   ,  8 -  1 $    8 81   ? ,     5 -  1  0     A   ?   ,,    ,$ 8      64  8 8      - ,    , !$ 8 5  8         ,   -  , 3    - - ,$ 8 8   5  ?        $ 8    81 ,,  EH      , F$ ,     , *   , 9$ 8 7     ,  ,   ,   ,1   $       -   -  3  , -     8 -      ,,7  $  8     - 1   -    ,     , $        ,   ,    3  5 -  ,    1    ,   -       -  ,$  7   64 ,     ,   8                   , '$ 8   ,,7    -         

*

! 5  

    ,  3 ,     ?   -  ,   1      ,  3 8   -  $    :    1    ,,  3   ,   - ,     8  $   -  4  -   ,5   ,  7   1     ,    , ($ 8  ,        7 -   1   7 8  < 4  3       8 < 4$ 64  5 ,5   0  8       -      Æ  ,      -  $ 8  -       8   E -F , 5 3    5    ,, -      ,,     ?$ 8 -       ,   < 4     EF  5  - 7 -  8 ,    , * - (   ,,   ,   , ,   $ 5        7 $ 5 -       -$    -  5 7           -     5  , * E8  *9*F     C&'D  )    ,  -                           !  "

8  *9*   5  C#D  .  )              #    $ ! %  & '  & ( ) * 

 , &  +    5 C&&D  )         )+% ,

 )'

-     ...  )'  ' /   '   .

-  % / - ! ' 

  8 -1, , , C&+D  )                                !      #   . $ ! %  & '  & ( $'*  0    / 1 # $  '   . +   )( /  +  %   )'2' - / 

   ,     -   7  E  &!*  &9(  8F  , "     C&!D  )   /                           )+% ,  % 3      4 

   "+&$ "++$  "9  8  , !   8 -1, , , C&"D

5+5 3 

 )   0 12 /                      #   . $ ! %  & '  & ( * 

 , 9  C&9D  )   /     "#                           #    $ ! %  & '  & ( 5* / ( 

 , '  C&(D  )    .   3        $   !     !           #    $ ! %  & '  & ( *  '' ! /*'   )+% ,

 )' - 

0 / 1 # $  '    -  % / - ! ' 

 , (   ,,   C("D 4 ,   5  )    .   3  %                       & '   )+% ,  % 3        3  #& -    8           , 8 ,   8   ,  ,   7   7,  

        

 $ #             %         !

     % &  % '$ (  % &%)%&  % &%)%*  % +  % +%'%*  % ,$ -

   % &  % '  % &%)%&  % &%)%*  % &%)%'  % &%)%'  % ,$ -

! "    8                - $           ,  6       ,       5 8  6 $  8  :        ,  E-$ F   , $ 8       ,  -  ,  6  E-$  F     7  8     E $   8 5$   F      ,       7        ?  $ 8   ,        ,  -      ,,7   -   8    ?  7 5$  =>        6@ E C9"D   *&F 0   $        -  => -  81 6@$       81 6@ 3   81 =>   5$ - 8   $ ,   C9&D$  ,    6  &"   "#&  8    81 =>   8   , $     -       -     ?      7 5$      5   -   , $     5          ?    =>   5   $ 8  5     5 ,,7 5$        ,  3 , ,    ,,   81 ,$     7  81 =>   7  81 6@   ,  8  - $     ,  5    

,  -  8   ,   81 => -      - =>$ 8   8     B   - 6@ C!%D 3  ,    - 4  8  **            -  ,    =>   *& 8  8 ;8B 81  6@$    *+ 8   8 A   81 =>  7      81 $      8 $  8   -   $       *"  *! ,,   - =>$   *9 7   81    ,7 5$ -  4$  ,5   -  ,   *' 8   ,    /  7,   ,    *($              *#%

  %&'  () *  +      (%  ?    @   >       ,% 3    > :       

   1 #=B #/  "  

      7,,9

 C!%$ , !'(D   8   8  81 6@  -  , - 1 $     5   -  8 $  8 -       ,     -  -  -   5 8   

    /   5 8 















     L  M     L  M       

*

! 5         

8         8     L  E M Æ ! F   L  E M "  F E*&&F 8 Æ  "  %$ !   $   $        ! $         ! 55 71    &     /859 +

             *   *  , -   * 

Æ  #Æ " M ,,, 

"  #Æ " M ,,,



# L E FEE  F F  ,,,    .     Æ  " / ,,*       ,,,        EÆ " F* $  M   &, :&; 3  - 7     C!%$ , !'(D$ 8  8   E    F  7  4      

 L  E M Æ E  F E   F ! F  L  E M " E  F E   F  F

8

 L Æ "

    E  F



 E  F!

  M Æ "  !

   L Æ " E F E  F!  M  7   $  E  F 7  $ 8   

E*&+F



 E   F !    E  F   M  E   F    EE  F F  M 

      Æ  Æ " E FEE  F F M  "  Æ " E FEE  F  F M 

3 ,  , 5    







  EE  F F L   E  F        L   E  F    L EE  F  F

¾

,  - 3 ***  *&#$    5   8 H  $ 31  ***    7,     - E  F E C!#$ 3 +9#DF$    

          $     ,5  -     3 *&#$    -   5    -     , 

5"5      



  , + %&'  , 5 81 6@$ 8 - $%   &'    8 8 8   , $   -      -  ,,   8   1     ,    $  ,,7          -   - $     8 8      L E F L

 

 ,,7    -  /        5  E  F   E  F   3 --  ,                       ,,7  -      L E  F     L E  F 

/8 8  L   L  !$ 8              E   5 - $    *+#  *+*F$    !  1            !   -   -  ,    -     , E-  4F - 5   L       ! L    !

E*+#F

3 7,     ,    $  81 =>       $ E   5 - $    *+#  *+*F    E M F L E M F   E M $F L E M $F

         E E***FF E  F L  M E F M E F

E*+*F

   ,   $ 8    ,   ?     ,   %  7          $   - E?F ,  -  5 % L    %  ,,7    ,  ,$       

    E  **F  8 - E F $ 8  8    E E*&+FF$  , E*+*F$  5 



  E  F L 



E*+&F

   8 5 8 -       



  E  F $ L 



E*++F

 8  8     81 => ,,    8         1- $    8       -   



! 5         

    (                81 =>$ 8 8           1- $   $      -   7 3     $    - -  ,  -  ,   -   -     -  ,  -  H  -  3       -    , - , E*+#F   5        - ,       8   1-      $  $   ?   E*+&F  E*++F   8  







   E  F  L        E  F  $ L    

E  F E$  F

3 ,     ?     -   ,   ,      ?  $   ?    5     5 5 1 -  -   E0:F /   0:     8 ?  G    5   ,,7    $       8 ?      ,         8    ,,7     0:G         8   ; $ 8     8   ?   ,  5G     8  5 5        5 8 ,  E,  F :6)$     7,  3  - -   ,    -  8   -  -   8  - *+*         - $     -    , + 

- *+*  -5 E,5  -       64 F         -   7  , *   -$ 01:    E, F 1  : .$            1 -    5   8 5 /     -  $ 8    -      5   - $  5  - - $   ,   ; 8 8    - ,,7     -  E     7, F$   

  5     5  $          8  -$  8 8  , ,A          -   8 8      -   5$  $      - *+*$  Æ  E  5  5F   $    5 E F E  F E F $ L   E*+"F 8   E -F ,,7   -   - *+*      5 8  -     -$     5 - ,,7        E*+"F$ 8  5     ?  8 ? , $  7,  --   E*+"F   ,   H

    (        

      ,         -  0      8   ,   $ $  $  8  ?   8   

5"5      



            $        ? > :@$    

    ?   @          ?   @  ?   @  

*% >  >    > 7 9  > 7 9   > * &    &% ?   @ > ./! ?       @ '%      >    #     >   (%      ?  @    ? @ ?  @

     ? %%$  #       @ ,% >  $  >   $ ? >   @ -%  > ?   @ >       > ?   @  )%         ?       #@ +%  ?  @  $           ?   @      >      >  ?    @             

   ./   #/  4 65  





 L   E  F E  F      E  F E F $ L 

E  F E*+!F E$  F

3    - *+&   ,    -  8   -  -   , *   -$ :      : .$            -  ,         ,     ?   E*+!F  ,    $ 8  ,      ?   ,          C9&$  &&D$   

   ,   , $            ?    E*+!F 5 Q5  

      C9&D$ 8  7  5 8 - 8 ,   &       8 C9&D        , ,   

 -  5



  & E  F     









&      &     

 &      ?  $  ,   ,     $ 8 



&  &   &



  



"

! 5         

    ?   ,      E**&F ,,     G    ,    8 -   81 => 8   ?              => ; $ ,   -  5     , ,   -    

   

            $        ? > :@$    

    ?   @          ?   @  ?   @  

*% >  >    > 7 9  > 7 9   > * &    &%

> ! ?   @  > ! ?   @ '%      >    #     >   (%      ?  @    ?  $  @

     ? %%$ #       @ ,% > $  >  $ ? >   @ -%  > ?   @ >      > ?   @  )%         ?       #@ +%  ?  @ $     @ >      ?   @ ?         ?   @ ?   @ >  

   1   #/  4 65  3 8 -      7  81 =>$  81 6@$    5   -  ! 5"5 )  $    E*+&F  E*++F     *

  %          $%   &'              *         ,

:&; 3   E*+&F 

L  M ' E  F 

  1-     $  ' L E E  F F   -     $  ' L E E  F F  - 4  ,    M  ,      81 6@     ?  8     7,  /8 ,,5 3 *&# ¾

55 %     /8    



  $-  + (.$  %&'   *# 8    5      =>  6@   ,   5 7,   8 8       5$  -    EE*&*F$ , 5 E*+&F  E*++FF$  5    $ 8     7       *"#  *"*$ 8  -  81 6@  81 => 8     5       , E     ,, F   *"&$   8 81 6@  81 =>   $ 8     5    5   0:1, E1-    ,, F

 )     *)  C'%D  C'(D$   5  7  6@     35 8    5,  -        ,   ?    8 -  -  4    7  81 6@      8 8    8 ?   E*&*F   81 6@   7 5$ 5 8 8    8     8    5 E  F    (  #  E  F     (  #

E*"#F

/    8     -  ,   &     &  E  F $    E  F&    (  E  F &    (    5    8   ,   E  $    L &    L &  F   -   5 E*"#F 8 $        -     $      ,     ,     ,  3 5   -      7  81 6@$  8 -    1

E F EF EF

 55  0 L  E  M "F*    , E*&&F, - $     1     L  L E F2



  # M " E F 2 E  F    "E F,   

:&; >  ) L     05 7   -  - ,   ) ) 8      -    )    ,  ,     ?          8    5,1   -            ,   8 -  -  4   81 =>      8 8    8 ?   E*+&F  E*++F   81 =>   7 5$ 5 8 8    8     8    $   E1-   F       $  E-   F 8



   E  F M   (   

E*"&F

   E  F $ M   (   

E*"+F

  %  (  (  # 3 7        -    -      ! 55 71    & %     '   2  & ? @ >  &%  ?    @  >     '%    > ?  @ >    (%  ?     @  >      3      ?     @

     $     %  

     B    "  

      7-:9

     -  , 0    7   4 -     5     4  -  $    5, 5 E  $    F   -   -    C!%$ , !(*D 8    E 5F   -   ,      -     - $ 8     8   5,  -    -    5    8       E# E F F 8 ,,  

   

  - 6@ -    ,   8 =>  $ 8 8     & '   3      B ,$  - ,   E-1

F   ,        - -  ) 5  ,   ,,7  -  - - $  5   ,  ,,7  -   - 1 $  - *!" 0    ,    $   -       - =>          - 6@  

   $      ,   -    ?    -  E8   ?      7 5F     $         - =>  7 5        =>$  8       8 8 -   -  ; ,      - => 8      -   E-5F 

    8  5     7 8 /  7,  8     - =>          => E  *(F

 # /-    8 7   81    -  4  ,5   - ,$  8   ,,       ,7 5 - ,$ 8     ,   

-          381    - =>   5  -  4   -  4 - ,  L  3 :   1   E  F    E  F      $%       



! 5         

            $

     $     %     ?   @                       ?   @  ?   @    *% >   > 7 9   > * &    &%  > ! ?   @ '%      >    #     >   (%     ?      @ ? @   >   ? @ ? @   >    ? 

@ ,% >  -%  > ?   @ >     ? @  > ?   @ ? 

@ )%      ?       #@ +%  ?  @  ?  @?   @?  @ >  ? @ ?  @?   @ ?  @ >  ? 

@ 

  

   4 65 

      

L

  

8        -   -    , ,  E  $   F  1-  81 =>$   ,5   -  ?      E F  E  F  L E  F E  F

E*9#F  E F  E  , $  C9&DF  8     ?   7 5$  8 - L  M ' E  F  E'     F$    7  81 =>        8    J-  4 81 6@K E - C!#$ 3 #"(&D   5  F$   -    -  :   5)5 0     *  

-   $%   &'       ,

        ,

:&; /   E  F  L E    F   ,,5 3 *&#

¾

/   8 -   -   -  M         8$       5, 5    ,  

5)5 ?% 



-           -     8  , -   ,  E$   ,    - - F$ 8 -       ,          E ,,7 5F     ?     81 = .>  -  8  E*9+F  E*9"F$ 8  $        64.:        E**#F$       8 ,   J

 ,K E*9*F  L      -  L $    $ 8    E F      , - ,    L    

3$   ,         7    ,7 -   $    L  E     8  8 5  ,F 3    5    :$   5 :1    8 ,    ?   =>    -  -  ,    $     -  ,7 -1   ,     3  ,     ?  8 -  ,  E E**&FF E  F E  F E  F  L E  F   

/    -1                 - 5   3        -   ?  8 ? , G    $    - ?  E*+&F  E*++F     ?   





    E  F      





L E  F



 

E*9!F

3 ,    ?   ,7 5 $ 8  5    E*9!F 5         , 5 -   ,7 5 5$   P C#!D$ ,7 5 @6 C*!D$  ;: C(&D 3 = .>  5, - =>   4  - *9! 3    *"   5        ,7 5 - 1  ,    $  5,  -   7  => E8       ?  7 5F  $ 8   -     7    E 7    

   F    

-          8    -  ?   81 =>   ,5   - 1 , 3E F L % E*99F

+

! 5         

         $      $    

   ? @              

>   > 7 9   > * &   

> !/ ?   @      >    #     >       ? @   

      >      > ?   @ >            

 ?  @        ?  @ ?   @ ?  @ > ?   @         ?   @      > ?   @      

 

*% &% '% (% ,% -% )% +%

   4 65            8

3E F L   M

M M  M 

,,   8   ,,7  -   -       $ 8   $  $  -     ,  3  .:    3EF   ,    L E F     





E  F  L %



E*9'F

3   /8 B   E*99F$   3EFE M 5F 3EFEF L 3EFE5F M

 

  

6 5 M E5 F

6

>H   - E*9'F 8 ,   -   

E  F 

 8    2 L 3 EF L 



 

 6 L E  F 6 

 $  = 

 



6   M   L % 6 

 









 



8   $  2 L %$

 



  L E 2 F 3EF

 ?     3EF$  /8 ,    



2  3EF L 3EF 2

5.5   

)

8 3EF      E-F     ,5   -  , 3   -  ?    ,5   -  ,G   C9&$ E'+FD$ 8      8      ,    L #     E*9#F$  $   $  L  $ 8 - E*+&F 0   81 ,  /8 $ 8 7,  5 ?    -  3 $      $    C"%$ 3 *D

 0    .      7     ,75       ,         , E ,,      -  ,F    

      /                 %   C ! #  C ! #     45 D* : #/  45 ?/      @ D* D*

   45 ?   @ D* :

   45 ?  @ * D* 45 D* :

      8 ,  $ ,   M # 5   $ 81  = .>   ,,7 5 8  7,       = .>  $   - = .>   => 3       8 ,    - ? 

. ,/   8         - ,  $  8 8    $ 8  A     -     -   ,,   8    5    - -    ,  -  -    3       $  8    7  $  L

 





         

    



     - ,  $ 7,      -      4

.

! 5         

. 0       1  ,,   8        ?   E*+&F  E*++F$      L  L E  F  $ L  L E  F  0    - 4   , *  - *+*$   ?      -  L   $ L  $ 8   ,  7,   81 < 4 3 81 =>  5$   -  4      =>$   -   -  4   81 < 4 . 2 3   5 H   8 $   81 =>    5    $ 0: E8 8  5       ?  F  5   8   $   1-   $  , ,    $  5  E  5F -  6 4 -       , -         ?   5$ 8      8       ,    $ 8  ,5    $    H  E-$  F ,,7       ?  

 1 "   -   ; 7,      3< 0  7  / 8       5    =>   H   -       E  - F  

    E?    - FG     5  81 => 3 8 -  ,   81 =>  JK H $     5

        $     ,7     -  1

 505 0  L 7 S8          8 L 7  , )  

     *  $%   &'8    E*+&F  E*++F  

       "  $   *  $%   &'

 

E F * $       *  EF S* $    *  L 8     L 7    . /

  1  L  , 9 *   L 8    

  *     *     L       L   ,

L 7  ,

)

:&; 3  ,,7  -         

 L

 S  7 S8    L L L 

   E78 F  

  -      ,    8     L ES   F L ES   F8  $  7   L        8 5 8           8   L       L 8      L 7    >  5  E F 

505 3   % 

0

Q5 ,     $ -   5      Q5 ,  8   E-  4   C!#$ , *!+DF  E   F L  E7 S8  7   F L 7  ES   F

 8  E    F L  E8 S 7  8   F L 8  ES    F   7 8                 ,      ,     ?  $     















    E  F  L7  ES  F  8

      

$  -    % L    $  E% E  F%   F L 7  E%ES  F%   F

      ,,7        ?    1 5   L 8   $  L 7 $   05   8  ,     L 8 7    L  S  L  L 7  $   ,           9   L 9   ,  $  ,,7     -     $   ,,7  -  E   F  E    F           L 8     L 7    ,  $     $  7  8  - $     L   ¾     8 5    5 5  7   1

 505 :            *    %   $%   4)   E*&*F          " 

$   *  $%   4)

 

E F * $       *  EF S* $    *  L 8     L 7    . /

  1  L  , 9 *   L 8    

  *     *     L       L   ,

L 7  ,

)

?%  505 0    $   7 ,   L  -E#  #%%F 

- *#E F 8 ,  7  81 6@ E  F   7  81 6@ E   F         #%%    , %*     E 3< 0B   $ TB %F$    ( L ( L % "  E*"#F   -$ 8 8       ,,7    -   ;   5   8     -    5 6@   8      -     7  81 6@  -  L #%%$ 8 7  81 6@  -  L 9( ,, 5$ 8 ,      ,  -  ,    - 

"*

! 5          5

0

10

10 2−RQI I−2−RQI

0

Two−sided RQ − ordinary RQ

error in approximation

10

−5

10

−10

10

−15

10

−5

10

−10

10

2−RQI I−2−RQI −15

10 −20

10

1

2

3 4 number of iterations

5

6

1

2

3

E F

4 5 6 7 Number of iterations

8

9

10

EF

   ? @ E       ?  @     ?    :%,$     @ #/  "3   ?* A*::@% ?@ E F    #/  "      ?   @   "      ?  @    ?  @

    ?    :%,$     @ #/   "3   >  ?* & *&@   *:: *::% - *#EF  7 ,        7  81 6@      -   L  -E# * # *F   $    #%%  #%%  -   7 8   C # * # * D$       $  ( L ( L % "  ,  H  8  81 6 5- ?  EE F L  F   -  F   7  81 6@$  H  E   6 5- ?  E EF L      H    F  4          81 6@   -        -   2

2

10

10

0

0

10

10

−2

norm of residual

norm of residual

−2

10

−4

10

−6

10

2 bi−orth 2 orth Alt JD

−8

−4

10

−6

10

2 bi−orth 2 orth Alt JD

−8

10

10

−10

10

10

−10

10

20

30 40 number of iterations

E F

50

60

10

10

20 30 40 number of iterations

EF

50

   ? @ E        /   #/  45 ?  @$    #/  45 ?  / @$    45 ? @$  45 ?@       #   7* & *&9   *:: *::%           <    !"% ?@ E  

 ? @$  # *:    !"%

505 3   % 

"

?%  505" /7$ 8 7,  8 81 =>    - **E F$

8    -  8   -  -    #%%  #%%  -   7 8   C # * # * D 3   -    $    ?      5 " ,   ,   :6)  -      ,  ?   *$    ,7  -  ,  /  $   81 $  ,   8 5 ,       3 4       8  ,, -         - =>    E      71  , EFF     =>  -  81 => 8      E*+9F 3   8   $        => 3  -   5 - G  -  ,   -  - 8   ,    ,   - - 01-  81 =>   -$   8 -   $     - 8 !%     -  -  5  -    8  - **EF$ 8  -  5    

   ,  #% 01 -  81 =>   8        -5    => 8 $     , 8  5           $  *#     1-  81 =>$ E F  "! +"   5 ,,7        %"U      8 ,,7         - E38 51    ,  5     J 5   ,K 8 $ 8    ,     JK       - $      -  8  -  8     8      8 8     ,     -        F ,   $           & ( #%     * " #%   -  5  7       5 E E*+"FF$ 8      ( & #%  3 7,            E F       EF  E F 8    E F  & ! #% $ 8  EF  & + #%   E F  # ! #%    - =>  -5       =>$  ,,7       -   +9    ,  %#U     5  $ ,   $          E   & ' #%     ' ( #% F /  -   -    -     81 =>  ?%  505   7 7 ,$ 8    )6 /+ E4 ##%+$      7   C"&DF$   $   L       

?   5 *" ,$  - *&E F /8 81 1-  => 8 0:  E     F     01-  81 => 8 :6)  -  81 => 8 :6)  8   $        =>   - =>  8  8     =>$    8 -  8    * + #%     # " #%     7 ,$  81  ,,7  E F 8  5 8 ,      - *&EF$ 8   5  7$  #%%%  #%%%  7  )6 /# 3   -        E F      ?            E(  (  E*"#F$ E*"&F$  E*"+FF    %9 3  -    81   -5    E  *"$   

"

! 5          2

2

10

10

0

10

0

10

−2 −2

norm of residual

norm of residual

10

−4

10

−6

10

−8

10

2 bioBiCG 2 bioGMRES 2 orth Alt JD

−10

10

−12

10

0

5

10 15 20 number of iterations

25

10

−4

10

2 bi−orth 2 orth JD

−6

10

−8

10

−10

30

10

0

20

E F

40

60

80 100 120 number of MVs

140

160

EF

   ? @ E        /   #/  45 ?# .$   / @$ /   #/  45 ?!"$   @$    #/  45 ?!"$   / @$    45 ?!"$  @$  45 ?!"$ @    "! (%      

    ,    !"% ?@ E        /   #/  45 ?  @$    #/  45 ?  / @$  45 ?@    "! *$     !%             ? >  @ :%)  !"%  ,        F$ 8    =>    - 8 #9"  3 5    - =>         =>$     7 

  

 2 3        ,,    -   -  



   7 381 =>    -  4      =>  

1          $ 8         ?  8  => E  ,   -   ?  $  -  -$   -$   -   64 F  5    81 =>

     81 =>$ 8         -     7  81 =>   5, 5   -   , -   

    8 $  ,   -     ,    -   

           5    $ 8   ,,7          - -                  -  E F 3$   $            E F

8     ,, -    $ 8 8 , -  8 E,5F -   $ 8  5 8   5    E -  -F 8 8 

    $  ,       8    => > -    , 8  ,    6 5- ?  EF$ E F$ E F     - $   $     5  -    

5 *5  

"

  $  E*&#F       E F      EEÆ " FF  EF  E F EEÆ F  E" FF$      5   7,  ,  8 81 < 4$ 81 =>   A7$       8    8 5  8 $    7    ,  381 =>       81 < 4$          5 , 8  8 $  1       5 E  *'+F ; $ ,  8    =>$ 81 =>       -   $ 8     ,  5   381 =>  ,,7 5 8  8 ,   ,  8    =>$   -5 8   - ;   -   5 8 ,   5 6@ E =>F   -   -   $        - 5   ,  81 6@ E =>F ;8 C"!$ , +9*D     J  ,   8$         1   7$      5 6 5- ?    ,,      5 ,      K 8 $  C!%$ 6  &$ , !'(D 4     E   7    F 0    81 6 5- ?    ? , $ 81 =>  5   Æ 8 -  8  -   $ H -   5    3       5    - G          -     E F  -    $ 81 =>           =>  81 < 4  

   $ , 5     8   7  

  E  ,  5 F  8         ,,7      -       -   -  ,   - =>  5  -  - $ , 5    7  -5 

  3    7    ,7 5$ -  4$  ,5   -  , -   3  - ,     ,    ,       ? 1  $ 8   ,      ,  -      ,,7   -   8    ?  7 5$ 8  8    ,           8 8 - 5   ,  6 5- ?    E6@F 0  ,       = .>   ?   5 ,,7 5$        -  5 , -   7    ,  ,

 5    3$ = .>     8     7  6@ J  K = .>            -   7    , 8 ,, = .>           -   ,      7       -  -     , $ 8      -  -    ,   ,       ?    -   7$  8  H  , $  8 ,  ,,7     ?    7,    8   ,      H      &9"

  ,,      &*$ 8    8 ,, $ 8 8    = .>  > E=>>F$   &&   &+$ 8     - 8  ,,  ,    &"$ 8 8    =>> ,   8    E 7 F /8 $    &! 8    -    ,        &9$     7 ,   &'$ 8  8      &(

5 5 :  

")

  4     L 7 V8    -   %   L         L   8 3 L    >   ,  -   -  -   5  E#    F   E#    F$ , 5  ,     -   $  $     $ 8 8 C , - D      E, -F  

$   5 5      E  7 FVE  8 F  3     8 

   4     7 81     -  -  

¾

1  5 50 7 >     /8 $ 8     E  &"F   $  -        $  8 8  5 7,   - $    &+*  &!# 0    ;    8 $ 8    8  H  E F  E; * F  3$ 8     ,     ?    E  F  - E F 3 ,  -  5 

   

%





%

   





*

! 5      

!

  7   -  ,  ?  $ 8 - 

   



%



%

 

   





 ;



$

L 

E  $F  E F

E&&"F

$     5 ,     -      , L %  - L % 



%

   

%





  

$







L $ 

E&&"F     &'+;'    

   

%



%



   



 

 *



   

%



%



   





$

L  E&&!F

8 E  $F  E F      -  $  ,   E&&!F  5    5  ,  -   4 ,       , E F  E  F    &"  &! 8 7,  85  ,  5       - $  8 8   -  4     ?     7  8 7         :     E&&#F

  3     5      -  ,  5  7 $ 8 8     ,  !         ,    ,       /        ! $   ,  7 /  /     ,,G  C!#$  ##+D  8      -  8 , $   =>>$ ,   ,,   8 :      8 7      

           ,     7  /8  C**D   -  ,  8 8      

55    % 3  ! 

)

  =>> ,,    -   , >  >            

   *

> E F L



8  L E F  * L * E F    E&&&F 3    >          -   , 8 8 ?   -             , L #    - L #     ,     -     8         ?  > E F L %   J5,, K 



E F        , L #  - L #

    ,  -     -       ?  E&&!F  E   F  ,,7      -  $   7 /81  ,,7   E  F  -  5 E  F L E   F M E   $ F$ 8 E   $ F  E, -F    ?> E   FE   $ F L > E   F L 

; -   7 $    5  E -    L E F  * L * E F    E&&&FF    =  ?> E F  >  -  5 

?> E F L

  

%





%



 

   



 *





    ?    /8 ,  -  5 



%

 



%

   



 

 *





$

8 E  $F  E, -F

L 

  5 , -    , , L %  - - L %$   ?     -5  -      =>>  ?  E ,  8 E&&!FF$ 



%

 



%

   



 

 *



   

%



%



   





$

L  E&"#F

8 E  $F  E, -F /     , L   - L -  E&&!F  8 , ,$ -$ ,$ -$ $   7  -  ,$    $   $ , ,$  - - 

 4$  /8   ,  E   F    - 5, 5 ?   5 8  E  F     -  E   F  Æ 5   E  F 0  8   ,$ -$ ,$ -$ $       - -    $         E&"#F   $ 8 - 5, 5 ?    -   8 3  , L , L  L   - L - L  L     - &+#   :      &+$    E  F $  -  $

.

! 5      

!

 ?    ,,7   E F$        ,  -   G    &!  &9+     =>>  /8 $   5   -   ,  1    ,     ,    5 ,  3        J,?  K ,          8   -  ,     ,   5  7,        ?  7 5    8  5   E&"#F ,,7 5 E  &!*  &9#FG   -       #$   C9&D$   ,       ?     7 5$  = . >  ,,  5  7   5, 5   -  0   -   7 E&##F  5$ 8 7,   =>>       -  3 7  8    7,     

 ! 3    ,   8    5      ?  ,  =  5  /8 , /8 8    5,  -  E  #&+       F   &!#$ 8 5   -     7  =>> E C9&D        = .>  ,,   -  ,F$    &!*   -      7  =>>

 5 +,6,    ?  E&"#F$       ,,7         $  8         - ,$ -$ ,$  - 3   5 , , 3 7    8   7  =>> E  $ =>> 8 8     ?  7 5F   5, 5   -   ,             ,  - 3  ,$ 8 "    -$  E  F L E"F  E    F L E"F E&!#F   E, F L E"F E-  F L E"F E F L E"F  E   F L E"F E&!*F  E F L E" F  E    F L E" F 3  ,,7   -   E E&&&FF  -  5  8 3 8 -   -  4   C9&$ > 8 5, 5   5,1  5     -  ,,     5 ,$ 8     ?   7 5$     %  (  #$   ,  $  -  5         % %            * %    %   

!

  $



M   ( 

E&!9F

5+5 71    & % 9 +

  $  

&'+;'8            ,

E&!9F,

-     

:&;          ,  3 &!*$ 8  8 5      7 ($ %  (  ( $     E + F  E  F$    E $F  E, -F    % )E $F L  M (E + F

5)5   

+

 8   E&!+F   ?  $  -  % )E  $ $F L (E + F % EE F  E; * F$F

 E&!+F$ 8  

      ; $

3  8 

  % )E  $ $F  (  



 ;





 $

 M E" F

      % )     -    C9"$ 9&D   =>>  7       ,   =>> -   5   -$ 8 -       7     8    ,5  :  ,     &+#$   -   5       8 8   ?   0   E  $F  E F$ 8     ,   8 E&&!F   

 





$

L  M



  

8       5  ?    E  $F  E F  8  

  -  ,   &  C   D$  8    ,,7   



E $F L &   M &  E  F

E&9#F

# E C9"$ , +%!$ ,  #DF  8 ,,7  E  $F ,5 5  E5   - & L $   L  L %F$  $     - 4   , *  -1  &+#$   ?      - E $F L E  F 05      ,      ,    8 8    , ,,7    5 ,$ 8   

L  E F %  E   F

 L  E  F %  E  F

  -   Q5 ,          ,   8 < 4  - 4  $ 8 

L  E   F

 L  E  F

+

! 5      

!

* E C9"$ , +%'$ ,  &DF     ?    -  $  & L C     -   &   L E F    ,   8  

 

M M$



L   













D

E&9*F

      7  =>>         6@ & E C9"$ , +%($ ,  +DF  8   & L C   D$ &   - $  8 E $F L &  E  F 8    7       3  5         E&9*F  7,    



+  8      -     ,    ; $ 8  ,     1      ?  E&&!F  

%

%

 



; 

 ;



 

%

%

 





$

L 



  -   ,,     8   -     8   -   J  8 5K  7 ,$  8 8   ,   -  1 -  $ 8    8 ,,7      -  , $ ;    5  - - E  &'F       -  $ 8    ; L %    ,     -    8     ,     -$ 8  5 ,    -    ?  5    ,,7     -   -      -   -  -    -  -        - 5  E F  $ 8           ,    1  5$      -   8   EJ 5KF    5 "  ,  8    E&"#F ,,7 5 5      71 ,$ 8 ,  :6)  /6)   ,   5 E        :  F   5  E,F ,  G   &99

-  

 ,,5  = .>    A75    - =>>$ $      - 8      5     , 8 5   $  5 , -  ,      ,     , -$  ,5   7  3  ,   8    ,    -     8          :   ; $ =>>      8   ,      -    3  5     8 8   5   -  ,     ,  7  M : $       ,   ,, 

5)5   

+

- ,/    , ,  -  ,   5  - A   ?  8      -  ,  $  8 8    $ 8  A   -   7    -    , -    =>>$       8 ,,   7  8      5     -  -   3      $  8    7  $  77 

%

%

 88



%   %



 77 

%

%



 88

     -    -  -   7$ 7,      - 1      4 3       8  ,1 ,7  ,

- 0   7       $ 3            :   E  &+&   , +F$ 8  5        E  F L E F /8 8 7,  A75  E, -F  E&"#F 5   E, -F L E F  E, -F L E  F E&9&F 8      ,   E&"#F  , E  F   $     5,  -     -  3 &!* E   ?     7 5F

 ,  E, -F L E  F  E, -F L E F

E&9+F

    ,   E&"#F 5      ,   , E F  E  F 3$ 8    J,  K    ,   - ,  E  F  5      ,  E F E   &'  C9&$ 9'DF

-

0    + %,              -  ,  =>> 8 = .>  #   -   7$   - 8  J K   -  1 L E   F * 3   - 8 = .>   =>>   1  ?      7 5$   - 5, 5  5  , -    -   7  $   ,       G   5 H        , =>>    >$ 8 = . >     -  ,  3  - ?    ,   3   H        =>>$ 5   $    8 E F , $ 8 = .>        ,   = .>      ?  7 5$        E&9*F 8  L  C9"D 3 --   =>>  5 ,  8 J   K $   $  E F$ 8

+"

! 5      

!

 L  

7 7 ,      5   -   -   

 E Æ F  %  Æ  #      = .>  $ =>>    , - 4  

 E5  F H        =>>     5   -      7    $  = .>      -   7     M        &'  +#%$ 8 ,    7,  5

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

05 , -   ?   E  F   , $ 8   $ % E  $F L  %    % &  E  F %  % L  % E  F %  $  % % ' E  $F  E, -F

5)5   

+

/   8    %  L $ % E  F L %$    E  F 3    ?  -  ?      ?  E&"#F$     ?       ?5 ¾ ; $  ?      5 8  E&9!F  E&"#F    7 5$  8 8    ,,7 5  ,  $ 8 8  * L   E, -F L *E F$   7  E&9!F      E&9"F

-- &        7  3  ?   =>>   ,    

    = . >  E$  7 ,$ C9'DF           ,  31  &!* ,,   8   ,   &     ,   - 8  -  E-  - F  E  F$  8       E2  2 F  E, -F  % &)E2  2 F L E-  - F

/   8 ,  ,    8  $   $  $ E2  2 F L &  E-  - F &  E  F  5  ,  5 ,  - 8   ,

%

% -



&



 % %



 



L

%

 ,

% -



&

- -







3$ 8   (

E2  2 F L ) &  % %



 ,

%



% -

& 

 % %



 ,

%

% -



* + &  E-  - F

,  , - E2  2 F  -  5  8 -  , E#F , E  F L &  E %F  E     F L &  E% F E*F , E-  - F L &  E-  - F E&F , E  F 



   

   

 

 



L



   





E+F , E2  2 F L E-  - F E  F  E     F

,       , E#F   ,    *  *  7  , E&F     ,  5             ,    ?  

++

-.

! 5      

!

   

      &+#$        =>>  5   Æ 8

 -     -     7 3   , -$       -     ,      -    -   7 0   5 ,,  $ -$  ,   ,, $     -     8  8 8   ,

-  , + 8   -5     $  8  5 -      =>> 8      :  E  F  $      &+&$   - 8 4$    ,     -$      ?     5$ ,5 8    ,  G   &'   8 5              7,   ;    5   -    -    , E-$        FG =>> E8     :  F         , ,,   ?    $  8         -    8   ,   &  $  $   %   %



%

L 

 

%



E&99F



8  5   &   ,     -   7

-8

+,6, (   

   ,7  7$       ,    8 8 ,    , 5   -   ,

   ,, $   ,7 $     





6EF EF 6EF 6E F L EF 6EF   L EF   L E F

3  L  ,    L   8 $  8    5    VEF    VEF VEF$ 8       -      ,$ 8        -   8   &!

- 9

   

        ,       , 8      E-$ :6)  /6)F      ?  $       =>>   E F        ,  -   ,$  * M *  71  ,  $    8 8     8             G  -    5  

5.5 3   % 

+)

 0 "   -   ; 7,      3< 0   7  / 8   3 8 -  ,   ,    - $      -  5    E - F  -     5.5 )        *  &'+;'8    E&"#F          9=+*  &'+;'

  1

E F  L 7 V8  * $       * EF V* $     L 7      L 8   *   . /   2    *

 L 

:&; > 



%



% 8 G  )  - $     5 5   E    F L )E   F$  L  V  L    L  $   L )  81 8 ,,5  Q5 ,      E C!#$ , *!+DF ) 



)L

7

  L  











% V   L  ) % V  ) )  L    V % V %







%  

 %

  7 8                 ,      ,     ?  E&"#F$ 8                   , E,$ -$ $  $ ,$  -F       V15     8 5   ,,7       ?    5 E  $ F L )E   $ F 05   8  ,     L 7     L 8   $   ,             L  V L   L 9   ,  $  ,,7      -   9    $   ,,7   E   F  E   F  -          E    F L )E   F   L ) $    L   ¾     $ 8  5  ,    L  -E#  #%%F   L  -E#  #%%%F ?%  5.5  - &#E F$        -  5  E

      - &+# F =>>   ,     -  -1   ,   L  -E#  #%%F 3   -     4  L  M % #$ 8    8    $            $   L      3  ,      ,,7        -$ 4          ,, -        ?  5 *%% ,  E ,  F :6) 0   E - F      ?  E, '  - &+#F 

+.

! 5      

!

5

10

residual norm error in approximation

2 5 VAR

0

0

10 residual norm

10

−5

10

−5

10

−10

10

−10

10 −15

10

1

2

3 4 5 number of iterations

E F

6

7

200

400 600 number of MVs

800

1000

EF

   ? @ E         455     ?* A *::@     '%(%*A     ?  @        ? @% E /            % ?@      ?* A *:::@ $     $ ,$ &$       !"         %  4 *%%  *%%$    E 5F 7 5$   -  3 &!* 8 7,   -   - &#E F 8 $    $       ,,7      "     #%   #%   - &#EF$ 8    L  -E#  #%%%F$        E    F 8     7,  8    :6) ,     $ 8     ?  ,,7 5 5  ,  :6)$ 8 8   5 :6) $       5 :6) $       5    ?    7* E& - ' M #F %       71  , EF$      $ 8 :6)  :6)  ,  

7,       8     ,,7     - E     F$       5        ?    -

 -  8    - -$   5           5  -    -    C9'D  ?%  5.5  - &*E F 8 , $   L  -E#  #%%%F$     =>>      -  -  , EF$ 8 = .>    -   7   ,      - - ,  E F$   8 :6)   =>>$ 8       $#   L       = .>  8    J K   -  E   F *     =>>       ,G       8   8 - ,,7  $         - &*EF$ 8    $  8  - :6)     8 ,$ =>>  8     = .>  $    =>>       EF -     -  -   ((9 ; 7,   --   =>>  -  5 E8 F    = .>    -   7   8 -  , 8 E,  5F ,  =>>  =>  ,     -   3 =>>      - 

5.5 3   % 

+0

4

4

10

10 JDSVD JD

2

10

0

0

10 residual norm

residual norm

10

−2

10

−4

10

−6

−2

10

−4

10

−6

10

10

−8

−8

10

10

−10

10

JDSVD JD

2

10

0

−10

50

100 number of iterations

150

200

10

0

50

100

E F

150 200 250 number of iterations

300

350

EF

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







?%  5.5 /7$ 8 ,  =>> 8 < 4  - 4    ,     3    H   < 4  - 4 1

   8    ,8 $ 8 =>>        7  6@

  -  =>>    8  5  ,      ?   3$ 8 7,    8      , 1  $   ,   -    5  ,  ,   ,  5    $  =>>    ,  < 4  - 4   ;    $

)*

! 5       2

10

!

6

0

10

5

−2

approximations

residual norm

10

−4

10

−6

10

−8

10

Standard (3.7.4) (3.7.5)

3

2

1

−10

10

−12

10

4

10

20 30 number of iterations

E F

40

50

0 0

10

20 30 number of iterations

40

50

EF

   ? @ E  F   455          5&&,A  /  $ ?'%(%,@ D ?'%,%*@ D ?'%)%'@$  ?'%(%,@ D ?'%,%*@ D ?'%)%(@% ?@ ?

@              %   ( $      -   , ,    $  8 7,   < 4  - 4  8   3  &# 8     =>>$ 8    - ;   $   ,   ;        , $ ,   -  $   -            8 <     < 4  - 4  8 8        -8  ,    < 4  - 4  8 5 E,  F - 4  G   ,  ,   $ -$ C"*D    8 7 ,$   - ;    5      -  -   E  % !!  ;6#&#$   # " #%  ;6)&F     < 4  - 4    ,  =>> 8 8    ,   -       )6 /#$   -     ,,7     " %"  8    ,   -    $  - 4    8   ,  =>> 3   8      7 , 8 ,   -    5  , 3        8 8     -   $     $   -   7    E&##F     >   ,  

5.5 3   % 

)

       # 455   $   ;H/            % E    !$       #        , % E   ?  @  ?- @        =     % E          ;H/   A      3;H$             % I   455B    # !  ;          ?( @% !   ?@   455    ?@ ? @ 1"*'* ('( ('( (*+& ': ?':$ +(@ :8: *  & *)8& *)8& 1"' ,'& ,'& '()( +: ?)&$ &*:@ &, *  * *':* *':: ?*+$ (+@ , *  & (+:, (+:' "! * *::: *::: '),: ):  *:: *:: *:::: )( ?(:$ **(@ *:- *  & &88 &88  8 < 4  - 4  ,,       :   E&+"F

 =>> /    ,  8  - 4     5    -   8 8 =>> ,   , $   - E, F $         7,    8 8         =>>$ 8      - ; L #% $ ,   #% $  8  8 H     ,   3  5, E 8  3  &*F$ ,   , >$    = .>  5, 7,  1

? 0 8 ,  7,  ,$  8     7   ?    --    , 8 54 $      7            -  -   5  E#    F   E#    F$ , 5    $ 8        -    -           

  $    %$

E+##F

 EF L  E F

8    ,    E   -     -   C!#DG           7 4  ,  5          3           F 05   8    ) $ 8 EF         ,  $  %    -  ,   G    J    K 8            8 ) EF   ,   $             ,     7 $  1

 ,    5 E  F L   

      8 E  F L %      3  ,    - 4  8  +*       1 ,  7      ,,   , &$  ,     B   6 5-.64 ,,7  $   -   -    -  8        7    +& 7,        7  $      :            7  1  ++$ 8 ,,   7    +"   6 5- ?     -   ,    ,     -     +!$     ?    -      +9 

"5 5  % 

)

 +'$ 8 5  7     ,      < 4 1 - 4  $  8    7        -  ,    5 ?   3 ,,         ?  ,      >      +( /  7,   ,    +#%$          +##

    -    ,  ,     -   , & :     ,   -   ,   $ 8 8     ,,7    -      ,,7  -  -      3-   ,$ 8              E 5  $    ,        -   ,  -    -   %F :  E,5 H F ,,7     *      -  $  ,,7    -  -     $          L

 



L



 

  *

3 ,,7        5        8   L   L  !$ 8        ! L % 3      ,  8        8 8 - ?      EF





 !      * !  

L  L *!

$ EF   -       :        -   ,G  8 J  K A      8    ,  E  -1    EFF ?      ,   -    -  L ! L #$ 8   EF     !    -  -    EF

   !    

9 L  

8  -    L * G   H 5  L   L  !    -  -     8  -    L * 8 ,   ,     /     7  , 8    L * $       +&  ++  8      6    , &    9  ,          4      

= E F L    = E /

   ¾  ¾  /

   >   >     

  1   ,, F    ; $ 8      6 5- ?      7  ,  ,7  $ 8        8 5    6 5- ?      

-  

 ! $    3 7  ,     +&  ++        E $ 8 7,   1   ,, $      -F  1 -  , /8 8 5    8 8        -   E  ,  - F    - ;  %  ,  8        -  4     1   ,,  E +&*F     ,,  E ++F  8     ; L %$            +&  ++    7    ,  ! $   8  8          6 -.64$    5  7,      64 ,,  E$ -$ C'*$ , *(*DF /  E ; F /  L E ; F/  E ; F/ 

8 8          E F  - ;   8    -   7 E&##F   $  J, ,K !     - ,    R  % $ 8   / L %  R 8 -         ;  %    -   ,   - , EF   -  4 5 -  ,     M ;   *;9    *;9    M ;  



  !



L E ; F

; 9

9 ;



    !

 8     ;     7   1    ,    6 $  ,       - ,       ;9   ;9  



  !



L  9; 9;



  

!

;   5     ;   8 -     :  ,,    +*$ 8 ; L % -   1   ,,    +&*

..

! "5 ?% 

! & !    

!    ,,7      -  ,    4     !      L ! L #   ;   ;

     ;    L   !   ; !

8     >    

5 E M F  *  7  ; L %$ 8 -      ,,    ++      ,,   5    , ,,7        -  -  $      -      ,  ! $  ! 

 4 ,,$  7 ,$    L %  ! L % 3 ,5       9   L ! E     1   F   7      

 ?    -  9 

 # "*         4     7  , -         1  $   1   1   ,, $ 8      5 8 9  9    8 8    Æ    ?    -  $    1 -  9    8     ?    -   -   ,   1   ,, $  -   4   E F  E F   +&* 

8   7    3       -   8       - L



 

 E -F 

E+(#F

    5   5     < 4  - 4    7 ,$  5     A       8 8          ?  ,$ ,          8   7       ,       E F$  8  -  ,      EA  F   $ 8        - L    3$ 8   8  ,    E 5F #    $ - 8    8    ,  E8  J K  $ ,    7  F   8 -   ,   $ 8    ,    # -    $ - 8  E F  $    

     -     8     ,,7         ?  ,   8   ,   $ 8 -     -      ?   $   $ -     -   

3     8 8 7,     ,   $  5   -   8 5$        /8   A   ,, 8     -  , E   F$ 8  L % 05 ,  L E  FE   F M    - L E  F- M E F-

8 -  -   L  E  FE- E   F F M  -   



"505   

0

 8  5      E   F    ,      -       3  5     E+(#F   L E   F $ 8   8         E  FE-  F

   $  ,     $ 8   8   #     E  F-   8  E   $ J K         7  -  ,F   8  $ 8     # -    $ - 8 E   F $ 8$  $ L  E F       ,,7      ?  , ; $  ,   ,  8   -  ,      +#%    7, 

8     6,   5        1     -  ,,7       +;'   3           -  5 L  L 



     

E ?    ,F

-5$  

       



 -  5 L  L      $ 8       4  -     E ?    ,F  8    7  ,$ 8 7,   8       ,     - ,$ % % L     L  9  



 5     ,,7     ,   8 C9#D$ 8     < 4  - 4   ,,7   5     -  < 4 ,    , ,   $ EF - 4     ,,     5 C9#D /8              ,      , 3  E+&#F$ 8  8   9 L @" 9  @   8  , ,1 ,7   $ 8 ,  ,,7     ,    -  , 8  $     ,,7    $ 8  5      L  @" 9@ 

 9

  +#%    7, 

0"

! "5 ?% 

! & !    

 2 "   -   3 8 - 7,  8         7,  8    -    $ 8  ,  JK  %       , E  #+&F ?%  "5 *5 ,    - $      -  5     -    E *:    &+  * &)  * &'  & ((  & (+  &

> *: $  ?   @ ?  @ (:  ' **  & ',  ' *:  & ((  ' ''  ' ',  ' ''  ' ',  ' ''  '

> *:    &,  , &-  , -+  , &'  ) +*  )

     8            ,,   $  8 ,,    ,     $ 5 8 8     7   /     ,  $ -     ,   8     # M #Æ  # +    1   1   ,,  E / 3 +&*F$  # M * #Æ  ##       E 3 +**F$ 8  5  ,       ,,  8  ,         1   $  ,,7     L 9  !         E >$  = .>  5,     -   ,     , &      8$ 8   8 - ,    =>>        ,     *%$  8 8   8   #%  E      -  J K ,    7  F    =>>  ?      

 





 

  

 





 





 

 





@

    





       ,,7  $        E,    7  G  7 ,$    1   ,,  8    L  $  L F$  8    -  ,     $   ;  -1      ?  $ 8    6 5- ?  E F  ,,7   -     -

 -$   '   1      ?         - ;  3         6 5- ?     5         -    5$       7      8  - ;   8     - $         % %#$ 8     ' ?    6 5- ?   3   8   7  6 5- ?          ?  E 1  J

   KF ,,7 5$ 5 #% ,  :6)$ ,   5  ,  5 E  , &G  , $        ,     ,        F     8       # !     #'"%  9#*  7

    7   C"&D$ 8   # ! #%  , 9% ,  =>> 8 1   7    - ; L %       -  , 3   -              E*%1  F   ,   9% ,   $  ,,    E  F L + ( #%  E   F L & ' #%

    , $ 8   H  7  ,$        3  ++

  E , F                 %  &  (          &:/            ):    455% E                          $ # *:$ &:$  ':    !"       $     %      /

 /

  /

  > 8  ,  7          -  ,   "$ 8  #% ,  :6)$   ! 8 , *% ,$       &% ,      ?    ,,        8     ?  E8 $  $  ,F$     -  8 7   $ , 5  1      ,,   ?%  "5 *5 /7$   L  -E#  #%%F$ 8 , #%% EF ,  =>> 8     7  ,$    8  5  -  , 8

  3  +"        8    - ; L % E$ 8       -  ,F$       ; L "% # E  ,   "%#F$      8   ; L #%"  ; L  E - ,F

  E         #  *::       , F            >  ?* A *::@%  &  '    > : ?     @$      #  ,:* ?     @$ # *:  &:    !"$     $ #     #   > *:,   >  ?      @%  >:  > ,:*     &: &: &: 6 &*

3 J  7K          8     '   1      ?  ?    6 5- ?    -

 -      & - ! 8 7   -   1      ?      % %#            $   1  5    --  )7,  +#%*$ J 7K -     J  7K )7,   "$   ?      5 #% ,   ,   :6)           ,  1   1  $  , 5  1        , ,  8     ,1 ,     - ,    $ 8  7,    1      - ;    ?%  "5 *5"  - +# 8 ,   ? 5  7      

E F  1   EF   -         -  ,  )7,  +#%&  , E   F EF$ E F E F$ E   F EF$  E   F E 1F

"5 *5 3   % 

0)

0

∠(U, x) ∠(u, x) ∠(V, y) ∠(v, y)

0

10

10

−2 −2

10 angle

angle

10

−4

10

−4

10 −6

10

∠(U, x) ∠(u, x) ∠(V, y) ∠(v, y)

−6

10

−8

10

10

20

30 40 number of iterations

E F

50

60

5

10

15 20 25 number of iterations

30

35

40

EF

   E            ? @   /

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

0.

! "5 ?% 

! & !    

2

2

10

10

JDSVD JD

JDSVD JD 0

0

10 residual norm

residual norm

10

−2

10

−4

10

−2

10

−4

10

−6

−6

10

10 20

40

60

80 100 120 140 number of iterations

160

180

200

20

E F

40

60

80 100 120 140 number of iterations

160

180

200

EF

   455 #  /

    45 #

 "   

? @$  455 #  ,      -       -  3    4   7 E7,   #F           ,$  -  ,            ,5   -

 -G 8    -   8          $  ,   +(#  ,  $                    ?%  "5 *5)  5$ 8       7     ,,7      >   =>>  ,    - E F$ , 5   EF  -  ,   L  -E#  #%%F  E F 8      7  $  EF  1   7   3   -           $   - ;  %  E F    EF 2

10 truncated projected

2

10

truncated projected 0

10 0

10

−2

10 10

error

error

−2 −4

10

−4

10

−6

10 −6

10

−8

10 −8

10

3

17 iterations

E F

22

27

3

23

47

67

iterations

EF

   455 #    ? @   /

 ?@     5  ? @   ?@   >  ?* A *::@%   - ++E F$ 8 ,        > % %  $ E   L    ,    1   ,      $    5 ,    F$      J,K    >     -E('  #%%F  - ++EF$ 8 -         > %  %    E    -E#  &F  L     F      J,K    > 9 EF$ 8 E E+&#FF 9 L @" 9 @ $ 8 9 L    $ 8    ,    1   ,      3  E7,   &F   4   7  - ++        -  ,   J,K    > E F$   -  , $  , -5$ 8      -  ,  

 3     ,,7        -  ,$ 8  5  8 ,   ,   ,       $  = .>  > E 7 

**

! "5 ?% 

! & !    

  6@F  ,  < 4  - 4  8 E-F ,      E  ,   ,F  ,      $     ,,  E  9 L    F     -  -  ,$ 8       ,$        ,,       7       -  ,  < 4  - 4  8         $       ,,     5 ?   0    5  ,, 5   7, $ 8    8         -  -  ,$ 8   5 7  $ 7, 

1   E -    5  , 8  8    - ;  FG     7   ,        ,G

     -  , 8 ,   1      ,, G       -  , 8 -- 5  7,    G 

1      ,,       , -

3  1    1         -  ,,7      ?  ,G      1     ,,7      >

 (      %   #        

  

   

0     / '    ! ' / ' !    2     /  * 6      3    * 

3 ! 3  

'8    *    

6      

  ,' *

$    !    /  * + '   2  ' / :<   !    A'   2     /  *    3    ' ' /  3  /  ;/  0   

!    '

' 

  !   '

'  ;/   /' 

'  ' ;/   8   * 

' /    

   

    / ' /

  

  2     /  * /*'  

,' *$   '

'  ;/  :<   ''  3'  

     .5  .4 .5

 $       , -     - ,   -   81,   -  ,   L   L

  M .    M . 

E"##F

8        -    5        L # *   .   $     $      ,  E  .F    -       E"##F   4 .    0 #= # .   0 =$     *%,%

*

!5 5  & !  ! $        

    3   ,     ,  - -  3     !       0 0 0 0

0

      00         0

E"#*F

 5 ,     4      $      6-     55           ,5    7     5  ,   -    , E"##F C+D

      ##$ ,   -  ,       5  ,,   C&D$ ,  5      ,5 8    ,             5  , C#%%D 3    ,    81,   5   5 H   ?   381,   ,   7,  8 , -  4 -  ,  8 ;    , ,  B L         C L   8      W L      W L      W L    

E"#&F

E       ,       ,   -  ,$ $  7 ,$ C+DF      ,  5    51 $ W  5   L % # * 05  -   E  F W

0 0 0  E  F L 0

             

0 0 0 0

      -     E"##F  ?         W   ,   $  C+$ 3 9'*D    8  C+D   W  W  W W      , E"##F  ?       , W 2 L W 2 W 2 L .W 2

E"#+F

 ,    2  B $ 2 L    3 -   E"##F  W 1- $         -   E"##F ,  -  H  - $  0  0 0       0  0 E  F W E  F L 0        00 L %

E"#"F 

 



 

>,        L #  C  ,    B  3 7     -   81,   -  ,   $    , E"#+F       8 5        5        - 4      5   C9($ +*$ #+D 3   5    ,  8     4         ,  C  C   -  $ 8

5 5 

!  / 2  

*

      /8 B  C##D$  -    C($ #%$ #&D$        ?    C'D   5       5 ?    ,,7     -         -  3      C9%$ !+D   , 8    ,,7   $     -   -     5 ,       ,$ 8    ,  -     8     5    ,     ,$ 8   8    8      = . >      1,   -  , C9"D 3      ,  - ,      -    ,,7   ;  ,  7 -  E  .F  E"##F 8     7     M .    -     ,     ,    - ,    -  ,  E   . F$ $    8   E  F M E. . F  3      ,   8  -  4  6 5-.64 ,,   -   81,   -  ,   "*   "& 8 ,  = .>  5,   -   81,   -  ,    8       ?     8       7    -    "+   ""$ 8 ,    ?   8   ,     - ,  3  ,75  -    "!     7     8 ,     "9    7 ,  ,    "'      4   "(

      (8   3 = .>   C9"D      ,      5          1,   -  ,  8 ,,5 = . >  5,   E"##F 6    #&   7   7,   8     ,      8   7  $   7   -   7,        -  ,$  6 5-.64 ,,    ,,7 1     - ,      7    -  ,  E     C!#DF  -  4  6 5-.64 ,,    81,   -  ,1   8 ,,    1     ,            ,  5              8     $ , 5 3           L E   ; F   E"*#F  L E   ; F    8    %    %$       , -   81 ,   ,     L     M ;    E"**F    ! L    ! M ;   !

*"

!5 5  & !  ! $        

8  L   L %$ L  ! L %$  !    $   ;      5   -  E ; F  E"**F       81,   -  , E"##F  ,       E ; F  -   E"**F   !   ,  - - $     $ 8  L    L  ! -$ 8         ,,7     - ,   E"##F    5    $    64  ,  -   64  E ; F$    ;  ?          C!+D E F W E F E  FE   F E  FE   F L   L E F W E F E  FE   F E  FE   F E"*&F E F W E F E  FE   F E  FE   F ; L L

E F W E F E  FE   F E  FE   F      64 $ 8        -   81,   -  ,   ,,$            ,  - ,     -   81,   -  ,       $    , E"#+F      -      - 4   8    5   C9($ +*$ #+D

   %&' )   3 = .>   C9"D  ,   8 ,,7        ?      7,     ,  = .>  5,       8    ,     -   ?      64     ,$ 8 8   = .>  5,    ,,   -   81,   ,  8       ,   - "&#  , +$ 8     8 64 ,     -      ,   "+ 8 8  8    8 7    -   , '$ 8     8      7,     ,   8  8 ,  ?    , '       3 ,,5  - 8   ,5   "$  7   ,

$  7       ,  $        ,         ,    

 -   ,      - , , E"**F 3 7 - 1        5 81   81,   ,      3$ 8 7,     ,  ,   ,         -   $ 8     , -  -  ,,71              ,  ,,   8   , 8    $     ,     $ , 5  7,     ,  ,5 5  - 8                Æ 5   5 8 8      $ $ $ 8   4 -     $ -    5      : .   4  

55     

!

*

       #      

       ?  D   @  

> $ >  $  > 7 9$  > 7 9   > *            %

> ! ?   @$  > ! ?   @  0       !  D   " $      >   !   D   "  %      "   ?  @    "     $ #  > $  >  %      > ?  !  " @ $  > ?  !  " @ %     > ?  D   @  

"   % 3        #     $  #  #          #%   #       %

 

*% &% '% (% ,% -% )% +%

  

  

4 65        ,?,@*         E  .F    ! $%    >,@,@    !

    W  E   M   F . ;   W  E    M    F

:&; 3 ,   $ 8      , E"#+F $ 8

    8    E"*#F         ,    3 L W E F  W E F 3 L W E F ; W E F

E"&#F

8     4 64   , +  E"#&F  E"*#F$  8   3 L    M    3 L     

*+

!5 5  & !  ! $        

 8      3      M    3       M    

E"&*F

/8 8      E"&#F  W  5 ,     7$ 8    E"&#F    W 3 L @ 1 1   W 3 L @ 1 ;1 

E"&&F

  8 1 L W E F  @ L W W W   L # * 3   @  @    5  ,,   0 .    ?   E"&&F -          W 3 1  W  3  L W    3 

%  &

 5$ 8 -  '  & . ;   W  3   8   E"&*F    8  ? $ 8   ,    ¾   7 $ 8 8  $   64      -     , E"##F$         E"*#F    E F  E  F$ , 5 3 8      , ! 8      64   ,,7  -   E"##F 8  - ! 55 0 E ; F      >,@,@ $       * $      , ) E M F E M $F      >,@,@ $       E  .F*  $        E ; F

E  F M E. ; F L E  M $ F

E"&+F

            >,?,@

     .   M E  M $ F      . $ M E  M $ F

E"&"F

:&;  8    E"*#F 

 L E  . F M E  F   M E. ; F   L E  . F$ M E  F  M E. ; F

E"&!F

 8 ,5 ?   E"&!F 5    $ , 5$            L   L %$  8            



 . ;



L

 E   E



 . F

  . F$

E"&9F

55     

!

*)

3 5 E"&9F    -     -     E"&9F$  8    . ;

           L    

 E  $ E

 . F   . F$

 L E  M $ F

 8 - E"&+F 3   E"&"F  8   E"&!F  E"&+F

¾

  8 - 8  $  7,    = .>      ,  8       ?     -   81,   -  , ,A,@B* $    $  *      #$8   >,A,?C, -   *  E  $F     >,A,@B*        .    E  $  . ; F     >,A,?C*  *  E  $  . ; F     >,A,?C*  E  $F     >,A,@B,

*

!5 5  & !  ! $        

:&;   8  ?  E"&*%F 

?



$

 L  M E  F 



 M E. ; F  



  $ $  $ 8  7 5  ?  E"&#"F   ,,        = .>   ?  E"&#'F 3 , 8 8      E"&#!F  E"&#9F$       E% F L , E F ¾ 3 8    = .>  5,  8   ?  E"&#'F  /8 $   5  ,  E"##F    ,    ,  ,,7   3$ 8 7,  5    ?    -    = .>   8   ?      7 5

    (8     8 ,  H  ,      64   , + 

- "&#

 5     $ 8  8     -  E  .F  E"##F 8   7        -  5 E  .F  8  $  8   64  E ; F 8   7       , +  - "&#$   64 ,  8  -    5  - ,   E"##F 1  5"5 0 E ; F        >,@,@            , -

L

 7

    

E F W E F

E F W E F

  $

E"+#F

:&;  )   L ) @ )   L ) 9 )  8 > $ @ $  9   -     )    -   7   L # *    -       >  >  @   9   5 1          E% #F   -     @  9   5          E# *F 3   E"#*F   5 5 ,    4   $      81,   ,  -              > L  -E+   + F$ @ L  -ED   D F$  9 L  -E5   5 F    5     -    81,   , E"##F        5 + L + L

D M .5  D M .5

   L #   3     ,   -     -     >  @  9$   L # *      81,   ,      ,  E% %F        7     - $ 8     , E   .  F L E  F   M E. . F  E   .  F L E  F   M E. . F  8   E   . F        -  - "# 8    -       L #%%   8 -   7 ,$ 8  :6)     /6)   1  ?  8 -  ,    /6)     5 1     "& ?%  5.5    7 , 8   = .>  5,    7 -  ; -    ,  -  E  .F 8   71

                  = .>     Æ 5   ,,7       ,  -    -    -  E  .F     *"% H               ?    -    :1 6) , )            *"%      

.

!5 5  & !  ! $         1.5 1 0.5 µ

0

−0.5 −1 −1.5 −2

−1.5

−1

−0.5

λ

0

0.5

1

1.5

   5           *::% 3 -      5 #%    8    -  ,,71   $   L #%   L # 3  " L #%        - $  A,             ,75

      4 65         ?% &@  F            !"      *::  $ > &::A          $          ?%  &@$

      J   &,:   # F         %     A 1 ?@       0        !"$ 1?@      0 /       !"%  

  1 ?*@>1?*@ *:,%( 1 ?&@ ,:%: 1 ?(@ &-%) 1 ?+@ &'%' 1 ?*-@ &,%( 1 ?'&@ &8%+ 1 ?-(@ ''%* 1?&@ 8-%( 1?(@ 88%8 1?+@ -'%8 1?*-@ (,%& 1?'&@ (*%8 1?-(@ '8%)

$ > *::

K *::%: K *::%: K *::%: K 88%& K ':%: K '+%: K &+%: K *::%: K *::%: K *::%: K 8(%: K +&%( K --%: K

J (-  *:

&&  *:

**  *:

**  *:

*(  *:

&&  *:

(:  *:

(-  *:

,:  *:

''  *:

&-  *:

'&  *:

(8  *:

  -+%8 ',%&,%) &)%) '(%: (&%+ ,*%8(%( 8&%8 -&%( ,'%, ,,%( ,-%:

$ > &::

K J *::%: K '(  *:

*::%: K &:  *:

*::%: K *-  *:

88%& K &*  *:

(+%( K '-  *:

*:%( K )&  *:

8%- K *-:  *:

*::%: K -*  *:

*::%: K --  *:

*::%: K ,&  *:

8+%( K -:  *:

):%+ K 8-  *:

',%- K *)-  *:

3  "#           L #%%   L *%% ;EF  ;EF      ,  :6)      ?  8 -  ,   8 ? , $ , 5      $ 8    -         - $  ,  -  -     -   -  E  .F$    -   A,   $           *"% H     

5.5 3   % 

0

3   3  "#         5   -   8  -   8     ?    5$ $    5 :6) ,        ?   ,    A, --     ,,     8 ,  :6)     $   - $ 

  :6) ,    ,     ,75         3        -         5   ,  8   3  ?   8 -  ,     5     8 ? ,   ? 8 ,   3 7,  --     ?   8 -  ,     8     :6) ,        E  .F  ?%  5.5     7 ,$   -    7 -    81,   ,     L #%%       L L C# #D

 7    ,    -   *$ #%$  *" :6) , ,      ?  8 -      8 ? , $ ,1  5 - "* 8      E""*F      

   7  $  64   -   -  E  .F 0

0 JO(2) JO(10) JO(25)

−4

−6

−8

−10

−2 log10 of residual norm

log10 of residual norm

−2

JS(2) JS(10) JS(25)

−4

−6

−8

5

10

15 20 25 30 number of outer iterations

E F

35

40

−10

10

20

30 40 50 60 number of outer iterations

70

EF

             ?% &@  $ > *::  >  > 7*    *9 % E    #      ?,%,%&@           4 65         ?%  & @  & ?  @$ *: ?   @$  &, ?    @ !"          #    0   ?   @

   0   ?  @$     %      - "*    -           :6) ,   )7,      $   5 8 ,  :6)  ,,$    -          G       = .>        -  , C9"$ , +#(D  ?%  5.5   7 ,$ 8 7     -    = .>  5,      -      -    E% %F 

*

!5 5  & !  ! $        

     L #%% 81,   ,   )7 , "'#  -     ?   8 H    :6) ,    *"% H      3 -      5 #%    8    -  ,,7      -  $ 8   " L #%  3      7   -   -      -  E  ,   - "&F

      4 65            ?: :@  F         F              *::A        $                ?: :@$       J   &,:   # F         %     A 1 ?@       0        !"$ 1?@      0        !"%     K J 1 ?8:@ *,%& +:%+ K &(  *:

1 ?+:@ *,%8 +8%& K &&  *:

1 ?):@ *+%8 8:%: K &(  *:

1 ?-:@ &'%' 8*%& K &,  *:

1 ?,:@ '&%+ )8%- K '&  *:

1 ?(:@ (*%( +*%- K ',  *:

1 ?':@ )-%, )&%+ K ,+  *:

1 ?&:@ &*8%& -'%& K *((  *:

1?8:@ &:%& 8&%( K ()  *:

1?+:@ &*%* 8-%( K ('  *:

1?):@ &(%& 8,%- K ((  *:

1?-:@ &8%: 8(%( K ()  *:

1?,:@ '+%* 8'%& K ,(  *:

1?(:@ ()%: 8'%& K ,)  *:

1?':@ +&%8 8(%: K +,  *:

1?&:@ &'8%) +(%: K &:,  *:

3 $ ,   3  "*$ 8      5    H 5    -       )7 , "'#$  :6) ,  ?       ,    5 ,  ,,$   ,  -   8  - $    )7 , "'# ;    $  8      - :6) ,$  8   5    ,$     5  8 3  H   )7 , "'#$ 8  ,  -          5   :6) ,  ,, , = .>    , 3  ?  8 ? ,    H      8 -  ,     7,  $   , 5   -    -    E% %F  -  ?%  5.5"  7     -    -    E% %F   81,   ,  4  L #%%       L L C# #D  - "& 8      E""*F         ,  +%$



0

0

−1

−1

−2

−2

log10 of residual norm

log10 of residual norm

505  

−3 −4 −5

JO(40) JO(60) JO(80)

−6 −7 −8

−3 −4 −5

JS(40) JS(60) JS(80)

−6 −7

5

10 15 20 number of outer iterations

E F

25

−8

10

20 30 number of outer iterations

40

50

EF

              ?: :@  $ > *::  >  > 7*    *9 % E    #      ?,%,%&@           4 65            ?: :@  (: ?  @$ -: ?   @$

 +: ?    @ !"          #    0   ?   @    0   ?  @$     % !%$  '% :6) ,    ?  8 -   8 ? , $ , 5   7  $  64   -   -    E% %F        :6) ,    $  8   ,   3  -        - "*  )7 , "'*$   -   5     -   ?%  5.5     7 ,$ 8     ?   ""  , -  - ,    81,   ,     L #%%

 " :6) ,    ?  8 -  , $ 8 5  , &%   -  8   7    - "+ 8 8 8   #"   &% , -  - 8   - $ , 5 3 -     5 ,         3 7,       - "+$ 8  -       , &% 5      -  &% , -        , -  8 - , 5$        8 5 ,   -  

 1 3    ,  8 = .>  5,    -   81 ,   -  ,         -    7 -    ,  - , $     ? -    ,,7    5   ,    -        5  - 81,   ,$ , 5        $    , 



!5 5  & !  ! $         −0.5

−0.5 exact computed

exact computed

−0.6

−0.6

−0.7

−0.7

µ−0.8

µ−0.8

−0.9

−0.9

−1

−1

−1.1 0.7

0.8

0.9 λ

E F

1

1.1

−1.1 0.7

0.8

0.9 λ

1

1.1

EF

   G *, ?   @   5,   81,   -  ,    ,  ?       !"   !!$ 8 ,    ?   8  ,       - ,  3  ,75  -    !9$     7 ,  ,    !'  -        !(

!            ,,  8 -        , E!#*F  8 , @Z , E-  4  F    7 ,  EW  W F      5   )  0    ) W 0 L =  ) W 0 L B  ,,  -    W    - $       =   W  W L 0= B0

 8    -     -  4 -  ,  E!#*F   ?       -       B  = /7$ 8   -  4      , -     -  4 -  ,  E!#*F ,,    E     C(+DF *     ( @  N  N  N      ?-*&@              ) N  > *  ) N  > + ?     % A>           * + @     = ,      ,  , > ) N  $        # *  +      &      &  , - > &* -  . > *     / E      ?-%*%*@  ?%  & @     ?%  & ½ @O    O ?%  & @     ?%  & @      ?%  & @     ?%  & @% G     ?%  & @$ ' > *     ( $ =                   % !  & " $     $  . > * &

 

*% &% '% (% ,% -%

  

      #/        

/ - +5 5    ,  8  5    5 , -     -   = B    - 8       - 1      4   , -      3     8        -    -  4 -  , B 1 L = 1   L #  3  / - +5 5"  ,   8     -  E   . F 01     $ 8  $  , !  - !*#$      -  -     ,,7    -       5, ,     81,   -  ,    8   7  $   7   -   7,   ,,   8   1     ,     1    ,      L # *   ,,7        ?      7,     ,  3    8      ,     -1    ?      - E F  

+5"5     

!

0

= .>  5,     5 ,,   -   81,   -  , E  , "F    , 8 8   = .>  5,    ,,  -   81,   -  ,  8 /  7,  E )7 , !'#F       1 = .>  E8$    , "$    ,    E!*#F        ,   F      -   -   81,   -  , 3$ 8 -  4  81 = .>   E  ,1  *F  81,   -  , 3          ,    - -       ,     - 

    81 = .>  5,    81,   ,  ,   - !+*  , + 8      ,  ,   -         , '$ 8     8        7,       ,       ,  ?     !"         $   #  

       ?  D  @  

 >  $  >  $  > 7 9$  > 7 9$  . > * &%   > *      A         . > * &

 > ! ?     @$  > ! ?    @  0   #/            >  !  D  "  $     >  !   D  "      -%&%*         ?  @                  $ #   >   $  >    . > * &$               . > * &  > ?  !  " @  $  > ?  !  " @         $ #   >   D    "   % 3            # $      $  #  #          #%             ?    -%,@

    #        . > * &

 

*% &% '% (% ,% -% )% +%

  

 

E#/  4 65     #/      

3 ,,5  -$ 8   ,5  - E   . F$   "$  71    , $  7       ,  $ 

      ,         ,          ,5   , + ,,   8   -  

* ! +5  & !         

-      - E   .F  --    8 ,,     ,  8     E ; F     -       , 8 "  3 $     , $ 8     , 8        *     M *  

E!+#F 0  -        7  6 5- ?    

 - !*#       5 81   81,   , E!&*F     $ 8 7,     ,  ,   ,  1        -   $ 8     -  ,,7   8      E!+#F           ,  / - +5"5  , ! 8   ,  -         +  +     -     -       8  7, E ; F   - ,,7   -   8  ,  ,  - -   -  5   -   E- F  ?  $       *+#    8 -  8   7,   , '        ?  

!  3  *  ,,     ;  E   ; F 

        7      8 -  4   ?  8 ? ,    -   81,   -  , E  "&*F  8   ?L

%

*

L

* *







%

   ;

   ; +

+ +

L







 8    E!"&F  E!"+F E - -    F  

?



?

$ $







L

L

 +

*

  M E F  

   

M E F





  M E. ; F   

M E. ; F

   







 > 7*    *9 % E    #     ?-%(%*@          4 65           & ? @ # ' ?  @$ + ?   @$  *& ?    @ !"  $       ' ?@ # - ?  @$ *& ?   @$  *+ ?    @ !"         %

"* ! +5  & !         

 , 8        - E% %F          " L % "    8    , 8      E!+#F - !# 8  -  ,   ?   *  &  - 

  :6) ,      ?   ;               " E, 4        -F  8     - ,$     :6) ,   8     -   3   -      , 8  -   -      -   $  -      - & 8 #* :6) ,  E % && % *+F$ 8  ?   E   . F    "   8 - E   . F 3     8 - 7 , 8    , 5    -   -  8  5    ,       ?%  +5.5   7 , 8             

= .>  5,     -     ,  -   1 -    -  E   . F         

      4 65         ?%  & @       &$ '      !"    % !"A         !"          O A        O KA          ?%  & @O  A               %        !" & ' & , & ) ' ' *: ' *(

 > :,

K )) )' -) ): )' -(

  '(%( &,%: &(%, ')%: &(%8 &*%*

 > :*

K +) 8, 8( 8) 8, *::

  -,%, (&%, '8%+ ,-%' '-%'-%'

 > *:

K )' ++ ++ +' +8 8)

  8:%* (8%, ,&%+ +'%) (*%& ((%+

 > *:

K '+ )8 +' -, +& 8(

  *:+%' ,)%,8%**:%* (8%8 ()%+

   ,    ?   *  &       #%%               -   ,    ,  8        -          "       - , 8   , 8          7    ,  *"% 3   3  !+ 8    , 5  , -   - 1   - 8  ,     5       "  

 5 ,   , 5  "         , $ 8 8        - $   ?   5             "  ;    $  "    -     5   -  $    8  -   :6) ,            -  , 5$  8  ,            8 ,       71 

+505  

"

,  $   -5 ?    ,     :6) ,       ?%  +5.5+     7 , 8     ?   !!  

    ,     -  - !* 8  -  ,   -  ,  8 3 ,,  8  8    H  - ,   5$     -      -        -   8   -        -      -      # #% #' ##$  #(  - **" - 

    7,  8 H        ?   8        7,  8 8     5 ,     -      - 8        8  5        

log10 of residual norm

0

−2

−4

−6

−8

−10

50

100 150 number of outer iterations

200

        *:  > *:  $ *:  $ *: $ *:$  *: %

# # 3       8  $   $  ,,   )  3    8  -  4    5   -  4 -  ,      8     ,5   -  ,         -   )   -   )        

 8    ,, 

     . '  %  '       

0 '     ;/ '  /  *   B  B  @ 

)/        3  

  '  ! '

 /*'        

* *(

    3  

  ' 

    /  6  //  '       > 8 '       @    B  B    !   '  !      / *  !     /     ;/ ' ;/     B   B   @   /



/  '    !  @    '   /      

  0 

     ( ''/   (   * '  '  /     * %        '  !   ;/       /  ( *  (  

 / *   

+   '     !  3    3  

 0 ' 

     '    '(  *( / ' 3 

6   

  3  

 3  !  /*'  

   (   /

 *

  

;/ '  /  * :( ;/  > 8 

/  / /*'    (   /  * *'8 



2  :<  

     .5

.5

0 $      -  ,  L $ 8    5     7$ 8   * ,,   8   ,,7  -   8    3   ,,7    ,  - -   -  5      .    0 #= #  = %     $     *%,%

+

! .5    ! / ! (  & ! 8?:

 

 L EF L

 



E'##F

3 6 5- ?     8 -    ,, #        



   

  E F

E F L    

*         

  

E'#*F

   

 L -  

E'#&F



& 3   EF         7 5   -   $    ! E F L %

E'#+F !

E6      5            4F 3 1 ,     ,    -   5 -     ,    6 5- ?  E M 5F L  M E5 F / - .5 5     $ E'#*F  E'#&F $   -   

  5 , $ -  6 5- ?    -    H   

  

 $ E'#*F  E'#&F  $   -    -   

  5 ,  ;   8       $  

$%      

64.:    E'#*F 5     



E F L        5 ,  7 5  -I -  1

  E  F$ ,      L %$   E*&#F 3 -- ,  -  E F L    

8    81    81 < 4 C"#D  81 = . >  E , *F 8 $ 8         -     ,  /8    ?   -  , )E F L E   M M  F L %

E'#"F

8 $ $    E,7F         ,$ 8 7   -  1 4     ,, E'#*F.E'#+F   ?   -  ,$    H  -  ,,7    C'!D    8   ?   -  ,  -   8        8 - ,,      ,  $     ,  $    8 - 

E  - ,F ,  -  $

.5 5 %   & ! (   

+

      ,  $     ,    $   1

,  - -    ?  8          ,         ,,5     6  '*&       '*+ /8    ,,7   -  $          5 ,    8          ,  $ 8   

   8   ,         ,  $    G   6  '*&  5 8 5    ,,7     -  $          '*# 8   J  K  1   :  $ 8    '**$ '*&$  '*+ 8  

8 ,,  3   7   ,      -       ,5   -  ,   '& /  7,           '+  '"

0   -     *    . 4      $ 3  ,,7  - ,  E F  E  F 8     

  E F

5

E F L )EF L E  M  M  F

3   ,,     ,,7  -     ,,7  - 1     ,  :    E F   3  8    L EF       8     ?   ?   M  M # L %

E'*#F

8  L EF L  $  L  EF L  $  # L # EF L  



  ,      L $      E'*#F    -      -      $ 8 8     8     5  -        0     5  $   5     8        $   5  ,, 8 8 5    E'#"F 5 ,  G   -

 -   ,$    ,   5     - ,,7    -  3 ,       C"$ , *'*D

 $   ,            ,,5   ,,7  -   E F           -    ,  - ,,7  -      -    8$ 8     8 E M 5F  L E M 5F EF   

   5    H   8 ,     ,     ?       6 EF    E'**F 6

+"

! .5    ! / ! (  & ! 8?:

3  1   :  ,,  E'*#F    ,5     $  $  # $  5 + E   # F L %$ 8 + E  EF  EF # EFF L % >     Æ 5 Æ L Æ EF L   +#

E'*&F  Æ EF L %$  ,   3      5      $  $  # $  5  L GE  # F$    ?GEEF  EF # EFF L EE? + F ? # + FE  EF  EF # EFF

L

#

E    #F

Æ EF

 8 Æ   $ 8     E'*#F   8     $      E'*#F  5  5     ,     E -  -  $  Æ  $  $  #   H   8 ,  F 3$ 8  5 7,       -    ,    $      7,  3$      E'*#F    5 $    5      5         [   7      8 5  ,,7    -  4  :  ,,5 E'#*F      ,,5 E'#&F   ?   -  ,   8 -    / - .5 5       -  ,$  L E F   

E F M E F M E F L %    5   -I -     E   F 8 $ 8        E ,,7 F  -     , 

.      $ 3      -  ,$ 8   8 8    $ 8  5, 5 E5 8 8  8   F ,   3          -   ,      ,    ,,7    - $ 8  7 5 8   6 5- ?  EF E E'##FF    -  4 -  , 8          ?   -  ,$ 8 $ 8   8   $ $  $ 8 5, 5   ,  3         ,         , $ ,

 5 8  ,    3  4  3 -  4  ,,   E'#*F$         E. A F 5 E. A F L E. M A M  F

E'*+F

3        8 8   ,         .  ,,7    $  A ,,7    3  .A  A  5  - ,,7     -   -  4   E'#*F     5 , -

.5 5 %   & ! (   

+

8 :     E. A F  3  E. A F  4  ,   ,    3 4  3     5 / 0

. A



L /  8 / L C 3 4 D 0 L C   D

E'*"F

 / 0    - $ E'*"F    ? .  A  -    3  4  5       $ $   ,  5$       J 1? K ,     E \F M E \F  M E \F

   $ 8 \   -  ,    , 

  -    1?  ,             $ $       H   E'*!F 8 ,  6EF  EF -  8 7 ?    -   6EF  EF   5 5     ?   5  -  5  ,5  $      C(($ #%*D

 ,,      8 ,  ?      ?  $  1       5 6EF  EF E  '+F  ,,       $  -      E 5F    8   ?    6EF  EF$  5          3 ,,       5   5 8    $    -        85       ,  -    $      7,    '+  8  4  81   :  $   81         E     '*+F 

- '*#   BÆ L #  B   #   Æ G 8 8               BÆ  B   3  -    ,

G  E F F F  E 1  1 F

  5 

!



 B





!

   I  I  I   I       I  I  I   I  "  I "  "  "  "  I  I



 I  I     "  I "  G " *  "    "  "  " #   I   I  # I   I  ?   , ,  --  ;         )  5  -  5 J E I I   I  F L  I  I   I 

3 8  ,     BÆ  B  5  -  -   5    ,     3  -      8 $ 8 - % E#   Æ F L % EI    Æ F L *

6

L * 8 ,    

 ! Æ



6

 ! Æ 









$ $

Æ

6 1

1

Æ

$ $ E





$ $

 F

   

¾

/8 ,, 8 8     ,,     ,       8 , 5    # " 3 8      Æ  8 6

 ! Æ 







$ $ L . E

 F

   

L"

6 1 







$ $

E(&*F

05"5     / 2  

.

$ -$ 5  - /8 B  3  -   E(&*F   ,  ,,,  ?      ,  #   E(&#F 5   Æ ,  E(&*F     4      3   ,,     ,   8 , 5    # "$  8    ,  ,,  

8   "#$   ,   8 , 5    # "         8 5 E/   ,  $   5 $ $  / $ /  *%%*   ,1  !    C&!D !"#  "  $  #  0& ( = .>  5,   -   81,   -  , +),  $   5 $ $  / $ /  *%%#   ,1  '    C+%D !  ,   + #  4 , $  -$ Q$ #('"

9   + 3  -   = .>       - , # , 0  >     -  , -   -  ,    7   8     -   0  D E#((#F$ !9".9%( C(9D '    (8  %  5  5 ! ,,7  -    -  ,   - ,         # , >$ "(   7  =>>$ !%   7  81 =>$ *9   7  81 6@$ *!  =>$ #(  6@$ #'  81 =>$ *+  81 6@$ *% ?  $ *!$ "9$ "(  ?   ) $ &"  :) $ &*  ) $ #%9$ #%($ ##!$ #&#$ #&"   $ "%$ "9 =>$ !$ #' -$ $ *# P$ && A  $ "$ &9$ ##&$ #&!   $ !&  $ * 1- $ +9 - $ & -  5 ,  ) $ #*+$ #+"  :) $ +  ) $ +$ #*&$ #++  ) $ +

*"

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

   - - 7  8 ,-   ,  4  4 - -   7  8 ,-$      -     >   -4 8      7  /8 ,       7  6 5- ?    ,    8   + --         $    $         :   7     -  /       - 8  , 4      J   K ,       ,  ,  -   ,    8   ,     -   7    - ,  - 8     -  "  !    = .>  -     %    $   $   4   -  8 ,     "  8  4-   % ! ,   - 8  ,   -  8 ,    8 8 8 4$    ,          > 7   4 -   -     6 5-.64 $      -    7 - 8  4    -  4 ,  8 8    - -    -   1   ,1   8-   8 $    81     ,1    -   8-- ;     A  

 ,-   ,$ 8   ,  648  -,  8

 8 -X^  4   - ,     !   8  8    %   ,   - 8  ,  >    -  ,$ 8  8           Z 4 8    84- ,  E   1  4F$ -    *  9    - ,  ,   ,  $         - 8   -   >4 -,, -       -  ,  -   - $   - - 



  

- 8   -   ,   , 4  ; 8       ,   , -X^  >     -   -   - -      - 8        - 8  ,   7  64,   4  -  4     $            ' 8   -  - 8   1 - 

 8   4 >  - ,  ?   - 8  ,   1   4 ) 8  8  --  $ -  ,  :  1    1 ,  >  8  1 , ,     -8   - $   -  -- 1    -  ,5   ,  7  1   4   (  8 8        7 - 8     7  ,  < 4  >4 - 4 8 -  < 41$ 641  5 ,5   ;  8   -        ,  ,      -  -4 -  -  $ - 8 4 - 4    ,  E-F 8       4  > - 4 

 - 8  , ) 8 ,  -           -      ,,  < 4   - - 4   7 - 8    ,     - 

, 3 ,  

 8       :  ,        - - Z        -    G    4 -  ,              ,-, 4    8     /;   ,$        8  , 8-       J     8 K >   8      -       -   

    - 1 ;B$     4 $   -      ,        : $        4 $ 8   -4-  -      8       8     -, -  3 4 ,  8 = ,  )  8 8    '%& /   -4-  8      -  ; 8  :  = ,     --    E   4 1F4   5  , 5    8 E> F$    E>XF  > 0    E   4 EZXF$ > = >  EF$  > 3 _4 Q_ E :  ,   -    -           3    , ,    -   5 11,  --  /   8   -              Q 8   8     /8 Q         8  -    -  $ $ = 1$ :1=  )    --  ,  B -    ;8 -$  8 1   ;$    -,   ,4 -   8  = -    -,

;  8   X 08  =] , , , 9 ,,       *%%* ! $ !"#  " ( #  0&

5 $  *     %            * ,  #**"$ >, 

 $    5$  5 *%%* ,  ,   X  > 0       -     ,4  8   *%%# 8   --  =X     *%%*     , *%%&   84   ,        X   >X   - *%%&    ,     6    5    $ ;$